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自主招生数学辅导习题三

自主招生数学辅导习题三


习题三
一、 选择填空题
1.已知 O 为 ?ABC 内一点,若对任意 k ? R ,有 | OA ? OB ? k BC |?| AC |, 则 ?ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

2.已知 f (1, 1) ? 1, f (m, n) ? N *(m, n ? N *) ,且对任意 m, n ? N * 都有 ① f (m, n ? 1) ? f (m, n) ? 2 ;② f (m ? 1, 1) ? 2 f (m, 1) ,则 f (2010, 2008) 的值为( A. 2
2009



? 2007
2

B. 2

2009

? 4014

C. 2

2010

? 2007

D. 2

2010

? 4014

3.已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ,集合 M ? {( x, y) | f ( x) ? f ( y) ? 0} ,集合

N ? {( x, y) | f ( x) ? f ( y) ? 0} ,则在平面直角坐标系内集合 M ?N 所表示的区域的面积
是 A. ( ) B.

? 4

? 2

C. ?

D. 2?

4.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形, 这样的两 m 个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数 ,那么积 m ? n 等于( ) n A.3 B.4 C.6 D.12 5.设函数 f ( x) 满足下列条件: ① f ( x) 是定义在 R 上的奇函数; ②对任意的 x1 , x2 ? [1, a] (其中常数 a ? 1 ) ,当 x 2 ? x1 时,有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0. 则下列不等式不一定成立的是 A. f (a) ? f (0) C. f ( ( )

1 ? 3a ) ? f (?3) 1? a

1? a ) ? f ( a) B. f ( 2 1 ? 3a ) ? f (?a) D. f ( 1? a

6.圆周上有 10 个等分点,则以这 10 个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中,梯形所 占的比为( ) A.

8 21

B.

4 21

C.

1 126

D.

2 7

7 已知函数 f ( x) ? ?

?

3x , x ? 2 ,则 f (2 ? log3 2) ? _________ . ? f ( x ? 1), x ? 2

8 不等式 x ? _________ .

1 ? a ? 2 ?1 对一切非零实数 x 均成立 ,则实数 a 的最大值是 x

9 已知 (ax ? 1) n ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0 (n ? N*), 点列 Ai (i, ai ) (i ? 0,1,2,?, n) 部分图象如图所示,则实数 a 的值为________.

10 若 Bx ? sin x ? Ax ( A, B为常数) 对0 ? x ?

?
2

恒成立,则常数 B ? A 的最小值

为 _________ ;对任意锐角 ?ABC ,均有 sin A ? sin B ? sin C ? M 成立,则 M 的最大值为
_________ .

二、解答题

4 是否存在一个二次函数 f ( x) ,使得对任意的正整数 k ,当 x ? 55 ? 5 时,都有 ? ? ?
k个 5

f ( x) ? 55 ? 5 成立?请给出结论,并加以证明. ? ? ?
2 k个5

5 设 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A、B 为抛物线上异于原点 O 的两点,且满足
.求四边形 ABCD 面积的 FA ? FB ? 0 .延长 AF、BF 分别交抛物线于点 C、D (如图) 最小值.



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