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广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中考试数学(文)试卷(含部分答案)

广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中考试数学(文)试卷(含部分答案)

一.选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.)

1.设全集U ? {a,b, c, d, e} ,集合 M ? {a, d} , N ? {a, c, e} ,则 N (CU M ) ? ( )

A.{c, e}

B.{a, c}

C.{d , e}

D.{a, e}

2.命题“ ?x ? R,| x | ?x2 ? 0 ”的否定是( )

A. ?x ? R,| x | ?x2 ? 0

B. ?x ? R,| x | ?x2 ? 0

C. ?x0 ? R,| x0 | ? x02 ? 0 3.设函数 f (x) ? x ln x ,则( )

D. ?x0 ? R,| x0 | ? x02 ? 0

A. x ? 1 为 f (x) 的极大值点

B. x ? 1 为 f (x) 的极小值点

C. x ? 1 为 f (x) 的极大值点 e

D. x ? 1 为 f (x) 的极小值点 e

4.若 tan? ? 0 ,则( )

A. sin? ? 0

B. cos? ? 0

C. sin 2? ? 0

D. cos 2? ? 0

?(a ? 2)x, x ? 2

5.设函数

f

(x)

?

?

???(

1 2

)

x

?1,

x

?

2



R

上的单调递减函数,则实数 a

的取值范围为(

)

A. (??, 2)

B. (??,13] 8

C. (0, 2)

D.[13 , 2) 8

6.已知 b ? 0 , log5 b ? a , lg b ? c , 5d ? 10 ,则下列等式一定成立的是( )

A. d ? ac

B. a ? cd

C. c ? ad

D. d ? a ? c

7.函数 f (x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f '(x) ? 2 ,则 f (x) ? 2x ? 4 的解

集为( ) A. (?1, ??)

B. (??, ?1)

C. (2, ??)

D. (??, ?2)

8.在函数① y ? cos | 2x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos(2x ? ? ) ,④ y ? tan(2x ? ? ) 中,最

6

4

小正周期为? 的所有函数为( )

A.①②③

B.①③④

C.②④

D.②③

9.已知 函数 f (x) ? 4 ? x2 , g(x) 是定义在 (??, 0) (0, ??) 上的奇 函数,当 x ? 0 时 ,

g(x) ? log2 x ,则函数 y ? f (x) ? g(x) 的大致图象为( )

10.设函数 f (x) ? x? ?1(? ? Q) 的定义域为[?b, ?a] [a,b] ,其中 0 ? a ? b ,且 f (x) 在区

间[a, b] 上的最大值为 6 ,最小值为 3 ,则 f (x) 在区间[?b, ?a] 上的最大值与最小值的和是

()

A. 5或9

B. ?9或 ? 3

C. ?5或9

D. ?9或5

二.填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(11-13 题)

11.函数 y ? x ? 2 的定义域为

.

log3 x ?1

12.已知 f (x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ?[0, 3) 时, f (x) ?| x2 ? 2x ? 1 | .若函
2

数 y ? f (x) ? a 在 区 间 [?3, 4] 上 有 10 个 零 点 ( 互 不 相 同 ) , 则 实 数 a 的 取 值 范 围





13. 如 图 所 示 , 函 数 y ? f (x) 的 图 象 由 两 条 射 线 和 三 条 线 段 组 成 . 若 ?x ? R ,

f (x) ? f (x ?1) ,则正实数 a 的取值范围为



(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2? cos2 ? ? sin? 与 ? cos? ? 1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标

系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为



15.(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB ? 2 AE ,AC



DE

交于点

F

,则

?CDF ?AEF

的周长 的周长



. D

C

F

A

E

B

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 12 分)设命题 p : 实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q :实数 x 满足 x2 ? x ? 6 ? 0 ,且 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? Asin(x ? ? ) , x ? R ,且 f (5? ) ? 3 2 .

3

12 2

(1)求 A 的值;

(2)若 f (? ) ? f (?? ) ? 3 ,? ? (0, ? ) ,求 f (? ?? ) .

2

6

18.(本小题满分 14 分)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中 a 的值;
(2)分别求出成绩落在[50, 60) 与[60, 70) 中的学生人数; (3)从成绩在[50, 70) 的学生中任选 2 人,求此 2 人中仅有一人成绩在[60, 70) 中的概率.
19.(本小题满分 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA ? 平面 ABCD ,
E 为 PD 的中点.
(1)证明: PB / / 平面 AEC ;
(2)设 AP ? 1, AD ? 3 ,三棱锥 P ? ABD 的体积V ? 3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

20.(本小题满分 14 分)设等差数列{an}的公差为 d ,点 (an , bn )(n ? N *) 在函数 f (x) ? 2x 的
图象上.

(1)证明:数列 {bn } 为等比数列;

(2)若

a1

? 1,函数

f

(x)

的图象在点

(a2 , b2 )

处的切线在

x

轴上的截距为

2

?

1 ln 2

,求数列

{anbn2}(n ? N *) 的前 n 项和 Sn .

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? ex ? e?x ,其中 e 是自然对数的底数.
(1)证明: f (x) 是 R 上的偶函数.
(2)若关于 x 的不等式 mf (x) ? e?x ? m ?1 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围.
(3)已知正数 a 满足:存在 x0 ?[1, ??) ,使得 f (x0 ) ? a(?x02 ? 3x0 ) 成立.试比较 ea?1 与 ae?1
的大小,并证明你的结论.

高三期中考试数学(文)选择题答案 ACDCB BAABC


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