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指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算


2.1.1 指数与指数幂的运算

学习目标
1.理解根式的概念及性质,掌握分数指数幂的 运算; 2.能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化; 3.培养学生观察、类比的能力

思考一:
(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方 根有几个,立方根呢?
4 5 6 x ? a , x ? a , x ? a 根据上面的结论我们又 (2)如

能得到什么呢?
(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗? (4)可否用一个式子表达呢?

一、根式 定义1:如果xn=a(n>1,且n?N*),则称 x是a的n次方根.

思考二
1.你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?

(1)4的平方根; (2) ?8 的立方根
(3)16的4次方根 (4)32的5次方根 (5)-32的5次方根

(6)0的7次方根

a 的立方根 (7)

6

性质:
(1)当n是奇数时,正数a的n次方根是一个正数, 记作 n a ,负数的n次方根是一个负数.记作 n a (2)当n是偶数时,正数a的n次方根有两个,它们互 为相反数. 记作 ? n a (3)负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. n 记作 0 = 0. (4)

(
5

n

a)

n

?a
4

?32 ? _______ 81 _______ 210 ? ________ 3 312 _______

定义2:式子 n a叫做根式,n叫做根指数, 叫做被开方数 a

探究
n

a ?a
n

一定成立吗?

n n n a ?a 1、当 是奇数时, ?a n n 2、当 n 是偶数时, a ?| a |? ?

(a ? 0) ?? a (a ? 0)

例1、求下列各式的值(式子中字母都大于零)

(1) (?8)
3 4

3 4

(2) (?10)

2 2

(3) (3 ? ? )

(4) (a - b) (a ? b).

二、分数指数
定义: a
m n

? n a m (a ? 0, m, n ? N * , 且n ? 1)

注意:(1)分数指数幂是根式的另一种表示; (2)根式与分式指数幂可以互化.
a 规定:(1)
?
m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * , 且n ? 1)

(2)0的正分数指数幂等于0;0的负分数指 数幂没意义.

性质:(整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用)

(a ? 0, r , s ? Q) a a ?a r s rs (a ? 0, r , s ? Q) (a ) ? a r r r (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r s

r ?s

例2、求值
8
2 3

;

25

1 ? 2

;

?1? ? ? ? 2?

?5

? 16? ; ? ? ? 8 1?

?

3 4

例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):

(1) a ?

3

a ( 2) a ?

2

3

a

2

(3) a a

例4、计算下列各式(式中字母都是正数)
2
3 1 2 1

1

1

6 6 2 3 ? ? ? (1)(2a b )( 6a b ) ( 3a b )

5

1
4

(2)(m n )

?

3 8 8

例5、计算下列各式

(1)( 25- 125) ? 25
3 4

(2)

a

2 2

a a

3

( a ? 0)

小结
1、根式和分数指数幂的意义. 2、根式与分数指数幂之间的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质

1、已知 x

?3

? 1 ? a ,求 a 2 ? 2ax ?3 ? x ?6 的值

2、计算下列各式

(1)

a ?b

1 2

1 2 1 2

a ?b
2

1 2

?

a ?b

1 2

1 2 1 2
?2

a ?b
?2

1 2

(2)(a ? 2 ? a ) ? (a ? a )
2

3、已知 x ? x
1 2

?1

? 3,求下列各式的值
? 1 2

(1) x ? x
1 2

( 2) x ? x
4、化简

?

1 2
9 4 6 3
4

(

3 6

a ) ?(
8

a )

9

4 的结果是(
2

C)

A.a

16

B. a

C. a

D. a



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