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华东师大一附中学2011-2012学年高二上学期期末考试数学试卷

华东师大一附中学2011-2012学年高二上学期期末考试数学试卷


华东师大一附中 2011 学年度第一学期高二年级 数学学科期末考试试题
注意:1.答卷前,你务必在答题纸上指定位置将班级、学号、姓名填写清楚. 2.本试卷共有 20 道试题,满分 100 分.考试时间 90 分钟. 3.细致冷静,诚实守信,数学老师祝你考出好成绩! 一.填空题(本大题满分 11×4=44 分)应在空格内直接填写结果. 1.已知向量 a ? (2, m ? 3), b ? (m, ?1) ,且 a // b ,则 m ?
n



2.用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2) ? ?? (n ? n) ? 2 ? 1? 3 ? ?? (2n ? 1) 时,从 n ? k 推到

n ? k ? 1 时,不等式左端应添加的代数式为
3.系数矩阵为 ? 4. lim(
n ??

. .
开始

?1 2 ? ? x ? ? 1? ? ,且解为 ? ? ? ? ? 的一个线性方程组是 ? 2 1? ? y ? ? 1?


1 2 4 2n ? n ? n ?? ? n ) ? 2n ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ?1

5.程序框图如图所示,将输出的 a 的值依次记为 a1 , a 2 , ? a n , 那么数列 {an } 的通项公式为 an ? .

a ? 2 , n ?1
输出 a

6.在正四面体 ABCD 中,点 E 为棱 AD 的中点,则异面直线 AB 与 CE 所成角的大小为 . 7.若圆锥的侧面展开图是弧长为 2? cm、半径为 2 cm 的扇形, 则该圆锥的体积为
? ?

n ? n ?1
a ? 3a

cm .
? ?

3

8.在北纬 45 东经 30 有一座城市 A,在北纬 45 东经 120 有一座 城市 B,设地球半径为 R ,则 A、B 两地之间的球面距离是 9.已知等比数列的首项为 8 , Sn 是其前 n 项的和,某同学计算得

n ? 2010
.是
结束



S2 ? 20, S3 ? 36, S 4 ? 65 ,后来该同学发现了其中一个数算错了,
则该数为 . 10.某汽车交易市场最近成交了一批新款轿车,共有 x 辆国产车和 y 辆进口车,国产车的交 易价格为每辆 m 万元,进口车的交易价格为每辆 n 万元.我们把 a ? ( x, y) 叫交易向量,

b ? (m, n) 叫价格向量,则 a ? b 的实际意义是
面积与四边形 ABCD 的面积之比为 .



11.设平面上三点 A, B, C 不共线,平面上另一点 D 满足 3BA ? 4BC ? 2BD ,则 ?ABC 的 二.选择题(本大题满分 5×3=15 分)每题有仅有一个正确答案,应在括号内填写选项. 12.设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是递增数列”的( (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 )

13.右图是某同学为求 1006 个偶数:2, 4, 6, ?, 2012 的平均数而设计的程序框图的部分内 容,则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是( )

x 1006 x (C) i ? 1006 ?, x ? 1006
(A) i ? 1006 ?, x ? 14.下列四个命题中真命题是(

x 2012 x (D) i ? 1006 ?, x ? 2012
(B) i ? 1006 ?, x ? )

(A)垂直于同一直线的两条直线互相平行; (B)过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条; (C)底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱; (D)过球面上任意两点的大圆有且只有一个 15.已知等差数列 {an } , an ? 4n ? 1(n ? N * ) ,将其中所有能被 3 或 5 整除的数删去后,剩 下的数自小到大排成一个数列 {bn } ,则 b2010 的值为( (A)15011 (B)15067 (C)15071 ) (D)15131

?a1 x ? b1 y ? c1 z ? d1 ? 16.一位同学对三元一次方程组 ?a2 x ? b2 y ? c2 z ? d 2 (其中实系数 ai , bi , ci ( i ? 1 , 2 , 3 ) 不 ?a x ? b y ? c z ? d 3 3 3 ? 3
全为零)的解的情况进行研究后得到下列结论: 结论 1:当 D ? 0 ,且 Dx ? Dy ? Dz ? 0 时,方程组有无穷多解; 结论 2:当 D ? 0 ,且 Dx , D y , Dz 都不为零时,方程组有无穷多解; 结论 3:当 D ? 0 ,且 Dx ? D y ? Dz ? 0 时,方程组无解. 但是上述结论均不正确.下面给出的方程组可以作为结论 1、2 和 3 的反例依次为( )

? x ? 2 y ? 3z ? 0 ?x ? 2 y ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? ? ? (1) ? x ? 2 y ? 3z ? 1 ; (2) ? x ? 2 y ? z ? 0 ; (3) ?? x ? 2 y ? z ? 0 ? x ? 2 y ? 3z ? 2 ?2 x ? 4 y ? 0 ?x ? 3 y ? z ? 2 ? ? ?
(A) (2) (1) (3) (B) (3) (1) (2) (C) (1) (2) (3) (D) (2) (3) (1)

三.解答题(本大题满分 41 分)本大题共有 4 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.(本题满分 4+5=9 分) 平面上三个非零向量 a 、 b 、 c 的模均为 1,它们之间的夹角均为 120 . (1)求证: a ? (b ? c ) ; (2)若 | ka ? b ? c |? 1 ,求实数 k 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

18.(本题满分 9 分)

5 2 ?3 n 已知命题 P : lim(2c ? 1) ? 0 (其中 c 为常数) ,命题 Q :把三阶行列式 x ? c 6 4 中 n ?? 1
第一行、第二列元素的代数余子式记为 f (x) ,且函数 f (x) 在区间 [? 命题 P 是真命题,命题 Q 是假命题,求实数 c 的取值范围.

4

x

1 1 , ] 上单调递增.若 4 4

19.(本题满分 5+5=10 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、 F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点. (1)求证: EF ∥平面 ACD1 ; (2)求二面角 B ? AC ? D1 大小的余弦值.

20.(本题满分 3+5+5=13 分) 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N ? , p ? 0) . 数列 {bn } 定义如下:对于正整数

m , bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值.
(1)若 p ?

1 1 , q ? ,求 b3 ; 2 3

(2)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2 m 项和 S 2 m ; (3)是否存在 p 和 q ,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如 果不存在,请说明理由.



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