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【2014淄博三模】山东省淄博市2014届高三第三次模拟考试理科数学Word版含答案_图文

【2014淄博三模】山东省淄博市2014届高三第三次模拟考试理科数学Word版含答案_图文

高三阶段性复习诊断考试试题

理科数学
本试卷,分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟,考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回, 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正 带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

第 I 卷(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.若复数 a ? i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值为 1 ? 2i

A. ? 1 2

B. ? 2

C. 1

D.2

5

5

2. 己知向量 a,b 的夹角为 120 , a ? 2 ,且

(2a ? b) ? a, 则 b ?

A.6

B.7

C.8

D.9

3.已知命题 p : ?x ? R, x2 ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假

命题,则实数 a 的取值范围是

A. a<0 或 a>l

B. a ? 0或a ? 1

C.0≤a≤1

D.0<a<l

4.右图所示的程序框图,如果输入的 n 为 6,那么输

出的 n 为

A. 16

B.10

C.5

D.3

5.过抛物线 y2 ? 8x 焦点的直线交该抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 4,则

AB ?

A. 14

B.12

C.l0

D.8

6.函数 y ? ex x2 ? 1 的部分图象为

7.函数 f (x) ? sin(?x ? ?) (其中 ? ? ? )的图象如图所 2
示,为了得到 g(x) ? cos?x 的图象,则只要将 f (x) 的图象

A.向右平移 ? 个单位长度 6
C.向左平移 ? 个单位长度 6

B.向左平移 ? 个单位长度 12
D.向右平移 ? 个单位长度 12

8.M 是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列结论:

①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C 都相交;

②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C 都垂直;

③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C 都相交;

④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C 都平行,

其中正确的是

A.②③④

B.①③④

C.①②④

D.①②③

9.先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有 l,2,3,4,5,6 个点),落在水平桌面后,记

正面朝上的点数分别为 x,y,设事件 A 为“x+y 为偶数”,事件 B 为“x,y 中有偶数且 x≠y”,

则概率 P(B | A) =

1

1

1

2

A.

B.

C.

D.

2

3

4

5

10.若实数 a,b,c,d 满足 (b ? a2 ? 3ln a)2 ? (c ? d ? 2)2 ? 0 ,则 (a ? c)2 ? (b ? d )2 的最小

值为

A.8

B. 2 2

C.2

D. 2

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11.函数 y ? 2sin(? ? 2x)(x ??0,? ?) 为增函数的区间是________,
6 12.设双曲线 x2 ? y2 ? 1的两条渐近线与直线 x ? 2 围成的三角形区域(包含边界)
2
为 D,点 P(x,y)为 D 内的一个动点,则目标函数 z=x-2y 的最小值为______.
13.己知 x>0,y>0,且 x ? y ? 1 ? 1 ? 5 ,则 x+y 的最大值是______. xy

14.己知数列?an? 是一个单调递减数列,其通项公式是 an ? ?n2 ? ?n (其中 n ? N ? )
则常数 ? 的取值范围________.
15.对于定义在 R 上的函数 f (x) 图象连续不断,若存在常数 a(a ? R) ,使得

f (x ? a) ? af (x) ? 0 对任意的实数 x 成立,则称 f (x)是阶数为 a 的回旋函数,
现有下列 4 个命题:
① f (x) ? x2 必定不是回旋函数;

②若 f (x) ? sin?x(? ? 0) 为回旋函数,则其最小正周期必不大于 2;

③若指数函数为回旋函数,则其阶数必大于 1;

④若对任意一个阶数为 a(a ? 0) 的回旋函数 f (x),方程 f (x) ? 0 均有实数根,

其中为真命题的是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本题满分 12 分)

己知向量

m

?

? ??

3 sin

x 4

,1???, n

?

? ??

cos

x ,cos2 4

x 4

? ??

,记

f

(x)

?

m?n

.

(I)若

f

(x)

?

1

,求

cos

? ??

2? 3

?

x

? ??

的值;

( II)在锐角 ? ABC 申,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足( (2a ? c) cos B ? b cosC ,

求函数 f ( A) 的取值范围.
17.(本题满分 12 分)
己知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角 形,侧面 A1ACC1为菱形, ?A1AC ? 60 ,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC,N 是 CC1 的中点.

(I)求证: A1C ? BN;

( II)求二面角 B ? A1N ? C 的余弦值.
18.(本题满分 12 分) 袋中装有大小相同的 9 个小球,其中 5 个红球编号分别为 1,2,3,4,5,4 个白球编号分别 为 1,2,3,4,从袋中任意取出 3 个球. (I)求取出的 3 个球编号都不相同的概率; ( II)记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值,求 X 的分布列与数学期望. 19.(本题满分 12 分)
? ? 己知数列 an 满足 a1 ? 1, a2n ? a2n?1 ? 2, a2n?1 ? a2n ? 3n (n ? N ?) .

(I)计算: (a3 ? a1) ? (a5 ? a3) ,并求 a5 ;

( II)求 a2n?1 (用含 n 的式子表示);

(III)记数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn .
20.(本题满分 13 分)
如图,己知抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 和

: (x ? 4)2 ? y2 ? 1 ,过抛物线 C 上一点

H (x0, y0 )( y0 ? 1) 作两条直线与

相切于 A,B 两点,分别

交抛物线为 E,F 两点,圆心 M 到抛物线准线的距离为 17 . 4
(I)求抛物线 C 的方程;
( II)当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率;
(III)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t,求 t 的最小值. 21.(本题满分 14 分)

设函数 f (x) ? ln x ? x2 ? ax (其中无理数 e ? 2.71828 ? ??, a ? R) .

(I)若函数 f (x) 的图象在 x ? 1 处的切线与直线 y ? 2x 平行,求实数 a 的值,并求此时函数 2
f (x) 的值域;

( II)证明: ?? ? (0,1),?x1, x2 ? (0, ??), f (? x1 ? (1 ? ?)x2) ? ? f (x1) ? (1 ? ?) f (x2) ;
? (III)设 g(x) ? xe1?x ,若对于任意给定的 x0 ? ?0,e ,方程 f (x) ? 1 ? g(x0 ) 在 ?0,e? 内有两个
不同的根,求实数 a 的取值范围,

高三阶段性复习诊断考试

数学试题参考答案及评分说明 2014.5
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.C 9.B 10.A
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11.

? ??

? 3

,

5? 6

? ??

12. ? 2 2

13. 4

14.(文科)

2

?

? ??

1 3

? ??

n

(n

?

N

*

)

14.(理科) (??,3)

15.①②④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(文科 本题满分 12 分)

解:(Ⅰ) f ? x? ? m ? n = 3 sin x cos x ? cos2 x

44

4

=

3 2

sin

x 2

?

1 2

cos

x 2

?

1 2

?

sin

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1 2

因为

f

(x)

?

1

,所以 sin

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1 2

…………………………………4 分

cos

? ??

x

?

? 3

? ??

?1?

2 sin2

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1 2

cos

? ??

2? 3

?

x

? ??

?

?

cos

? ??

x

?

? 3

? ??

?

?

1 2

……………………6 分

(Ⅱ)因为 ?2a ? c? cos B ? b cos C 由正弦定理得 ?2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C ……………………7 分
所以 2sin Acos B ? sin C cos B ? sin B cos C
所以 2sin Acos B ? sin ? B ? C ?

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin ? B ? C ? ? sin A ,且 sin A ? 0

所以 cos B ? 1 , B ? ? 23

……………………8 分

所以 0 ? ? ? 2? 3

……………………9 分

所以 ? 6

?

A 2

?

? 6

?

? 2

,

1 2

?

sin

? ??

A 2

?

? 6

? ??

??

……………………10 分

又因为

f

?x?

=m

n

?

sin

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1 2

所以

f

?

A?

?

sin

? ??

A 2

?

? 6

? ??

?

1 2

……………………11 分

故函数 f ? A? 的取值范围是

???1,

3 2

? ??

16.(理科 本题满分 12 分)

解:(Ⅰ) f ? x? ? m ? n = 3 sin x cos x ? cos2 x

44

4

……………………12 分

=

3 2

sin

x 2

?

1 2

cos

x 2

?

1 2

?

sin

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1 2

因为

f

(x)

?

1

,所以

sin

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1 2

……………………………………4 分

cos

? ??

x

?

? 3

? ??

?

1?

2 sin2

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1 2

cos

? ??

2? 3

?

x

? ??

?

?

cos

? ??

x?

? 3

? ??

?

?

1 2

(Ⅱ)因为 ?2a ? c? cos B ? b cos C

……………………6 分

由正弦定理得 ?2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C ……………………7 分
所以 2sin Acos B ? sin C cos B ? sin B cos C
所以 2sin Acos B ? sin ? B ? C ?

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin ? B ? C ? ? sin A ,且 sin A ? 0

所以 cos B ? 1 , B ? ? 23

……………………8 分

所以 A ? C ? 2? ,因为 ?ABC 为锐角三角形 3

所以 0 ? ? ? ? 且 0 ? C ? ? ,即 ? ? 2? ? A ? ?

2

2

3

2

所以 0 ? ? ? ? 且 ? ? A ? 2? ,所以 ? ? ? ? ?

26

3

6

2

……………………9 分

所以 ? ? 4

A ? ? ? 5? , 2 6 12

2 2

?

sin

? ??

A 2

?

? 6

? ??

?

6? 4

2

…………………10 分

又因为

f

?x?=

m

n

?

sin

? ??

x 2

?

? 6

? ??

?

1 2

,所以

f

? A?

?

sin

? ??

A 2

?

? 6

? ??

?

1 2

……11



故函数

f

?

A?

? 的取值范围是 ???

2?2, 2

6

?

4

2

?

2

? ???

.

17.(文科 本题满分 12 分)

……………………12 分

证明:(Ⅰ)取 A1B 的中点 P ,连接 PM , PN .

A1

C1

因为 M , P 分别是 AB , A1B 的中点,

所以

PM



AA1 , PM

?

1 2

AA1

………2 分

又因为 AA1 ∥ CC1 ,

所以 PM ∥ CN 且 PM =CN

P O A
M B

B1 N
C

所以 四边形 PMCN 为平行四边形,

所以 PN ∥ CM .………………………………………………………………4 分

又因为 CM ? 平面 A1BN , PN ? 平面 A1BN , 所以 CM ∥平面 A1BN . ………………………………………………………6 分 (Ⅱ)取 AC 的中点 O ,连结 BO , ON .

由题意知 BO ? AC ,又因为 平面 A1ACC1 ? 平面 ABC ,

所以 BO ? 平面 A1ACC1 .

…………………………………………8 分

因为 A1C ? 平面 A1ACC1 所以 BO ? A1C

因为 四边形 A1ACC1 为菱形,所以 A1C ? AC1

又因为 ON ∥ AC1, 所以 A1C ? ON

所以 A1C ? 平面 BON , 又 BN ? 平面 BON …………………………10 分

所以 A1C ? BN .
17.(理科 本题满分 12 分)

……………………………………………12 分

解证:(Ⅰ)证明:方法一

取 AC 的中点 O ,连结 BO , ON ,由题意知 BO ? AC .

又因为平面 A1ACC1 ? 平面 ABC , 所以 BO ? 平面 z

A1ACC1 .………………2 分

A1

因为 A1C ? 平面 A1ACC1 所以 BO ? A1C

因为 四边形 A1ACC1 为菱形,所以 A1C ? AC1

又因为 ON ∥ AC1, 所以 A1C ? ON

A

O

所以 A1C ? 平面 BON ………………4 分

xB

又 BN ? 平面 BON , 所以 A1C ? BN .…6 分

C1

B1

N

Cy

方法二
取 AC 的中点 O ,连结 BO , A1O , 由题意知 BO ? AC , A1O ? AC . 又因为 平面 A1ACC1 ? 平面 ABC ,所以 A1O ? 平面 ABC 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ……………………2 分

? ? ? ? 则 O?0,0,0? , B

3, 0, 0 , A1 0, 0,

3



N

? ???

0,

3 2

,

3 2

? ???

,

C

?

0,1,

0?



? ? A1C ? 0,1, ? 3 .

? BN ? ??? ?

3, 3 , 2

3? 2 ???

……………………4 分

? ? 因为

A1C

BN

?0?

3? 2

?

3

3 2

?

0

,所以

A1C

?

BN

……………………6



(Ⅱ)取 AC 的中点 O ,连结 BO , A1O , 由题意知 BO ? AC , A1O ? AC . 又因为 平面 A1ACC1 ? 平面 ABC ,所以 A1O ? 平面 ABC 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ……………………7 分

? ? ? ? 则 O?0,0,0? , B

3, 0, 0 , A1 0, 0,

3



N

? ???

0,

3 2

,

3 2

? ???

,

A1N

?

? ??? 0,

3 2

,?

3 2

? ???

,

? ? A1B ? 3, 0, ? 3 .

设平面

A1BN

的法向量为

n1

?

(x,

y,

z)

,则

?? ?

A1

N

? n1

?

0,

?? A1B ? n1 ? 0.



? ? ?

3 2

y

?

3 z ? 0, 2

? ?

3x ?

3z ? 0.

令 x ? 1 .所以 n1 ? (1,

3 ,1) . 3

…………………………………………9 分

又平面 A1NC 的法向量 n2 ? (1, 0, 0)

…………………………………10 分

设二面角 B ? A1N ? C 的平面角为? ,则 cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

21 .……………12 分 7

18.(文科 本题满分 12 分)

解: (Ⅰ) 用 (a, b) ( a 表示第一次取到球的编号, b 表示第二次取到球的编号)

表示先后两次取球构成的基本事件,

………………………………1 分

则基本事件有: (1, 2), (1,3), (1, 4), (2,1), (2,3), (2, 4), (3,1), (3, 2), (3, 4),

(4,1), (4, 2), (4,3), 共12 个.

……………………………………3 分

设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除”为事件 A ,

则事件 A 包含的基本事件有: (2,1), (2, 4), (4, 2), 共有 3 个,

…………5 分

所以 P( A) ? 3 ? 1 12 4

…………………………6 分

( Ⅱ ) 基 本 事 件 有 : (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3)

(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 共16 个.

……………8 分

设“直线 ax ? by ?1 ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 1 有公共点”为事件 B 16
由题意知 1 ? 1 , 即 a2 ? b2 ? 16 ……………………………10 分 a2 ? b2 4
则事件 B 包含的基本事件有: (1, 4), (2, 4), (3,3), (3, 4), (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4), 共有 8 个,所

以 P(B) ? 8 ? 1 16 2

…………………………………12 分

18.(理科 本题满分 12 分)

解:(Ⅰ)设“取出的 3 个球编号都不相同”为事件 A ,“取出的 3 个球中恰有两个球编号相 同”为事件 B ,则由题意知,事件 A 与事件 B 互为对立事件………………2 分

因为

P(B)

?

C41C71 C93

?

1 3

…………………………………………4 分

所以 P( A) ? 1? P(B) ? 1? 1 ? 2 33

……………………………………5 分

(Ⅱ) X 的取值为 1, 2,3 , 4

……………………………6 分

P( X ? 1) ? C21C72 ? C22C71 ? 49

C93

84

P( X ? 2) ? C21C52 ? C22C51 ? 25

C93

84

P( X

? 3) ?

C21C32 ? C22C31 C93

?

9 84

P( X ? 4) ? 1 ? 1 C93 84

X 的分布列为:

………………………………………7 分 ……………………………………8 分 ……………………………………9 分
………………………………10 分

X

1234

49 25 9 1 P
84 84 84 84

……………………11 分

EX ? 1? 49 ? 2? 25 ? 3? 9 ? 4? 1 ? 130 ? 65 ………………………12 分 84 84 84 84 84 42
19.(文科 本题满分 12 分)
解:(Ⅰ)由题设可得, a3 ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? 2 ? 31 ? 5
同理 a5 ? a3 ? 2 ? 32 ? 11

所以 (a3 ? a1) ? (a5 ? a3) ? 16 ,

…………………2 分

从而,有 a5 ? a1 ? 16 ,所以, a5 ? 17 ; ……………………3 分

(Ⅱ)由题设知, a2n?1 ? a2n?1 ? 3n ? 2 , 所以, a2n?1 ? a2n?3 ? 3n?1 ? 2
a2n?3 ? a2n?5 ? 3n?2 ? 2
……

……………………4 分

a5 ? a3 ? 32 ? 2 a3 ? a1 ? 31 ? 2
将上述各式两边分别取和,得

……………………6 分

a2n?1 ? a1 ? (31 ? 32 ? ??? ? 3n?1) ? 2(n ?1)

所以, a2n?1

?

3n 2

?

2n ?

5 2



……………………8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ),可得 a2n

?

3n 2

? 2n ?

1 2

,……………………9



所以, bn ? a2n?1 ? a2n ? 3n ? 4n ? 3

……………………10 分

所以 Sn

?

(31

? 32

? ??? ? 3n ) ? 4(1? 2 ? ??? ? n) ? 3n

?

3n?1 2

?

2n2

?n?

3 2

.……12



19.(理科 本题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由题设可得, a3 ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? 2 ? 31 ? 5

同理 a5 ? a3 ? 2 ? 32 ? 11 所以 (a3 ? a1) ? (a5 ? a3) ? 16 ,

…………………2 分

从而,有 a5 ? a1 ? 16 ,所以, a5 ? 17 ;

……………………3 分

(Ⅱ)由题设知, a2n?1 ? a2n?1 ? 3n ? 2 , 所以, a2n?1 ? a2n?3 ? 3n?1 ? 2
a2n?3 ? a2n?5 ? 3n?2 ? 2
……

……………………4 分

a5 ? a3 ? 32 ? 2 a3 ? a1 ? 31 ? 2

……………………6 分

将上述各式两边分别取和,得:

a2n?1

?

a1

?

(31

?

32

? ??? ? 3n?1)

?

2(n ?1)

,所以 a2n?1

?

3n 2

?

2n

?

5 2

.…………7



(Ⅲ)由(Ⅱ),可得 a2n

?

3n 2

?

2n ?

1 2

,所以 a2n?1

?

a2n

?

3n

?

4n ? 3 ………8



1°当 n 为偶数时,

n?2

Sn

?

(a1

?

a2 )

?

(a3

?

a4 )

?

? ? ?(an?1

?

an

)

?

32 2

? n2 ? n ? 3 ,………………10 分 2 22

2°当 n 为奇数时,若 n ? 1 ,则 S1 ? a1 ? 1.

若 n ? 3 ,则 Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ???(an?2 ? an?1) ? an

n?1

?

(31

?

32

?

????

n?1
32 )

?

4(1 ?

2

?

????

n

?1)

?

3(n

?1)

?

(3

2

? n? 3)

2

2

2

2

?

n?1
32

?

n2

?

n

?2.

22

综上可得 Sn

?

? ??? ?

n?2
32
2

?

n2 2

?

n 2

?

3 2

? ??

n?1
32

?

n2

?

n

?2

22

(n为偶数) (n为奇数)

……………………12 分

(方式二)由(Ⅱ),可得 a2n

?

3n 2

?

2n

?

1 2



不妨记 bn ? a2n?1 ? a2n ? 3n ? 4n ? 3 1°当 n 为偶数时,令 n ? 2m ,

……………………8 分

Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ??? ? (an?1 ? an ) ? b1 ? b2 ? ??? ? bm

? (31 ? 32 ? ??? ? 3m ) ? 4(1? 2 ? ??? ? m) ? 3m

n?2

?

3m?1 2

?

2m2

?

m

?

3 2

,即

Sn

?

32 2

? n2 ? n ? 3 .……………………10 分 2 22

2°当 n 为奇数时,若 n ? 1 ,则 S1 ? a1 ? 1.

若 n ? 3 ,令 n ? 2m ?1,

Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ??? ? (an?2 ? an?1) ? an ? b1 ? b2 ? ??? ? bm?1 ? a2m?1

? 3m ? 2(m ?1)2 ? m ? 1 ? 3m ? 2m ? 5 ? 3m ? 2m2 ? 3m ?1 ,

2

22

2

即 Sn

?

n?1
32

?

n2 2

?

n 2

?2.

综上可得 Sn

?

? n?2

?3 2

? ?

2

?

n2 2

?

n 2

?

3 2

? ??

n?1
32

?

n2 2

?

n 2

?

2

20.(文科 本题满分 13 分)

(n为偶数) (n为奇数)

……………………12 分

解(Ⅰ)由题知,有| x ? 4 |? 2 (x ?1)2 ? y2 .

………………2 分

化简,得曲线 C 的方程: x2 ? y2 ? 1. 43

………………3 分

(Ⅱ)证明∵直线 l 的斜率为 1 ,且不过 P(1, 3) 点,

2

2

∴可设直线 l : y ? 1 x ? m(且m ? 1) . 2

………………4 分

? x2

联立方程组

?? ?

4

?

y2 3

? 1, 得 x2

? mx ? m2

?3?

0.

? ??

y

?

1 2

x

?

m.

………………6 分

?x1 ? x2 ? ?m,

又设

A(x , 1

y1 )、B( x2 ,

y2

)

,∴

? ?

x1

x2

?

m2

? 3,



??? ? 0 ? ?2 ? m ? 2.

kPA ? kPB

?

y1

?

3 2

x1 ?1

?

y2

?

3 2

x2 ?1

?

x1x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 2m ? 3 x1x2 ? (x1 ? x2 ) ?1

? 0.

所以 k PA ? k PB 为定值。

………………8 分

(Ⅲ)答:一定存在满足题意的定圆 N .

………………9 分

理由:∵动圆 M 与定圆 N 相内切,

∴两圆的圆心之间距离| MN | 与其中一个圆的半径之和或差必为定值.

又 D(1, 0) 恰好是曲线(椭圆) C 的右焦点,且 M 是曲线 C 上的动点,

记曲线 C 的左焦点为 F (?1, 0) ,联想椭圆轨迹定义,有| MF | ? | MD |? 4 …11 分

∴若定圆的圆心 N 与点 F 重合,定圆的半径为 4 时,则定圆 N 满足题意.

N 的方程为: (x ?1)2 ? y2 ? 16 .

……………………13 分

20.(理科 本题满分 13 分)

解(Ⅰ)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 ? p ? 17 , 24

∴ p ? 1 ,即抛物线 C 的方程为 y 2 ? x . 2

……………………2 分

(Ⅱ)法一:∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ kHE ? ?kHF ,

∴定圆

设 E(x1,

y1) ,

F (x2 ,

y2 ) ,∴

yH xH

? ?

y1 x1

?

?

yH xH

? ?

y2 x2



∴ yH ? y1 ? ? yH ? y2 ,

yH2 ? y12

yH2 ? y22

∴ y1 ?

y2

? ?2 yH

?

?4 . kEF

?

y2 x2

? y1 ? x1

?

y2 ? y1 y22 ? y12

?

y2

1 ?

y1

?

? 1 .……………7 分 4

法二:∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ ?AHB ? 60? ,

可得 kHA ? 3 , kHB ? ? 3 ,∴直线 HA 的方程为 y ? 3x ? 4 3 ? 2 ,

联立方程组

? ?

y

?

?

3x ? 4 3 ? 2 ,得 y2 ? x

3y2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0,

∵ yE ? 2 ?

3 3

∴ yE ?

3? 3

6



xE

? 13 ? 4 3

3.

同理可得 yF ? ?

3 3

?

6



xF

? 13 ? 4 3

3

,∴ k EF

??1. 4

……………………7 分

(Ⅲ)法一:设

A( x1 ,

y1 ), B(x2 ,

y2 ) ,∵ kMA

?

y1 x1 ?

4

,∴ k HA

?

4 ? x1 y1



可得,直线 HA 的方程为 (4 ? x1 )x ? y1 y ? 4x1 ?15 ? 0 ,

同理,直线 HB 的方程为 (4 ? x2 )x ? y2 y ? 4x2 ?15 ? 0 ,

∴ (4 ? x1 ) y0 2 ? y1 y0 ? 4x1 ? 15 ? 0 , (4 ? x2 ) y0 2 ? y2 y0 ? 4x2 ? 15 ? 0 ,

∴直线

AB

的方程为

(4

?

y2 0

)x

?

y0

y

?

4

y02

?15

?

0





x

?

0 ,可得 t

?

4 y0

?

15 y0

( y0

? 1) ,

∵ t 关于 y0 的函数在[1, ??) 单调递增,∴ tmin ? ?11 .……………………13 分 法二:设点 H (m2 , m)(m ? 1) , HM 2 ? m4 ? 7m2 ?16 , HA2 ? m4 ? 7m2 ?15 .

以 H 为圆心, HA 为半径的圆方程为 (x ? m2 )2 ? ( y ? m)2 ? m4 ? 7m2 ?15 , .................①

⊙ M 方程: (x ? 4)2 ? y 2 ? 1. .............................................................................................②

①-②得:直线 AB 的方程为 (2x ? m2 ? 4)(4 ? m2 ) ? (2 y ? m)m ? m4 ? 7m2 ?14 . 当 x ? 0 时,直线 AB 在 y 轴上的截距 t ? 4m ? 15 (m ? 1) ,
m ∵ t 关于 m 的函数在[1, ??) 单调递增,∴ tmin ? ?11 . ……………………13 分
21.(文科 本题满分 14 分)

解证:(Ⅰ) f ?(x) ? ?2x2 ? ax ?1 ? ? 2x2 ? ax ?1 . ……………………1分

x

x

要使 f (x) 在 ?0, e? 上不单调, f ?(x) 在 ?0, e? 内必有零点且在零点左右异号,

即 h(x) ? 2x2 ? ax ?1在 ?0, e? 内有零点且在零点左右异号. ……………3 分

因 为 ? ? a2 ? 8 ? 0 , 所 以 方 程 2x2 ? ax ?1 ? 0 有 两 个 不 等 的 实 数 根 x1, x2 , 由 于

x1x2

?

?1 2

?

0

,不妨设

x1

?

0, x2

?0

,所以

x2

??0, e?, x1

?0

,由

h(x)

图像可知:

h(0) ? h(e) ? 0 ,即 2e2 ? ae ?1 ? 0 ,解得 a ? 2e ? 1 . e

………………6分

? ? (Ⅱ)因为

f

?? x0 ? ?

1 x0

? 2x0

?a

,又切点 C

x0 , ln x0 ? x02 ? ax0

,所以切线 l 的方程为

? ? y ? ln x0 ? x02 ? ax0

?

? ? ?

1 x0

?

2x0

?

a

? ?

?

x

?

?

x0

?

,即

y

?

? ? ?

1 x0

?

2 x0

?

a

? ? ?

x

?1?

x02

?

ln

x0



x0

为常数).

……………………8分

令 g?x? ?

f

?

x?

?

?? ??

??

1 x0

? 2x0

?

a

? ?

x

?

1

?

x0

2

?

? ? ln x0 ?
?

?

ln

x

?

x2

?

?? ?? ??

1 x0

?

2 x0

? ? ?

x

?1?

x02

?

ln

? x0 ?
?

g??x?

?

1 x

?

2x

? ??
?

1 x0

?

2 x0

? ? ?

?

?

?

x

?

x0

?

? ?

?

2xx0 ?1 xx0

? ? ?

?

?

2( x

?

x0

)( x x

?

1 2 x0

)



……………10 分

因为 x0 ? 0 , x , g?? x? , g ? x? 的关系如下表:

x

?0, x0 ?

x0

? x0, ???

g??x?

+

0

?

g ? x?



极大值



………………………………………12 分

因 为 g(x) ? g ? x0 ? ? 0 , 所 以 函 数 f ? x? 图 象 上 不 存 在 位 于 直 线 l 上 方 的

点.

………………………………………………………………………14 分

21.(理科 本题满分 14 分)

解证:(Ⅰ) f ?(x) ? 1 ? 2x ? a , x

……………………………………………1 分

因为函数

f

(x)

的图像在

x

?

1 2

处的切线与直线

y

?

2x

平行,所以

f

? ???

1 2

? ??

?

2



解得 a ? 1.

…………………………………………………………2分

此时 f (x) ? ln x ? x2 ? x , f ?(x) ? ? 2x2 ? x ?1 ? ? ?2x ?1?? x ?1? ,

x

x

当 x ? ?0,1? 时,f ?(x) ? 0 ,f (x) 为增函数;当 x ? ?1, ??? 时,f ?(x) ? 0 ,f (x) 为减函数.由

此可知,当 x ? 1 时 f (x) 取得极大值 0 (同时也是最大值).所以函数 f (x) 的值域为

???, 0? . ……………………………………………………3 分

(Ⅱ)要证 ?? ? (0,1),?x1, x2 ??0, ??? , f ?? x1 ? (1? ?)x2 ? ? ? f (x1) ? (1? ?) f (x2 ) 只需要证明 ln ?? x1 ? (1? ?)x2 ? ? ?? x1 ? (1? ?)x2 ?2 ? a ?? x1 ? (1? ?)x2 ?

? ? ??ln x1 ? x12 ? ax1 ?? ? (1? ?) ??ln x2 ? x22 ? ax2 ?? 即可.
也就是要证明
ln ?? x1 ? (1? ?)x2 ? ? ?? ln x1 ? (1? ?) ln x2 ? ???x1 ? (1? ?)x2 ?2 ? ???x12 ? (1? ?)x22 ?? ? 0
因为(1):
? ? ??? x1 ? (1? ?)x2 ?2 ? ??? x12 ? (1? ?)x22 ?? ? ?(1? ?) x12 ? x22 ? 2?(1? ?)x1x2

? ?(1? ?)(x1 ? x2 )2 ? 0 ;

………………………………5 分

(2): ln ?? x1 ? (1 ? ?) x2 ?? ?? ln x1 ? (1 ? ?) ln x2 ?

?

ln

? x1 ? (1? ?)x2 x1? x12??

? ln

? x1 ? (1? ?)x2

?

? ? ?

x1 x2

? ? ?

x2

? ln

?

? ?

?

x1 x2

? ? ?

?

(1 ?

?)

?

? ? ?

x1 x2

? ? ?



下面证明

?

? ? ?

x1 x2
? ? ?

? ?

?

(1 ?

?

x1 x2

?
? ? ?

?)

?

1 ,即要证明

?

? ? ?

x1 x2

? ? ?

?

(1 ?

?)

?

? ? ?

x1 x2

?
? ? ?



不妨设 0

?

x1

?

x2

,令 t

?

x1 x2

, h(t)

?

?t

?t?

?

(1? ?), (0

?

t

? 1)

h?(t) ? ? ? ?t??1 ? ?(1? t??1) ,因为 0 ? ? ? 1, 0 ? t ? 1,所以 h?(t) ? 0 ,仅当 t ? 1时 h?(t) ? 0 ,





h(t)



?0,1?





减函





h(t) ? h(1)

?

0





就是

ln

? x1

? (1? ?)x2 x1? x12??

?

0

,即

ln ?? x1 ? (1? ?)x2 ? ? ?? ln x1 ? (1? ?) ln x2 ? ? 0 .

结合(1),(2)可知 (1) ? (2) ? 0 ,因此

f ?? x1 ? (1? ?)x2 ? ? ? f (x1) ? (1? ?) f (x2 ) .

……………………8 分

(Ⅲ) g?(x) ? (1? x)e1?x ,所以, x ? ?0,1? 时 g?(x) ? 0 , g(x) 是增函数;

x ? ?1, e? 时, g?(x) ? 0 , g(x) 是减函数.因此 0 ? g(x) ? 1. …………9 分

令 F (x) ? f (x) ?1, F?(x) ? f ?(x) ? ? 2x2 ? ax ?1 , x
若 F?(x) ? 0 在 ?0, e? 无解,则 F (x) 在 ?0, e? 上是单调函数,不合题意;

所以 F?(x) ? 0 在 ?0, e? 有解,且易知只能有一个解. ………………………10 分

设其解为 x0 ,当 x ? ?0, x0 ? 时 F?(x) ? 0 , F (x) 在 ?0, x0 ? 上是增函数; 当 x ? ? x0, e? 时 F?(x) ? 0 , F (x) 在 ? x0, e? 上是减函数. 因 为 ?x0 ? ?0, e? , 方 程 f (x) ? 1 ? g(x0 ) 在 ?0, e? 内 有 两 个 不 同 的 根 , 所 以

F (x)max ? F (x0 ) ? 1,且 F (e) ? 0 .

由 F (e) ? 0 ,即 ln e ? e2 ? ae ?1 ? 0 ,解得 a ? e ? 2 . e

………………11 分

由 F (x)max ? F (x0 ) ? 1 ,即 ln x0 ? x02 ? ax0 ?1 ? 1 , ln x0 ? x02 ? ax0 ? 0 .

因为 2x02

? ax0

?1 ?

0 ,所以 a

?

2 x0

?

1 x0



代入 ln x0 ? x02 ? ax0 ? 0 ,得 ln x0 ? x02 ?1 ? 0 . 设 m(x) ? ln x ? x2 ?1 , m?(x) ? 1 ? 2x ? 0 ,所以 m(x) 在 (0, e) 上是增函数,
x 而 m(1) ? ln1?1?1 ? 0 ,由 ln x0 ? x02 ?1 ? 0 可得 m(x0 ) ? m(1) ,

得1 ? x0 ? e . …………………………………………………………………12 分



a

?

2 x0

?

1 x0

是增函数,得1 ?

a

?

2e

?

1 e



……………………13 分

综上所述1 ? a ? e ? 2 . e

…………………………………………14 分


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