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湖北省华师一附中2013届高三摸底测试数学(理)试题

湖北省华师一附中2013届高三摸底测试数学(理)试题


华师一附中 2013 届高三数学(理科)试题
一、选择题: 1.设向量 a ? (1, x ?1) , b ? ( x ? 1,3) ,则“x=2”是“ a ? b ”的( A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要

?

?

? ?

)条件

D.既不充分也不必要 )

2.设复数 z1 ? 1 ? 2i, z2 ? 1 ? i, 则复数 z ? A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内对应点位于( z2
C. 第三象限

D.第四象限

3.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为 12 3cm3 ,其三视图 中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( A. 4 3cm2 B. 2 3cm2 ) D. 4cm 2

C. 8cm 2

4.下列选项中,说法正确的是 ( ) 2 2 A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题; B.设 a, b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则 a ? b ” 的否命题是真命题; C.命题“ p ? q ”为真命题,则命题 p 和 q 均为真命题; D.命题 ?x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”. 5.某小区有排成一排的 7 个车位,现有 3 辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的 4 个 车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为 ( ) A.16 B.18 C. 24 D.32

? ?

?

?

?? ?

?

6. 《中华人民共和国道路交通安全法》 据 规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20-80 mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证,并处 200 元以上 500 元以下罚款;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车,处十五日以 下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证,并处 500 元以上 2000 元以下罚款. 据某报报道,2012 年 3 月 5 日至 3 月 28 日,某地区 共查处酒后驾车和醉酒驾车共 500 人,如图是对这 500 人 酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图, 则这 500 人血液中酒精含量的平均值约是( A.55 mg/100ml C.57mg/100ml B.56 mg/100ml D.58mg/100ml ).

7.已知函数 y ? sin ax ? b(a ? 0) 的图象如图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图象可能是 ( ).

8. 已知函数 f ( x) ? kx ? 1 ,其中实数 k 随机选自区间[-2,1].对 ?x ? [0,1], f ( x) ? 0 的 概率是( A. ).

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

9.若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 与曲线 x2 ? y2 ?| m ? n | 无交点,则椭圆的离心率 e 的 m n
) B. (0,

取值范围是 ( A. (

3 ,1) 2

3 ) 2

C. (

2 ,1) 2

D. (0, )

2 2

10.若对于定义在 R 上的函数 f(x),其图象是连续不断的,且存在常数 λ (λ ∈R)使得 f(x+λ )+ λ f(x)=0对任意实数 x 都成立,则称 f(x)是一个“λ —伴随函数”.有下列关于 “λ —伴随函数”的结论:①f(x)=0是常数函数中唯一一个“λ —伴随函数” ;② f(x)= x 1 2 不是“λ —伴随函数” ;③ f(x)= x 是“λ —伴随函数” ;④ “ —伴随函数”至少有一个 2 零点.其中正确结论的个数是( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,摸 棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11.曲线 y ? cos x(0 ? x ?

3? ) 与坐标轴所围成的面积是________. 2

12.执行如图所示的程序框图,若输入 x=10,则输出 y 的值为________. 13.在计算“1×2+2×3+?+n(n+1)”时,有如下方法: 先改写第 k 项: k (k ? 1) ? [k (k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)] , 由此得: 1? 2 ?

1 3

1 (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2) , 3

1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) ,?, 3 1 n(n ? 1) ? [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] , 3 1 相加得:1×2+2×3+?+n(n+1)= n( n ? 1)( n ? 2) . 3
类比上述方法,请你计算“1×3+2×4+?+n(n+2)” ,其结果写成关于 n 的一次因式的积的形 ...... 式为: 14.定义 max{a,b}= ? .

? a, a ? b ?| x |? 2 ,设实数 x,y 满足约束条件 ? ,z=max{4x+y,3x-y},则 ?b, a ? b ?| y |? 2

z 的取值范围是 . (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答如果全选,则按第 15 题作答结果记 分.) 15. (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,⊙ O 的直径为 6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线 l, 过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为D,则 CD= . 16. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 直线 l 的极坐标方程为 C : ? cos( ? ?

?
4

) ? 3 2 ,圆 C: ?
.

? x ? cos ? (θ 为参数)上的点到 ? y ? sin ?

直线 l 的距离值为 d,则 d 的最大值为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 且满足(2b-c) cosA= acosC. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 | AC ? AB |? 1,求 ?ABC 周长 l 的取值范围.

??? ??? ? ?

18. (本小题满分 12 分)某工厂有 216 名工人,现接受了生产 1000 台 GH 型高科技产品的 总任务. 已知每台 GH 型产品由 4 个 G 型装置和 3 个 H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工 6 个 G 型装置或 3 个 H 型装置. 现将工人分成两组同时开始加工, 每组分别加工一种装置 (完 成自己的任务后不再支援另一组) 设加工 G 型装置的工人有 x 人, 他们加工完成 G 型装置所 需的时间为 g(x),其余工人加工完成 H 型装置所需的时间为 h(x)(单位:小时,可不为整 数) . (Ⅰ)写出 g(x),h(x)的解析式; (Ⅱ)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析 式;(Ⅲ)应怎样分组,才能使完成总任务用的时间最少?

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD ,PD⊥CD,E 为 PC 中点,底面 ABCD 是直角梯形, AB∥CD,∠ADC=90°, AB=AD=PD=1,CD=2. (Ⅰ)求证:BE∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PBD (Ⅲ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, ??? ? ??? ? PQ ? ? PC ,试确定 λ 的值,使得二面角 Q—BD—P 的大小为 45°

1 , 公比为 1 的等比数列, n 为数列 {an } S 2 2 的前 n 项和,又 bn ? 5log2 (1 ? Sn ) ? t ,常数 t ? N * ,数列 {cn } 满足 cn ? an ? bn .
20.本小题满分 12 分) ( 已知数列 {an } 是首项 a1 ? (Ⅰ)若 ?cn ? 是递减数列,求 t 的最小值; (Ⅱ)是否存在正整数 k,使 ck , ck ?1 , ck ? 2 这三项 按某种顺序排列后成等比数列?若存在, 试求出 k,t 的值; 若不存在, 请说明理由 .

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,P 是椭圆 a 2 b2

上任意一点,若以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,且 ?PF F2 的 1 周长为 4 ? 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线的 l 是圆 O: x 2 ? y 2 ?

4 上动点 P( x0 , y0 )( x0 ? y0 ? 0) 3

处的切线, l 与椭圆 C 交于不同的两点 Q , R ,证明: ?QOR 的大小为定值.

22. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ? x3 ? 2mx2 ? m2 x ? 1 ? m(m ? ?2) 的图象在 x=2 处的切线与直线 x-5y-12=0 垂直. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值与零点; (Ⅱ)设 g ( x ) ?

1? x ? ln x ,若对任意 x1 ?[0,1] ,存在 kx

x2 ? (0,1] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 k 的取值范围;(Ⅲ)若 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,
且 a ? b ? c ? 1 ,证明:

a b c 9 ? ? ? 2 2 2 1? a 1? b 1? c 10

参考答案
一、选择题:ACADC 二、 填空题: 11. 3 三、解答题: 17.解: (Ⅰ)在△ABC 中,∵ (2b ? c) cos A ? a cos C , 由正弦定理有: (2sin B ? sin C ) cos A ? sin A cos C , ∴ 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ,即 2sin B cos A ? sin B , ∵ sin B ? 0 ,∴ cos A ? ???2 分 BCCDB 12.?

5 4

13.1 n(n+1)(2n ? 7)
6

14.?? 7,10?

15.

3 3 2

16.3 2 ? 1

(Ⅱ)由已知 | AC ? AB |? 1,∴ | BC |? 1,即 a ? 1 , 由正弦定理得: b ?
a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C , sin A 3 3

??? ??? ? ?

? 1 ,又∵ A ? (0, ? ) ,∴ A ? . 3 2

???6 分

??? ?

???8 分

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 (sin B ? sin C ) ? 1 ? (sin B ? sin( A ? B)) 3 3
???10 分

? 3 1 sin B ? cos B) ? 1 ? 2sin( B ? ) . 6 2 2 ? 2? ? ? 5? ? 1 ∵ A ? ,∴ B ? (0, ) ,∴ B ? ? ( , ) ,∴ sin(B ? ) ? ( ,1] , 3 3 6 6 6 6 2
? 1 ? 2(
故△ABC 的周长 l 的取值范围是 (2,3] . 解法二:周长 l ? a ? b ? c ? 1 ? b ? c ,由(Ⅰ)及余弦定理得:

???12 分

1 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,∴ b 2 ? c 2 ? bc ? 1 ,
∴ (b ? c)2 ? 1 ? 3bc ? 1 ? 3(
b?c 2 ) ,∴ b ? c ? 2 , 2

???8 分 ???11 分

又 b ? c ? a ? 1 ,∴ l ? a ? b ? c ? (2,3] , 即△ABC 的周长 l 的取值范围是 (2,3] ??? 12 分 18.解: (Ⅰ)由题意知,需加工 G 型装置 4000 个,加工 H 型装置 3000 个,所用工人分别 为 x 人和( 216 ? x )人,∴ g x) 4000 , (x) , h ? ( ? 6x (216 ? x) ? 3
* 1000 即 g x) 2000 , (x)= ( 0 ? x ? 216 , x ? N ) h ( ? 216 ? x 3x

3000

???4 分

(Ⅱ) g ( x) ? h( x) ?

1000 ? (432 ? 5 x) 1000 2000 , ? ? 3 x(216 ? x) 216 ? x 3x

∵0<x<216,∴216-x>0, 当 0 ? x ? 86 时, 432 ? 5 x ? 0 , g ( x) ? h( x) ? 0 , g ( x) ? h( x) , 当 87 ? x ? 216 时, 432 ? 5 x ? 0 , g ( x) ? h( x) ? 0 , g ( x) ? h( x) ,

? 2000 * ? 3x , 0 ? x ? 86, x ? N , ? ? f ( x) ? ? ? 1000 ,87 ? x ? 216, x ? N * . ? 216 ? x ?
(Ⅲ)完成总任务所用时间最少即求 f ( x ) 的最小值, 当 0 ? x ? 86 时, f ( x ) 递减,∴ f ( x) ? f (86) ? ∴ f ( x)min ? f (86) ,此时 216 ? x ? 130 , 当 87 ? x ? 216 时, f ( x ) 递增,∴ f ( x) ? f (87) ? ∴ f ( x)min ? f (87) ,此时 216 ? x ? 129 , ∴ f ( x)min ? f (87) ? f (86) , ∴加工 G 型装置,H 型装置的人数分别为 86、130 或 87、129.

???8 分

2000 1000 , ? 3 ? 86 129
???9 分

1000 1000 , ? 216 ? 87 129
???10 分

???12 分

19.证: (Ⅰ)取 PD 的中点 F ,连结 EF,AF ,因为 E 为 PC 中点,所以 EF ∥ CD ,且

1 EF ? CD ? 1 ,在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AB ? 1 , 2
所以 EF ∥ AB , EF ? AB ,四边形 ABEF 为平行四边形,所以 BE ∥ AF , 又因为 BE ? 平面 PAD , AF ? 平面 PAD , 所以 BE∥平面 PAD . ???4 分 (Ⅱ)平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,所以 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD .如图, 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .则 A(1, 0 , 0),
B(1, 1, 0)



C (0, 2, 0)


P

z
Q
E

??? ? ??? ? P(0, 0, 1) .? DB ? (1, 1, 0), BC ? (?1, 1, 0) . ??? ??? ? ? 所以 BC ? DB ? 0, BC ? DB .又由 PD ? 平面 ABCD ,可得 ??? ? (Ⅲ)平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1, 1, 0) , ??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ? 1), PQ ? ? PC , ? ? (0, 1) ,所以
Q(0, 2? , 1 ? ? ) ,
PD ? BC ,所以 BC ? 平面 PBD .

F D A B

???8 分

C y

x

? ??? ? ? ? ???? ?x ? 1 ? 0 设平面 QBD 的法向量为 n ? ( x , 1, z) ,由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 ,得 ? , ?2? ? (1 ? ? ) z ? 0 ? ??? ? ? ? 2? ? n ? BC 2 2 ? 所以 n ? ? ?1, 1, ,所以 cos 45? ? ? ??? ? , ? ? ?1? 2 ? ? | n || BC | 2? 2 2? 2?( ) ? ?1

注意到 ? ? (0, 1) ,得 ? ? 2 ? 1
n [1 ? ( ) n ] ?1? 2 2 ? 1 ? ( 1 )n , 20.解: (Ⅰ)由题意知, an ? ? ? ,? S ? n 2? 1 ? 2 1?

????12 分

1

1

2

1 1 ∴ bn ? t ? 5 log 2 (1 ? S n ) ? t ? 5 log 2 ( ) n ? 5n ? t , ∴ cn ? (5n ? t )( ) n , 2 2

? ?cn ? 是递减数列,

∴ cn ?1 ? cn ? (

5n ? 5 ? t 1 ? 5n ? t )( ) n ? 0 恒成立,即 t ? ?5n ? 5 恒成立, 2 2 ? f (n) ? ?5n ? 5 是递减函数,∴当 n ? 1 时 f (n) 取最大值 0 ,
???6 分

∴ t ? 0 ,又 t ? N * ,∴ tmin ? 1 .

1 1 * (Ⅱ)记 5k ? t ? x ,则 ck ? (5k ? t )( ) k ? x( ) k ,且 x ? N , 2 2

1 1 1 1 ? ck ?1 ? (5k ? 5 ? t )( ) k ?1 ? ( x ? 5)( ) k ?1 , ck ?2 ? (5k ? 10 ? t )( ) k ?2 ? ( x ? 10)( ) k ?2 , 2 2 2 2
① 若 c k 是等比中项,则由 ck ?1 ? ck ? 2

? ck 2 得:

1 1 1 2 ( x ? 5)( ) k ?1 ? ( x ? 10)( ) k ?2 ? x 2 ( ) 2 k ,化简得: 7 x ? 15x ? 50 ? 0 ,显然不成立. 2 2 2
② 若 ck ?1 是等比中项,则由 ck

? ck ? 2 ? ck ?12 得:

1 1 1 2 x ( ) k ? ( x ? 10 )( ) k ?2 ? ( x ? 5) 2 ( ) 2 k ?2 ,化简得: x( x ? 10) ? ? x ? 5? ,显然不成立. 2 2 2
2 ③ 若 ck ? 2 是等比中项,则由 ck ? ck ?1 ? ck ? 2 得:

1 1 1 ( x ? 5)( ) k ?1 ? x ( ) k ? ( x ? 10) 2 ( ) 2 k ?4 ,化简得: 7 x 2 ? 20x ? 100 ? 0 , 2 2 2
因为 ? ? 202 ? 4 ? 7 ? 100 ? 32 ? 100不是完全平方数, 因而 x 的值是无理数, x ? N 矛盾. 与
*

综上:不存在 k和t 适合题意.

???12 分

21.解(Ⅰ)因为以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,所以 b ? c , 可得 a ? 2c ,又因为 ?PF F2 的周长为 4 ? 2 2 ,可得 a ? c ? 2 ? 2 ,所以 c ? 2 , 1

x2 y 2 ???5 分 ? ? 1. 4 2 4 4 (Ⅱ)直线的 l 方程为 x0 x ? y 0 y ? ,且 x0 2 ? y0 2 ? ,记 Q ( x1 , y1 ) , R( x2 , y2 ) , 3 3
可得 a ? 2, b ? 2 ,所求椭圆 C 的方程为

? x2 y2 ? ? 2 ?1 16 32 2 2 2 联立方程 ? 4 ,消去 y 得 ( y0 ? 2 x0 ) x 2 ? x0 x ? ? 4 y0 ? 0 , ? 3 9 ?x x ? y y ? 4 0 ? 0 3 ?

16 x0 ? x1 ? x2 ? 2 3 2 y 0 ? 2 x0

32 2 ? 4 y0 9 , x1 x2 ? 2 2 y 0 ? 2 x0

??? 8 分

16 2 ? 4 x0 1 4 4 1 ?16 4 2 y1 y2 ? 2 ( ? x0 x1 )( ? x0 x2 ) ? 2 ? ? x0 ( x1 ? x2 ) ? x0 x1 x2 ? ? 92 , 2 3 y0 3 y0 ? 9 3 y 0 ? 2 x0

32 16 16 16 16 ? 4 y0 2 ? 4 x0 2 ? 4( x0 2 ? y0 2 ) ? 从而 x1 x2 ? y1 y2 ? 92 ? 92 ? 3 2 ? 3 3 2 0, y0 ? 2 x0 2 y0 ? 2 x0 2 y0 ? 2 x0 2 y0 2 ? 2 x0
??QOR ? 900 为定值.
解得: m ? ?1 或 m ? ?7 ,又 m ? ?2 ,所以 m ? ?1 , 由 f ?( x) ? ?3x2 ? 4 x ?1 ? 0 ,解得 x1 ? 1 , x2 ? ???13 分 22.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ?3x2 ? 4mx ? m2 ,所以 f ?(2) ? ?12 ? 8m ? m2 ? ?5 , ???2 分

1 ,列表如下: 3
1 ( ,1) 3

x
f ?( x )

1 (??, ) 3

1 3

1 0 极大值 2

(1, ??)

?
?
1 3

0 极小值 50
27

?
?

?
?
???4 分

f ( x)

所以 f ( x)极小值 ? f ( ) ?

50 , f ( x)极大值 ? f (1) ? 2 , 27

因为 f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 ? ?( x ? 2)( x2 ? 1) , 所以函数 f ( x ) 的零点是 x ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? [0,1] 时, f ( x) min ? ???5 分

50 , 27

“对任意 x1 ?[0,1] ,存在 x2 ? (0,1] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”等价于“ 值大于 g ( x) 在 (0,1] 上的最小值,即当 x ? (0,1] 时, g ( x) min ?

f ( x) 在 [0,1] 上的最小
???6 分

50 ” , 27

1 x? 1 1 因为 g ?( x) ? ? 2 ? ? 2 k , kx x x
① 当 k ? 0 时,因为 x ? (0,1] ,所以 g ( x) ? ② 当 0 ? k ? 1 时,

1? x 50 ,符合题意; ? ln x ? 0 ? kx 27

1 ? 1 ,所以 x ? (0,1] 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, k

所以 g ( x) min ? g (1) ? 0 ? ③ 当 k ? 1 时, 0 ?

50 ,符合题意; 27

1 1 1 ? 1 ,所以 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, x ? ( ,1) k k k 1 1 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,所以 x ? (0,1] 时, g ( x) min ? g ( ) ? 1 ? ? ln , k k k 1 23 令 ? ( x ) ? ln x ? x ? ( 0 ? x ? 1 ) 则 ? ?( x ) ? ? 1 ? 0 , , 所以 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递增, x 27 50 23 所以 x ? (0,1) 时, ? ( x) ? ? (1) ? ? , ? 0 ,即 ln x ? x ? 27 27
所以 g ( x) min ? g ( ) ? 1 ?

1 k

1 1 23 50 ,符合题意, ? ln ? 1 ? ? k k 27 27

综上所述,若对任意 x1 ?[0,1] ,存在 x2 ? (0,1] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 则实数 k 的取值范围是 (??,0) ? (0, ??) . (Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知,当 x ? [0,1] 时, ( x 2 ? 1)(2 ? x) ? ???10 分

50 x 27 ,即 ? (2 x ? x 2 ) , 2 27 1? x 50

当 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 时, 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 , 所以

a b c 27 27 ? ? ? [2(a ? b ? c) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )] ? [2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )] 2 2 2 1? a 1? b 1? c 50 50
1 1 ,当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号, 3 3

又因为 (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? 3(a2 ? b2 ? c2 ) , 所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 所以

a b c 27 27 1 9 ? ? ? [2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )] ? (2 ? ) ? , 2 2 2 1? a 1? b 1? c 50 50 3 10
???14 分

1 当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号, 3



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