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高三阶段性复习诊断考试试题
理科数学
本试卷，分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟，考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回， 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上． 2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正 带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
第 I 卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．若复数 a ? i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则实数 a 的值为 1 ? 2i
A. ? 1 2
B． ? 2
C． 1
D.2
5
5
2． 己知向量 a,b 的夹角为 120 ， a ? 2 ，且
(2a ? b) ? a, 则 b ?
A．6
B.7
C．8
D.9
3．已知命题 p : ?x ? R, x2 ? 2ax ? a ? 0 ．若命题 p 是假
命题，则实数 a 的取值范围是
A. a<0 或 a>l
B． a ? 0或a ? 1
C．0≤a≤1
D．0<a<l
4．右图所示的程序框图，如果输入的 n 为 6，那么输
出的 n 为
A. 16
B．10
C.5
D.3
5．过抛物线 y2 ? 8x 焦点的直线交该抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 4，则
AB ?
A. 14
B．12
C.l0
D.8
6．函数 y ? ex x2 ? 1 的部分图象为
7．函数 f (x) ? sin(?x ? ?) （其中 ? ? ? )的图象如图所 2
示，为了得到 g(x) ? cos?x 的图象，则只要将 f (x) 的图象
A.向右平移 ? 个单位长度 6
C．向左平移 ? 个单位长度 6
B.向左平移 ? 个单位长度 12
D.向右平移 ? 个单位长度 12
8．M 是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，给出下列结论：
①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C 都相交；
②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C 都垂直；
③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C 都相交；
④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C 都平行，
其中正确的是
A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
9．先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别有 l，2，3，4，5，6 个点），落在水平桌面后，记
正面朝上的点数分别为 x，y，设事件 A 为“x+y 为偶数”，事件 B 为“x,y 中有偶数且 x≠y”，
则概率 P(B | A) =
1
1
1
2
A.
B.
C.
D.
2
3
4
5
10．若实数 a，b,c,d 满足 (b ? a2 ? 3ln a)2 ? (c ? d ? 2)2 ? 0 ，则 (a ? c)2 ? (b ? d )2 的最小
值为
A.8
B． 2 2
C．2
D. 2
第Ⅱ卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．函数 y ? 2sin(? ? 2x)(x ??0,? ?) 为增函数的区间是________，
6 12．设双曲线 x2 ? y2 ? 1的两条渐近线与直线 x ? 2 围成的三角形区域（包含边界）
2
为 D，点 P(x，y)为 D 内的一个动点，则目标函数 z=x-2y 的最小值为______．
13．己知 x>0，y>0，且 x ? y ? 1 ? 1 ? 5 ，则 x+y 的最大值是______. xy
14．己知数列?an? 是一个单调递减数列，其通项公式是 an ? ?n2 ? ?n （其中 n ? N ? ）
则常数 ? 的取值范围________．
15．对于定义在 R 上的函数 f (x) 图象连续不断，若存在常数 a(a ? R) ，使得
f (x ? a) ? af (x) ? 0 对任意的实数 x 成立，则称 f (x)是阶数为 a 的回旋函数，
现有下列 4 个命题：
① f (x) ? x2 必定不是回旋函数；
②若 f (x) ? sin?x(? ? 0) 为回旋函数，则其最小正周期必不大于 2；
③若指数函数为回旋函数，则其阶数必大于 1；
④若对任意一个阶数为 a(a ? 0) 的回旋函数 f (x)，方程 f (x) ? 0 均有实数根，
其中为真命题的是________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分． 16．（本题满分 12 分）
己知向量
m
?
? ??
3 sin
x 4
,1???, n
?
? ??
cos
x ,cos2 4
x 4
? ??
，记
f
(x)
?
m?n
.
(I)若
f
(x)
?
1
，求
cos
? ??
2? 3
?
x
? ??
的值；
( II)在锐角 ? ABC 申，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足( (2a ? c) cos B ? b cosC ,
求函数 f ( A) 的取值范围．
17．（本题满分 12 分）
己知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角 形，侧面 A1ACC1为菱形， ?A1AC ? 60 ，平面 A1ACC1 ? 平面 ABC，N 是 CC1 的中点．
(I)求证： A1C ? BN；
( II)求二面角 B ? A1N ? C 的余弦值．
18．（本题满分 12 分） 袋中装有大小相同的 9 个小球，其中 5 个红球编号分别为 1，2，3，4，5，4 个白球编号分别 为 1，2，3，4，从袋中任意取出 3 个球． (I)求取出的 3 个球编号都不相同的概率； ( II)记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值，求 X 的分布列与数学期望． 19．（本题满分 12 分）
? ? 己知数列 an 满足 a1 ? 1, a2n ? a2n?1 ? 2, a2n?1 ? a2n ? 3n (n ? N ?) ．
(I)计算： (a3 ? a1) ? (a5 ? a3) ，并求 a5 ；
( II)求 a2n?1 (用含 n 的式子表示）；
(III)记数列?an? 的前 n 项和为 Sn ，求 Sn ．
20.（本题满分 13 分）
如图，己知抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 和
： (x ? 4)2 ? y2 ? 1 ，过抛物线 C 上一点
H (x0, y0 )( y0 ? 1) 作两条直线与
相切于 A，B 两点，分别
交抛物线为 E，F 两点，圆心 M 到抛物线准线的距离为 17 ． 4
(I)求抛物线 C 的方程；
( II)当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时，求直线 EF 的斜率；
(III)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t，求 t 的最小值． 21．（本题满分 14 分）
设函数 f (x) ? ln x ? x2 ? ax （其中无理数 e ? 2.71828 ? ??, a ? R) ．
(I)若函数 f (x) 的图象在 x ? 1 处的切线与直线 y ? 2x 平行，求实数 a 的值，并求此时函数 2
f (x) 的值域；
( II)证明： ?? ? (0,1),?x1, x2 ? (0, ??), f (? x1 ? (1 ? ?)x2) ? ? f (x1) ? (1 ? ?) f (x2) ；
? (III)设 g(x) ? xe1?x ，若对于任意给定的 x0 ? ?0,e ，方程 f (x) ? 1 ? g(x0 ) 在 ?0,e? 内有两个
不同的根，求实数 a 的取值范围，
高三阶段性复习诊断考试
数学试题参考答案及评分说明 2014.5
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．A
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11．
? ??
? 3
,
5? 6
? ??
12． ? 2 2
13． 4
14．（文科）
2
?
? ??
1 3
? ??
n
(n
?
N
*
)
14．（理科） (??,3)
15．①②④
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（文科 本题满分 12 分）
解：（Ⅰ） f ? x? ? m ? n = 3 sin x cos x ? cos2 x
44
4
=
3 2
sin
x 2
?
1 2
cos
x 2
?
1 2
?
sin
? ??
x 2
?
? 6
? ??
?
1 2
因为
f
(x)
?
1
，所以 sin
? ??
x 2
?
? 6
? ??
?
1 2
…………………………………4 分
cos
? ??
x
?
? 3
? ??
?1?
2 sin2
? ??
x 2
?
? 6
? ??
?
1 2
cos
? ??
2? 3
?
x
? ??
?
?
cos
? ??
x
?
? 3
? ??
?
?
1 2
……………………6 分
（Ⅱ）因为 ?2a ? c? cos B ? b cos C 由正弦定理得 ?2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C ……………………7 分
所以 2sin Acos B ? sin C cos B ? sin B cos C
所以 2sin Acos B ? sin ? B ? C ?
因为 A ? B ? C ? ? ，所以 sin ? B ? C ? ? sin A ，且 sin A ? 0
所以 cos B ? 1 , B ? ? 23
……………………8 分
所以 0 ? ? ? 2? 3
……………………9 分
所以 ? 6
?
A 2
?
? 6
?
? 2
,
1 2
?
sin
? ??
A 2
?
? 6
? ??
??
……………………10 分
又因为
f
?x?
=m
n
?
sin
? ??
x 2
?
? 6
? ??
?
1 2
所以
f
?
A?
?
sin
? ??
A 2
?
? 6
? ??
?
1 2
……………………11 分
故函数 f ? A? 的取值范围是
???1,
3 2
? ??
16．（理科 本题满分 12 分）
解：（Ⅰ） f ? x? ? m ? n = 3 sin x cos x ? cos2 x
44
4
……………………12 分
=
3 2
sin
x 2
?
1 2
cos
x 2
?
1 2
?
sin
? ??
x 2
?
? 6
? ??
?
1 2
因为
f
(x)
?
1
，所以
sin
? ??
x 2
?
? 6
? ??
?
1 2
……………………………………4 分
cos
? ??
x
?
? 3
? ??
?
1?
2 sin2
? ??
x 2
?
? 6
? ??
?
1 2
cos
? ??
2? 3
?
x
? ??
?
?
cos
? ??
x?
? 3
? ??
?
?
1 2
（Ⅱ）因为 ?2a ? c? cos B ? b cos C
……………………6 分
由正弦定理得 ?2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C ……………………7 分
所以 2sin Acos B ? sin C cos B ? sin B cos C
所以 2sin Acos B ? sin ? B ? C ?
因为 A ? B ? C ? ? ，所以 sin ? B ? C ? ? sin A ，且 sin A ? 0
所以 cos B ? 1 , B ? ? 23
……………………8 分
所以 A ? C ? 2? ，因为 ?ABC 为锐角三角形 3
所以 0 ? ? ? ? 且 0 ? C ? ? ，即 ? ? 2? ? A ? ?
2
2
3
2
所以 0 ? ? ? ? 且 ? ? A ? 2? ，所以 ? ? ? ? ?
26
3
6
2
……………………9 分
所以 ? ? 4
A ? ? ? 5? , 2 6 12
2 2
?
sin
? ??
A 2
?
? 6
? ??
?
6? 4
2
…………………10 分
又因为
f
?x?=
m
n
?
sin
? ??
x 2
?
? 6
? ??
?
1 2
，所以
f
? A?
?
sin
? ??
A 2
?
? 6
? ??
?
1 2
……11
分
故函数
f
?
A?
? 的取值范围是 ???
2?2, 2
6
?
4
2
?
2
? ???
.
17．（文科 本题满分 12 分）
……………………12 分
证明：（Ⅰ）取 A1B 的中点 P ，连接 PM , PN .
A1
C1
因为 M , P 分别是 AB , A1B 的中点，
所以
PM
∥
AA1 , PM
?
1 2
AA1
………2 分
又因为 AA1 ∥ CC1 ,
所以 PM ∥ CN 且 PM =CN
P O A
M B
B1 N
C
所以 四边形 PMCN 为平行四边形，
所以 PN ∥ CM ．………………………………………………………………4 分
又因为 CM ? 平面 A1BN ， PN ? 平面 A1BN ， 所以 CM ∥平面 A1BN ． ………………………………………………………6 分 （Ⅱ）取 AC 的中点 O ,连结 BO ， ON .
由题意知 BO ? AC ，又因为 平面 A1ACC1 ? 平面 ABC ，
所以 BO ? 平面 A1ACC1 ．
…………………………………………8 分
因为 A1C ? 平面 A1ACC1 所以 BO ? A1C
因为 四边形 A1ACC1 为菱形，所以 A1C ? AC1
又因为 ON ∥ AC1, 所以 A1C ? ON
所以 A1C ? 平面 BON ， 又 BN ? 平面 BON …………………………10 分
所以 A1C ? BN ．
17．（理科 本题满分 12 分）
……………………………………………12 分
解证：（Ⅰ）证明：方法一
取 AC 的中点 O ,连结 BO ， ON ,由题意知 BO ? AC ．
又因为平面 A1ACC1 ? 平面 ABC ， 所以 BO ? 平面 z
A1ACC1 ．………………2 分
A1
因为 A1C ? 平面 A1ACC1 所以 BO ? A1C
因为 四边形 A1ACC1 为菱形，所以 A1C ? AC1
又因为 ON ∥ AC1, 所以 A1C ? ON
A
O
所以 A1C ? 平面 BON ………………4 分
xB
又 BN ? 平面 BON ， 所以 A1C ? BN ．…6 分
C1
B1
N
Cy
方法二
取 AC 的中点 O ,连结 BO ， A1O , 由题意知 BO ? AC ， A1O ? AC . 又因为 平面 A1ACC1 ? 平面 ABC ，所以 A1O ? 平面 ABC 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ……………………2 分
? ? ? ? 则 O?0,0,0? , B
3, 0, 0 , A1 0, 0,
3
，
N
? ???
0,
3 2
,
3 2
? ???
,
C
?
0,1,
0?
，
? ? A1C ? 0,1, ? 3 .
? BN ? ??? ?
3, 3 , 2
3? 2 ???
……………………4 分
? ? 因为
A1C
BN
?0?
3? 2
?
3
3 2
?
0
，所以
A1C
?
BN
……………………6
分
（Ⅱ）取 AC 的中点 O ,连结 BO ， A1O , 由题意知 BO ? AC ， A1O ? AC . 又因为 平面 A1ACC1 ? 平面 ABC ，所以 A1O ? 平面 ABC 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ……………………7 分
? ? ? ? 则 O?0,0,0? , B
3, 0, 0 , A1 0, 0,
3
，
N
? ???
0,
3 2
,
3 2
? ???
,
A1N
?
? ??? 0,
3 2
,?
3 2
? ???
,
? ? A1B ? 3, 0, ? 3 .
设平面
A1BN
的法向量为
n1
?
(x,
y,
z)
，则
?? ?
A1
N
? n1
?
0,
?? A1B ? n1 ? 0.
即
? ? ?
3 2
y
?
3 z ? 0, 2
? ?
3x ?
3z ? 0.
令 x ? 1 .所以 n1 ? (1,
3 ，1) . 3
…………………………………………9 分
又平面 A1NC 的法向量 n2 ? (1, 0, 0)
…………………………………10 分
设二面角 B ? A1N ? C 的平面角为? ，则 cos? ?
n1 ? n2 n1 ? n2
?
21 .……………12 分 7
18．（文科 本题满分 12 分）
解: (Ⅰ) 用 (a, b) ( a 表示第一次取到球的编号, b 表示第二次取到球的编号)
表示先后两次取球构成的基本事件,
………………………………1 分
则基本事件有: (1, 2), (1,3), (1, 4), (2,1), (2,3), (2, 4), (3,1), (3, 2), (3, 4),
(4,1), (4, 2), (4,3), 共12 个.
……………………………………3 分
设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除”为事件 A ,
则事件 A 包含的基本事件有: (2,1), (2, 4), (4, 2), 共有 3 个,
…………5 分
所以 P( A) ? 3 ? 1 12 4
…………………………6 分
( Ⅱ ) 基 本 事 件 有 : (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3)
(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 共16 个.
……………8 分
设“直线 ax ? by ?1 ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 1 有公共点”为事件 B 16
由题意知 1 ? 1 ， 即 a2 ? b2 ? 16 ……………………………10 分 a2 ? b2 4
则事件 B 包含的基本事件有: (1, 4), (2, 4), (3,3), (3, 4), (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4), 共有 8 个,所
以 P(B) ? 8 ? 1 16 2
…………………………………12 分
18．（理科 本题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设“取出的 3 个球编号都不相同”为事件 A ,“取出的 3 个球中恰有两个球编号相 同”为事件 B ,则由题意知，事件 A 与事件 B 互为对立事件………………2 分
因为
P(B)
?
C41C71 C93
?
1 3
…………………………………………4 分
所以 P( A) ? 1? P(B) ? 1? 1 ? 2 33
……………………………………5 分
（Ⅱ） X 的取值为 1, 2,3 , 4
……………………………6 分
P( X ? 1) ? C21C72 ? C22C71 ? 49
C93
84
P( X ? 2) ? C21C52 ? C22C51 ? 25
C93
84
P( X
? 3) ?
C21C32 ? C22C31 C93
?
9 84
P( X ? 4) ? 1 ? 1 C93 84
X 的分布列为：
………………………………………7 分 ……………………………………8 分 ……………………………………9 分
………………………………10 分
X
1234
49 25 9 1 P
84 84 84 84
…
……………………11 分
EX ? 1? 49 ? 2? 25 ? 3? 9 ? 4? 1 ? 130 ? 65 ………………………12 分 84 84 84 84 84 42
19．(文科 本题满分 12 分)
解：（Ⅰ）由题设可得， a3 ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? 2 ? 31 ? 5
同理 a5 ? a3 ? 2 ? 32 ? 11
所以 (a3 ? a1) ? (a5 ? a3) ? 16 ，
…………………2 分
从而，有 a5 ? a1 ? 16 ，所以， a5 ? 17 ； ……………………3 分
（Ⅱ）由题设知， a2n?1 ? a2n?1 ? 3n ? 2 ， 所以， a2n?1 ? a2n?3 ? 3n?1 ? 2
a2n?3 ? a2n?5 ? 3n?2 ? 2
……
……………………4 分
a5 ? a3 ? 32 ? 2 a3 ? a1 ? 31 ? 2
将上述各式两边分别取和，得
……………………6 分
a2n?1 ? a1 ? (31 ? 32 ? ??? ? 3n?1) ? 2(n ?1)
所以， a2n?1
?
3n 2
?
2n ?
5 2
．
……………………8 分
（Ⅲ）由（Ⅱ），可得 a2n
?
3n 2
? 2n ?
1 2
，……………………9
分
所以， bn ? a2n?1 ? a2n ? 3n ? 4n ? 3
……………………10 分
所以 Sn
?
(31
? 32
? ??? ? 3n ) ? 4(1? 2 ? ??? ? n) ? 3n
?
3n?1 2
?
2n2
?n?
3 2
．……12
分
19．(理科 本题满分 12 分)
解：（Ⅰ）由题设可得， a3 ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? 2 ? 31 ? 5
同理 a5 ? a3 ? 2 ? 32 ? 11 所以 (a3 ? a1) ? (a5 ? a3) ? 16 ，
…………………2 分
从而，有 a5 ? a1 ? 16 ，所以， a5 ? 17 ；
……………………3 分
（Ⅱ）由题设知， a2n?1 ? a2n?1 ? 3n ? 2 ， 所以， a2n?1 ? a2n?3 ? 3n?1 ? 2
a2n?3 ? a2n?5 ? 3n?2 ? 2
……
……………………4 分
a5 ? a3 ? 32 ? 2 a3 ? a1 ? 31 ? 2
……………………6 分
将上述各式两边分别取和，得：
a2n?1
?
a1
?
(31
?
32
? ??? ? 3n?1)
?
2(n ?1)
，所以 a2n?1
?
3n 2
?
2n
?
5 2
．…………7
分
（Ⅲ）由（Ⅱ），可得 a2n
?
3n 2
?
2n ?
1 2
，所以 a2n?1
?
a2n
?
3n
?
4n ? 3 ………8
分
1°当 n 为偶数时，
n?2
Sn
?
(a1
?
a2 )
?
(a3
?
a4 )
?
? ? ?(an?1
?
an
)
?
32 2
? n2 ? n ? 3 ，………………10 分 2 22
2°当 n 为奇数时，若 n ? 1 ，则 S1 ? a1 ? 1.
若 n ? 3 ,则 Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ???(an?2 ? an?1) ? an
n?1
?
(31
?
32
?
????
n?1
32 )
?
4(1 ?
2
?
????
n
?1)
?
3(n
?1)
?
(3
2
? n? 3)
2
2
2
2
?
n?1
32
?
n2
?
n
?2．
22
综上可得 Sn
?
? ??? ?
n?2
32
2
?
n2 2
?
n 2
?
3 2
? ??
n?1
32
?
n2
?
n
?2
22
(n为偶数) (n为奇数)
……………………12 分
(方式二）由（Ⅱ），可得 a2n
?
3n 2
?
2n
?
1 2
，
不妨记 bn ? a2n?1 ? a2n ? 3n ? 4n ? 3 1°当 n 为偶数时，令 n ? 2m ，
……………………8 分
Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ??? ? (an?1 ? an ) ? b1 ? b2 ? ??? ? bm
? (31 ? 32 ? ??? ? 3m ) ? 4(1? 2 ? ??? ? m) ? 3m
n?2
?
3m?1 2
?
2m2
?
m
?
3 2
，即
Sn
?
32 2
? n2 ? n ? 3 ．……………………10 分 2 22
2°当 n 为奇数时，若 n ? 1 ，则 S1 ? a1 ? 1.
若 n ? 3 ，令 n ? 2m ?1，
Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ??? ? (an?2 ? an?1) ? an ? b1 ? b2 ? ??? ? bm?1 ? a2m?1
? 3m ? 2(m ?1)2 ? m ? 1 ? 3m ? 2m ? 5 ? 3m ? 2m2 ? 3m ?1 ，
2
22
2
即 Sn
?
n?1
32
?
n2 2
?
n 2
?2．
综上可得 Sn
?
? n?2
?3 2
? ?
2
?
n2 2
?
n 2
?
3 2
? ??
n?1
32
?
n2 2
?
n 2
?
2
20．（文科 本题满分 13 分）
(n为偶数) (n为奇数)
……………………12 分
解（Ⅰ）由题知，有| x ? 4 |? 2 (x ?1)2 ? y2 .
………………2 分
化简，得曲线 C 的方程： x2 ? y2 ? 1． 43
………………3 分
（Ⅱ）证明∵直线 l 的斜率为 1 ，且不过 P(1, 3) 点，
2
2
∴可设直线 l ： y ? 1 x ? m(且m ? 1) ． 2
………………4 分
? x2
联立方程组
?? ?
4
?
y2 3
? 1, 得 x2
? mx ? m2
?3?
0．
? ??
y
?
1 2
x
?
m.
………………6 分
?x1 ? x2 ? ?m,
又设
A(x , 1
y1 )、B( x2 ,
y2
)
，∴
? ?
x1
x2
?
m2
? 3,
，
??? ? 0 ? ?2 ? m ? 2.
kPA ? kPB
?
y1
?
3 2
x1 ?1
?
y2
?
3 2
x2 ?1
?
x1x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 2m ? 3 x1x2 ? (x1 ? x2 ) ?1
? 0.
所以 k PA ? k PB 为定值。
………………8 分
（Ⅲ）答：一定存在满足题意的定圆 N .
………………9 分
理由：∵动圆 M 与定圆 N 相内切，
∴两圆的圆心之间距离| MN | 与其中一个圆的半径之和或差必为定值.
又 D(1, 0) 恰好是曲线(椭圆) C 的右焦点，且 M 是曲线 C 上的动点，
记曲线 C 的左焦点为 F (?1, 0) ，联想椭圆轨迹定义，有| MF | ? | MD |? 4 …11 分
∴若定圆的圆心 N 与点 F 重合，定圆的半径为 4 时，则定圆 N 满足题意.
N 的方程为： (x ?1)2 ? y2 ? 16 .
……………………13 分
20.（理科 本题满分 13 分）
解（Ⅰ）∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 ? p ? 17 ， 24
∴ p ? 1 ，即抛物线 C 的方程为 y 2 ? x . 2
……………………2 分
（Ⅱ）法一：∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时，点 H (4,2) ，∴ kHE ? ?kHF ，
∴定圆
设 E(x1,
y1) ，
F (x2 ,
y2 ) ，∴
yH xH
? ?
y1 x1
?
?
yH xH
? ?
y2 x2
，
∴ yH ? y1 ? ? yH ? y2 ，
yH2 ? y12
yH2 ? y22
∴ y1 ?
y2
? ?2 yH
?
?4 ． kEF
?
y2 x2
? y1 ? x1
?
y2 ? y1 y22 ? y12
?
y2
1 ?
y1
?
? 1 ．……………7 分 4
法二：∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时，点 H (4,2) ，∴ ?AHB ? 60? ，
可得 kHA ? 3 ， kHB ? ? 3 ，∴直线 HA 的方程为 y ? 3x ? 4 3 ? 2 ，
联立方程组
? ?
y
?
?
3x ? 4 3 ? 2 ，得 y2 ? x
3y2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0，
∵ yE ? 2 ?
3 3
∴ yE ?
3? 3
6
，
xE
? 13 ? 4 3
3．
同理可得 yF ? ?
3 3
?
6
，
xF
? 13 ? 4 3
3
，∴ k EF
??1． 4
……………………7 分
（Ⅲ）法一：设
A( x1 ,
y1 ), B(x2 ,
y2 ) ，∵ kMA
?
y1 x1 ?
4
，∴ k HA
?
4 ? x1 y1
，
可得，直线 HA 的方程为 (4 ? x1 )x ? y1 y ? 4x1 ?15 ? 0 ，
同理，直线 HB 的方程为 (4 ? x2 )x ? y2 y ? 4x2 ?15 ? 0 ，
∴ (4 ? x1 ) y0 2 ? y1 y0 ? 4x1 ? 15 ? 0 ， (4 ? x2 ) y0 2 ? y2 y0 ? 4x2 ? 15 ? 0 ，
∴直线
AB
的方程为
(4
?
y2 0
)x
?
y0
y
?
4
y02
?15
?
0
，
令
x
?
0 ，可得 t
?
4 y0
?
15 y0
( y0
? 1) ，
∵ t 关于 y0 的函数在[1, ??) 单调递增，∴ tmin ? ?11 ．……………………13 分 法二：设点 H (m2 , m)(m ? 1) ， HM 2 ? m4 ? 7m2 ?16 ， HA2 ? m4 ? 7m2 ?15 ．
以 H 为圆心， HA 为半径的圆方程为 (x ? m2 )2 ? ( y ? m)2 ? m4 ? 7m2 ?15 ， .................①
⊙ M 方程： (x ? 4)2 ? y 2 ? 1． .............................................................................................②
①-②得:直线 AB 的方程为 (2x ? m2 ? 4)(4 ? m2 ) ? (2 y ? m)m ? m4 ? 7m2 ?14 ． 当 x ? 0 时，直线 AB 在 y 轴上的截距 t ? 4m ? 15 (m ? 1) ，
m ∵ t 关于 m 的函数在[1, ??) 单调递增，∴ tmin ? ?11 ． ……………………13 分
21．（文科 本题满分 14 分）
解证：（Ⅰ） f ?(x) ? ?2x2 ? ax ?1 ? ? 2x2 ? ax ?1 ． ……………………１分
x
x
要使 f (x) 在 ?0, e? 上不单调， f ?(x) 在 ?0, e? 内必有零点且在零点左右异号，
即 h(x) ? 2x2 ? ax ?1在 ?0, e? 内有零点且在零点左右异号． ……………3 分
因 为 ? ? a2 ? 8 ? 0 ， 所 以 方 程 2x2 ? ax ?1 ? 0 有 两 个 不 等 的 实 数 根 x1, x2 ， 由 于
x1x2
?
?1 2
?
0
，不妨设
x1
?
0, x2
?0
，所以
x2
??0, e?, x1
?0
，由
h(x)
图像可知：
h(0) ? h(e) ? 0 ，即 2e2 ? ae ?1 ? 0 ，解得 a ? 2e ? 1 ． e
………………６分
? ? （Ⅱ）因为
f
?? x0 ? ?
1 x0
? 2x0
?a
，又切点 C
x0 , ln x0 ? x02 ? ax0
，所以切线 l 的方程为
? ? y ? ln x0 ? x02 ? ax0
?
? ? ?
1 x0
?
2x0
?
a
? ?
?
x
?
?
x0
?
，即
y
?
? ? ?
1 x0
?
2 x0
?
a
? ? ?
x
?1?
x02
?
ln
x0
（
x0
为常数）.
……………………８分
令 g?x? ?
f
?
x?
?
?? ??
??
1 x0
? 2x0
?
a
? ?
x
?
1
?
x0
2
?
? ? ln x0 ?
?
?
ln
x
?
x2
?
?? ?? ??
1 x0
?
2 x0
? ? ?
x
?1?
x02
?
ln
? x0 ?
?
g??x?
?
1 x
?
2x
? ??
?
1 x0
?
2 x0
? ? ?
?
?
?
x
?
x0
?
? ?
?
2xx0 ?1 xx0
? ? ?
?
?
2( x
?
x0
)( x x
?
1 2 x0
)
，
……………10 分
因为 x0 ? 0 ， x ， g?? x? ， g ? x? 的关系如下表：
x
?0, x0 ?
x0
? x0, ???
g??x?
+
0
?
g ? x?
↗
极大值
↘
………………………………………12 分
因 为 g(x) ? g ? x0 ? ? 0 ， 所 以 函 数 f ? x? 图 象 上 不 存 在 位 于 直 线 l 上 方 的
点．
………………………………………………………………………14 分
21．（理科 本题满分 14 分）
解证：（Ⅰ） f ?(x) ? 1 ? 2x ? a ， x
……………………………………………1 分
因为函数
f
(x)
的图像在
x
?
1 2
处的切线与直线
y
?
2x
平行，所以
f
? ???
1 2
? ??
?
2
，
解得 a ? 1．
…………………………………………………………２分
此时 f (x) ? ln x ? x2 ? x ， f ?(x) ? ? 2x2 ? x ?1 ? ? ?2x ?1?? x ?1? ，
x
x
当 x ? ?0,1? 时，f ?(x) ? 0 ，f (x) 为增函数；当 x ? ?1, ??? 时，f ?(x) ? 0 ，f (x) 为减函数．由
此可知，当 x ? 1 时 f (x) 取得极大值 0 （同时也是最大值）．所以函数 f (x) 的值域为
???, 0? . ……………………………………………………3 分
（Ⅱ）要证 ?? ? (0,1),?x1, x2 ??0, ??? ， f ?? x1 ? (1? ?)x2 ? ? ? f (x1) ? (1? ?) f (x2 ) 只需要证明 ln ?? x1 ? (1? ?)x2 ? ? ?? x1 ? (1? ?)x2 ?2 ? a ?? x1 ? (1? ?)x2 ?
? ? ??ln x1 ? x12 ? ax1 ?? ? (1? ?) ??ln x2 ? x22 ? ax2 ?? 即可.
也就是要证明
ln ?? x1 ? (1? ?)x2 ? ? ?? ln x1 ? (1? ?) ln x2 ? ???x1 ? (1? ?)x2 ?2 ? ???x12 ? (1? ?)x22 ?? ? 0
因为（1）：
? ? ??? x1 ? (1? ?)x2 ?2 ? ??? x12 ? (1? ?)x22 ?? ? ?(1? ?) x12 ? x22 ? 2?(1? ?)x1x2
? ?(1? ?)(x1 ? x2 )2 ? 0 ；
………………………………5 分
（2）： ln ?? x1 ? (1 ? ?) x2 ?? ?? ln x1 ? (1 ? ?) ln x2 ?
?
ln
? x1 ? (1? ?)x2 x1? x12??
? ln
? x1 ? (1? ?)x2
?
? ? ?
x1 x2
? ? ?
x2
? ln
?
? ?
?
x1 x2
? ? ?
?
(1 ?
?)
?
? ? ?
x1 x2
? ? ?
，
下面证明
?
? ? ?
x1 x2
? ? ?
? ?
?
(1 ?
?
x1 x2
?
? ? ?
?)
?
1 ，即要证明
?
? ? ?
x1 x2
? ? ?
?
(1 ?
?)
?
? ? ?
x1 x2
?
? ? ?
，
不妨设 0
?
x1
?
x2
，令 t
?
x1 x2
, h(t)
?
?t
?t?
?
(1? ?), (0
?
t
? 1)
h?(t) ? ? ? ?t??1 ? ?(1? t??1) ，因为 0 ? ? ? 1, 0 ? t ? 1，所以 h?(t) ? 0 ，仅当 t ? 1时 h?(t) ? 0 ，
所
以
h(t)
在
?0,1?
上
是
减函
数
，
h(t) ? h(1)
?
0
，
也
就是
ln
? x1
? (1? ?)x2 x1? x12??
?
0
，即
ln ?? x1 ? (1? ?)x2 ? ? ?? ln x1 ? (1? ?) ln x2 ? ? 0 ．
结合（1），（2）可知 (1) ? (2) ? 0 ，因此
f ?? x1 ? (1? ?)x2 ? ? ? f (x1) ? (1? ?) f (x2 ) .
……………………8 分
（Ⅲ） g?(x) ? (1? x)e1?x ，所以， x ? ?0,1? 时 g?(x) ? 0 ， g(x) 是增函数；
x ? ?1, e? 时， g?(x) ? 0 ， g(x) 是减函数．因此 0 ? g(x) ? 1. …………9 分
令 F (x) ? f (x) ?1， F?(x) ? f ?(x) ? ? 2x2 ? ax ?1 ， x
若 F?(x) ? 0 在 ?0, e? 无解，则 F (x) 在 ?0, e? 上是单调函数，不合题意；
所以 F?(x) ? 0 在 ?0, e? 有解，且易知只能有一个解． ………………………10 分
设其解为 x0 ，当 x ? ?0, x0 ? 时 F?(x) ? 0 ， F (x) 在 ?0, x0 ? 上是增函数； 当 x ? ? x0, e? 时 F?(x) ? 0 ， F (x) 在 ? x0, e? 上是减函数． 因 为 ?x0 ? ?0, e? ， 方 程 f (x) ? 1 ? g(x0 ) 在 ?0, e? 内 有 两 个 不 同 的 根 ， 所 以
F (x)max ? F (x0 ) ? 1,且 F (e) ? 0 ．
由 F (e) ? 0 ，即 ln e ? e2 ? ae ?1 ? 0 ，解得 a ? e ? 2 ． e
………………11 分
由 F (x)max ? F (x0 ) ? 1 ，即 ln x0 ? x02 ? ax0 ?1 ? 1 ， ln x0 ? x02 ? ax0 ? 0 ．
因为 2x02
? ax0
?1 ?
0 ，所以 a
?
2 x0
?
1 x0
，
代入 ln x0 ? x02 ? ax0 ? 0 ，得 ln x0 ? x02 ?1 ? 0 . 设 m(x) ? ln x ? x2 ?1 ， m?(x) ? 1 ? 2x ? 0 ，所以 m(x) 在 (0, e) 上是增函数，
x 而 m(1) ? ln1?1?1 ? 0 ，由 ln x0 ? x02 ?1 ? 0 可得 m(x0 ) ? m(1) ，
得1 ? x0 ? e ． …………………………………………………………………12 分
由
a
?
2 x0
?
1 x0
是增函数，得1 ?
a
?
2e
?
1 e
．
……………………13 分
综上所述1 ? a ? e ? 2 . e
…………………………………………14 分
