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13-14高数A(1)总复习

13-14高数A(1)总复习


高等数学A(1)复习

一、求极限 重要极限 等价无穷小替换 洛必达法则

重要公式:
(1)

sin x lim ?1 x ?0 x
1 x lim (1 ? ) ? e x ?? x

tan x lim ?1 x ?0 x
1 x

(2)

lim(1 ? x ) ? e
x ?0

重要公式:
(1)

sin( ) lim ?1 x ?? () ( )? 0
1 () lim(1 ? ) ? e x ?? ()

tan( ) lim ?1 x ?? ()

(2)

lim(1 ? ) ? e
x ??

1

( )??

?0

常用等价无穷小替换
当 x ? 0 时, 1 ? cos x
x2 2

ln(1 ? x )

x

sin x
tan x

x
x

arcsin x

x

arc tan x
?

x

a ?1
x

x ln a

(1 ? x) ? 1 ? x

lim(1 ? x )
x ?0

?

1 x

?e
1 2

1 x lim(1 ? ) ? e , k ? ?2 x ?? kx

x?c 例:已知 lim ( ) ?3 x ??? x ? c
x 2

,求c ? ?



求: lim
x ?0
2x 0

?

2x 0

ln(1 ? t )dt
1 ? cos x x2 2

1 ? cos x

解:

原式 ? lim
x ?0

?

ln(1 ? t )dt x /2
2

ln(1 ? 2 x ) ? 2 ? lim x ?0 x

2x ? 2 ? lim ?4 x ?0 x

ln(1 ? 2 x )

2x

f ( x ) 是 x 3 的高阶无穷小,则 例:当 x ? 0 时,
lim 2 x x ?0 (e f ( x) ? 2 ? 1) sin x

解:

f ( x) f ( x) f ( x) lim 2 x ? lim ? lim ?0 2 2 3 x ?0 (e x ?0 2 x ? 1)sin x x?0 2 x ? x

洛必达法则
----- 未定式(不定式)

0 ? , 0 ?

f ( x) f ?( x ) lim ? lim x ?a g( x ) x ? a g?( x ) f ( x) f ?( x ) lim ? lim x ?? g ( x ) x ?? g ?( x )

函数 f ( x ) 有连续二阶导数且

期中考题

f (0) ? 0 , f ?(0) ? 1 , f ??(0) ? ?2

f ( x) ? x lim ?? 2 x ?0 x f ( x) ? x f ?( x ) ? 1 lim ? lim 2 x ?0 x ?0 x 2x f ??( x ) ? lim ? ?1 x?0 2



tan 2 x 求 lim . x ?0 1 ? cos x
2

1 2 解 当x ? 0时, 1 ? cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 ? lim ? 8. x ?0 1 2 x 2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换,而不会改变原式的极限.



( x ? 1) sin x 求 lim . x ? 0 arcsin x



当x ? 0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x .
( x ? 1) x ? lim( x ? 1) ? 1. 原式 ? lim x ?0 x ?0 x

注意

不能滥用等价无穷小代换.

切记,只可对函数的因子作等价无穷小代换, 对于代数和中各无穷小不能分别代换.



x ? sin x 求:lim . 3 x ? 0 sin 2 x

x? x 错 解: 原式 ? ? lim 3 ? 0. x ?0 (2 x )
解:
当x ? 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 ? cos x x2 2

1 2 x x ? sin x 1 ? cos x 2 原式 ? lim ? lim ? lim ? 3 2 2 x?0 x ? 0 8 ? (3 x ) x ? 0 8 ? (3 x ) (2 x )
洛必达法则



1 x sin x lim . x ?0 ln(1 ? 2 x)
2

解:

1 x sin x lim . x ?0 ln(1 ? 2 x)
2

1 x sin x ? lim .?0 x ?0 2x
2

例.

1 ? cos 2 x 求: lim x ?0 x sin x 1 ? cos 2 x lim x ?0 x sin x 1 ? cos 2 x ? lim x ?0 x? x

04试卷考题

0 型 0

解:

洛必达法则

2sin 2 x ? lim ?2 x?0 2x

不 能 用 商 的 极 限 运 算 法 则

例.
解:

1 1 t 求: lim(sin ? cos ) t ?? t t

04试卷考题

lim(sin x ? cos x )
x ?0

1 x

1 ?x t

? lim e
x?0

ln(sin x ? cos x )

1 x

?e
?e

ln(sin x ? cos x ) lim x ?0 x
cos x ? sin x lim x ?0 sin x ? cos x

洛必达法则

0 型 0

?e

不 能 用 商 的 极 限 运 算 法 则

例.
解:

x 1 ? cos(2sin ) 2 求: lim x?0 x4
2

05试卷考题

0 型 0

x 1 ? cos(2sin ) 2 lim x?0 x4
2

1 ? cos

2

2

1 2 x 2 (2sin ) 2 ? lim 2 x?0 x4

sin

x 4 ( ) 4 1 2 ? lim ? 4 2 x ?0 x 8

不 能 用 商 的 极 限 运 算 法 则

1 1 n (1 ? ? 2 ) 例. 求: nlim ??? n n 1 1 x (1 ? ? 2 ) 解: xlim ??? x x 1

05试卷考题

1 ln(1 ? ? 2 ) x x 1 1 lim x ln(1 ? ? 2 ) ? lim x ??? x ??? 1 x x x 2 2 ln(1 ? t ? t ) t?t 0 ? lim ? lim 型 t ?0 t ? 0 t t 0
1 ? 2t ? lim ?1 t ?0 1

1 ?t x

不 能 用 商 的 极 限 运 算 法 则

1 1 n 例. 求: lim (1 ? ? 2 ) ? e n??? n n
1 1 x (1 ? ? 2 ) ? e 解: xlim ??? x x

05试卷考题

1 1 ln(1 ? ? 2 ) x x 1 1 lim x ln(1 ? ? 2 ) ? lim x ??? x ??? 1 x x x 2 2 ln(1 ? t ? t ) t?t ? lim ? lim t ?0 t ?0 t t
1 ? 2t ? lim ?1 t ?0 1

1 ?t x

0 型 0

不 能 用 商 的 极 限 运 算 法 则

例. 求: lim
x ?1

3 ? x ? 1? x 2 x ? x?2

05试卷考题

0 型 0

解:

lim
x ?1

3 ? x ? 1? x 2 x ? x?2

? lim
x ?1

( 3 ? x ? 1 ? x )( 3 ? x ? 1 ? x ) ( x ? x ? 2)( 3 ? x ? 1 ? x )
2

?? lim
x ?1

3 ? x ?1? x ( x ? x ? 2)( 3 ? x ? 1 ? x )
2

不 能 用 商 的 极 限 运 算 法 则

例. 求: lim
x ?1

3 ? x ? 1? x 2 x ? x?2

05试卷考题

0 型 0

解:

lim
x ?1

3 ? x ? 1? x 2 x ? x?2

? lim
x ?1

( 3 ? x ? 1 ? x )( 3 ? x ? 1 ? x ) ( x ? x ? 2)( 3 ? x ? 1 ? x )
2

2 ? 2x 1 ? lim ?? 2 2 x ?1 ( x ? 1)( x ? 2) 3 2 1

不 能 用 商 的 极 限 运 算 法 则

例. 求: 解:

? 1 1 ? lim ? 2 ? 2 ? x ?0 x sin x ? ?

06试卷考题

???型

? 1 ? sin 2 x ? x 2 ? 1 ? lim ? 2 ? 2 ? ? lim ? 2 2 ? x ?0 x sin x ? x ?0 ? x sin x ? ?

? sin2 x ? x 2 ? ? 2sin x cos x ? 2 x ? ? lim ? ? lim ? ? ? 4 3 x ?0 x ? 0 x 4x ? ? ? ?

? sin 2 x ? 2 x ? ? 2cos 2 x ? 2 ? ? lim ? ? lim ? ? ? 3 2 x ?0 x ? 0 4x ? ? ? 12 x ? 1 ? ?4sin 2 x ? ? lim ? ?? ? x ?0 3 ? 24 x ?

不 能 用 差 的 极 限 运 算 法 则

tan x ? sin x 例. 求: lim 3 x ?0 sin x

09试卷考题

0 型 0

tan x ? sin x tan x ? sin x ? lim 解: lim 3 3 x ?0 x ? 0 sin x x 1 ? cos x 2 2 sec x ? cos x cos x ? lim ? lim 2 2 x ?0 x ? 0 3x 3x

1 ? cos3 x 3cos 2 x sin x ? lim ? lim 2 x ?0 x ?0 3x 6x 1 ? 2

不 能 用 商 的 极 限 运 算 法 则

tan x ? sin x 例. 求: lim 3 x ?0 sin x

09试卷考题

0 型 0

tan x ? sin x tan x ? sin x ? lim 解: lim 3 3 x ?0 x ? 0 sin x x 1 ? cos x 2 2 sec x ? cos x cos x ? lim ? lim 2 2 x ?0 x ? 0 3x 3x

1 ? cos3 x 3cos 2 x sin x ? lim ? lim 2 x ?0 x ?0 3x 6x 1 ? 2

不 能 用 差 的 极 限 运 算 法 则

二、函数的连续性 连续性定义

判别间断点类型

函数在 x ? x0 点连续:
1. 2.

x0 ) 有定义 函数 f ( x 在
x ? x0

lim f ( x )

存在

3.

x ? x0

lim f ( x) ? f ( x0 )
x ? x0

x ? x0

lim ? f ( x ) ? lim ? f ( x ) ? f ( x0 )

函数在 x ? x0 点不连续: 间断
? ? ?
或: 或: 或: 函数在

x0

无定义 不存在。

x ? x0
x ? x0

lim f ( x )

lim f ( x) ? f ( x0 )

分段函数:
? f1 ( x ) ? f ( x) ? ? b ? f ( x) ? 2 x ? x0 x ? x0 x ? x0

分段点: x ? x0 连续: lim f ( x ) ? lim f1 ( x ) ?
x ? x0 ? 0 x ? x0 ? 0 x ? x0 ? 0

lim f ( x ) ? lim f 2 ( x ) ? f ( x0 )
x ? x0 ? 0

例.

? a ? arccos x ? ? 函数: f ( x ) ? ? b ? 2 x ?1 ? ?

?1? x ? 1 x ? ?1 ? ? ? x ? ?1

问 a、b 为何值时,函数在 x ? ?1 处连续? 解:

?

x ??1? 0
x ??1? 0

lim f ( x) ? lim
x ??1? 0

x??1? 0

x ?1 ? 0
2

lim f ( x ) ? lim (a ? arccos x ) ? a ? ? ? 0

f (?1) ? b ? lim f ( x ) ? 0
x ??1

也即:

a ? ??

, b?0

1.第一类间断点
如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都存在, 则称x0为f ( x)的 第一类间断点;当 f ( x0 ? 0) ? f ( x0 ? 0), 则称点 x0为f ( x) 的跳跃间断点 。当 f ( x0 ? 0)=f ( x0 ? 0), 则称点 x0为f ( x)的可去间断点 .

例 解

? ? x, 讨论函数 f ( x ) ? ? ?1 ? x ,
f (0 ? 0) ? 0,

x ? 0, 在x ? 0处的连续性. x ? 0,
y

f (0 ? 0) ? 1,

? f (0 ? 0) ? f (0 ? 0),

? x ? 0为函数的跳跃间断点 .

o

x

1 ? 1 ? f ( x ) ? ? 1 ? e x ?1 ? ? 1
1 lim ? ?? ? lim e ? ? x ?1 x ? 1 x ?1
1 x ?1

x ?1 x ?1
? ?? ? lim ?
x ?1

1 1? e
1 x ?1

?0

1 1 x ?1 lim ? ?? ? lim e ? 0 ? lim ? ? x ?1 x ? 1 x ?1 x ?1?

1 1? e
1 x ?1

?1

x ? 1 为函数的跳跃间断点

f ( x) ? e
lim e
x?0 x sin x

x sin x

?e

x ? 0 为函数的可去间断点

x ? k?

lim e

x sin x

? ??

x ? k? 为函数的无穷间断点



讨论函数 ? 2 x , 0 ? x ? 1, ? f ( x ) ? ? 1, x ?1 ? x ? 1, ?1 ? x , 在x ? 1处的连续性 .

y
2 1

y ? 1? x

y?2 x
1

o

x



? f (1) ? 1,
x ?1

f (1 ? 0) ? 2,

f (1 ? 0) ? 2,

. ? lim f ( x ) ? 2 ? f (1), ? x ? 0为函数的可去间断点

思考题:讨论函数 1 ? x2n f ( x) ? lim x的间断点及其类型。 2 n n ?? 1 ? x

三、导数
导数定义 高阶导数计算 隐函数求导数(对数求导法)

三、导数定义
f ( x0 ? x ) ? f ( x0 ) lim ? f ?( x0 ) x?0 x f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) lim ? f ?( x0 ) h? 0 h f ( x ) ? f ( x0 ) lim ? f ?( x 0 ) x ? x0 x ? x0

f (a ) ? 2 , f ?(a ) ? 3 ,

f (a ? 2h) ? f (a ? h) lim ?? h? 0 h
2 2

f 2 (a ? 2h) ? f 2 (a ? h) lim h? 0 h

[ f (a ? 2h) ? f (a ? h)][ f (a ? 2h) ? f (a ? h)] ? lim h? 0 h
[ f (a ? 2h) ? f (a ? h)] ? lim[ f (a ? 2h) ? f (a ? h)]lim h? 0 h? 0 h
[ f (a ? 2h) ? f (a ? h)] ? 2 f (a )lim 3 ? h? 0 3h
((a ? 2h) ? (a ? h)) ? 3h

? 2 f (a ) ? 3 f ?(a ) ? 36

f (2 ? 2 x ) ? f (2) lim x ?0 x f (2 ? 2 x ) ? f (2) lim x ?0 x f (2 ? 2 x ) ? f (2) ? ( ?2) lim x ?0 ?2 x
? ( ?2) f ?(2)

07卷考题

设 f ( x ) 是可导函数,且满足条件: lim x ?0

f (1) ? f (1 ? x ) ? ?1 , 2x

则曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 1 , f (1) ) 处的切线斜率为 (

)。

f (1) ? f (1 ? x ) f (1 ? x ) ? f (1) lim ? ? lim x ?0 x ?0 2x 2x
1 f (1 ? x ) ? f (1) 1 ? lim ? f ?(1) ? ?1 2 x ?0 ?x 2
k ? ?2

函数 f ( x ) 有连续二阶导数且

期中考题

f (0) ? 0 , f ?(0) ? 1 , f ??(0) ? ?2

f ( x) ? x lim ?? 2 x ?0 x f ( x) ? x f ?( x ) ? 1 lim ? lim 2 x ?0 x ?0 x 2x f ??( x ) ? lim ? ?1 x?0 2

y ? f (3

2 x2

)
) (3 ) (3
2 x2

期中考题

y? ? f ?(3 ? f ?(3

2 x2

)? ) ln 3(2 x )?
2

2 x2

2 x2

? 4 xf ?(3

2 x2

) (3

2 x2

)ln3

y?e

1 sin x
2

期中考题

1 y? ? e (sin )? x 21 sin 1 1 x ?e (2sin )(sin )? x x 21 sin 1 1 1 x ?e (2sin )(cos )( )? x x x 1 sin 2 1 1 1 ? e x (2sin )(cos )( ? 2 ) x x x
2

1 sin x

2

y y 设 是可导函数,且满足条件: y ? 1 ? xe

则曲线:y ? f ( x ) 在:x ? 1 时的切线斜率为?
期中考题
y y ? y ? ? xe ? xe y?

x?1

y ? 1? e ? y ? 0
y

x ? 1, y ? 0

1 y ? ? ?1 ? y ? ? y ? ? ? 2

求隐函数的导数
(对数求导法)

y ? y( x ) 由下列方程确定, 设函数:

2 y ? 2 y ? 2 xy ? x ? 1
3 2 2

(1,1)点是否函数的驻点,并 判定它是否极值点。

2 y ? 2 y ? 2 xy ? x ? 1
3 2 2

6 y y? ? 4 yy? ? 2 y ? 2 xy? ? 2 x ? 0
2

将: (1,1) 代入得:
2

y? ? 0

2 ?? ? (3 y ? 2 y ? x) y ? 2(3 y ? 1) y ? 2 y? ? 1 ? 0

解得: y?? (1,1)

1 ? ?0 2

( x ? 1) 3 x ? 1 例: 设 y ? , 求y? 2 x ( x ? 4) e
解: 方程两边取对数,得

1 ln y ? ln( x ? 1) ? ln( x ? 1) ? 2 ln( x ? 4) ? x 3

以上方程两边对x求导得
y? 1 1 2 ? ? ? ?1 y x ? 1 3( x ? 1) x ? 4

( x ? 1) 3 x ? 1 1 1 2 y? ? ( ? ? ? 1) 2 x ( x ? 4) e x ? 1 3( x ? 1) x ? 4

例: 设函数y ? f ( x )由方程 x y ?

y

x ( x ? 0, y ? 0)

d2y 所确定, 求 2 . dx
解: 两边取对数 1 ln y ? 1 ln x ,
x y

即y ln y ? x ln x ,
ln x ? 1 , 1 ? ln y

? (1 ? ln y ) y? ? ln x ? 1,

y? ?

1 1 (ln y ? 1) ? (ln x ? 1) ? y? x y y?? ? (1 ? ln y ) 2
y(ln y ? 1) 2 ? x(ln x ? 1) 2 ? xy(ln y ? 1) 3

微分的求法

dy ? f ?( x )dx

x f 2 ( x) , 例: y ? f (arcsin ) ? 2 2

求dy

x x f 2 ( x) 解: y? ? f ?(arcsin )(arcsin )? ? 2 ln 2[ f 2 ( x )]? 2 2

x y? ? f ?(arcsin ) 2

1 x 2 1? ( ) 2

x f 2 ( x) ( )? ? 2 f ( x )2 ln 2 f ?( x ) 2

x 2 1 f 2 ( x) y? ? f ?(arcsin ) ( ) ? 2 f ( x )2 ln 2 f ?( x ) 2 4 ? x2 2 x f 2 ( x) dy ? [ f ?(arcsin ) ? 2 f ( x )2 ln 2 f ?( x )]dx 2 2 4? x 1

y ? f (ln x)e 例:
解:

f ( x)

, 其中f 可微,求dy

dy ? d ( f (ln x )e f ( x ) ) ? f (ln x )d (e f ( x ) ) ? d [ f (ln x )]e f ( x ) ? f (ln x )e f ( x )d [ f ( x )] ? f ?(ln x )d (ln x )e f ( x ) 1 f ( x) ? f (ln x ) ? e f ?( x )dx ? f ?(ln x ) dx ? e f ( x ) x 1 f ( x) f ( x) ? [ f (ln x )e f ?( x ) ? f ?(ln x ) e ]dx x

四、单调区间和拐点的求法

单调区间的求法
思考题:求函数y ? 3 (2x-a)(a-x)2的单调区间.

答案:在(-?,2a 3], [a, ??)上单调增加; 在[2a 3 , a]上单调减少。

曲线凹凸的判定
y

y ? f ( x)
A

B

y

y ? f ( x)

B

A

o

a

b

x

o

a

f ?( x ) 递增

y?? ? 0

f ?( x ) 递减

b x y?? ? 0

定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
一阶和二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ??( x ) ? 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ??( x ) ? 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .

曲线的拐点及其求法:
1、定义

连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.

2、拐点的求法

定理 2 如果 f ( x )在( x0 ? ? , x0 ? ? ) 内存在二阶导 数,则点? x0 , f ( x0 ) ?是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) ? 0 .

, 方法1: 设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导 且f ??( x0 ) ? 0,

(1) x0两近旁f ??( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ??( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.

方法2: 设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导 ,且

f ??( x0 ) ? 0, 而 f ???( x0 ) ? 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y ? f ( x ) 的拐点.

例: 求曲线 y ? 3 x 4 ? 4 x 3 ? 1 的拐点及

凹、凸的区间 .
解:
? D : ( ??,?? )

2 ? ? y ? 36 x( x ? ). y? ? 12 x ? 12 x , 3 2 令y?? ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? . 3
3 2

x
f ??( x )
f ( x)

( ?? ,0)

0 0
拐点

?
凹的

( 0, 2 ) 3 ?
凸的

2

3 0

( 2 ,??) 3 ?
凹的

(0,1)

拐点 ( 2 , 11 ) 3 27

凹凸区间为( ??,0],

[0, 2 ], 3

[ 2 ,??). 3

例: 求曲线 y ? sin x ? cos x ([0,2?]内) 的拐点. 解:
y? ? cos x ? sin x , y??? ? ? cos x ? sin x . y?? ? ? sin x ? cos x ,

3? , 令 y?? ? 0, 得 x1 ? 4 3? f ???( ) ? 2 ? 0, 4

7? x2 ? . 4

7? f ???( ) ? ? 2 ? 0, 4

3? 7? ? 在[0,2?]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4

3? 7? ? 在[0,2?]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4

注意: 若 f ??( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能

是连续曲线 y ? f ( x ) 的拐点.

五、不等式证明(利用单调性)
设辅助函数: f ( x ) ?
f (a ) ? 0

求函数的导数: f ?( x ) ? 分析单调性: f ?( x ) 的符号?



x?a ? x?a ?

f ( x ) ? f (a ) f ( x ) ? f (a )



五、不等式证明
分析单调性: f ?( x ) 的符号?

增 减

x?a ? x?a ?

f ( x ) ? f (a ) f ( x ) ? f (a )

求高阶导数?求极值或最值?

例 证明: 当 x ? ?1 时, x ? ln(1 ? x ) ? x ln(1 ? x )
证明:设: F ( x ) ? x ? ln(1 ? x ) ? x ln(1 ? x ) ( x ? ?1)

F (0) ? 0

1 x F ?( x ) ? 1 ? ? ? ln(1 ? x ) 1? x 1? x
? ? ln(1 ? x )
当 x?0时 :

F ?( x ) ? 0 F ( x ) ? F (0) ? 0

说明函数单调减少,自变量越大函数值越小

例 证明: 当 x ? ?1 时, x ? ln(1 ? x ) ? x ln(1 ? x )
证明:设: F ( x ) ? x ? ln(1 ? x ) ? x ln(1 ? x ) ( x ? ?1)

F (0) ? 0

1 x F ?( x ) ? 1 ? ? ? ln(1 ? x ) 1? x 1? x
? ? ln(1 ? x )
当 ?1 ? x ? 0 时 :

F ?( x ) ? 0

说明函数单调增加,自变量越大函数值越大

F ( x ) ? F (0) ? 0

例 证明: 当 x ? ?1 时, x ? ln(1 ? x ) ? x ln(1 ? x )
证明:设: F ( x ) ? x ? ln(1 ? x ) ? x ln(1 ? x ) ( x ? ?1)

F (0) ? 0

1 x F ?( x ) ? 1 ? ? ? ln(1 ? x ) 1? x 1? x
? ? ln(1 ? x )


1 F ??( x ) ? ? ?0 1? x

说明 F (0) ? 0 是函数的最大值, F ( x ) ? F (0) ? 0

例 证明:
证:

b 2(b ? a ) ln ? , b?a?0 a b?a

原不等式变形为:

b 2( ? 1) b ln ? a , b a ?1 a
得同型函数形式:

2(b ? a ) b a ln ? , b?a a a

2( x ? 1) ln x ? , x ?1

x?1

例 证明:

b 2(b ? a ) ln ? , b?a?0 a b?a x?1

证:

2( x ? 1) ln x ? , x ?1

2( x ? 1) , x?1 设函数: f ( x ) ? ln x ? x ?1 1 4 ( x ? 1)2 f ?( x ) ? ? ? ?0 2 2 x ( x ? 1) x( x ? 1)
所以函数单调增加,自变量越大函数值越大

x?1 ,

f ( x ) ? f (1)

例 证明:

b 2(b ? a ) ln ? , b?a?0 a b?a x?1

证:

2( x ? 1) ln x ? , x ?1

所以函数单调增加,自变量越大函数值越大

x?1 ,

f ( x ) ? f (1)

2( x ? 1) f ( x ) ? ln x ? ? f (1) ? 0 x ?1

例 证明: x ? 0
(1 ? x)2[2ln(1 ? x) ? 1] ? 1 ? 4 x arctan x ? 2ln(1 ? x 2 )
F ( x) ? (1 ? x)2[2ln(1 ? x) ? 1] ? 1 ? 4 x arctan x ? 2ln(1 ? x 2 )
F (0) ? 0 , F ?( x ) ? 4(1 ? x )ln(1 ? x) ? 4arctan x

4 x2 F ?(0) ? 0 , F ??( x ) ? ? 4ln(1 ? x ) ? 0 2 1? x
F ?( x ) ? F ?(0) ? 0 ? F ( x ) ? F (0) ? 0

练习

x 证明: 1 ? ? (1 ? x ) 2
3 2

1 2

, x?0

练习

证明: 2 x ? 3 x ? 1 , x ? 1

六、求积分 不定积分求原函数 换元积分、分部积分法 求平面图形的面积

不定积分求原函数
( ? f ( x )dx )? ? f ( x )

? ?

f ?( x )dx ? f ( x ) ? C f ( x )dx ? F ( x ) ? C

F ?( x ) ? f ( x )

若: ?

f ( x )dx ? F ( x ) ? C

?x ?x e f ( e )dx ? ( ,则: ?


F (e ? x ) ?C x

A.?F (e? x ) ? C

B. F (e? x ) ? C

C.F (e x ) ? C

D.

若: ? f ( x)dx ? ?e A. ? e
x ? 2

?

x 2

?c

,则: f ?( x ) ? ( ) D.
x 1 ?2 ? e 4

x 1 ?2 B. 2 e

x 1 ?2 C. 4 e

? xf ( x )dx ? ln x ? C

,

?

1 3 1 x ?C dx? f ( x) 3

1 [ ? xf ( x )dx ]? ? [ln x ? C ]? ? xf ( x ) ? x

f ( x) ? e ,则:? 设:

?x

f ?(ln x ) dx ? x

1 ?C x



?

f ?(ln x ) 1 ? ln x ? dx ? ? f (ln x ) d (ln x ) ? f (ln x ) ? C , e ? x x

cos x 是 f ( x ) 的一个原函数,则 已知 x cos x ? f ( x) ? x d x ? ? cos x cos x f ( x )d x ? ?C , ( )? ? f ( x ) x x

?

cos x cos x 1 cos x 2 ? x ?d x ? 2 ( x ) ? C

换元积分、分部积分法

换元积分
第一换元法:凑微分 第二换元法:作变量代换

分部积分公式

? ? u v dx ? uv ? u v dx , ? ?

udv ? uv ? v du . ? ?

x sin mx e nx sin mx x e
n mx

n

x cos mx e nx cos mx x (ln x) x n arccos mx x n arctan mx等.
n

n

x n arcsin mx

? x(sin x ? e )dx ? ? x sin xdx ? ? xe
x2

x2

dx

1 x2 2 ? ? x sin xdx ? ? e d ( x ) 2 1 x2 ? ? x cos x ? ? cos xdx ? e 2 1 x2 ? ? x cos x ? sin x ? e ? C 2

?

1 0

e

2 x ?1

dx
2x ? 1 ? t
--------------①

令:

1 2 x ? ( t ? 1) , dx ? tdt 2



x ? 0 , t ? 1, x ? 1, t ? 3

-------3 1



?

1 0

e

2 x ?1

dx ? ?

te dt

t

?

1 0

e

2 x ?1

dx
1 0

?
? te
t

e

2 x ?1

dx ? ?
t

3 1

te dt

t

3 1

??

3 1

e d t ? e ( 3 ? 1)
3

奇偶函数在对称区间上的积分
? 0 ? f ( x )d x ? ? a 2? f ( x )d x ? ? 0 f ( x ) ? f (? x ) f ( x ) ? f (? x )

?

a ?a

?

1

?1

[e ?e
x
1

?x

? ln( x ? x ? 1)]d x
2

1 ? 2? (e ? e )d x ? 2(e ? ? 2) 0 e
x ?x

?
??

? ?
2

?
? ?

( x ? sin x )cos xd x
3 2 2
? ?
2 ?

2

2

?

2

x 3 cos2 xd x ? ?
?

sin2 x cos2 xd x

2

1 2 2 2 ? 0 ? ? ? 4sin x cos xd x 4 ?2
1 2 1 ? cos 4 x 1 2 2 dx ? ? sin 2 xd x ? ?0 2 2 2 0
?

?

1 2 1 ? cos 4 x ? ? dx 2 0 2 1 21 1 2 cos 4 x ? ? dx? ? dx 2 0 2 2 0 2 11 2 ? ? cos 4 xd (4 x ) ? 8 44 0
? 1 ? ? ? sin 4 x 02 ? 8 16 8

?

?

?

?

?

?

? ?(
?

?

1 ? cos 2 x ? | x | sin x ) dx
?
??

? ? ( 1 ? cos 2 x ) dx ? ? (| x | sin x ) dx
??

?

? 2? ( 2cos x ) dx ? 0
2 0

?

? 2 2?
?4 2

? /2

0

(cos x ) dx ? 2 2 ?

?

? /2

(cos x) dx

?

1 ?1
0

( x ? x ) e dx
?x 1 ?x 0

?x

? ? (? x ? x ) e dx ? ? ( x ? x ) e dx
?1

? 2? x e dx
?x 0

1

? 2[? xe

?x 1

? e dx ] ? 2 ? 4 e ? 0
?x 0

1

?1

?
?

2 ?1
1

( 1 ? x ? 1 ? x ) e dx
x
x

? ? ((1 ? x ) ? (1 ? x ))e dx ?
?1 2 1

((1 ? x ) ? ( x ? 1))e dx
x
x 2 x 1

? ? 2 xe dx ? ? 2e dx
?1

1

4 2 ? ? 2e ? 2e e

无穷限的广义积分

?

?? a
b ??

f ( x )dx ? lim ? f ( x )dx ? lim G(b)
b??? a b???

b

?

f ( x )dx ? lim ? f ( x )dx ? lim G(a )
a ??? a a ???

b

无穷限的广义积分

?

?? ??

f ( x )dx ? ?
收敛

a ??

f ( x )dx ? ?

?? a

f ( x )dx

收敛

?

收敛

例.
A.

下列广义积分中,收敛的是:

?

?? e

1 dx x ln x

B.

?

?? e

ln x dx x

C.

?

?? e

1 dx 2 x(ln x )

D.

?

?? e

1 x ln x

dx

解:

u ? ln x

A.

C.

1 ?1 u d u ?? 1 ? 1 u2 d u
??

B.
D.

?
?

?? 1
?? 1

ud u
1 u du

例.
解:

c x?c x 2t ( ) ? ? te dt (c ? 0) 已知: xlim ?? ??? x ? c

求: c

x?c x 2c lim ( ) ? lim (1 ? ) x ??? x ? c x ??? x?c
1 2t ??? te dt ? 2 te
c 2t c

x ? c 2 cx ? 2c x ? c

?e

2c

1 2t ? e 4 ??

c

??

1 ? (2c ? 1)e 2c 4

5 c? 2

旋转体的体积



x

轴转
截面面积:

S ? ? f ( x)
2

y
y ? f ( x)

体积微元: ?v
s
x x ? ?x

? ? f ( x)?x
2
n 2

0

a

x
b

体积: V

??

? lim ? ? f ( x) ? ?xi
? ?0
i ?1

把小片看成圆柱,体积公式:底面积 x 高



x

轴转

截面面积函数:
体积微元: 立体体积为:

y ? S ( x) ? ? y ? ? f ( x)
2 2

dV ? ? f ( x)dx
2

Vx ? ? dV
a

b

Vx ? ? ? f ( x ) dx
2 a

b



y

轴转

截面面积函数: 体积微元:
立体体积为:

x ? S ( y) ? ? x ? ? g ( y)
2 2
2

dV ? ? f ( y)dy

Vy ? ? dV
c

d

Vy ? ? ? g ( y ) dy
2 c

d



? x , x ? 2 , y ? 0 所围成的图形, 分别绕 x 轴和 y 轴旋转,计算所得
由: y
3

两个旋转体的体积。

y

x?2

1 7 128 Vx ? ? ( x ) dx ? ? x ? ? 0 7 7 0

?

2

2

3 2

? A ( 2,8)

Vy ? ? (2) ? ? ? ( y ) dy
2
1 3

8

2

3? 5 3 8 64 ? 32? ? y ? ? 0 5 5

0

?0
y ? x3

2

x



求由: x ?

y ?1 , x ? y ? 3 及两坐标轴所围图形绕 y 轴旋转一周
所得立体的体积。
y
x ? y ?1

(1, 2)
0

x ? 3? y

x

V ? ? ? (3 ? y ) dy ? ? ? (
2 0 1

2

2

y ? 1 ) dy
2



求由: x ?

y ?1 , x ? y ? 3 及两坐标轴所围图形绕 y 轴旋转一周
所得立体的体积。

V ? ? ? (3 ? y ) dy ? ? ? (
2 0

2

2

? [?

?

(3 ? y ) ] ? [ ( y ? 1) ] 3 2
3 2 0

?

1

y ? 1 ) dy
2
2 2 1

49 ? ? 6



求由: y ? e ? 1 , y ? e
x

3

及 y 坐标轴所围图形绕
所得立体的体积。

x 轴旋转一周

V1 ? ? (e ) (ln(e ? 1))
3 2 3

V2 ? ? ?

ln( e 3 ?1)

0

(e ? 1) dx
x 2

6 e V ? ? e 6 ln(e 3 ? 1) ? [? ( ? e 3 ? ln(e 3 ? 1) ? 4)] 2



设D是位于曲线

y ? xa

?

x 2a

(a ? 1, 0 ? x ? ??)
V (a )

下方、x 轴上方的无界区域. (1) 求区域D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 ( 2 ) 当a 为何值时, V (a ) 最小? 并求此最小值.
V (a ) ? ? ?
?? 0 x ?? ? a xa dx ? ? ? ? xda a ln a 0 ? x a

? a ?? ? ? xa ln a ?

x ? a

? a ? a ? ? ? a dx ? ? ? ? ? ? 0 ln a ln a ? ? ?0
?? ? x a

??

2



设D是位于曲线

y ? xa

?

x 2a

(a ? 1, 0 ? x ? ??)
V (a )

下方、x 轴上方的无界区域. (1) 求区域D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 ( 2 ) 当a 为何值时, V (a ) 最小? 并求此最小值.
a(ln a ? 1) V ?(a ) ? 2? ln 3 a
1? a ? e

V ?(a ) ? 0 ? ln a ? 1, a ? e

V ?(a ) ? 0, V (a )
V ?(a ) ? 0, V (a )

a?e

单调减少, 单调增加,



设D是位于曲线

y ? xa

?

x 2a

(a ? 1, 0 ? x ? ??)
V (a )

下方、x 轴上方的无界区域. (1) 求区域D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 ( 2 ) 当a 为何值时, V (a ) 最小? 并求此最小值.

a?e

Vmin

? e ? 2 ? V (e ) ? ? ? ? ? e ? ? ln e ?

2



设 D1 是由抛物线:y ? 2 x 和直线:x ? a , x ? 2 及 y ? 0 所围成的平面区域,
2 2 D y ? 2 x 设 2 是由抛物线: 和直线:x

? a, y ? 0

所围成的平面区域,其中: 0 ? a ? 2 (1) 求区域 D1 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V1 区域 D2 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V2 ( 2 ) 当a 为何值时, V ? V1 ? V2 最大? 并求此最大值.
4? V1 ? ? ? (2 x ) dx ? (32 ? a 5 ) a 5 2a2 2a2 y V2 ? ? ? a 2dy ? ? ? dy ? ? a 4 a a 2
2 2 2

y
2a 2
0

?
a

x?2

x

V ? V1 ? V2 4? 5 4 ? (32 ? a ) ? ? a 5

Va? ? 4? a 3 (1 ? a) ? 0 ? a ? 1
V ?? ? 4? a 2 (3 ? 4a) , V ??(1) ? 4? (3 ? 4)? 0
Vmax 129? ? 5

八、微分方程 一阶非齐次线性微分方程求解
二阶常系数齐次线性微分方程求解

一阶线性微分方程的标准形式:

dy ? P ( x ) y ? Q( x ) dx
当Q( x ) ? 0, 上方程称为齐次的.

当Q( x ) ? 0, 上方程称为非齐次的.
P ( x ) dx ? ? P ( x ) dx ? y ? [ ? Q( x ) e dx ? C ]e

? ? Ce

? P ( x ) dx

? ?e

? P ( x ) dx

对应齐次 方程通解

非齐次方程特解

P ( x ) dx ? ? ? Q( x )e dx

2 ? ① 求微分方程: y ? y tan x ? cos x

满足:y x ? ?

4

1 ? 的特解。 2
2

P ( x) ? tan x , Q( x) ? cos x
? e
? p ( x ) dx

? ?e

? tan xdx

?e

? ( ? ln cos x )

? cos x

p ( x ) dx 2 ? Q ( x ) e ? C ? cos x ? ?

1 dx ? C ? sin x ? C cos x

y ? cos x(sin x ? C )

y ? sin x cos x

C?0

y( t ) 3 dt ? x ② 求解微分方程: y ? ? 1 t 1 y 2 2 ? ? y ? ? 3x , y ? y ? 3x x x
x

? e

? p ( x ) dx

?e

1 ? ? dx x

?

?x

2 1 p ( x ) dx 3 2 ? ? C ? ? 3x dx ? C ? x ? C ? Q( x)e x 2

3 2 y ? x( x ? C ) 2

1 C?? 2

③ 求解微分方程:( y ? 6 x ) y? ? 2 y ? 0
2

3 y dx 3 y , p( y ) ? ? , q ( y ) ? ? ? x?? y 2 dy y 2

? e

? p ( y ) dy

?e

3 ? ? dx y

?

?y

3

p ( y ) dy y ? ? ?C ? ?? e ? q( y)e 2

3 ? dy y

1 dy ? C ? ?C 2y

1 2 x ? y ? Cy 3 , y 2 ? 2 x ? 2Cy 3 2





f ( x)

连续可导,且满足:
3x 0

f ( x) ? ?

t f ( )dt ? e 2 x , 求: f ( x ) 3

t u ? , t ? 3u , dt ? 3du , t ? 0 ? u ? 0 , t ? 3 x ? u ? x 3
x t ( ? f ( )dt )? ? ( 3 ? f ( u)du )? ? 3 f ( x ) 0 0 3 2x 2x ? ? f ( x) ? 3 f ( x) ? 2e , y ? 3 y ? 2e 3x

y ? e 3 x (?2e ? x ? C ) , f (0) ? 1 ? C ? 3
f ( x) ? e 3 x (?2e ? x ? 3)

⑤ 已知:y ? e? x 是微分方程:xy? ? p( x ) y ? x

的一个解,求此方程满足: y x ?ln 2 ? 1 的特解。 将 y?e
y?e ?
2
?x

代入方程得: p( x) ? x(e ? 1)
x

? ( e x ?1) dx

(? e ?

( e x ?1) dx

dx ? C ) ? Ce

? (e x ? x )

?e

?x

C ?e , y?e

? ( e x ? x ? 2)

? e? x

二阶常系数齐次线性方程解法
y?? ? py? ? qy ? 0

-----特征方程法
特征方程

r 2 ? pr ? q ? 0
? p?

特征根 r1, 2 ?

p 2 ? 4q , 2

① 有两个不相等的实根 ( ?

? 0)

特征根为 r1 ?

? p?

p 2 ? 4q ? p ? p 2 ? 4q , r2 ? , 2 2

两个线性无关的特解

y1 ? e ,
r1 x

y2 ? e ,
r2 x
r1 x

得齐次方程的通解为 y ? C1e

? C2e ;
r2 x

② 有两个相等的实根 ( ?

? 0)

特征根为:

p r1 ? r2 ? ? , 2
r1 x

得齐次方程的通解为 y ? (C1 ? C 2 x )e

;

③ 有一对共轭复根

( ? ? 0)
r2 ? ? ? ? i ,

特征根为

r1 ? ? ? ? i,

得齐次方程的通解为

y ? e (C1 cos ? x ? C 2 sin ? x ).

?x

特征方程 r 2 ? pr ? q ? 0的根 微分方程 y?? ? py? ? qy ? 0的通解 有二个不相等的实根 r1 , r2 y ? C1e r1 x ? C2 e r2 x 有二重根 r1 ? r2 y ? (C1 ? C2 x)e r1 x r1 ? ? ? i? 有一对共轭复根 y ? e?x (C1 cos ?x ? C2 sin ?x) r2 ? ? ? i?

① 例: 求方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 的通解.
解: 特征方程为 解得:

r 2 ? 4r ? 4 ? 0 ,

r1 ? r2 ? ?2 ,

?2 x 故所求通解为 y ? (C1 ? C2 x )e .

② 例: 求方程 y?? ? 2 y? ? 5 y ? 0 的通解.
解: 特征方程为: r 2 ? 2r ? 5 ? 0 , 解得: r1, 2 ? ?1 ? 2 i , 故所求通解为:

y ? e ? x (C1 cos 2 x ? C2 sin 2 x ).

五、不等式证明
设辅助函数: f ( x ) ?
f (a ) ? 0

求函数的导数: f ?( x ) ? 分析单调性: f ?( x ) 的符号?



x?a ? x?a ?

f ( x ) ? f (a ) f ( x ) ? f (a )



五、不等式证明
分析单调性: f ?( x ) 的符号?

增 减

x?a ? x?a ?

f ( x ) ? f (a ) f ( x ) ? f (a )

求高阶导数?求极值或最值?

五、不等式证明 利用单调性证明不等式

利用定积分证明不等式

例1

设 f ( x ) 在 [0,1] 上可导,且: f (0) ? 0 , 0 ? f ?( x ) ? 1 证:

2? f ( t )dt
0

x

f ( x)
x 0

2

?1

(0 ? x ? 1)
2

证:设

F ( x ) ? 2? f (t )dt ? f ( x )
0 ? f ?( x ) ? 1 , ? f ( x ) 单调增加

F ?( x ) ? 2 f ( x ) ? 2 f ?( x) f ( x) ? 2 f ( x)(1 ? f ?( x))
? ? x ? 0 ? f ( x ) ? f (0) ? 0 x ? 0 ? F ( x ) ? F (0) ? 0

从而: F ?( x ) ? 0 ? F ( x ) 单调增加

例2

证:

?

?
2 0

sin(sin x )dx ? ? 2 cos(sin x )dx
0

?

证:当 x ? [0, ] 时, sin x ? x

?

2



sin x 为连续单调增加的函数,

? sin(sin x ) ? sin x
于是: 而

? ?

?
2 0

sin(sin x )dx ? ? 2 sin xdx ? 1
0

?

cos x 为连续单调减少的函数,
?
2 0

cos(sin x )dx ? ? 2 cos xdx ? 1
0

?

?

?

?
2 0

sin(sin x )dx ? ? 2 cos(sin x )dx
0

?

x 证: ? ln(1 ? x )dx ? ? dx 0 0 1? x x x t 证:设 f ( x ) ? ? ln(1 ? t )dt ? ? dt 0 0 1? t x f ?( x ) ? ln(1 ? x ) ? 1? x 1 1 f ??( x ) ? ? ?0 2 1 ? x (1 ? x )
例3
1 1

( x ? 0)

所以:f ?( x ) 单调增加

?

x ? 0 ? f ?( x ) ? f ?(0) ? 0 从而: f ( x ) 单调增加 ? x ? 0 ? f ( x ) ? f (0) ? 0

例4

设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续且单调增加,试证:

a?b ? a xf ( x )dx ? 2
b
x a x

?

b a

f ( x )dx
x a

证:设 F ( x ) ? 2? tf (t )dt ? (a ? x )? f (t )dt ,

F (a ) ? 0

F ?( x ) ? 2 xf ( x ) ? ? f (t )dt ? (a ? x ) f ( x ) ? ( x ? a ) f ( x ) ? ? f (t )dt ? ? [ f ( x ) ? f (t )]dt
a x a a x

因为: f ( x ) 单调增加 从而: F ?( x ) ? 0 ,

? t ? x ? f (t ) ? f ( x )

F ( x ) 单调增加

? b ? a ? F (b ) ? F (a ) ? 0

练习题:

1.

?

?? 0

1 dx ? ? x ?x e ?e

2. y ? f ( x ? y ) , y? ? ?

d 0 2 3 3. x cos t dt ? ? 2 ? dx x
4. f (0) ? 2 , f (? ) ? 1 , f ??( x ) 连续,求:

?

?
0

[ f ( x ) ? f ??( x )]sin xdx ? ?

练习题:

5. f (1 ? x ) ? af ( x ) , f ?(0) ? b , a, b 是常数, f ?(1) ? ?

x ? arcsin x 6. lim ?? 2 x ?0 sin x ln(1 ? x )

7. f (b) ? 0 , f ?( x) ? M , f ?( x) 连续,证:

?

b a

( b ? a )2 f ( x )dx ? M

祝 考 试 顺 利 !
再 见 !



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