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南昌市2008-2009学年度高三调研考试模拟训练数学.doc

南昌市2008-2009学年度高三调研考试模拟训练数学.doc


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二、填空题:每小题 4 分,共 16 分。请把正确答案题中的相应横线位置上。
? ? 13.已知二项式 ? 2x ? 2 ? ? x? R, x ? 0? 的展开式的第 7 项为 21 ,则 lim? x ? x2 ? x3 ??? xn ? 的值为_______. n?? 4 2 ? ?
9

南昌市 2008-2009 学年度高三调研考试模拟训练 数 学(理科) 2009.01.11
一、选择题:每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,仅有一项 是符合题目要求的。 .... 1.集合 P ?? x | x ? 2k , k? Z? ,若对任意的 a , b? P 都有 a*b?P ,则运算*不可能 是 ... (A)加法 (B)减法 (C)乘法 (D)除法
3i 2.已知复数 z 满足 z ? ( i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z 的虚部是 1? 3i

14.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且对任意的 m , n? N * 都有 am?n ? am ? an ? mn ,则 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? _______. a1 a2 a3 a2009 的表面积为_______. 16 .有以下五个命题:①若随机变量 ? 服从正态分布 ? ~ N (3,2), ??

15.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 及其内部一动点 P ,集合 Q ??P / PA ?1? ,则集合 Q 构成的几何体

? ?3
2

,则随机变量 ? 的期望是 0 ;

A. ? 3 i B. ? 3 i C. ? 3 D. ? 3 4 2 2 4 3.已知命题:若 x ? y , y // z ,则 x ? z 成立,那么字母 x, y, z 在空间所表示的几何图形一定不是 A. x, y, z 都是直线 B. x, y, z 都是平面 C. x, y 是直线, z 是平面 D. x, z 是平面, y 是直线 4.已知 an ? sin n? ? 16 ? n? N *? ,则数列 ?an ? 的最小值为 6 2 ? sin n? 6 A. 6 B. 7 C. 8 D. 19
3

②已知 f ( x) ? x ? 11 , 则 f (4) ? f (3) ;③ y=log a(2+a x) (a>0,a ? )1 在 R 上是增函数;④定义在 R 上的偶 x ? 10 函数 f (x)满足 f ? x ?1? ? f ? x ? ,则 f ? 2? ? f ?0? ;⑤若 f (x)是定义在 R 上的奇函数,且 f (x+2)也为奇函数, 则 f (x)是以 4 为周期的周期函数.其中假 命题的序号是 . 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 (把你认为正确命题的序号都填上) 8 9 10 11 12

??? ? 5.如图所示为函数 f ( x ) ? 2cos(? x ?? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象,其中 AB ? 5 ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)设 a , b , c 分别是 ? ABC 三个内角 ? A,? B ,? C 的对边,若向量
?? ?? ? ? m ? (1? cos( A ? B ),cos A ? B ) , n ? 5 ,cos A? B 且 m ? n ? 9 , 2 8 8 2 sin C 的最大值. (1) 求 tan A?tanB 的值; (2) 求 ab a2 ? b2 ? c2

那么 ? 和 ? 的值分别为 (A) ? ? ? ,? ? ? A. ?2,3?

?

?

(B) ? ? ? ,? ? ? (C) ? ? ? ,? ? ? (D) ? ? 6,? ? ? 6 3 3 3 3 6 6 x?m ?1 2 ?1 2 6.已知 f ( x ) ? 3 (2 ? x ? 4, m 为常数) 的图像经过点 ? 2,1? ,则 F ( x ) ?[ f ( x )] ? f ( x ) 的值域是 B. ?2,10? C. ?2,5? D. ?1, ??? 7.假设某篮球运动员在进行投篮训练时,投篮一次得 3 分的概率为 a ,得 2 分的概率为 b ,得 0 分的概率为
c ,其中 a,b,c??0,1? ,且他投篮一次得分的数学期望为 2 ,则 2 ? 1 的最小值为 a 3b 32 28 A. B. C. 16 D. 34 3 3 3 3 8.数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,并且 a5 , a8 , a13 是等比数列 ?bn ? 的相邻三项,若 b2 ? 5 ,则 bn ?

A. 5?( 5 )n?1
3

B. 3?( 5 )n?1
3

C. 3?( 3 )n?1
5

D. 5?( 3 )n?1
5

9.在圆周上有 10 个等分,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选择了 3 个点,刚好构 成直角三角形的概率是 D. 1 3 2 ??? ? ??? ? ??? ? ? 10.在 ? ABC 中, G 是 ? ABC 的重心,且 aGA? bGB ? 3 cGC ? 0 ,其中 a , b , c 分别是 ? A,? B ,? C 的对边, 3 则 ?A? A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 11.设 y ? f ? x? 有反函数 y ? f ?1 ? x ? , y ? f ? x ? 2? 与 y ? f ?1 ? x ?1? 互为反函数,则 f ?1 ? 2008? ? f ?1 ?1? 的值为
5 4

A. 1

B. 1

C. 1

18. (本小题满分 12 分)某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间 T (单位: 年) 有关. 若 T ? 1 ,则销售利润为 0 元;若 1 ? T ? 3 ,则销售利润为 100 元;若 T ? 3 ,则销售利润为 200 元. 设 1 ? T ? 3 及 T ? 3 这三种情况发生的概率分别为 p1 , p2 , p3 , 每台该种电器的无故障使用时间 T ? 1 , 又 知 p1 , p2 是方程 25x ? 15x ? a ? 0 的两个根,且 p2 ? p3 .
2

(Ⅰ)求 p1 , p2 , p3 的值; (Ⅱ)记 ? 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求 ? 的分布列; (Ⅲ)求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.

A. 4016 B. 4014 C. 2008 2 ? ? 12、已知函数 f ( x) ? loga?2 ?ax ?(a ? 2) x ? a ? 2? 有最值,则 a 的取值范围是 A、 ( ?2, ?1)? ( ?1,0)? ( 2 , ?? )
3

D. 2007 D、 ( ?2, ?? )
用心 爱心 专心

B、 ( ?2,0)? ( 2 , ?? )
3

C、 ( ?2, 2 )?( 2 ,2)?(2, ?? )
3 3

19.(本小题满分 12 分)如图,已知正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的底面边长是 2 , D 是侧棱 CC1 的中点, 直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 45 . (Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长; (Ⅱ)求二面角 A ? BD ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 ABD 的距离.
?

A

A1

21.(本小题满分 12 分)若数列 { an } 的前 n 项和 Sn 是 (1? x )n 二项展开式中各项系数的和 ? n ? 1,2,3,?? . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 b1 ? ?1,bn?1 ? bn ? (2n?1) ,且 cn ? (III)求证: Tn ? Tn?2 ? Tn2 ?1 .
an ?bn ,求数列 {cn } 的通项及其前 n 项和 Tn ; n

B
C

B1
D

C1

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? x2 ? ln x ? ax 在 ?0,1? 上是增函数. (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设 g? x? ? e2 x ? ex ? a , x??0,ln3? ,求函数 g ? x ? 的最小值.

22.(本小题满分 14 分)设 x ? 3 是函数 f ? x? ? ? x2 ? ax ? b? e3? x ? x?R? 的一个极值点。 (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ? x ? 的单调区间; (2)设 a ? 0, g ? x ? ? a2 ? 25 ex ,若存在 ..?1 ,?2 ??0,4? ,使得 f ??1 ? ? g ??2 ? ? 1 成立,求 a 的取值范围。
4

?

?

用心

爱心

专心

南昌市 2008-2009 学年度高三调研考试模拟训练 数学(理科)参考答案 2009.01.11
题号 答案 13. ? 1
4

又底面 ABC ? 侧面 BB1C1C ,且交线为 BC . ? AE ? 侧面 BB1C1C . 连 ED ,则直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 ?ADE ? 45 .
?

1 D

2 C 14.

3 C

4 D

5 B 15. 5?
4

6 C

7 C

8 B

9 C 16. ②

10 A

11 B

12 A

在 Rt ?AED 中, tan 45? ?

AE ? ED

3 x2 1? 4

,解得 x ? 2 2 . ? 此正三棱柱的侧棱长为 2 2 .

17. 解:(1)由 m ? n ? 即 亦即 (2) 因

9 5 9 2 A? B ? ,得 [1 ? cos( A ? B) ? cos 8 8 2 8 5 1? c o A s( ?B ) 9 [ 1? c o A s( ?B ?) ? 8 2 8 ? ?
4 cos A (? B ? ) 5 co As ?( B ,所以 )

注:也可用向量法求侧棱长. (Ⅱ)解法 1:过 E 作 EF ? BD 于 F ,连 AF , ? AE ? 侧面 BB1C1C , ? AF ? BD . ? ?AFE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角. 在 Rt ?BEF 中, EF ? BE sin ?EBF ,又
BE ? 1,sin ?EBF ?

t a nA ? t aB n?

1 9

ab sin C ab sin C 1 ? ? tan C 2 2 a ?b ?c 2ab cos C 2 tan A ? tan B 9 9 3 ? (tan A ? tan B) ? ? 2 tan A ? tan B ? 而 tan( A ? B) ? 1 ? tan A tan B 8 8 4 3 1 所以, tan( A ? B) 有最小值 当 tan A ? tan B ? 时,取得最小值。 4 3 3 ab sin C 3 又 tan C ? ? tan( A ? B) ,则 tan C 有最大值 ? 故 2 的最大值为 ? 2 2 4 a ?b ?c 8 18. 解: (Ⅰ)由已知得 p1 ? p2 ? p3 ? 1 . ? p2 ? p3 , ? p1 ? 2 p2 ? 1. 3 1 2 ? p1 , p2 是方程 25x 2 ? 15x ? a ? 0 的两个根, ? p1 ? p 2 ? . ? p1 ? , p 2 ? p 3 ? . 5 5 5
2

3 . 3 AE ?3. 又 AE ? 3, ? 在 Rt ?AEF 中, tan ?AFE ? EF 故二面角 A ? BD ? C 的大小为 arctan 3 .
CD 2 3 , ? ? BD 3 22 ? ( 2) 2

? EF ?

解法 2: (向量法,见后) (Ⅲ)解法 1:由(Ⅱ)可知, BD ? 平面 AEF ,? 平面 AEF ? 平面 ABD ,且交线为 AF ,? 过 E 作 EG ? AF 于 G ,则 EG ? 平面 ABD .
AE ? EF ? 在 Rt ?AEF 中, EG ? AF 3? 3 3 3 2 ) 3 ? 30 . 10

( 3) 2 ? (

(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,100,200,300,400.

1 1 1 1 2 4 1 2 2 2 8 , P?? ? 100? = 2 ? ? ? , P?? ? 200? = 2 ? ? ? ? ? , P?? ? 0?= ? ? 5 5 25 5 5 25 5 5 5 5 25 2 2 8 2 2 4 , P?? ? 400? = ? ? . P?? ? 300? = 2 ? ? ? 5 5 25 5 5 25 随机变量 ? 的分布列为: 0 100 200 300 400 ? P 1 4 8 8 4 25 25 25 25 25
(Ⅲ)销售利润总和的平均值为

2 30 . 10 A ? D B , A C ? B ,D 解法 2: (思路) 取 AB 中点 H , 连 CH 和 DH , 由C 易得平面 ABD ? 平面 CHD , 且交线为 DH .过点 C 作 CI ? DH 于 I ,则 CI 的长为点 C 到平面 ABD 的距离. 解法 3: (思路)等体积变换:由 VC ? ABD ? VA? BCD 可求.

? E 为 BC 中点,? 点 C 到平面 ABD 的距离为 2 EG ?

解法 4: (向量法,见后) 题(Ⅱ) 、 (Ⅲ)的向量解法: (Ⅱ)解法 2:如图,建立空间直角坐标系 o ? xyz .

E? = 0 ?

? 销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为 240 元. 注:只求出 E? ,没有说明平均值为 240 元,扣 1 分. 19. (Ⅰ)设正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的侧棱长为 x .取 BC 中点 E ,连 AE .
? ?ABC 是正三角形,? AE ? BC .
用心 爱心

1 4 8 8 4 ? 100 ? ? 200 ? ? 300 ? ? 400 ? =240. 25 25 25 25 25

z ? A 设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 ABD 的法向量. ? ? ? y ? ? 3z ? ?n1 ? AB ? 0, 由 ?? 得 ? . 2 x ? y ? 3 z ? 0 ? n ? AD ? 0 ? B ? ? 2 ?? o 取 n1 ? (? 6, ? 3,1). x ?? ? C 又平面 BCD 的一个法向量 n2 ? (0,0,1). ? ? n ?n ? ? (? 6 ,? 3,1) ? (0,0,1) 10 ? . ? cos ? n1 , n2 ?? ?1 ? 2 ? n1 n2 1 ? (? 6 ) 2 ? (? 3 ) 2 ? 12 10
专心

则 A(0,0, 3), B(0, ?1,0), C(0,1,0), D(? 2,1,0) .

A1

B1
D y

C1

10 . 10 ?? ??? ? (Ⅲ)解法 4:由(Ⅱ)解法 2, n1 ? (? 6, ? 3,1), CA ? (0, ?1, 3). ? CA ? n1 (0,?1, 3 ) ? (? 6 ,? 3 ,1) 2 30 ? = . ? 点 C 到平面 ABD 的距离 d ? ? 2 2 2 10 n1 (? 6 ) ? (? 3 ) ? 1
结合图形可知,二面角 A ? BD ? C 的大小为 arccos

n n? 2 (3) Tn ? Tn?2 ? Tn2 ] ? [2 ? (n ? 2) ? 2n?1 ]2 ?1 = [2 ? (n ? 3) ? 2 ] ? [2 ? (n ? 1) ? 2

=4+ 2 ? (n ? 1) ? 2n?2 ? 2 ? (n ? 3) ? 2n ? (n ? 3) ? (n ?1) ? 22n?2

? [4 ? 4 ? (n ? 2) ? 2n?1 ? (n ? 2) 2 ? 22n?2 ] n ?3 =2 ? (n ? 3) ? 2n?1 ? 2 2 n? 2 ? 2 n?1 ? [(n ? 1) ? 2n?1 ] .
∵2
n?1

? 0 , ∴ 需证明 n ? 1 ? 2 n?1 ,用数学归纳法证明如下: 1?1 ①当 n ? 1 时, 1 ? 1 ? 2 成立. k ?1 ②假设 n ? k 时,命题成立即 k ? 1 ? 2 , 那么,当 n ? k ? 1 时, (k ? 1) ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? 2k ?1 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 2( k ?1)?1 成立. n ?1 由①、②可得,对于 n ? N * 都有 n ? 1 ? 2 成立. n ?1 ∴ 2 ? [(n ? 1) ? 2n?1 ] ? 0 .
∴ Tn ? Tn?2 ? Tn2 ?1 .

2 3? x 22.解: (1)∵ f ? x ? ? x ? ax ? b e 2 3? x ? ?? ? x ? ? a ? 2? x ? b ? a ? ?e

?

?

∴f

'

? x ? ? ? 2x ? a ?

'

e3? x ? ? x 2 ? ax ? b ? e3? x ? ?1?

由题意得: f ' ? 3? ? 0 ,即 32 ? 3? a ? 2? ? b ? a ? 0 , b ? ?2a ? 3
2 3? x ∴ f ? x ? ? x ? ax ? 2a ? 3 e 且 f ' ? x ? ? ? ? x ? 3?? x ? a ?1? e3?x

?

?

令f

? x ? ? 0 得 x1 ? 3 , x2 ? ?a ? 1 2 3? x ∵ x ? 3 是函数 f ? x ? ? ? x ? ax ? b ? e , ? x ? R ? 的一个极值点
'

∴ x1 ? x2 ,即 a ? ?4 21. 解: (Ⅰ)由题意 S n ? 2 n ,

故 a 与 b 的关系式为 b ? ?2a ? 3, ? a ? ?4?
'

Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2) , 两式相减得 an ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) .
∴ an ? ?

当 n ? 1 时, 21?1 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 ,

?2 (n ? 1) ? . n ?1 (n ? 2) ? ?2

(Ⅱ)∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ,∴ b2 ? b1 ? 1 , b3 ? b2 ? 3 , b4 ? b3 ? 5 , ………

bn ? bn?1 ? 2n ? 3 .
(n ? 1)(1 ? 2n ? 3) ? (n ? 1) 2 . 2 ?? 2, n ? 1 ∵ b1 ? ?1 ,∴ bn ? n 2 ? 2n . ∴ cn ? ? . n ?1 ( n ? 2 ) ? 2 , n ? 2 ? 1 2 3 ∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 ,
以上各式相加得 bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 .
2 3 4 n

? x ? ? 0 得单增区间为: ?3, ?a ?1? ; ' 由 f ? x ? ? 0 得单减区间为: ? ??,3? 、 ? ?a ?1, ??? ; ' (Ⅰ)当 a ? ?4 时, x2 ? ?a ? 1 ? 3 ,由 f ? x ? ? 0 得单增区间为: ? ?a ?1,3? ; ' 由 f ? x ? ? 0 得单减区间为: ? ??, ?a ?1? 、 ?3, ??? ; (2)由(1)知:当 a ? 0 时, x2 ? ?a ? 1 ? 0 , f ? x ? 在 ?0,3? 上单调递增,在 ?3, 4? 上单调递减, f ? x?min ? min? f ? 0? , f ? 4?? ? ?2? a ? 3? e3 , f ? x ?max ? f ?3? ? a ? 6 25 ? 3 ? ∴ f ? x ? 在 ? 0, 4? 上的值域为 ? ? ?2 ? a ? 3? e , a ? 6 ? ? ,易知 g ? x ? ? ? a ? ? e 在 ? 0, 4? 上是增函数
(Ⅰ)当 a ? ?4 时, x2 ? ?a ? 1 ? 3 ,由 f
2 x

?

4 ?

∴ g ? x ? 在 ? 0, 4?
? 4 ?

25 ? 2 25 ? 4 ? 2 上的值域为 ? ?a ? 4 , ? a ? 4 ? e ? ? ? ? ?
2

25 ? 1? ? 2 由于 ? ? a ? ? ? ? a ? 6? ? ? a ? ? ? 0 ,

2(1 ? 2 n ?1 ) 2 3 n?1 n ? (n ? 2) ? 2 n ∴ ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? (n ? 2) ? 2 ? 1? 2 n n n = 2 ? 2 ? (n ? 2) ? 2 ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 .
∴ Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n .
用心 爱心

又∵要存在 ..?1 , ?2 ??0, 4? ,使得 f ??1 ? ? g ?? 2 ? ? 1 成立, ∴必须且只须 ?
? a?0 ?? 2 25 ? ?? a ? 4 ? ? ? a ? 6 ? ? 1 ? ??

?

2?

解得: 0 ? a ?

3 2

所以: a 的取值范围为 ? 0, ?

? ?

3? 2?

专心



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