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高数I(三学分)自测题(1)

高数I(三学分)自测题(1)


高等数学Ⅰ自测题(1)
一. 填空题(每题 2 分, 共 12 分) 1. 曲线 y =
x ?1 sin(ln x ) 的水平渐近线为( x2 + x

).

? x2 ? 4 x + 3 , x ≠ 3, ? 在 ( ? ∞ , + ∞ ) 连续,则 a = ( 2. 设 f ( x ) = ? x ? 3 ?a, x=3 ?

).
). ).

3. 曲线 y = x 3 过点 M (1, 0) 处的切线方程是( 4. 设 f ( x ) 在 x 0 可导, 则 lim
h→ 0

f ( x 0 + 2 h ) ? f ( x 0 ? 2 h) =( h

5. 函数 y = xe ? x 在 [0,1] ( 6. 若 lim

) 罗尔定理的条件.
).

( x + 1)97 (ax + 1)3 = 8 ,则常数 a = ( x →∞ ( x 2 + 1)50

二. 选择题(每题 2 分, 共 16 分)

1. 设 f (x) 的定义域为(1, 10), 则 f (2 x ) + f (3 x ) 的定义域是( 1 1 10 (A) ( , 5) ; (B) ( , ) ; 2 3 3
1 10 (C) ( , ) ; 2 3 1 (D) ( , 5) . 3

).

2. 函数 y =

1 在 ( ?1, 0) 内是( ). x2 (A) 单调递减、有界、有最大值;(B) 单调递增、无界、有最大值;

(C) 单调递减、有界、无最大值;(D) 单调递增、无界、无最大值. 3. 函数 y = f ( x ) 在 x = x 0 可导与它在 x = x 0 连续的关系是( (A) 可导必连续; (C) 不可导必不连续; (B) 连续必可导; (D) 可导与连续没有关联. ). ).

4. 设 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 x0 必是 f ( x ) 的(

(A)驻点; (B)不可导点; (C)可导点; (D)以上都不对.
1

5. 曲线 y = x 2 + 2 x ? 3 的拐点的个数为 (
(A)0; (B)1; x≠0 x=0 (C)2;

).
(D)3. )

1 ? ? | x | sin 2 6. 设 f ( x ) = ? x ? 0 ? (A) 极限不存在 (C) 连续但不可导 7. 已知 f ( x ) = x ? (A) 极小值点 (C) 极大值点 (A) f ( x ) = e ? 1 1 (C) f ( x ) = 1 + x2
x2

,则 f ( x ) 在 x = 0 处(

(B) 极限存在但不连续 (D) 可导


3 2 x 3 ,点 x = 0 是 f ( x ) 的( 2

(B) 驻点 (D) 拐点的横坐标

2

8. 在区间[-1, 1]上,下列函数中不满足罗尔定理的是( (D) f ( x ) =| x |

(B) f ( x ) = ln(1 + x )

三.求下列极限(每小题 5 分, 共 20 分)
1 1. 求极限 lim( x ? ). x→1 x ? 1 ln x

2. 求极限 lim ( x + 2 x ? x ? 3 x ) .
x→ +∞

3. 求极限 lim (cos 1 ) x . x→ ∞ x
2

? x +1 ? ? . 4. 求极限 lim ? ? 2 x → + ∞? ? x +1 ?
四.计算下列各题(每小题 5 分, 共 20 分)

2x

1. 设 y = arctan x 2 ? 1 ?

ln x x2 ? 1

求 y' .

2. 设 y = y( x ) 是由 sin( x 2 y 2 ) = x + y 所确定的隐函数, 求 d y .
2

? x = ln sin t , dy d2 y 3. 设 ? . 求 和 dx d x2 ? y = cos t + t sin t , 4. 设 y = x x , 求 y′, y′′.

五.求解下列各题(每小题 7 分, 共 14 分) 1. 已知 f ( x ) = x e ? 2 x . (1)求 f ( x ) 的单调区间和极值点. (2)求 f ( x ) 的凹凸区间和拐点.

2. 某工厂生产某产品,日总成本为 C 元,其中固定成本为 200 元,每多生产一 单位产品,成本增加 10 元,该产品需求函数为 Q = 50 ? 2 P ,求 Q 为多少时, 工厂日总利润 L 最大. 六. 证明不等式 1 + x ln( x + 1 + x 2 ) ≥ 1 + x 2 . (本题 8 分) 七.设某产品的次品率 y 与日产量 x 之间的关系为 ? 1 , 0 ≤ x ≤ 100 ? y = ? 101 ? x ? x > 100 ?1, 若每件产品(非次品)可盈利 100 元,每件次品则造成损失 利最多的日产量. (本题 8 分)
100 元,求盈 3

3



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