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2011选修1-1(2-1)抛物线单元测试题

2011选修1-1(2-1)抛物线单元测试题


2011—2012 学年第一学期

抛物线期末复习单元测试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1
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抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是( A
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15 D 10 2 2.以抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 | PF | 为直径的圆与 y 轴位置关系是(
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5 2

B

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5

C

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A 3
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相交

B

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相切

C.相离

D.以上三种均有可能 )

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设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为( A
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p 2
2

B

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p

C

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2p

D

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无法确定 )

4

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若抛物线 y ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为(

A

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1 2 ( ,? ) 4 4

B

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1 2 ( ,? ) 8 4

C

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1 2 ( , ) 4 4

D

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1 2 ( , ) 8 4


5.若双曲线

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p 的值为( 3 p
B.3
2

A.2

C.4

D.4 2

? 6.已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q(2, 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离
之和取得最小值时,点 P 的坐标为( ) C. (1,2) D. (1,-2)

1 1 A. ( ,-1) B. ( ,1) 4 4
2

7.已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线 准线的距离之和的最小值为( A. ) C. 5 D.

17 2

B. 3

9 2

8.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ( x1,y1 ),P ( x2,y2 ) , P ( x3,y3 ) 在 1 2 3
抛物线上,且 x1 , x2 , x3 成等差数列, 则有( A. FP ? FP ? FP 1 2 3 C. 2 FP ? FP ? FP 2 1 3 )
2 2

B. FP ? FP2 1 D. FP2
2

? FP3

2

? FP· FP3 1

9.过点 M (2, 4) 作与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点的直线 l 有 (
A.0 条 B.1 条 C.2 条



D.3 条

10 . 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 8x 的 焦 点 为 F , 准 线 与

x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且

AK ? 2 AF ,则 ?AFK 的面积为(
A.4 B.8

) C.16 D.32

11.抛物线 y ? 2x 2 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 且 x1 ? x 2 ? ? A
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y ? x ? m 对称,

1 ,则 m 等于( 2
B
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) C
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3 2

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2

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5 2

D

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3

12.过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则

1 1 ? 等于( p q
1 2a



A.2a

B.

C.4a

D.

4 a


二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则实数 a ?
2
?

14.过抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作倾角为 30 的直线,与抛物线分别交于 A 、 B 两 点( A 在 y 轴左侧) ,则

AF FB

?



15.已知抛物线 y ? ax ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的
2

三角形面积为 16
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. 都满足 PQ ? a , a 的取值范围是 则 。

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,0 对于抛物线 y 2 ? 4x 上任意一点 Q , P (a) 点

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是 x 轴, 抛物线上的点 M (?3, m) 到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值。

18. (本小题满分 12 分)已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的 弦长为 15 , (1)求抛物线的方程; (2)若抛物线与直线 y ? 2 x ? 5 无公共点,试在抛物线 上求一点,使这点到直线 y ? 2 x ? 5 的距离最短。

, 19. (本小题满分 12 分)如图,已知点 F (1 0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,
过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP? QF ? FP?FQ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

l

y

F 1 x

???? ??? ???? ? ??? ? l 于点 M ,已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值. ?1 O

20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C : y ? 2 x ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点, M
2

是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 NA?NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

??? ??? ? ?

21. (本小题满分 12 分)如图倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F ,且与抛物 线交于 A, B 两点. (Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)若 ? 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P ,证明 FP ? FP cos 2? 为 定值,并求此定值.

y

l

A

y

?


F
B
题(21)图

P

x
m

22. (本题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点 C (0,c) 任 作一直线,与抛物线 y ? x2 相交于 A,B 两点.一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和 直线 l : y ? ?c 交于点 P,Q . y B

OB ? 2 ,求 c 的值; (Ⅰ)若 OA?
(Ⅱ) P 为线段 AB 的中点, 若 求证:QA 为此抛物线的切线; (Ⅲ)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由. A C O

??? ??? ? ?

P

x Q l

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.B

2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p

2.B 设 Q 为 PF 中点,分别过 P、Q 作准线 l 的垂线,垂足分别为 M、N, 则 |QN | ?

l 1 1 p 1 ( p ?|PM |) ? ( p ?|PF |) ? ? |PF | , 2 2 2 2 M p 1 N ∴点 Q 到 y 轴的距离 d ? |QN | ? ? |PF | ,故选 B。 2 2 O F p 3 C 垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ? , y ? ? p, AB min ? 2 p 2
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y
P Q

x

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4.B 点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO ? PF ,过点 P 所作的高也是中线

1 2 1 2 ? Px ? ,代入到 y 2 ? x 得 Py ? ? ,? P( , ? ) 8 4 8 4
5. 解: C 双曲线的左焦点坐标为: ? 3 ? (

p p2 抛物线 y 2 ? 2 px 的准线方程为 x ? ? , , 0) , 2 16

所以 ? 3 ?

p2 p ? ? ,解得: p ? 4 ,故选 C。 16 2

6.A 解:点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离,如 图 PF ? PQ ? PS ? PQ ,故最小值在 S , P, Q 三点共线时取得, 此时 P, Q 的纵坐标都是 ?1 ,故选 A。 (点 P 坐标为 ( , ?1) ) 7.A 解:本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设 P 在抛物线准线的投影为 P ' ,抛物线 的焦点为 F ,则 F ( , 0) ,依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为 | PP ' |?| PF | ,则点

1 4

1 2

P 到点 A(0, 2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和

1 17 d ?| PF | ? | PA |?| AF |? ( )2 ? 22 ? . ,故选 A。 2 2
8. 解: x1 , x2 , x3 成等差数列得 2x2 ? x1 ? x3 , C 由 从而有 2( x2 ? 根据抛物线定义即得: 2 FP ? FP ? FP .故选 C。 2 1 3 9.C 解:∵点 M (2, 4) 在抛物线 y ? 8x 上,∴过点 M (2, 4) 作与抛物线 y ? 8x 只有一个
2 2

p p p ) ? ( x1 ? ) ? ( x3 ? ), 2 2 2

公共点的直线 l 只有 2 条,故选 C。 10.B 解:∵ 抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ? 2, ,准线为 x ? ?2 0? 设 A ? x0,y0 ? ,过 A 点向准线作垂线 AB ,则 B ? ?2,y0 ? ∵ AK ? ∴K ? ?2,? 0

2 AF ,又 AF ? AB ? x0 ? ? ?2? ? x0 ? 2
2

2 2 2 2 ∴ BK ? AK ? AB 得 y0 ? ? x0 ? 2 ? , 由

即 8 x0 ? ? x0 ? 2 ? ,解得 A? 2, 4? ?
2

∴?AFK 的面积为

1 1 KF ? y0 ? ? 4 ? 4 ? 8 2 2

故选 B.

11. A

k AB ?

x ?x y ?y y2 ? y1 1 ? ?1, 而y2 ? y1 ? 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 ? x1 ? ? ,且( 2 1 , 2 1 ) 2 2 x2 ? x1 2

在直线 y ? x ? m 上,即

y2 ? y1 x2 ? x1 ? ? m, y2 ? y1 ? x2 ? x1 ? 2m 2 2 3 2 1 , 2a

2( x2 2 ? x12 ) ? x2 ? x1 ? 2m, 2[( x2 ? x1 ) 2 ? 2 x2 x1 ] ? x2 ? x1 ? 2m, 2m ? 3, m ?

12.C(特例法)过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作与 y 轴垂直的直线,则 p ? q ? ∴

1 1 ? ? 4a ,故选 C。 p q

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13.解:直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F (1,0), 则 a ? 1 ? 0 ? a ? ?1.
2

14.解:如图,分别过点 A, B 向抛物线准线作垂线,垂足为 C , D ; 过 A 点作 AE ? BD 于 E 。则 AF ? AC, BF ? BD ,

AB ? AF ? BF , BE ? BD ? AC ? BF ? AF ,
BE 1 BF ? AF 1 AF 1 ? ? ? ? ? AB 2 BF ? AF 2 BF 3 1 2 2 15.解: 抛物线 y ? ax ? 1 ? x ? ( y ? 1) , a 1 1 ?1? a ? 顶点 (0, ?1) 焦点是坐标原点,所以 4a 4 1 2 抛 物 线 y ? x ? 1 与 两 坐 标 轴 的 三 个 交 点 为 (?2, 0), (0, ?1) , 所 以 三 角 形 面 积 4 1 S ? ? 4 ?1 ? 2 2
又 ?BAE ? 30 所以
?

16. ? ??,2?

设 Q(

t2 t2 , t ) ,由 PQ ? a 得 ( ? a) 2 ? t 2 ? a 2 , t 2 (t 2 ? 16 ? 8a) ? 0, 4 4

t 2 ? 16 ? 8a ? 0, t 2 ? 8a ?16 恒成立,则 8a ? 16 ? 0, a ? 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解法一、设抛物线方程为 y 2 ? ?2 px ( p ? 0) ,则焦点 F ( ?

p , 0) ,由题意可得 2

?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 ? ,解之得 ? 或? , ? 2 p m ? (3 ? ) 2 ? 5 ?p ? 4 ?p ? 4 ? 2 ?
故所求的抛物线方程为 y 2 ? ?8x , m的值为? 2 6 。 解法二、设抛物线方程为 y 2 ? ?2 px ( p ? 0) ,则焦点 F ( ? 则由抛物线定义知: |MF | ? |MN | ? 3 ?

p p , 0) ,准线 l : x ? 2 2

p ? 5 ,∴ p ? 4 2

y
M

l
N

故所求的抛物线方程为 y 2 ? ?8x , m的值为? 2 6 。

? y 2 ? 2 px , 消去 y 得 18.解: (1)设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ,则 ? ? y ? 2x ?1

F

O

x

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (


p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4

p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4x,或y 2 ? 12x
t2 (2)解法一、显然抛物线 y ? ?4x 与直线 y ? 2 x ? 5 无公共点,设点 P(? , t ) 为抛物线 4
2

y 2 ? ?4x 上的任意一点,点 P 到直线 y ? 2 x ? 5 的距离为 d ,则
2 ? (? d? t2 )?t ?5 4 5

?

t 2 ? 2t ? 10 2 5
1 , ?1) 为所求的点 4
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当 t ? ?1 时, d 取得最小值,此时 P ( ?
2

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解法二、显然抛物线 y ? ?4x 与直线 y ? 2 x ? 5 无公共点,设与直线 y ? 2 x ? 5 平行且与

抛物线 y 2 ? ?4x 相切的直线方程为 y ? 2 x ? b ,切点为 P,则点 P 即为所求点。 由?

? y ? 2x ? b 消去 y 并化简得: 4 x2 ? 4(b ? 1) x ? b2 ? 0 , y 2 ? ?4 x ?
1 2

∵直线与抛物线相切,∴ ? ? 16(b ? 1)2 ?16b2 ? 0 ,解得: b ? ? 把b ? ?

1 1 代入方程 4 x2 ? 4(b ? 1) x ? b2 ? 0 并解得: x ? ? ,∴ y ? ?1 2 4 1 故所求点为 P ( ? , ?1) 。 4 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 19.解法一: (Ⅰ)设点 P( x,y ) ,则 Q(?1 y) ,由 QP? , QF ? FP?FQ 得:

( x ? 1, ? , y) ? ( x ?1,y)? ?2,y) ,化简得 C : y 2 ? 4x . 0) (2 ? (
(Ⅱ)设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1(m ? 0) . y Q P B O A M F

2? ? 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1 ? ? , , m? ?
? y 2 ? 4 x, 联立方程组 ? ,消去 x 得: ? x ? my ? 1,

x

y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m)2 ? 12 ? 0 ,故

? y1 ? y2 ? 4m, ? ? y1 y2 ? ?4. ???? ??? ???? ? ??? ? 由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得:
y1 ? 2 2 2 2 ? ??1 y1 , y2 ? ? ??2 y2 ,整理得: ?1 ? ?1 ? , ?2 ? ?1 ? , m m my1 my2

? ?1 ? ?2 ? ?2 ?

2?1 1 ? 2 4m 2 y1 ? y2 ? 0. ? ?2 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? m ? y1 y2 ? m ?4 m y1 y2

解法二: (Ⅰ)由 QP? QF ? FP?FQ 得: FQ? PQ ? PF ) ? 0 , (

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ?( PQ ? PF )? PQ ? PF ) ? 0 ,? PQ ? PF ? 0 ,? PQ ? PF . (
所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y ? 4 x .
2

(Ⅱ)由已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,得 ?1 ? 2 ? 0 . ?

????

??? ?

????

??? ?

???? MA ?1 则: ???? ? ? MB ?2

??? ? AF ??? .…………① ? BF

过点 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A , B1 , 1

???? ???? ??? ? MA AA1 AF 则有: ???? ? ???? ? ??? .…………② ? MB BB1 BF ??? ? ??? ? ?1 AF AF 由①②得: ? ??? ? ??? ,即 ?1 ? ?2 ? 0 . ? ? ?2 BF BF
20.解:解法一: (Ⅰ)如图,设 A( x1,x12 ) , B( x2,x2 2 ) , 2 2 把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x2 得 2 x ? kx ? 2 ? 0 ,
2

y M 2 A

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

k , x1 x2 ? ?1 , 2
? ?. ?
B

? k k2 x ?x k ? xN ? xM ? 1 2 ? ,? N 点的坐标为 ? , 2 4 ?4 8
设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y ?

1 N O 1 x

k2 k? ? ? m? x ? ? , 8 4? ?

将 y ? 2 x2 代入上式得 2 x ? mx ?
2

mk k 2 ? ?0, 4 8

? 直线 l 与抛物线 C 相切,
? mk k 2 ? ?? ? m2 ? 8 ? ? ? ? m2 ? 2mk ? k 2 ? (m ? k )2 ? 0 ,? m ? k . 8 ? ? 4
即 l ∥ AB . (Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 ,则 NA ? NB ,又? M 是 AB 的中点,

??? ??? ? ?

?| MN |?

1 | AB | . 2 1 1 1 由(Ⅰ)知 yM ? ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? 2 ? kx2 ? 2) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4] 2 2 2

? k2 1 ? k2 ? ? ? 4? ? ? 2 . 2? 2 ? 4
? MN ? x 轴,? MN |?| yM ? yN |? |

k2 k 2 k 2 ? 16 ?2? ? . 4 8 8

| 又 | AB |? 1 ? k ? x1 ? x2 |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2 2 2

1 2 ?k? ? 1 ? k 2 ? ? ? ? 4 ? (?1) ? k ? 1? k 2 ? 16 . 2 ?2?

2

?

k 2 ? 16 1 2 ? k ? 1? k 2 ? 16 ,解得 k ? ?2 . 8 4

即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 . 解法二: (Ⅰ)如图,设 A( x1, 1 ),B( x2, 2 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x2 得 2 x2 2 x2

??? ??? ? ?

k 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 .由韦达定理得 x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? ?1 . 2
? k k2 ? x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , ? .? y ? 2x2 ,? y? ? 4 x , ? xN ? xM ? 2 4 ?4 8 ?

? 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4 ?
??? ??? ? ?

k ? k ,? l ∥ AB . 4

(Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 . 由(Ⅰ)知 NA ? ? x1 ? ,x1 ? 2 2

??? ? ? ?

k 4

? k 2 ? ??? ? k k2 ? , ? ? x2 ? ,x2 ? ? ,则 NB 2 2 ? 8 ? 4 8 ? ?

??? ??? ? ? ? k ?? k ? ? 2 k 2 ?? 2 k 2 ? NA?NB ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? ? 2 x1 ? ?? 2 x2 ? ? 4 ?? 4? ? 8 ?? 8? ? k ?? k? ? k 2 ?? 2 k 2 ? ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4 ? x12 ? ?? x2 ? ? 4 ?? 4? ? 16 ?? 16 ? ?
k ?? k? ? k ?? k ?? ? ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ???1 ? 4 ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4 ?? 4? ? 4 ?? 4 ?? ? ?

? k k2 ? ? k2 ? ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ???1 ? 4 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? ? 4 16 ? ? 4? ? ? k k k2 ? ? k k2 ? ? ? ?1 ? ? ? ???1 ? 4 ? (?1) ? k ? ? ? 4 2 16 ? ? 2 4? ? ? k2 ?? 3 ? ? ? ?1 ? ?? ?3 ? k 2 ? ? 0 , 16 ? ? 4 ? ?
? ?1 ?
3 k2 ? 0 ,??3 ? k 2 ? 0 ,解得 k ? ?2 . 4 16

即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 . 21. (I)解:设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px ,则 2 p ? 8 ,从而 p ? 4 . 因此焦点 F ?

??? ??? ? ?

?p ? 0) ,? 的坐标为 (2, , 0 ?2 ?
l C

y
A

p . 2 从而所求准线的方程为 x ? ?2 . (II)解法一:如答 21 图作 AC ? l , BD ? l , 垂足分别为 C,D ,则由抛物线的定义知
又准线方程的一般式为 x ? ?

y

E

?


FA ? AC , FB ? BD .
D
记 A, B 的横坐标分别为 xA , xB ,

F B
题(21)图

P

x

m

p p p 则 FA ? AC ? x A ? ? FA cos ? ? ? 2 2 2 4 . ? FA cos? ? 4 ,解得 FA ? 1 ? cos ? 4 类似地有 FB ? 4 ? FB cos ? ,解得 FB ? . 1 ? cos ?
记直线 m 与 AB 的交点为 E ,则 FE ? FA ? AE ? FA ?

FA ? FB 1 ? ( FA ? FB ) 2 2

1? 4 4 ? 4cos ? . ? ? ? ?? 2 ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? sin 2 ?
所以 FP ?

FE 4 ? . cos ? sin 2 ? 4 4 2sin 2 ? · (1 ? cos 2? ) ? ?8. 2 sin ? sin 2 ?

故 FP ? FP cos 2? ?

解 法 二 : 设 A( xA,y A ) , B( xB,yB ) , 直 线 AB 的 斜 率 为 k ? tan ? , 则 直 线 方 程 为

y ? k ( x ? 2) .

4(k 2 ? 2) 将此式代入 y ? 8x 得 k x ? 4(k ? 2) x ? 4k ? 0 ,故 xA ? xB ? . k2
2 2 2 2 2

记直线 m 与 AB 的交点为 E ( xE,yE ) ,则 xE ?

4 xA ? xB 2( k 2 ?2) ? , yE ? k ( xE ? 2) ? , 2 k 2 k

故直线 m 的方程为 y ?

4 1? 2k 2 ? 4 ? ?? ?x? ?, k k? k2 ?
2k 2 ? 4 4(k 2 ? 1) 4 ? 4 ,故 FP ? xP ? xE ? ? . 2 2 k k sin 2 ?

令 y ? 0 ,得点 P 的横坐标 x p ?

从而 FP ? FP cos 2? ?

4 4?2sin 2 ? (1 ? cos 2? ) ? ? 8 为定值. sin 2 ? sin 2 ?
y B

22.解: (1)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? c , 将该方程代入 y ? x2 得 x ? kx ? c ? 0 .
2

令 A(a,a2 ) , B(b,b2 ) ,则 ab ? ?c .

A

C O

P

??? ??? ? ? 因为 OA? OB ? ab ? a2b2 ? ?c ? c2 ? 2 ,解得 c ? 2 ,
或 c ? ?1 (舍去) .故 c ? 2 . (2)由题意知 Q ?

x Q l

a2 ? c a 2 ? ab ? a?b ? ? ? 2a . , c ? ,直线 AQ 的斜率为 k AQ ? ? a?b a ?b ? 2 ? a? 2 2

∴直线 AQ 的方程为: y ? a2 ? 2a( x ? a) ,即 y ? 2ax ? a 2

? y ? 2ax ? a 2 2 2 由? 得 x ? 2ax ? a ? 0 , ? ? (?2a)2 ? 4a2 ? 0 2 ?y ? x
因此, AQ 为该抛物线的切线. (3) (2)的逆命题成立,证明如下: 设直线 AQ 的方程为: y ? a ? k ( x ? a) ,
2

? y ? a 2 ? k ( x ? a) 2 2 由? 得: x ? kx ? ka ? a ? 0 y ? x2 ?
若 AQ 为该抛物线的切线,则, ? ? k ? 4(ka ? a ) ? 0 ? k ? 2a
2 2

又设 Q( x0 , ?c) ,则直线 AQ 的斜率为 k ?
2 得 2ax0 ? a ? ab ,因 a ? 0 ,有 x0 ?

a 2 ? c a 2 ? ab a 2 ? ab ,所以 ? ? 2a , a ? x0 a ? x0 a ? x0

故点 P 的横坐标为

a?b ,即 P 点是线段 AB 的中点. 2

a?b . 2



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