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高二数学选修4-4~4.4.1曲线参数方程的意义

高二数学选修4-4~4.4.1曲线参数方程的意义


4.4.1 曲线参数方程的意义
4.4.2 参数方程和普通方程的互化

创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?
投放点 友情提示: 即求飞行员在离救援点的水平 距离多远时,开始投放物资?



救援点

创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?

y 500

分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: (1)沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动; (2)沿Oy反方向作自由落体运动.

O

x

创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢? 解:物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x, y 垂直高度为y,所以 ? x ? 100t , ? 500 (g=9.8m/s2 ) ? 1 2 ? y ? 500 ? 2 gt . ?

令y ? 0, 得t ? 10.10s.

o

x

代入x ? 100t , 得 x ? 1010m.

所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资, 可以使其准确落在指定位置.

知识构建
1、参数方程的概念:
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标 x, y都是某个变数 t 的函数 ? x ? f (t ), ? (1) ? y ? g (t ). 且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 则方程(1) 就叫做这条曲线的参 数方程, 联系变数 x ,y 的变数 t 叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。

关于参数几点说明: 参数是联系变数 x, y 的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也 可以没有明显意义; 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样; 3.在实际问题中要确定参数的取值范围;

创设情境
? x ? cos? ? 3, 由参数方程 ? (? 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y ? sin ? 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。

由参数方程得: ?cos? ? x ? 3 ,sin 2 ? ? cos 2 ? ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 ? ?sin ? ? y 所以点M 的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

知识创建
2.参数方程和普通方程的互化:
1 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
?x ? t , ? ②参数方程 ? (t为参数) ? y ? 2 t ? 4. ? 通过代入消元法消去参数t ,

可得普通方程:y=2x - 4

(x≥0)

2.三角法:利用三角恒等式消去参数; 3.整体消元法:根据参数方程本身结构特征,从整体上消去;
化参数方程为普通方程为F(x,y)=0: 在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性, 必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)值域得 x、y的取值范围

将普通方程化为参数方程的方法:
? 引入变数x, y 中的一个与参数t的关系,例 如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变 数与参数的关系y=f(t),那么
? { x=f(t) ? y=f(t) ? 就是曲线的参数方程

例题分析:
? x ? 3t , (t为参数) 例1: 已知曲线C的参数方程是 ? 2 ? y ? 2t ? 1.
(1)判断点M1(0, 1),M2(5, 4)与曲线C的位置关系; (2)已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。 例2、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 表示什么曲线? ?x= sin ? ? cos? ?x= t ? 1 ? (1)? (t为参数) (2)? y ? 1 ? sin 2? (? 为参数). ?
? y ? 1? 2 t ?

解: 因为x ? (1)

t ?1?1

所以普通方程是y ? ?2 x ? (x ? 1) 3 这是以(1, 1)为端点的一条射线(包括端点)

(2)因为:x ? sin ? ? cos ? ? 所以x ? ? ? 2, 2 ? ? ?

2 sin(? ?

?
4

)

所以普通方程是x 2 ? y , x ? ? ? 2, 2 ? . ? ?
所以与参数方程等价的 普通方程为 x 2 ? y , x ? [? 2 , 2 ]. 这是抛物线的一部分。

y

o

例3、求参数方程
? ? ? ? x ?| cos 2 ? sin 2 |, ? (0 ? ? ? 2? ) ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? ? 2

表示(



(A)双曲线的一支, 这支过点(1,1/2): (B)抛物线的一部分, 这部分过(1,1/2): (C)双曲线的一支, 这支过点(–1, 1/2) (D)抛物线的一部分, 这部分过(–1,1/2)

分析 一般思路是:化参数方程为普通方程 求出范围、判断。 解 ?x2= (cos ? ? sin ? ) 2 =1+sin?=2y, 2 2

? 普通方程是x2=2y,为抛物线。 ? ? ? ? ,又0<?<2?, ? x ?| cos ? sin |? 2 sin( ? )
2 2 2 4

?0<x ? 2 ,故应选(B) 说明: 这里切不可轻易去绝对值讨论,平方法 是最好的方法。

巩固练习:
? x ? 1? t2 ,(t为参数) 与x轴的交点坐标是( 1、曲线 ? ? y ? 4t ? 3
)

25 25 ( , 0); A、(1,4);B、 , 0); C、(1, ?3); D、(? 16 16 2、方程 ? x ? sin ? ,(? 为参数)所表示的曲线上一点的坐标是 ? ? y ? cos?
( )

1 1 1 2 ( A、(2,7);B、 , ); C、( , ); D、(1,0) 2 2 3 3

? x ? 1 ? 2t , (t为参数,a ? R ) 3.已知曲线C的参数方程 ? 2 y ? at . 且点M(5,4)在该曲线上. ?

(1)求常数a;(2)求曲线C的普通方程.

解: (1)由题意可知:

1+2t=5

解得:

a=1 t=2 y=t2

at2=4
x ?1 t ? 2

∴ a=1

(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: 由第一个方程得:

x=1+2t

x ?1 2 代入第二个方程得: y ? ( ) , 2 故所求曲线的普通方程为(x-1)2 = 4y

作业、将下列参数方程化为普通方程:
? x ? 2 ? 3 cos? (1) ? ? y ? 3 sin ?

? x ? sin ? (2) ? ? y ? cos2?

x=t+1/t
(3)

y=t2+1/t2

步骤:(1)消参; (2)求定义域;
解答:(1)(x -2) 2+ y 2=9 (2)y =1- 2x 2(- 1≤x≤1) (3)x2- y=2(x≥2或x≤-2)



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