2014高等数学C试卷A及答案

中国农业大学 2014～2015 学年秋季学期 高等数学 C
题号 得分 填空题,（每题 3 分，满分 30 分）
1.

课程考试试题 A 卷
四 五 六 七 八 总分

一

二

三

设 y ? f (arctanx) ，已知 f ?( x) ? tan x ，则 y ?

x ?1

=（

）

2. 满足 f ??( x) ? 2 f ?( x) ? 3 f ( x) ? 0 的函数为（ 3.
4.

） ）

f ( x) 的一个原函数是 e x sin x ，则 ? x f ?( x ) dx =（
y ? ax 2 ? 1 与 y ? ln x 相切，则 a=（ 2
）

5. 过原点和 M （1,0,-1） 的直线与平面 x ? 4 y ? 8z ? 12 ? 0 的夹角为 （ 6. 7.

）

?

?

4 0

x dx =（ 1 ? cos 2 x

）
）

? f ( x) 二阶可导， z ? x 5 f ( x 2 ? y 2 ) ，则 z ? xy =（
t ?1 dt 的极值（ ?1 t 2 ? 1
x

8. 求 y ? ?

） ）

5 ?x x 9. 求 y ? x(e ? e ) 的麦克劳林展开式（展开的 x 项） （

10. x

dy ? y ln y 的通解为（ dx

）

二、选择题（每题 3 分,满分 18 分） 11. 求曲线 y ? x, y ? x 围成的图形面积（
3

）
( D) 1 12

( A)

1 3

( B)

1 6

(C )

1 2

12. y ? x 2 ? x ? 2 在点 P 处的切线斜率为 3，则该点的切线方程为（
( A) y ? 3x ? 1 ( B) y ? 3x ? 3 (C ) y ? 3x ( D) y ? 3x ? 2

）

考生诚信承诺 1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。 2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。 学院：
2 2

班级：
D

学号：

姓名： ）

13. 设 D : y ? ( x ? 1) ? 1， ?? f ( x, y)dxdy的极坐标形式为（
( A) ? d? ?
0

?

2 cos?

0 2 cos?

f (r cos? , r sin ? ) rdr f (r cos? , r sin ? )rdr

( B ) ? d? ?
??

?

2 cos?

0

f (r cos? , r sin ? ) rdr f (r cos? , r sin ? )dr

(C ) ? 2? d? ?
? 2

?

0

( D) ? 2? d? ?
? 2

?

2 cos?

0

14. 函数 y ? 2 x 2 ?
( A)(??,0)

x5 的凸区间为( 5 ( B)(??,1)

)
(C )(1,??)
在点 (0, 0) 处（

( D)(0,1)

? xy ? 15. 二元函数 f ( x, y) ? ? x 2 ? y 2 ? 0 ?

( x, y) ? (0, 0) ( x, y) ? (0, 0)

）

（A）连续，偏导数存在; （C）不连续，偏导数存在;

（B）连续，偏导数不存在; （D）不连续，偏导数不存在
1 ? xy dxdy =（ 1 ? x2 ? y 2 D
( D)

16. 设区域 D ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1, x ? 0} ,则 I ? ??
( A)

）

?2
8

( B)

?
4

(C )

?2
4

? ln 2
2

三、计算题（每题 5 分，满分 40 分）

e 2 x ? e3 x ? x 17. lim x ?0 x2

2

18. 求导数 y ? arcsin

x 1? x

19.

?

cos x dx sin x ? cos x

20.

?

1 ? x arct an 1 ? x dx 2? x

3

学院： 21. 求二重积分 ??
D

班级：

学号：

姓名：

1 x2 dxdy ，D 为 y ? x, y ? , x ? 2 围成的图形。 2 x y

22. 求 y ? x, y ?

1 , x ? 2 围成的图形绕 X 轴旋转所得的旋转体体积。 x

23. 求 z ? x 3 ? y 3 ? 3x 2 ? 3 y 2 ? 9x 的极值

4

24. 求 f ( x ) ，使其满足方程

? f (tx)dt ?
0

1

f ( x) ? xe x

四、证明题（满分 5 分） 25. f ( x) 在[0,1]连续，且 f ( x) <1，求证 ? f (t )dt ? 2 x ? 1 在[0,1]只有一个解。
0 x

5

五、计算题（满分 7 分） 26. （1）求 z ? x 2 ? y 2 在点 M (1, ?2,5) 处的切平面 ? 。
（2）若直线 l : ?

? x? y ?b ? 0 在平面 ? 上，求 a,b 的值。 ? x ? ay ? z ? 3 ? 0

6

试卷答案 一、 填空，

1 1 ； y ? c1e ? x ? c2 e 3 x ； xe x (sin x ? cos x) ? e x sin x ? c ； a ? ； 2 2e 2

? ? ln2 x5 3 ； ；10x 4 yf ?( x 2 ? y 2 ) ? 4 x 6 yf ??( x 2 ? y 2 ) ；- ? ；2 x ? x ? ； 4 8 4 12
y ? e cx 。
二、 三、
选择，C；B;C；B；C；D。

17、 ? lim
18、 y ? ?

2e 2 x ? 3e 3 x ? 1 4e 2 x ? 9e 3 x 9 ? lim ?? x ?0 x ? 0 2x 2 4
1 1? x x ?1 ? x ? 2 1? x 1? x 1 1 ? 2 x ?1 ? x ? 1 1

2

19、I=

?sin x ? cos x ?? ? 1 ? sin x ? cos x cos x ? sin x ? 1? ? ?dx ? dx ? 1 ? ? ? 2? ? ? 2 sin x ? cos x ? ? sin x ? cos x sin x ? cos x ? ? ? 1 1 ? x ? ln(sin x ? cos x) ? c 2 2

20、 1 ? x ? t , x ? 1 ? t 2 , dx ? ?2tdt

t arctan t arctan t arctan t (?2tdt ) ? ?2? (arctan t ? )dt ? ?2? arctan tdt ? 2? dt 2 2 1? t 1? t 1? t 2 t dt ? arctan 2 t ? ?2t arctan t ? ln(1 ? t 2 ) ? arctan 2 t ? c = ? 2(t arctan t ? ? 2 1? t
I=

?

? ?2 1 ? x arctan 1 ? x ? ln(2 ? x) ? arctan2 1 ? x ? c
21、 I ?

?

2

1

dx?1
x

x

2 2 ? x4 x2 ? 2 9 x2 x2 x 3 1 ? dy ? ( ? ) dx ? ( x ? x ) dx ? ?1 y ?1 ? 4 ? 2 ? ?1 ? 4 y2 ? ? x

22、V= ? ?

?

2

1

x dx ? ? ?
2

2

1

x3 2 1 2 11 ?1? ?? ? ? ? ? dx ? ? 3 1 x1 6 ? x?
?3

2

23、 z ? ), x ? 1, x ? 3x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3)(x ? 1
2

2 z? 2 y ? ?3 y ? 6 y ? 3 y(2 ? y), y ? 0,

? ? ?? A ? z? B ? z? xx ? 6x ? 6, xy ? 0, C ? z yy ? 6 ? 6 y
在（1,0）点， AC ? B ? 0 ， A ? 0 有极小值 z (1,0) ? ?5 ;
2

7

在(1,2)点， AC ? B ? 0 ，不是极值点；
2

在（-3,0）点， AC ? B ? 0 ，不是极值点；
2

在（-3,2）点， AC ? B ? 0 ， A ? 0 有极大值 z (?3,2) 。
2

24、令 tx ? u,

?

x

0

f (u)du ? xf ( x) ? x 2 e x ，两边求导数，得

f ( x) ? f ( x) ? xf ?( x) ? 2xe x ? x 2 e x ，即 f ?( x) ? 2e x ? xe x
所以， f ( x) ? 25、令 g ( x) ?
1

? ?2e
?
x 0

x

? xe x dx ? 3e x ? xe x ? c

?

f (t )dt ? 2 x ? 1 ，是[0,1]上连续函数。

g (1) ? ? f (t )dt ? 1 ? 0, g (0) ? 1 ? 0 ，由介值定理 ?? ? (01), g (? ) ? 0
0

? 26、全微分为 z ? x ? 2 x, z y ? 2 y ，在（1，-2,5）处切平面为
2( x ? 1) ? 4( y ? 2) ? ( z ? 5) ? 0
即 2x ? 4 y ? z ? 5

?2 x ? 4 y ? z ? 5 ? 直线在平面上，则方程组 ? x ? y ? ?b 有无穷多解。 ? x ? ay ? z ? 3 ?
由于 x

? ?b ? y, z ? ?b ? y ? ay ? 3 ? ?b ? 3 ? (a ? 1) y 代入切平面方程

2(?b ? y) ? 4 y ? 3 ? b ? (a ? 1) y ? 5 ， 即 (?5 ? a) y ? b ? 2 ? 0 有 无 穷 多 解 ， 所 以 a ? ?5, b ? ?2

8