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函数及其表示知识点+练习题+答案

函数及其表示知识点+练习题+答案

函数及其表示考纲知识梳理
一、函数与映射的概念 函数 两集合 对应关系 设 A、B 是两个非空数集 如果按照某种确定的对应关 映射 设 A、B 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关

f : A?B

系 f ,使对于集合 A 中的任 系 f ,使对于集合 A 中的任 意一个数 x ,在集合 B 中都 意一个元素 x ,在集合 B 中 有 唯 一 确 定 的 数 f ( x) 和 它 对应。 都有唯一确定的元素 y 与之 对应。 称 f : A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射 对应 f : A ? B 是一个映射

名称

称 f : A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数

记法

y ? f ( x) , x ? A

注:函数与映射的区别:函数是特殊的映射,二者区别在于映射定义中的两个集合是非空 集合,可以不是数集,而函数中的两个集合必须是非空数集。 二、函数的其他有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x) , x ? A 中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与

x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值 { f ( x) | x ? A} 的集合叫做函数的值域
(2)一个函数的构成要素 定义域、值域和对应法则 (3)相等函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数。 注:若两个函数的定义域与值域相同,是否为相等函数?(不一定。如果函数 y=x 和 y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是相等函数;再如 y=sinx 与 y=cosx,其定义域为 R, 值域都为[-1,1],显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等,关键是看定义域和对 应关系) (4)函数的表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、图象法和列表法。 (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示, 这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 其值域等于各段函数的值域的并集, 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是个函数。

函数及其表示测试题
? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 1、设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( A ) ? x ? 6, x ? 0 A. (?3,1) ? (3,??) B. (?3,1) ? (2,??) C. (?1,1) ? (3,??) D. (??,?3) ? (1,3)
解析 由已知,函数先增后减再增 当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 2、试判断以下各组函数是否表示同一函数?
3 3 2 (1)f(x)= x ,g(x)= x ; x ? 0, ?1 |x| ? ? 1 x ? 0; (2)f(x)= x ,g(x)= ?

(3)f(x)=

2 n ?1

x 2n?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1(n∈N*) ;

2 (4)f(x)= x x ? 1 ,g(x)= x ? x ; 2 2 (5)f(x)=x -2x-1,g(t)=t -2t-1。

3 3 2 解: (1)由于 f(x)= x =|x|,g(x)= x =x,故它们的值域及对应法则都不相同,

所以它们不是同一函数;

x ? 0, ?1 |x| ? ? 1 x ? 0; (2)由于函数 f(x)= x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) ,而 g(x)= ?
的定义域为 R,所以它们不是同一函数; (3)由于当 n∈N*时,2n±1 为奇数, ∴f(x)=
2 n ?1

x 2n?1 =x,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相

同,所以它们是同一函数; (4)由于函数 f(x)= x

x ? 1 的定义域为{x|x≥0},而 g(x)= x 2 ? x 的定义域

为{x|x≤-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数 注:对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x) ,当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相 同时,y=f(x)和 y=g(x)才表示同一函数若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全 相同,反之亦然。

3、求下列函数的值域:
2 2 (1) y ? 3x ? x ? 2 ;(2) y ? ? x ? 6x ? 5 ;(3)

y?

3x ? 1 x?2 ;

(4) y ? x ? 4 1 ? x ;(5) y ? x ? 1? x ;(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;
2

2x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 y? 2 y? (x ? ) x ? x ?1 ; 2x ?1 2 ; (7) (8)
1 23 23 y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? ) 2 ? ? 6 12 12 , [

解:(1)(配方法)
2

23 , ?? ) ∴ y ? 3x ? x ? 2 的值域为 12
(2)求复合函数的值域:
2 y? 设 ? ? ? x ? 6x ? 5 ( ? ? 0 ),则原函数可化为

?

又∵ ? ? ? x ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3) ? 4 ? 4 ,
2 2

∴ 0 ? ? ? 4 ,故
2

? ?[0,2] ,

∴ y ? ? x ? 6x ? 5 的值域为 [0, 2] (3)(法一)反函数法:
y? 3x ? 1 2x ? 1 y? x ? 3 ,其定义域为 {x ? R | x ? 3} , x ? 2 的反函数为

y?
∴原函数

3x ? 1 x ? 2 的值域为 { y ? R | y ? 3}
y? 3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 ? ? 3? x?2 x?2 x?2 ,

(法二)分离变量法:

7 7 ?0 3? ?3 x ? 2 x ? 2 ∵ ,∴ ,

y?
∴函数

3x ? 1 x ? 2 的值域为 { y ? R | y ? 3}

2 (4)换元法(代数换元法):设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t ,

∴原函数可化为 y ? 1 ? t ? 4t ? ?(t ? 2) ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 ,
2 2

∴原函数值域为 (??,5] 注:总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域,

变形: y ? ax ? b ? cx ? d 或 y ? ax ? b ? cx ? d
2 2
2

(5)三角换元法:
2 ∵ 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,

y ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ?
则 ∵ ? ?[0, ? ] ,∴

?
4

)

??

?

? 5? ? 2 ?[ , ] sin(? ? ) ?[? ,1] 4 4 4 ,∴ 4 2 ,


2 sin(? ?


?
4

) ? [ ?1, 2]

∴原函数的值域为 [?1, 2]
??2 x ? 3 ( x ? ?4) ? y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 (?4 ? x ? 1) ?2 x ? 3 ( x ? 1) ? (6)数形结合法: ,

∴ y ? 5 ,∴函数值域为 [5, ??)
2 (7)判别式法:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R

y?


2x2 ? x ? 2 2 x 2 ? x ? 1 得: ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R
2 ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根,

∴△ ? ( y ? 1) ? 4 ? ( y ? 2) ? 0 ,
2 2

∴1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1,5]
1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 y? ? ? x? ? x? ? 2 ? 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2 (8) ,

x?


1 1 x? ?0 2 ,∴ 2 ,
? 2

1 1 1 1 x ? ? 2 ? 2 (x ? ) 2 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2 ∴



1 1 x? ? 2 1? 2 2 x?1 x? 2 时等号成立 2 时,即 当且仅当

y? 2?


1 2,

1 [ 2 ? , ??) 2 ∴原函数的值域为

4、求函数的解析式

1 1 f ( x ? ) ? x3 ? 3 x x ,求 f ( x) ; (1)已知 2 f ( ? 1) ? lg x x (2)已知 ,求 f ( x) ; (3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ;
(4)已知 f ( x) 满足

1 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x x ,求 f ( x) ;

1 1 1 1 f ( x ? ) ? x3 ? 3 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) x x x x , 解:(1)配凑法:∵
∴ f ( x) ? x ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 );
3

2 2 ?1 ? t x? t ?1 , (2)换元法:令 x ( t ? 1 ),则

f (t ) ? lg


2 2 f ( x) ? lg t ?1 , x ?1

( x ? 1)


(3)待定系数法:设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴ a ? 2,b ? 7 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 7 ;

1 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x x (4)方程组法:



1 1 3 2 f ( ) ? f ( x) ? x x 把①中的 x 换成 x ,得
① ?2 ? ②得

②,

3 f ( x) ? 6 x ? 1 x。

3 x

f ( x) ? 2 x ?


5.设 a 是正数, ax+y=2(x≥0,y≥0), 记 y+3x-

1 2 x 的最大值是 M(a), 试求: M(a)的表达式; 2

1 2 解 将代数式 y+3x- 2 x 表示为一个字母,由 ax+y=2 解出 y 后代入消元,建立关于 x 的二
次函数,逐步进行分类求 M(a)。

1 2 设 S(x)=y+3x- 2 x ,将 y=2-ax 代入消去 y,得: 1 2 S(x)=2-ax+3x- 2 x 1 2 =- 2 x +(3-a)x+2 1 1 2 2 =- 2 [x-(3-a)] + 2 (3-a) +2(x≥0)
∵y≥0 ∴2-ax≥0

2 而 a>0 ∴0≤x≤ a
下面分三种情况求 M(a)

2 (i)当 0<3-a< a (a>0),即 ?0 ? a ? 3 ? 2 ?a ? 3a ? 2 ? 0 时
解得 0<a<1 或 2<a<3 时

1 2 M(a)=S(3-a)= 2 (3-a) +2 2 (ii)当 3-a≥ a (a>0)即

?a ? 0 ? 2 ?a ? 3a ? 2 ? 0 时,
解得:1≤a≤2,这时

2 2 2 1 2 ( )2 M(a)=S( a )=2-a· a +3· a - 2 · a

2 6 2 =- a + a
(iii)当 3-a≤0;即 a≥3 时 M(a)=S(0)=2 综上所述得:

M(a)=

?1 2 (0 ? a ? 1) ? 2 (3 ? a ) ? 2     ? 2 6 ? (1 ? a ? 2) ?? 2 ?       a ? a ?1 2 (  2 ? a ? 3) ? (3 ? a ) ? 2     ?2 ? (a ? 3) ?2         


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