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2018-2019年数学高中学业水平测试课件:专题六第23讲古典概型_图文

2018-2019年数学高中学业水平测试课件:专题六第23讲古典概型_图文

专题 六 概率

第 23 讲 古典概型

1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件 的和.

2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模 型,简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出 现其中的一个结果;
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.

3.事件 A 的概率 P(A)
如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有 结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率 都是n1;如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)=mn .
4.古典概型的概率公式
P(A)=事试件验A的包所含有的可可能能结结果果数数.

1.基本事件与古典概型的判断
【例 1】 下列试验中,是古典概型的个数为( ) ①向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的 概率; ②向正方形 ABCD 内,任意抛掷一点 P,点 P 恰与 点 C 重合;

③从 1,2,3,4 四个数中,任取两个数,求所取两

数之一是 2 的概率;

④在线段[0,5]上任取一点,求此点小于 2 的概率.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:①中,硬币质地不均匀,不是等可能事件,所

以不是古典概型.

②④的基本事件都不是有限个,不是古典概型. ③符合古典概型的特点,是古典概型问题. 答案:B

剖析:一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否 具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性,只有同 时具备这两个特点的概型才是古典概型.

2.古典概型的求法
【例 2】 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点 数,求:
(1)两数中至少有一个奇数的概率; (2)以第一次向上的点数为横坐标 x,第二次向上的点 数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=15 的外部或圆上的 概率.

解:由题意,先后抛掷 2 次,向上的点数(x,y)共有 n=6×6=36 种等可能结果,为古典概型.
(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件,记为-B .
因为事件-B 包含的基本事件数 m=3×3=9.

所以 P(-B )=396=14,则 P(B)=1-P(-B )=34, 因此,两数中至少有一个奇数的概率为34. (2)点(x,y)在圆 x2+y2=15 的内部记为事件 C,则-C 表示“点(x,y)在圆 x2+y2=15 上或圆的外部”.

又事件 C 包含基本事件:(1,1),(1,2),(1,3),(2, 1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共 8 种.
所以 P(C)=386=29,从而 P(-C )=1-P(C)=1-29=79. ∴点(x,y)在圆 x2+y2=15 的外部或圆上的概率为79.

剖析:求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件 的总数和事件 A 包含的基本事件的个数,这就需要正确 列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和 树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择.

3.古典概型与统计的综合应用 【例 3】 海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进 口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数 量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从 这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.
地区 A B C 数量 50 150 100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行 进一步检测,求这 2 件商品来自相同地区的概率.
解 : (1) 因 为 样 本 容 量 与 总 体 中 的 个 体 数 的 比 是
50+1560+100=510, 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×510
=1,150×510=3,100×510=2.

所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2.
(2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为:A; B1,B2,B3;C1,C2.
则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事 件为:{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},

{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3}, {B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件 的出现是等可能的.
记事件 D:“抽取的这 2 件商品来自相同地区”,则 事件 D 包含的基本事件有:{B1,B2},{B1,B3},{B2, B3},{C1,C2},共 4 个.

所以 P(D)=145,即这 2 件商品来自相同地区的概率为 145.
剖析:有关古典概型与统计结合的题型是考查概率的 一个重要题型,概率与统计结合题,无论是直接描述还是 利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息, 只要能够从题中提炼出需要的信息,则此类问题即可解决.

1.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚 反面的概率等于( )
1131 A.4 B.3 C.8 D.2 解析:共 23=8 种情况,符合要求的有(正,反,反), (反,正,反),(反,反,正)3 种,故 P=38. 答案:C

2.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为 点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 x+y=5 下方的概率 为( )
11 1 1 A.6 B.4 C.12 D.9 解析:试验是连续掷两次骰子,故共包含 6×6=36 个基本事件.事件:点 P 在 x+y=5 下方,共包含(1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共 6 个基本事件, 故 P=366=16. 答案:A

3.连续掷两次骰子分别得到点数 m、n,则向量(m, n)与向量(-1,1)的夹角 θ>90°的概率是( )
5 7 11 A.12 B.12 C.3 D.2 解析:即(m,n)·(-1,1)=-m+n<0,故所以 m>n, 基本事件总共有 6×6=36 个, 符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2), (4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共 1+2 +3+4+5=15 個,故 P=1356=152. 答案:A

4.现有 7 名数理化成绩优秀者,分别用 A1,A2,A3, B1,B2,C1,C2 表示,其中 A1,A2,A3 的数学成绩优秀, B1,B2 的物理成绩优秀 C1,C2 的化学成绩优秀.从中选 出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个小组代 表学校参加竞赛,则 A1 或 B1 仅一人被选中的概率为 ()
A.13 B.25 C.12 D.56

解析:从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1
名的基本事件有: (A1B1C1)(A1B1C2)(A1B2C1)(A1B2C2)(A2B1C1)(A2B1C2)(A2B2 C1)(A2B2C2)(A3B1C2)(A3B1C1)(A3B2C2)(A3B2C1)共 12 种,其
中符合条件的基本事件有 6 种,故 A1 或 B1 仅一人被选中 的概率为12.
答案:C

5.已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用 随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概 率:选由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1, 2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中:再以每 三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生 了如下 20 组随机数:
907 965 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
() A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15

解析:由题意知在 20 组随机数中表示三次投篮恰有 两次命中的有:191、271、932、812、393 共 5 组随机数, 故所求概率为250=14=0.25.
答案:B

6.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每

个矩形

只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂不

同颜色的概率是________.

解析:由于只有两种颜色,不妨将其设为 1 和 2,若

只用一种颜色有 111;222.若用两种颜色有 122;212;221;

211;121;112.所以基本事件共有 8 种.又相邻颜色各不

相同的有 2 种,故所求概率为14. 答案:14

7.若集合 A={a|a≤100,a=3k,k∈N*},集合 B ={b|b≤100,b=2k,k∈N*},在 A∪B 中随机地选取一 个元素,则所选取的元素恰好在 A∩B 中的概率为 ________.
解析:A={3,6,9,…,99},B={2,4,6,…, 100},
A∩B={6,12,18,…,96}.

因为 A∩B 中有元素 16 个,A∪B 中元素共有 33+ 50-16=67 个,
所以概率为1667. 答案:1667

8.设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,令 平面向量 a=(m,n),b=(1,-3).
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率; (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率. 解:(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,
3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共 36 种.

a⊥b,即 m-3n=0,即 m=3n,共有 2 种:(3,1), (6,2),
所以事件 a⊥b 的概率为326=118. (2)|a|≤|b|,即 m2+n2≤10,共有(1,1),(1,2),(1, 3),(2,1),(2,2),(3,1)6 种,其概率为366=16.

9.在一个不透明的箱子里装有 5 个完全相同的小球, 球上分别标有数字 1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个 小球,记下球上所标数字后,将该小球放回箱子中摇匀 后,乙再从该箱子中摸出一个小球.
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜 (数字相同为平局),求甲获胜的概率;
(2)规定:两人摸到的球上所标数字之和小于 6,则甲 获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?

解:用(x,y)(x 表示甲摸到的数字,y 表示乙摸到的 数字)表示甲、乙各摸一球构成基本事件,则基本事件为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共 25 个.

(1)设甲获胜为事件 A,则事件 A 包含的基本事件有 (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1), (5,2),(5,3),(5,4),共有 10 个,则甲获胜的概率为 P(A)=1205=25.

(2)设甲获胜的事件为 B,乙获胜的事件为 C.事件 B 所包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2, 1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1), 共有 10 个,
则 P(B)=1205=25,所以 P(C)=1-P(B)=1-25=35. 因为 P(B)≠P(C),所以这样规定不公平.


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