haihongyuan.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

(最新)高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系质量评估检测 人教A版必修2

(最新)高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系质量评估检测 人教A版必修2

精品资料 精品资 料精品 资料精 品资料
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系质量评估检测 新
人教 A 版必修 2
时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法不正确的是( ) A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

解析:如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD⊥平面 DCC1D1,因此平面 ABCD、平面

AA1D1D 均与平面 DCC1D1 垂直而且平面 AA1D1D∩平面 ABCD=AD,显然选项 D 不正确,故选 D.

答案:D

2.

长白山高一检测 设 a,b 是两条直线,α ,β 是两个平面,若 a∥α ,a

? β ,α ∩β =b,则 α 内与 b 相交的直线与 a 的位置关系是( )

A.平行

B.相交

C.异面

D.平行或异面

解析:因为 a∥α ,a? β ,α ∩β =b,

所以 a∥b.又因为 a 与 α 无公共点,所以 α 内与 b 相交的直线与 a 异面.

答案:C

3.

银川高一检测 如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,

G 分别是 DD1,AB,CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角为( )

A.30° B.45°

C.60° D.90°

解析: 连接 EG,B1G,B1F, 则:A1E∥B1G, 故∠B1GF 为异面直线 A1E 与 GF 所成的角.
由 AA1=AB=2,AD=1 可得 B1G= 2,GF= 3,B1F= 5, ∴B1F2=B1G2+GF2,∴∠B1GF=90°,即异面直线 A1E 与 GF 所成的角为 90°.

答案:D

4.

广东执信中学高一检测 下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶

点,M,N,P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )









A.①③ B.①④

C.②③ D.②④

解析:

如图所示:平面 ABC∥平面 MNP,

所以 AB∥平面 MNP,

故①正确.

④中易证 NP∥AB,故 AB∥平面 MNP.②③不正确.

答案:B

5.

广东高考 设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命

题中正确的是( )

A.若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则 m⊥n

B.若 α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n

C.若 m⊥n,m? α ,n? β ,则 α ⊥β

D.若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β

解析: 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 BCC1B1⊥平面 ABCD,BC1? 平面 BCC1B1,BC? 平 面 ABCD,而 BC1 不垂直于 BC,故 A 错误. 平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD,B1D1? 平面 A1B1C1D1,AC? 平面 ABCD,但 B1D1 和 AC 不平行,故 B 错误. AB⊥A1D1,AB? 平面 ABCD,A1D1? 平面 A1B1C1D1,但平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD,故 C 错误.故 选 D. 答案:D 6.设直线 l? 平面 α ,过平面 α 外一点 A 与 l,α 都成 30°角的直线有且只有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
解析:如图,和 α 成 30°角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC =∠ACB=30°,直线 AC,AB 都满足条件,故选 B.

答案:B 7.

山东高考

已知三棱柱

ABC-A1B1C1

9 的侧棱与底面垂直,体积为4,底面积是

边长为 3的正三角形,若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( ) A.51π2 B.π3

C.π4 D.π6

解析:取正三角形 ABC 的中心 O,连结 OP,则∠PAO 是 PA 与平面 ABC 所成的角.

因为底面边长为 3,所以 AD= 3× 23=32,AO=23AD=23×32=1.三棱柱的体积为12

×( 3)2× 23AA1=94,解得 AA1= 3,即 OP=AA1= 3,所以 tan∠PAO=OOAP= 3,即∠PAO

=π3 .

答案:B

8.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为( )

1

2

A.3 B. 3

32 C. 3 D.3

解析:由题意知三棱锥 A1-ABC 为正四面体,设棱长为 a,则 AB1= 3a,棱柱的高 A1O

= a2-AO2= a2-???23× 23a???2= 36a(即点 B1 到底面 ABC 的距离),故 AB1 与底面 ABC 所成

角的正弦值为AA1BO1=

2 3 ,故选

B.

答案:B

9.在四面体 A-BCD 中,已知棱 AC 的长为 2,其余各棱长都为 1,则二面角 A-CD-B

的平面角的余弦值为( )

A.12

B.13

C.

3 3

D.

2 3

解析:取 AC 的中点 E,CD 的中点 F,连接 EF,BF,BE,∵AC= 2,其余各棱长都为 1, ∴AD⊥CD,∴EF⊥CD.
又∵BF⊥CD, ∴∠BFE 是二面角 A-CD-B 的平面角.

∵EF=12,BE= 22,BF= 23,

∴EF2+BE2=BF2.∴∠BEF=90°,∴cos∠BFE=EBFF= 33,故选 C.

答案:C

10.

大纲全国卷 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1

所成角的正弦值等于( )

A.23

B.

3 3

C.

2 3

D.13

解析:如图,设 AB=a,则 AA1=2a,三棱锥 C-BDC1 的高为 h,CD 与平面 BDC1 所成的角 为α .
因为 VC-BDC1=VC1-BDC,即13×12× 2a×3 2 2ah=13×12a2×2a,解得 h=23a.所以 sinα =ChD=23.
答案:A 11.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列结论正确 的是( )
A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 解析:易知:△BCD 中,∠DBC=45°,∴∠BDC=90°, 又平面 ABD⊥平面 BCD,而 CD⊥BD,∴CD⊥平面 ABD,∴AB⊥CD, 而 AB⊥AD,∴AB⊥平面 ACD,∴平面 ABC⊥平面 ACD. 答案:D 12.已知平面 α ⊥平面 β ,α ∩β =l,在 l 上取线段 AB=4,AC、BD 分别在平面 α 和平面 β 内,且 AC⊥AB,DB ⊥AB,AC=3,BD=12,则 CD 的长度为( ) A.13 B. 151 C.12 3 D.15

解析: 如图,连接 AD. ∵α ⊥β ,∴AC⊥β ,DB⊥α , 在 Rt△ABD 中,
AD= AB2+BD2= 42+122= 160.
在 Rt△CAD 中,CD= AC2+AD2= 32+160=13. 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是平面 AA1D1D 的中心,点 Q 是 B1D1 上 一点,且 PQ∥平面 AB1D,则线段 PQ 长为________. 解析:连接 AB1,AD1,

因为点 P 是平面 AA1D1D 的中心, 所以点 P 是 AD1 的中点, 因为 PQ∥平面 AB1,PQ? 平面 AB1D1,平面 AB1D1∩平面 AB1=AB1,

所以

PQ∥AB1,所以

PQ=12AB1=

2 2.

2 答案: 2
14.在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,当底面四边形 A1B1C1D1 满足条件________时,有 A1C ⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).
解析:由直四棱柱可知 CC1⊥面 A1B1C1D1,所以 CC1⊥B1D1,要使 B1D1⊥A1C,只要 B1D1⊥平 面 A1CC1,所以只要 B1D1⊥A1C1,还可以填写四边形 A1B1C1D1 是菱形,正方形等条件.
答案:B1D1⊥A1C1(答案不唯一)

15.

北京高考 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,

点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 上的距离的最小值为________.

解析:如图,过点 E 作 EE1⊥平面 A1B1C1D1,交直线 B1C1 于点 E1,

连接 D1E1,DE,在平面 D1DEE1 内过点 P 作 PH∥EE1 交 D1E1 于点 H,连接 C1H,则 C1H 即为

点 P 到直线 CC1 的距离.当点 P 在线段 D1E 上运动时,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为点

C1 到线段 D1E1 的距离,即为△C1D1E1 的边 D1E1 上的高 h.

∵C1D1=2,C1E1=1,∴D1E1=

5,∴h=

2 =2 5

5

5.

答案:2 5 5 16.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下三个结论. ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60°的角; 说法正确的命题序号是________.

解析:

如图所示,①取 BD 中点 E,连接 AE,CE,则 BD⊥AE,BD⊥CE,而 AE∩CE=E,∴BD⊥ 平面 AEC,AC? 平面 AEC,故 AC⊥BD,故①正确.
②设正方形的边长为 a,

则 AE=CE= 22a.

由①知∠AEC=90°是直二面角 A-BD-C 的平面角,且∠AEC=90°,∴AC=a,

∴△ACD 是等边三角形,故②正确.

③由题意及①知,AE⊥平面 BCD,故∠ABE 是 AB 与平面 BCD 所成的角,而∠ABE=45°,

所以③不正确.

答案:①②

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 10 分)

日照高一检测 如图,正四棱锥 S-ABCD 的底面是边

长为 a 的正方形,侧棱长是底面边长的 2倍,O 为底面对角线的交点,P 为侧棱 SD 上的点.

(1)求证:AC⊥SD; (2)F 为 SD 中点,若 SD⊥平面 PAC,求证:BF∥平面 PAC. 证明:(1)连接 SO,

∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AC⊥BD 且 O 为 AC 中点, 又∵SA=SC, ∴SO⊥AC, 又∵SO∩BD=O, ∴AC⊥平面 SBD, 又∵SD? 平面 SBD, ∴AC⊥SD.

(2)连接 OP, ∵SD⊥平面 ACP,OP? 平面 ACP, ∴OP⊥SD,
又△SBD 中,BD= 2a=SB,且 F 为 SD 中点, ∴BF⊥SD, 因为 OP、BF? 平面 BDF,所以 OP∥BF, 又∵OP? 平面 ACP,BF?平面 PAC, ∴BF∥平面 PAC.

18.(本小题满分 12 分)

江苏高考 如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平

面 SBC,AB⊥BC,AS=AB,过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.

求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC.

(2)BC⊥SA.

证明:(1)因为 AS=AB,AF⊥SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.

又因为 E 是 SA 的中点,所以 EF∥AB.

因为 EF?平面 ABC,AB? 平面 ABC,

所以 EF∥平面 ABC.

同理 EG∥平面 ABC.

又因为 EF∩EG=E,

所以平面 EFG∥平面 ABC.

(2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB,又因为 AF? 平面 SAB,AF⊥SB,

所以 AF⊥平面 SBC,因为 BC? 平面 SBC,

所以 AF⊥BC.

又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF? 平面 SAB,AB? 平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB.

又因为 SA? 平面 SAB,所以 BC⊥SA.

19.(本小题满分 12 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面

ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE.

(1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值. 解析:(1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD ∵PC⊥平面 BDE, ∴PC⊥BD.

∴BD⊥平面 PAC. (2)设 AC 与 BD 交点为 O,连接 OE. ∵PC⊥平面 BDE,∴PC⊥OE.

又∵BO⊥平面 PAC, ∴PC⊥BO,

∴PC⊥平面 BOE,∴PC⊥BE,

∴∠BEO 为二面角 B-PC-A 的平面角.

∵BD⊥平面 PAC,

∴BD⊥AC,

∴四边形 ABCD 为正方形,

∴BO= 2.

在△PAC

OE PA 中,OC=PC?

OE2=13? OE=

32,

∴tan∠BEO=OBEO=3,

∴二面角 B-PC-A 的平面角的正切值为 3.

20.(本小题满分 12 分)

新课标全国卷Ⅰ 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=

CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:AB⊥A1C;

(2)若 AB=CB=2,A1C= 6,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

解析:(1)取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B.

因为 CA=CB,所以 OC⊥AB.

由于 AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C.

(2)由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,所以 OC=OA1= 3,又 A1C=

6,则 A1C2=OC2+OA21,故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又 S△ABC=12AB·OC= 3,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC×OA1= 3× 3=3.

21.(本小题满分 12 分)

湖南高考 如图,在直棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=

90°,AB=AC= 2,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在棱 BB1 上运动. (1)证明:AD⊥C1E; (2)当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时,求三棱锥 C1-A1B1E 的体积.

解析:(1)证明:因为 AB=AC,D 是 BC 的中点,所以 AD⊥BC,① 又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC, 而 AD? 平面 ABC,所以 AD⊥BB1,②

由①②可得 AD⊥平面 BB1C1C,因为点 E 在棱 BB1 上运动. 得 C1E? 平面 BB1C1C,所以 AD⊥C1E. (2)因为 AC∥A1C1,所以∠A1C1E 是异面直线 AC 与 C1E 所成的角,所以∠A1C1E=60°,因 为∠B1A1C1=∠BAC=90°,所以 A1C1⊥A1B1, 又 AA1⊥A1C1,从而 A1C1⊥平面 A1ABB1,于是 A1C1⊥A1E, 故 C1E=coAs16C01°=2 2,又 B1C1=2,所以 B1E=2,

从而 VC1-A1B1E=13S△A1B1E×A1C1=13×12×2×



2 2=3.

22.(本小题满分 12 分)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD

⊥AB,AB= 2,AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 FB1C1E 与直线 AA1 的交点. (1)证明:①EF∥A1D1; ②BA1⊥平面 B1C1EF. (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.

解析:(1)证明:①由 AD∥BC,BC∥B1C1 可得 AD∥B1C1,

又 B1C1?平面 AA1D1D,AD? 平面 AA1D1D,

∴B1C1∥平面 AA1D1D,

又平面 B1C1E∩平面 AA1D1D=EF,

∴B1C1∥EF,又 A1D1∥B1C1,∴EF∥A1D1.

②在

Rt△FA1B1 和

Rt△A1B1B

中,AF1AB11=AB1BB11=

1, 2

∴Rt△FA1B1∽Rt△A1B1B, ∴∠A1FB1=∠BA1B1, ∵∠A1FB1+∠A1B1F=90°, ∴∠BA1B1+∠A1B1F=90°, ∴A1B⊥B1F, 由 AD⊥AB 可得 B1C1⊥A1B1, 又 B1C1⊥BB1, ∴B1C1⊥平面 A1B1B, 又 A1B? 平面 A1B1B,可得 BA1⊥B1C1, 又 BA1⊥B1F,且 B1F∩B1C1=B1, ∴BA1⊥平面 B1C1EF. (2)设 A1B∩B1F=O,连接 C1O, 由(1)可知 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角为∠BC1O, 在 Rt△A1B1B 中,BB21=BO·BA1, 即 22=BO· 6,解得 BO= 4 ,
6

4

∴sin∠BC1O=BBCO1=2

6 =
5

1350,

∴BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值为 1350. 最新精品资料


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com