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多元函数微分法及其应用习题课_图文

多元函数微分法及其应用习题课_图文

第八章 多元函数微分法及其 应用习题课(一)
多元函数微分法

一、多元函数的基本概念
1.极 2.连
f ( x, y) ? A 限: ( x , y )lim ?( x , y )
0 0

续:

( x , y )? ( x0 , y0 )

lim

f ( x , y ) ? f ( x 0 , y0 )

3.偏导数:
?z ?x ? zx f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 , y0 ) ? f x ( x0 , y0 ) ? lim ?x ? 0 ?x

x ? x0 y ? y0

x ? x0 y ? y0

?z ?y

x ? x0 y ? y0

? zy

x ? x0 y ? y0

? f y ( x0 , y0 ) ? lim

?y ? 0

f (x0 , y0 ? ?x ) ? f ( x0 , y0 ) ?y

? ? ( ?x ) 2 ? ( ?y ) 2 , 4.全微分: 若 ?z ? A?x ? B?y ? ? ( ? ),

则称函数 z ? f ( x , y )在点 P ( x , y ) 可微分, 函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 全微分为
dz ? A?x ? B?y

5.方向导数: 二元函数 z ? f ( x , y ) 在点P0 ( x0 , y0 )沿方向 l 的方向导数为
?z ?l
x? x0 y ? y0

f (x0 ? t cos α, y0 ? t cos β ) ? f ( x0 , y0 ) ? lim t ?0 t
? ?

6.梯 度:

gradf ( x0 , y0 ) ? f x ( x0 , y0 ) i ? f y ( x0 , y0 ) j

二、多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导

函数可微

偏导数连续

三、多元函数的求导法
1.偏导数求法
?z 时,只要把 y 暂时看作常量 ?x ?z 而对 x 求导数; 类似地,可求函数 z ? f ( x, y ) 的偏导数 。

求函数 z ? f ( x, y )的偏导数

?y

2.高阶偏导数
? 2 z ? ?z ? ( ) ? f xx ( x , y ) 2 ?x ?x ?x
?2z ? ?z ? ( ) ? f yx ( x , y ) ?y?x ?x ?y

?2z ? ?z ? ( ) ? f xy ( x, y ) ?x?y ?y ?x

? 2 z ? ?z ? ( ) ? f yy ( x, y ) 2 ?y ?y ?y

3.多元复合函数求导法则
z ? f (u, v ) 在对应点 ( u, v ) (1)设u ? ? ( t )和 v ? ? ( t ) 在点 t 可导,

处可微,则复合函数 z ? f (? (t ),? (t )) 在点 t 处可导,且 u dz ?z du ?z dv t z ? ? dt ?u dt ?v dt v
(2)设u ? ? ( x, y )和v ? ? ( x, y )存在偏导数, z ? f (u, v )在对应点( u, v )

处可微,则复合函数 z ? f (? ( x, y),? ( x, y ))在( x, y )偏导数存在,且
?z ?z ?u ?z ?v ? ? ?x ?u ?x ?v ?x

u z

x y

?z ?z ?u ?z ?v ? ? ?y ?u ?y ?v ?y

v

4.隐函数的导数 ①由方程 F ( x, y) ? 0 确定一个连续且具有连续导数的函数
y ? f ( x ) , 则有

Fx dy ?? dx Fy

②由方程F ( x, y, z ) ? 0 确定一个连续且具有连续偏导数的 函数 z ? f ( x , y ) ,则有
Fx ?z ?? ?x Fz Fy ?z ?? ?y Fz

5.全微分的求法

?z ?z dz ? dx ? dy ?x ?y

微分形式的不变性:
v ? ? ( x , y ) 时,有 当 z ? f ( u, v ),而 u ? ? ( x , y )、
?z ?z dz ? du ? dv ?u ?v

6.方向导数的求法
?f ?f ?f ?f ? cos? ? cos ? ? cos? . ?l ?x ?y ?z

其中 cos? , cos ? , cos? 是方向 l 的方向余弦。

四、典型例题
lim 【例1】求极限 ( x , y )?(0,0)
lim

xy ? 1 -1 . xy

解:

( x , y )?(0,0)

xy ? 1 -1 xy
xy ? 1-1 xy( xy ? 1 ? 1)
1 xy ? 1 ? 1

?
?

( x , y )?(0,0)

lim

( x , y )?(0,0)

lim

1 ? 2

【例2】求极限 lim x?0
y?0

1 ? cos( x 2 ? y 2 ) ( x ? y )e
2 2 x2 ? y2

1 2 x2 ? y2 sin ( ) 1 ? cos( x 2 ? y 2 ) 2 2 解法1: lim 2 2 =lim 2 2 x ?y 2 2 x2 y2 x?0 x ?0 ( x ? y ) e ( x ? y ) e y?0 y ?0
x2 ? y2 sin ( )( x 2 ? y 2 ) 2 ? lim 2 2 x ?0 2 2 x ? y y ?0 8( )2 e x y 2
2

? lim
x?0 y?0

x2 ? y2 8e
x2 y2

?0

解法2:作变量代换,令x ? ? cos ? , y ? ? sin? , 当 x ? ? cos? , y ? ? sin? 时, ? ? 0, ? 任意,则
lim
x?0 y?0

1 - cos( x 2 ? y 2 ) ( x ? y )e
2 2 x2 y2

? lim
x?0 y?0

1 - cos ? 2

? e

2 ? 4 cos 2 ? sin 2 ?

? lim
x ?0 y?0

sin ? 2

?

2

? lim
x ?0 y?0

1 e
? 4 cos2 ? sin 2 ?

?1

【例3】设

? xy ? 2 f ( x, y ) ? ? x ? y 2 ?0 ?
y?0

( x , y ) ? (0, 0) ( x , y ) ? (0, 0)

f ( x , y )的存在性。 判断lim x?0

f ( x , y ) ? A 的定义中,动点 P ( x , y ) 在 R 2 中 分析:在二重极限lim x ?0

趋向点 P ( x0 , y0 ) 与一元函数 y ? f ( x ) 的自变量 x 在数轴上的变

y ?0

化不同,它可以区域 D ? R2内沿着不同的路线(如曲线或直线等)
和不同方式(连续或离散),从四面八方趋近于点 P ( x0 , y0 ),二元函 数f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的极限都是 A .反之, 动点 P ( x , y ) 沿着两条 不同的路线(或点列)趋近于点 P ( x0 , y0 ) ,二元函数 f ( x , y )有不同 的极限,则二元函数 f ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的极限不存在.

解:因为当点 P ( x, y ) 沿 x 轴趋向于点 (0, 0) 时,
lim f ( x , y ) ? lim f ( x , 0) ? 0
x?0 y?0 x?0

又当点 P ( x, y ) 沿着直线 y ? x 趋于点 (0, 0) 时,
x2 1 lim f ( x , y ) ? lim 2 ? x?0 x?0 x ? x 2 2 y? x

所以 f ( x, y ) 的极限不存在。

? x 2 ? y 2 , xy =0 【例4】 设二元函数 f ( x , y ) ? ? , 判别 f ( x, y ) 在 xy ? 0 ? 1, (0,0)点处的连续性。

f ( x , y ) ? f (0, 0). 分析:f ( x , y )在(0,0)点处的连续性,应满足lim x ?0
y ?0

解:因为当点 P ( x, y )沿 x 轴趋于点 (0,0) 时,
lim f ( x , y ) ? lim f ( x , 0) ? 0
x?0 y?0 x?0

又当点 P ( x, y ) 沿着直线 y ? x ( x ? 0) 趋于点 (0,0) 时,
lim f ( x , y ) ? lim f ( x , x ) ? lim1 ? 1
x?0 y? x x?0 x?0

所以,函数 f ( x, y ) 在原点 (0,0)的极限不存在,因此,
f ( x, y ) 在原点 (0,0)不连续.

? ? x 2 ? y 2 , ( x , y ) ? (0, 0) 【例5】设 f ( x , y ) ? ? , 则 f ( x, y ) 在点 0 , ( x , y ) ? (0, 0) ? ? (0, 0)处连续,但 f ( x, y )在点(0, 0)处对x和 y 的偏导数不存在.

f ( x , y )在点(0, 0)处的连续性, 应满足lim f ( x , y ) ? f (0, 0) . 分析: x ?0

而点(0, 0)为 f ( x , y )的分界点,求偏导数需用偏导数定义。
2 2 lim f ( x , y ) ? lim x ? y ? 0 , 而 f (0, 0) ? 0 , 所以 解:因为 x ?0 x ?0 y ?0 y ?0

y ?0

f ( x, y )在点 (0, 0) 处连续.
?x f (0 ? ?x , 0) ? f (0, 0) f (0, 0) ? lim ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x
' x

不存在 不存在

?y f (0,0 ? ?y ) ? f (0,0) f (0,0) ? lim ? lim ?y ? 0 ?y ? 0 ?y ?y
' y

所以, f ( x, y )在点 (0, 0)处对 x 和 y 的偏导数不存在.

【例6】* 设函数 f ( x , y ) ?

xy ,判断 f ( x, y ) 在原点(0, 0)处的可微性.

分析:多元函数在一点可微与否?关键是要判别 ?f ? df 是不是
? 的高阶无穷小?如果lim ? ?0
?f ? df

?

? 0,

则函数 f ( x , y )在该点可微,

否则函数 f ( x , y )在该点不可微. 但反过来, 多元函数在某一点

可微, 函数在该点对各个变量偏导数存在, 即函数偏导数存在
是函数可微的必要条件。 解: 因为
f x' (0, 0) ? lim
?x ? 0

f (0 ? ?x , 0) ? f (0, 0) 0 ? lim ?0 ? x ? 0 ?x ?x

f y' (0, 0) ? lim

?y ? 0

f (0, 0 ? ?y ) ? f (0, 0) 0 ? lim ?0 ? y ? 0 ?y ?y

所以 又因为

df ? f x' (0,0)?x ? f y' (0,0)?y
?f ? f (0 ? ?x , 0 ? ?y ) ? f (0, 0) ? ?x ?y

? ? ( ?x ) 2 ? ( ?y ) 2

当沿着特殊的路线 ?x ? ?y, ? ? 0 ? ?x ? 0 ,所以
?f ? df ?x 2 ?x 1 2

lim
? ?0

?

? lim

?x ? 0

?

?0

f ( x, y )在原点 (0, 0) 不可微. 因此,

【例7】求函数 u ? x 的偏导数. 分析:因为函数 u ? x 为三元函数,所以,应分别求对
y z

y z

x , y , z 的偏导数。
解:
?u y z ? 1 ? x ?x z
?u 1 z ? x ln x ?y z
y

y

?u ? y z ? 2 x ln x ?z z

y

?z ?z 【例8】设 z ? e sin v ,而 u ? xy , v ? x ? y , 求 和 . ?y ?x
u

解:根据复合函数求偏导法则得
?z ?z ?u ?z ?v ? ? ?x ?u ?x ?v ?x

? e u sin v ? y ? e u cos v ? 1
? e xy [ y sin( x ? y) ? sin( x ? y)]
?z ?z ?u ?z ?v ? ? ?y ?u ?y ?v ?y

? e u sin v ? x ? e u cos v ? 1
? e xy [ x sin( x ? y) ? sin( x ? y)]

【例9】求函数 z ? arctan x y ( x ? 0, x ? 1) 的全微分. 分析:先确定是几元函数,然后分别求导,求出全微分, 也可利用全微分形式的不变性。
?z 1 1 y ? x y ?1 y ?1 解法1: ? ? ? y? x ? y y ?x 1 ? x 2 x 2(1 ? x y ) x y
y ?z 1 1 x ? ln x y ? ? ? x ? ln x ? y y ?y 1 ? x 2 x 2(1 ? x y ) x y

?z ?z dz ? dx ? dy ?x ?y

?

y ? x y ?1 2(1 ? x ) x
y y

dx ?

x y ? ln x 2(1 ? x ) x
y y

dy

解法2:由微分形式的不变性

dz ? d (arctan x y ) ?

1 y d ( x ) y 1? x

1 1 1 y ? d ( x ) y 1? x 2 xy 1 ? ( yx y ?1dx ? x y ln xdy ) 2 x y (1 ? x y )
2 2 【例10】设 z ? f ( x ? y , xy) , 其中 f 具有二阶连续偏导数, ?z ?2z . 求 , ?x ?x ?y

分析:求抽象复合函数 f 的二阶偏导数,最需要注意的一
?f ?f 点是一阶偏导数 (及 )仍旧是复合函数,且与函数 f 具 ?v ?u

有同样的中间变量与自变量。 解法1: 设 u ? x 2 ? y 2 , v ? xy ,则
?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ? ? ? 2x ?y ?x ?u ?x ?v ?x ?u ?v

u z v

x y

?2z ? ?z ?z ? (2 x ?y ) ?x?y ?y ?u ?v
?2z ?2z ?z ?2z ?2z ? 2 x[ 2 ( ?2 y ) ? x] ? ? y[ ( ?2 y ) ? 2 x ] ?u ?u?v ?v ?v?u ?v
2 2 ?z ?2z ? z ? z ? ? 4 xy 2 ? (2 x 2 ? 2 y 2 ) ? xy 2 ?v ?u ?u?v ?v

?z ?z ?2z ?2z ?? ? 2 , f 22 ?? ? 2 , , f 2? ? , f11 解法2:若记 f1? ? ?u ?v ?u ?v
?2z ?2z ?? ? ?? ? f12 , f 21 ?u?v ?v?u



?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? 2 xf1? ? yf 2? ?x ?u ?x ?v ?x
?2z ? ? (2 xf1? ? yf 2? ) ?x?y ?y

?? ? (2 x2 ? 2 y2 ) f12 ?? ? xyf22 ?? ? f2? ? 4 xyf11

【例11】设 z ? 3 xyz ? a ,求
3 3

?2z . ?x ?y

分析:如果令F ( x, y, z ) ? z 3 ? 3 xyz ? a 3, 则由方程 F ( x , y, z ) ? 0

确定了z是 x,y 的函数,求

?z 用隐函数求导法。但在求二阶混 ?x

合偏导时,应采用直接求导法。 解:令 F ( x, y, z ) ? z 3 ? 3 xyz ? a 3 ,则
Fx ? ?3 yz, Fy ? ?3 xz, Fz ? 3z 2 ? 3 xy

利用隐函数的求导公式得 yz ? yz Fx ?z ? 2 ?? 2 ?? z ? xy z ? xy ?x Fz
Fy ? xz xz ?z ?? 2 ? 2 ?? z ? xy z ? xy ?y Fz

?2z 计算 时,我们采用在方程两边同时对 y 求偏导的方法, ?x ?y

并视 z 为 x , y 的二元函数 z ( x , y ) , 得
?2z ? yz ? ( 2 ) ?x?y ?y z ? xy
?z 2 ?z ( z ? y )( z ? xy ) ? yz (2 z ? x ) ?y ?y ? ( z 2 ? xy )2

z( z 4 ? 2 xyz 2 ? x 2 y 2 ) ? ( z 2 ? xy )3

2 ? z z 【例12】设 z 是方程 x ? y ? z ? e 所确定的 x与 y 的函数,求 ? x? y

分析:如果令F ( x, y, z ) ? x ? y ? z ? e z , 则由方程 F ( x, y, z ) ? 0

确定了 z 是 x,y的函数,求

?z 用隐函数求导法。但在求二阶 ?x

混合偏导时,应采用直接求导法。 解 :令 F ( x , y , z ) ? x ? y ? z ? e z , 则
F 1 ?z ?? x ? ?x Fz 1 ? ez

?z ?e ?2z ? ?z ? 1 ?e z ?y ? ( )? ( )? z z 2 ? (1 ? e ) ?x?y ?y ?x ?y 1 ? e (1 ? e z )3
z

Fy 1 ?z ? ?? ?y Fz 1 ? ez

? 【例13】设 n 是曲面2 x 2 ? 3 y2 ? z 2 ? 6 在点P(1, 1, 1) 处的指向外侧 1 ? 1 2 2 2 的法向量, 求函数 u ? (6 x ? 8 y ) 在此处沿方向n 的方向导数.
z

分析:求方向导数需求出偏导数及方向余弦,然后代入方向 导数公式计算即可。 解: 设F ( x, y, z ) ? 2 x2 ? 3 y2 ? z2 ? 6 , 则曲面的法向量为
? n ? ( Fx? , Fy? , Fz?) |P ? (4 x,

6 y, 2z ) |P ? (4, 6, 2)

? | n | ? 42 ? 62 ? 22 ? 2 14

方向余弦为

cos ? ?

2 14

,cos ? ?

3 14

,cos ? ?

1 14

?u 6x ? ?x P z 6 x 2 ? 8 y 2
?u 8y ? ?y P z 6 x 2 ? 8 y 2
6 x2 ? 8 y2 ?u ?? ?z P z2

?
P

6 14

?
P

8 14

? ? 14
P



?u ?u ?u ?u 11 ? ( cos ? ? cos ? ? cos ? ) ? ? ?n P ?x ?y ?z 7 P

【例14】问函数 u ? xy 2 z在点 P (1, -1, 2)处沿什么方向的方向 导数最大?并求此方向导数的最大值。

分析:梯度是取得最大方向导数的方向,所以只需求出梯度。
解:沿梯度方向的方向导数最大。梯度为
? ? ? ?u ? ?u ? ?u ? 2 2 gradu( x, y, z ) ? i? j? k ? y zi ? 2 xyzj ? xy k ?x ?y ?z ? ? ? 2 2 所以 gradu(1, ?1, 2) ? y zi ? 2 xyzj ? xy k |(1, ?1, 2)

? ? ? ? 2i ? 4 j ? k
方向导数的最大值为
|gradu(1, ?1, 2) |? 22 ? ( ?4)2 ? 12 ? 21


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