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2013高一数学课件第2章2.2.3《圆与圆的位置关系》(苏教版必修2)_图文

2013高一数学课件第2章2.2.3《圆与圆的位置关系》(苏教版必修2)_图文

第2章 平面解析几何初步
2.2.3 圆与圆的位置关系

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学习目标 1.掌握判断两个圆的位置关系的方 法,当两个圆有公共点时能求出它们 的公共点. 2.了解两圆相交时公共弦的概念及其所在直线 方程的求法. 3.了解两圆公切线的概念,会判断所给直线是 否是两圆的公切线. 4.能运用两个圆的位置关系解决有关问题.

重点难点 重点:根据两圆的方程,判断两 圆的位置关系. 难点:根据两圆的位置关系,求有关直线或 圆的方程.

新知初探思维启动
1.平面内两圆的位置关系 平面内两圆的位置关系有五种,即外__离__、外__切__、 相__交__、内__切__、内__含__. 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为 r1、r2,两圆 的圆心距为 d,则两圆的位置关系的判断方法 如下:

位置 关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示

位置关系 外离 外切

相交

内切 内含

d与r1、r2 的关系

d>r1+ r2

d=r1+ r2

r2|<d|r<1-_r_1+__r_2

d=|r1- r2|

d<|r_1_-__r_2|

(2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判

断.

圆 圆CC12方 方程 程?????―消―元→一元二次方程?????ΔΔΔ

>0?相交 =0?内切或外切 <0?外离或内含

想一想 1.两圆没有交点,一定外离吗? 提示:不一定.两圆内含时也没有交点.

2.将两个相交的圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi =0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直 线方程具有什么样的特殊性呢? 提示:两圆相减得一直线方程,它经过两圆 的公共点,即两圆的公共弦所在的直线.

做一做 3.圆x2+y2=4与圆(x-2)2+y2=3的位置关系 为________.
解析:两圆心的坐标分别为(0,0),(2,0),连 心线的长为 2, 又∵2- 3<2<2+ 3,故两圆相交. 答案:相交

4.圆(x+1)2+y2=1与圆(x+1)2+(y-2)2=9的 位置关系为________.
解析:两圆的圆心分别为(-1,0),(-1,2), 连心线的长为 2,∵r2-r1=3-1=2,∴两圆相 内切. 答案:内切

5.与圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-3)3+y2=4都 相切的直线共有________条.
解析:圆心C1(0,0),半径r1=1,C2(3,0),r2 =2,|C1C2|=3=r1+r2,∴两圆外切,∴公 切线有3条.
答案:3

6.以(-2,0)为圆心,并与圆x2+y2=1相外切 的圆的方程为________________. 答案:(x+2)2+y2=1

典题例证技法归纳
题型探究
两圆位置关系的判定

例1 a为何值时,两圆C1:x2+y2-2ax+4y +a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)外切;(2)相交;(3)外离?

【解】 将两圆方程写成标准方程:
C1:(x-a)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-a)2 =4. ∴两圆的圆心和半径分别为
C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2. 设两圆的圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2- a)2 =2a2+6a+5.

(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切, 此时a=-5或a=2.即当a=-5或a=2时,两 圆外切. (2)当1<d<5,即1<2a2+6a+5<25时,两圆相 交, 此时-5<a<-2或-1<a<2.即当-5<a<-2或- 1<a<2时,两圆相交. (3)当d>5,即2a2+6a+5>25时,两圆外离, 此时a>2或a<-5.即当a>2或a<-5时,两圆外 离.

【名师点评】 (1)判断两圆的位置关系或利 用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下 几个步骤: ①化成圆的标准方程,写出圆心和半径; ②计算两圆圆心的距离d; ③通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆 的位置关系或求参数的范围,必要时可借助 于图形,数形结合.

(2)应用几何法断定两圆的位置关系或求字母 参数的范围是非常简单清晰的,要理清圆心 距与两圆半径的关系.

变式训练
1.已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2 +y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的位 置关系.

解:法一:圆 C1 与圆 C2 的方程联立,得到方程 组

??x2+y2+2x+8y-8=0, ???x2+y2-4x-4y-2=0. ② ①-②得 x+2y-1=0,即 y=1-2 x.

① ③

把③代入①,并整理,得 x2-2x-3=0, ④

其判别式Δ =(-2)2-4×1×(-3)=16>0,
所以,方程④有两个不相等的实数根 x1,x2, 把 x1,x2 分别代入方程③,得到 y1,y2, 因此圆 C1 与圆 C2 有两个不同的公共点 A(x1, y1),B(x2,y2). 所以两圆相交.

法二:把圆 C1 的方程化成标准方程,得(x+1)2 +(y+4)2=25.圆 C1 的圆心是点(-1,-4),半 径长 r1=5. 把圆 C2 的方程化成标准方程,得(x-2)2+(y -2)2=10, 圆 C2 的圆心是点(2,2),半径长 r2= 10. 圆 C1 与 圆 C2 的 连 心 线 的 长 为
(-1-2)2+(-4-2)2=3 5,

圆 C1 与圆 C2 的两半径长之和是 r1+r2=5+ 10,两半径长之差 r1-r2=5- 10.
而 5- 10<3 5<5+ 10, 即 r1-r2<3 5<r1+r2,所以圆 C1 与圆 C2 相交, 它们有两个公共点.
所以圆 C1 与圆 C2 相交.

与两圆相切有关的问题
例2 已知圆O1:x2+y2+2x+6y+9=0和圆 O2:x2+y2-6x+2y+1=0,求圆O1、圆O2的 公切线方程.

【解】 圆 O1 的圆心坐标为 O1(-1,-3),r1 =1,圆 O2 的圆心坐标为 O2(3,-1),r2=3, 则 O1O2>r1+r2,∴两圆外离,有四条公切线. 当斜率存在时,设公切线方程为 y=kx+b, 即 kx-y+b=0.
???|-kk+2+3+1 b|=1, 则????|3k+k21++1b|=3.

两式相除得|3k+1+b|=3|-k+3+b|, 化简得 b=3k-4 或 b=-25, 当 b=3k-4 时,代入|-kk+2+3+1 b|=1,得|2k-
1|= k2+1,解得 k=0 或43,即当 k=0 时,b =-4,当 k=43时,b=0, 此时公切线方程为 y+4=0 或 4x-3y=0.

当 b=-52时,代入|-kk+2+3+1 b|=1,
得???-k+12???= k2+1. 解得 k=-34,此时公切线方程为 3x+4y+10 =0. 当斜率不存在时,直线 x=0 与两圆也相切, 综上所述,所求的公切线方程为 y+4=0 或 4x -3y=0 或 x=0 或 3x+4y+10=0.

【名师点评】 (1)对于求切线问题,注意不 要漏解,主要是根据几何图形来判断切线的 条数. (2)求公切线的一般步骤是:①判断公切线的 条数;②设出公切线的方程;③利用切线性 质建立所设字母的方程,求解字母的值;④ 验证特殊情况的直线是否为公切线;⑤归纳 总结.

变式训练 2.求与圆 x2+y2-2x=0 外切,且与直线 x+ 3y =0 相切于点(3,- 3)的圆的方程.

解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 圆 x2+y2-2x=0 的圆心为(1,0),半径为 1, 由两圆外切得 (a-1)2+(b-0)2=r+1,
由圆与直线 x+ 3y=0 切于点(3,- 3),得

???ba+-33·(- 13)=-1,

? ? ??

|a+ 1+(

33b)| 2=r,

解得 a=4,b=0,

r=2 或 a=0,b=-4 3,r=6.

故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+

4 3)2=36.

与两圆相交有关的问题
例3 (本题满分14分)已知两圆C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0. (1)求两圆公共弦的方程及其长度; (2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程.

【思路点拨】 (1)先求出公共弦所在直线的 方程,再利用半径、弦心距、半弦长构成的 直角三角形求解;(2)求出圆心、半径,也可 用经过两圆交点的圆系方程求解.

【解】 (1)两圆方程相减得 x-2y+4=0,此 即公共弦所在的直线方程,(3 分) 又圆 C2 的圆心 C2(-1,-1)到公共弦的距离 d=|-1+52+4|= 5,且 d2+(2l )2=r22(l 为公共 弦长), (6 分)
∴l=2 r22-d2=2 5, 即公共弦长为 2 5. (8 分) (2)连心线 C1C2 的方程为 2x+y+3=0, (10 分)

名师微博 两圆方程相减得公共弦的方程,你知道为什 么吗?

它与公共弦的交点(-2,1)即为所求圆的圆心, (12 分)
又所求圆半径为2l = 5, ∴圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.(14 分)

【名师点评】 涉及圆的弦问题,一般都考 虑利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三 角形求解.而不采取求出弦的两端点坐标, 然后利用两点间的距离求解.

变式训练 3.若两个圆 C1:(x-3)2+y2=4 与 C2:(x-2)2 +y2=m 相交于两点,且这两点之间的距离等
于 15,求 m 的值.

解:将两圆方程相减,得 x=m+2 1. 此即两圆公共弦所在直线方程.
圆 C1 的圆心 C1(3,0)到公共弦的距离为|3- m+2 1|=|m-2 5|. ∴(|m-2 5|)2+( 215)2=4, 得 m=4 或 m=6.

又两圆的圆心距为 1,r1+r2=2+ m, |r1-r2|=|2- m|. m=4,m=6 均满足|r1-r2|<1<|r1+r2|. ∴m=4 或 m=6.

备选例题
1.求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2 +y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点的 圆的方程.

解:联立两圆方程,解得两圆交点为A(-1, -1),B(3,3),则AB的中垂线方程为y-1= -(x-1),即x+y-2=0.与x-y-4=0联立, 解得圆心为C(3,-1). 又半径r=|CA|=4,故圆方程为(x-3)2+(y+ 1)2=16,即x2+y2-6x+2y-6=0.

2.已知实数x,y满足x2+y2-2x+4y-20=0. 求x2+y2的最大值及最小值.

解:法一:设 x2+y2=r2(r>0). 则依题意,圆(x-1)2+(y+2)2=25 与圆 x2+y2 =r2 有公共点, ∴|r-5|≤ 12+22≤|r+5|, 得 5- 5≤r≤5+ 5. ∴30-10 5≤r2≤30+10 5. 故 x2+y2 的最大值为 30+10 5,
最小值为 30-10 5.

法二:由题意可知,圆 x2+y2-2x+4y-20=0 上的点到原点的距离的最小值为 5- 5,最大 值为 5+ 5,所以 x2+y2≥(5- 5)2=30- 10 5. x2+y2≤(5+ 5)2=30+10 5.
∴x2+y2 的最大值为 30+10 5,最小值为 30
-10 5.

3.已知圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0,圆 C2: x2+y2-2ax-2by+a2-1=0,当 a,b 变化时,
圆 C2 始终平分圆 C1 的周长,求圆 C2 的面积最 小时圆的方程.

解:将两圆方程相减,得到两圆相交弦所在直
线方程为 2(1+a)x+2(1+b)y-a2-1=0. 由于圆 C2 始终平分圆 C1 的周长, ∴点 C1(-1,-1)一定在相交弦所在的直线上, ∴2(1+a)×(-1)+2(1+b)×(-1)-a2-1=0. 即 b=-a2+22a+5.

由圆 C2 方程,得 r= 1+b2, ∴ S = π r2 = π (1 + b2) = π + π ×

(a2+24a+5)2=π

+π

[(a+1)2+4]2

4

.

∴当 a=-1 时,S 取最小值 5π ,此时 b=-

2.

∴所求圆 C2 的方程是 x2+y2+2x+4y=0.

方法感悟
方法技巧 1.判断两个圆的位置关系常用圆心距d与两圆 半径的和、差比较大小.d=R+r时,两圆外 切;d=|R-r|时,两圆内切;d<|R-r|时, 两圆内含;d>|R+r|时,两圆外离;|R- r|<d<R+r时,两圆相交.

2.(1)公共弦长的求法:①代数法:将两圆的方 程联立,解出两交点的坐标,利用两点间的距 离公式求其长;②几何法:求出公共弦所在直 线的方程,利用圆的半径、半径长、弦心距构 成的直角三角形,用勾股定理求出弦长; (2)公共弦所在直线方程的求法:用两圆方程相 减,所得直线方程即为两圆公共弦所在直线方 程; (3)重要结论:两圆公共弦所在直线是两圆圆心 连线的垂直平分线.

失误防范 1.两圆相切,可分为内切、外切,两种情况下 圆心距表示公式不同,公切线条数不同,不可 混淆.
2.两圆相交时,两方程相减得公共弦所在直线
的方程,两圆相切时,两方程相减得内公切线 所在直线的方程.

知能演练轻松闯关

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