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创新课堂2013高考总复习数学 第6节 几何概型

创新课堂2013高考总复习数学 第6节 几何概型


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第十单元

第十单元 计数原理、概率、随机变量及 其分布

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第十单元

第六节

几何概型

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第十单元

知识汇合

1. 几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型,简称 几何概型 . 2. 几何概型的特点 (1)无限性:即在一次试验中,基本事件的个数可以是 无限的 . (2)等可能性:即每个基本事件发生的可能性是 均等的 . 3. 几何概型的计算公式 设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω,事件A所对应的区
A的度量 域用A表示(A?Ω),则 P(A)= . Ω的度量

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4. 几何概型与古典概型的区别与联系 (1)共同点: 基本事件都是等可能的 . (2)不同点:基本事件的个数一个是无限的,一个是有限的.基本事件可以抽 象为点,对于几何概型,这些点尽管是无限的,但它们所占据的区域却是有 限的,根据等可能性,这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比,而与 该区域的位置和形状无关.

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典例分析
考点一 【例1】 解 与长度有关的几何概型 在半径为1的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径 的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________. 记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”, 如图,不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上

任取一点F作垂直于直径的弦,当弦为CD时,就是等
边三角形的边长,弦长大于CD的充要条件是圆心O到 弦的距离小于OF(此时F为OE中点),由几何概型

1 ×2 2 1 公式得: P(A)= = . 2 2

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若本例中条件改为“圆周上任取两点连成一条弦”,则结果如何?
解析:记事件 A 为“弦长超过该圆内接正三角形的边长”,固定其中一点于圆周上, 以此点为顶点作一等边三角形,显然只有落入此三角形内的弦才满足条件,这种弦 1 1 的另一点经过的弧长为整个圆周的 ,所以由几何概型求概率的公式得 P(A)= . 3 3

点拨 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一 点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内 的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.

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考点二 与定积分有关的几何概型 【例2】 某同学在自己房间的墙壁上挂了一块边长为3的 正方形木板,上面画有振幅为1的正弦曲线半个周期的图 案用于练习投镖,如图所示.假设每次投镖都能击中木板 并且击中木板上每个点的可能性相同,则他击中图中阴影 部分的的概率为( )

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A.

2 3π

B.

2 π

C.

1 π

D.

1 2π

解 建立如下图所示的坐标系. 设正弦曲线的函数解析式为y=sin ωx(ω>0), 2π π π 则由 =6,得ω= ,∴y=sin x, ω 3 3 ∴图中阴影部分的面积为 π 3 π 3 6 S=?3sin xdx=- cos x?0=π , π 3 ? ? 3
0

故所求概率为P= 2=

6 π

2

,故选A.

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点拨 这类题属于与面积有关的几何概型,解答的关键是用定积分求出相关图形的 面积. 考点三 与线性规划有关的几何概型

【例3】 已知关于x的一次函数y=mx+n.

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(1)设集合P={-2,-1,1,2,3}和Q={-2,3},分别从集合P和Q中随机取一个 数作为m和n,求函数y=mx+n是增函数的概率;

?m+n-1≤0, ? (2)实数m,n满足条件?-1≤m≤1,求函数y=mx+n的图象经过一、二、三 ?-1≤n≤1, 象限的概率. ?
解 3 (1)函数的单调性只与 m 有关,因此概率为 . 5

?m+n-1≤0, ? (2)m,n 满足条件?-1≤m≤1, ?-1≤n≤1 ?

的区域如图所示:

使函数图象过一、二、三象限的(m,n)为区域内第一象限的阴影部分. 1 2 1 ∴所求事件的概率为 P= = . 7 7

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点拨 对于几何概型问题,根据题意列出条件.找出试验的全部结果构成的区域及 所求事件构成的区域是解题的关键,这时常常与线性规划问题联系在一起. 提醒:对于与线性规划有关的几何概型,首先要正确列出约束条件,然后准 确作出可行域.

高考体验
从近两年的高考试题特别是2010年高考来看,各地对几何概型考查较少,属中 档题,主要考查基础知识. 预测2013年高考,各地将加大对几何概型的考查力度,应重点关注几何概型与 线性规划、定积分相结合的题目.

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练习巩固
1. 下列命题正确的个数是( ) ①几何概型中每个事件发生的概率只与构成该事件的区域长度(面积、体积或 角度)成比例,而与事件所在区域的位置无关; ②古典概型和几何概型都可以求可能结果的总数为有限的或无限的事件的概 率; ③用随机模拟法求得事件的概率是精确的. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析:①正确;②中,古典概型要求基本事件的个数为有限个;③中,用随 机模拟法求得的事件概率为近似值. 答案:B

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2. 在线段[0,3]上任意取一点,则此点坐标不大于2的概率是(
A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 7 9

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)

解析:依题意,此点坐标不大于 2 的区间为[0,2],区间长度为 2, 2 而区间[0,3]的长度为 3,所以此点坐标不大于 2 的概率是 . 3 答案:C
3. 如图,在直角坐标系内,射线OA恰为60°角的终边,任作一条射线OP, 则射线OP落在∠xOA内的概率是( )

1 A. 3

1 B. 4

1 C. 5

1 D. 6

解析:∵∠xOA=60° , 60° 1 ∴P= = .答案:D 360° 6

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4. 某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率 为( ) 2 1 2 1 A. B. C. D. π π 3 3
解析:投中正方形区域的概率为正方形面积与圆的面积之比. 2 设正方形的边长为 1,则其面积为 1,圆的半径为 , 2 1 2 ? 2? π 面积为 π ? ?2= ,故投中正方形区域的概率为 = . π π ?2? 2 2 答案:A

5. 有一杯2升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从水中取0.1升水,则小杯 水中含有这个细菌的概率为( ) A. 0.01 B. 0.02 C. 0.05 D. 0.1 解析:因为取水是随机的,而细菌在 2 升水中的任何位置是等可能的, 0.1 则小杯水中含有这个细菌的概率为 P= =0.05. 2 答案:C

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6.某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车平均每小时一班, 求此人等车时间不多于10分钟的概率.

解析:设事件 A 为“等待的时间不多于 10 分钟”,我们所关心的事件 A 恰好 是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概率公式可得: 60-50 1 1 P(A)= = ,即此人等车时间不多于 10 分钟的概率为 . 60 6 6

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7.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一 个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

2 3 1 3 1 解析:叶形图的面积为 S= ?1( x-x2)dx=?3x2-3x ??10=3 ,

?0

?

??

1 3 1 故所求概率为 P= = . 1 3 答案:B

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8.(2010· 山东潍坊模拟)将长度为1米的铁丝随机剪成三段,则这三段能拼成 三角形(三段的端点相接)的概率等于( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 4 3 2
解析:本题考查几何概型求解,本题是一道易错题,关键是正确确定事件空间及所 求事件对应的平面区域.据题意,设三角形三边长分别为x,y,1-x-y,则必有

?0<x<1, ? ?0<y<1, 即基本事件空间可用如图三角形ABO的面积来表示.若构成三角 ?0<x+y<1, 1 ? 0<y< ,
形,则由三角形三边关系可得

? 2 ? 1 ?0<x<2, 1 ?2<x+y<1. ?

如图可用三角形CDE的面积来表示,

故构成三角形的概率是两三角形面积之比,由图可知比值为 . 4 答案:B

1

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9. (2010· 湖南)在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为________.
解析:如图,这是一个长度型的几何概型题,所求概率 P= |CD| 1 = . |AB| 3

1 答案: 3

10. (2009· 山东)在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos 则 1 之间的概率为( 2 1 A. 3 ) B. 2 π C. 1 2 D. 2 3

πx 的值介于 0 到 2

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πx πx 的值位于[0,1]区间,若使 cos 的值位 2 2 ? ? 1? 2 ? ?2 ? 于?0,2?区间,取到的实数 x 应在区间?-1,-3?∪?3,1?内,根据几何概型计算公式可知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2× 3 1 P= = ,故选 A. 2 3 答案:A 解析:在区间[-1,1]上随机取一个实数 x,cos

11. (2009·辽宁)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方 形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为( )
π 4 π B. 1- 4 π 8 π D. 1- 8

A.

C.

解析:如图,长方形 ABCD 的面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆, π 此圆在矩形内部的部分(半圆)的面积为 , 2 π 2- 2 π 故取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 =1- ,故选 B. 2 4 答案:B



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