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湖北省华中师大一附中2013届高三5月模拟考试 数学理 含答案

湖北省华中师大一附中2013届高三5月模拟考试 数学理 含答案


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华中师大一附中 2013 届高中毕业生五月模拟考试 数学(理科)答案
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. A 卷:1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C B 卷:1.B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 二、填空题:每小题 5 分,共 25 分. 11.3 14.5840 12. 7.D 8.D 9.D 10.B 7.D 8.D 9.D 10.C

28 5 24 15. 5

13. (1)0.016; (2) 16. ?11? 和 2, 2 ,

3 5

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

, sin( 解: )∵ n ? (cos( 2? - B) (Ⅰ

?

?
2

? ? ? ? A)) = (cosB, cos A) , m ? (a, b) 且 m ∥ n ,

b ∴ cos B ? a cos A ? 0 ,由正弦定理 sin B cos B ? sin A cos A ? 0 , 即 sin 2 A ? sin 2 B …………………………………4 分 ∵ a ? b ,∴ A≠B,又 A、B 是△ ABC 的内角, ? ? ∴ 2A+2B=π , 即 A+B= , 从而 C= …………………………………6 分 2 2
2 2 2 b (法二:∵ cos B ? a cos A ? 0 ,也可由余弦定理推出 a ? b ? c )

(Ⅱ )由已知条件可得 AC=8,BC=6
1 又∵PAB=60°,连接 PB,则∠ ∠ APB=90°,∴ AP= AB=5. 2 4 3 ∵PAB=60°,sin∠ ∠ CAB= ,cos∠ CAB= , 5 5 3 4 1 3 4 3 ?3 ∴ PAC=sin(60°-∠ sin∠ CAB)= · - · = .…………………………………10 分 2 5 10 2 5 1 1 ∴ 四边形 APCB=S△APC+S△ABC= · PC· S AP· sin∠PAC+ AC· BC 2 2

=

1 4 3 ?3 1 ×5×8× + ×8×6= 8 3 -6+24= 8 3 +18………………………………12 分 2 2 10

18. (本小题满分 12 分) 解: )由表中数据可知一次性(不补考)获取驾驶证的频率为 (Ⅰ 有 100 ?

1 ,估计这 100 名新学员中 10

1 ? 10 人; 10 P ? P ( BC A) ? 2 1 ? 12 6
1

…………………………………………………3 分

(Ⅱ )设“通过科目一、二、三”分别为事件 A,B,C,则 ……………………………………6 分

(3)设这个学员一次性过关的科目数为 Y,则 Y 的分布列为 Y 0 2 3

P

2 5

2 5

1 10

1 10

……8 分

2 2 1 1 9 EY ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ……………………………………10 分 5 5 10 10 10 9 ? 90 而 X=100Y,所以 EX ? 100 EY ? 100 ? ……………………………12 分 10
19. (本小题满分 12 分) 解: ) G、H 分别是 CE、CF 的中点 (Ⅰ ∴ EF / / GH ,∴ EF // 平面BDGH ①

连接 AC 与 BD 交与 O ,因为四边形 ABCD 是菱形,所以 O 是 AC 的中点 连 OG , OG 是三角形 ACE 的中位线

OG / / AE ,∴

AE // 平面B D G H ②
……………………4 分 ……………………5 分

由①②知,平面 AEF / / 平面 BDGH ∴ BH // 平面AEF

(Ⅱ BF ? BD, 平面 BDEF ? 平面 ABCD ,所以 BF ? 平面 ABCD ) 取 EF 的中点 N , ON / / BF ? ON ? 平面 ABCD 建立以 O 为原点的空间坐标系 {OB,OC,ON} 设 AB ? 2,BF ? t , ………………6 分

??? ??? ???? ? ?

,0 0, 则 B ?1 0,? , C 0,3, 0 , F ?1, t ?
?1 3 t ? H? , ?2 2 ,2? ? ? ? ??? ? ???? ? 1 3 t ? OB ? ?1, 0, 0 ? , OH ? ? , ? 2 2 , 2 ? 设 平 面 BDGH 的 法 向 ? ? ? ?? 量为 n1 ? ? x, y, z ?

?

?

?? ??? ? ? n1 ? OB ? x ? 0 ?? ? ,所以 n1 ? 0, ?t , 3 ? ?? ???? 1 3 t y? z ?0 ?n1 ? OH ? x ? ? 2 2 2 ?? ? 平面 ABCD 的法向量 n2 ? ? 0,0,1?

?

?

…………8 分

?? ?? ? | cos ? n1 , n2 ?|?

3 3 ? t2

?

1 2 ,所以 t ? 9, t ? 3 2

…………10 分

所以 CF ? 1, ? 3,3 ,设直线 CF 与平面 BDGH 所成的角为 ? , 所以

??? ?

?

?

sin ? ?| cos?CF , n1 ? |?
20. (本小题满分 12 分)

6 3 3 13 ? 13 13 ? 2 3

…………12 分

解: )设等比数列 ?an ? 的公比为 q, 则 q ? 1, an ? 4q n?1 (Ⅰ

5 ? a3 是 a2和 a 4 的等差中项 4 5 ? 2 ? a3 ? a2 ? a4即2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 4
? q ? 1? q ? 2

?an ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1
依题意,数列 ?bn ? 为等差数列,公差 d ? 1 又 S 2 ? S6 ? 32 ? (2b1 ? 1) ? 6b1 ? 分 (Ⅱ ? an ? 2 ) 分
n ?1

................3 分

6?5 ? 32,? b1 ? 2 ? bn ? n ? 1 . ...............6 2

4(2n ? 1) ?Tn ? ? 2n ? 2 ? 4 . 2 ?1

...............8

不等式 nlog2 (Tn ? 4) ? ?bn ? 7 ? 3n 化为 n ? n ? 7 ? ? (n ? 1) ? n ? N ..........9 分
2 *

?? ?


n2 ? n ? 7 * 对一切 n ? N 恒成立。 n ?1

n 2 ? n ? 7 (n ? 1)2 ? 3(n ? 1) ? 9 9 9 ? ? (n ? 1) ? ( ) ? 3 ? 2 (n ? 1) ? ?3 ? 3 n ?1 n ?1 n ?1 (n ? 1)
当且仅当 n ? 1 ? 分 21. (本小题满分 13 分)

9 即 n ? 2 时等式成立。? ? ? 3 n ?1

................12

1 2 1 x ,? y ? ? x. 4 2 ∴直线 l 的斜率为 y ? | x ?2 ? 1 ,………1 分 故 l 的方程为 y ? x ? 1 ,∴点 A 坐标为(1,0)
解: (I)由 x ? 4 y得y ?
2

…………………………… 2 分

设 M ( x, y )

则 AB ? (1,0), BM ? ( x ? 2, y), AM ? ( x ? 1, y) ,

由 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 得 ( x ? 2) ? y ? 0 ? 整理,得

2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 0.

x2 ? y 2 ? 1. 2

………………………………4 分

∴动点 M 的轨迹 C 为以原点为中心,焦点在 x 轴上,长轴长为 2 2 ,短轴长为 2 的椭圆. ……………………………………………………… 5 分 (II)如图,由题意知直线 l 的斜率存在且不为零,设 l 方程为 y=k(x-2)(k≠0)①

x2 ? y 2 ? 1 ,整理,得 将①代入 2 2 (2k ? 1) x 2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 , 1 2 由 ? ? 0 得 0 ? k ? . 设 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) 2 2 ? 8k , ? x1 ? x 2 ? 2 ? 2k ? 1 ② ……………………………………………………7 分 则? 2 ? x x ? 8k ? 2 . ? 1 2 2k 2 ? 1 ? S x ?2 | BE | 令 ? ? ?OBE , 则? ? ,由此可得 BE ? ? ? BF, ? ? 1 , 且0 ? ? ? 1. S ?OBF | BF | x2 ? 2 ?4 , 由② ( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? 知 2k 2 ? 1 2 (x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 2 . 2k ? 1 ? 2k 2 ? 1 4? 1 ? ? , 即k 2 ? ? .??????10分 2 2 8 2 (1 ? ? ) (1 ? ? ) 1 4? 1 1 ? 0 ? k 2 ? ,? 0 ? ? ? , 2 2 2 2 (1 ? ? )
解得3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 . 又 ? 0 ? ? ? 1,
△ ? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 .∴OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是 (3 ? 2 2,1) . 22. (本小题满分 14 分) 解: )令 f ?( x) ? 2? ?1? x? ?1 ? ? ( x ? a)? ?1( x ? 0) (Ⅰ 得 (2 x)? ?1 ? (a ? x)? ?1 ,? 2 x ? a ? x,? x ? a. 当 0 ? x ? a 时, 2 x ? x ? a,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, a ] 上递减. 当 x ? a, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 ( a , ?? ) 上递增. 所以,当 x ? a 时, f ( x) 的最小值为 f (a) ? 0 ….……………………………………..3 分 (Ⅱ (ⅰ ? a1 ? 0, a2 ? 0 ,令 f ( x) ? 2? ?1 ( x? ? a1? ) ? ( x ? a1 )? ,由(Ⅰ ) ) )知 ……13 分

a1? ? a2? a ? a2 ? ?( 1 ) . ….……..4 分 2 2 (ⅱ )命题 P(2) 推广到一般形式 P(n)(n ? 2, n ? N ? ) 为:设 ? 为有理数且 ? ? 1 ,

f (a2 ) ? f (a1 ) , 2? ?1 (a1? ? a2? ) ? (a1 ? a2 )? ? 0 ,即

? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an a ? a2 ? ? ? an ? ?( 1 ) .….……..5 分 n n 下面用数学归纳法证明如下:① n ? 2 时,由(Ⅱ (ⅰ 当 ) )知,不等式成立;

若 ai ? 0, i ? 1,2,?, n(n ? 2) 时,则

? ? ? a1 ? a2 ? ? ? ak a ? a2 ? ? ? ak ? ?( 1 ) , k k ? ? ? a? ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 a ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ?( 1 ) , 那么 n ? k ? 1 时,要证 1 k ?1 k ?1 ? ? ? ? 即证 (k ? 1)? ?1 (a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 )? ,

② 假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即

? ? ? 设函数 g ( x) ? (k ? 1)? ?1 (a1 ? a2 ? ? ? ak ? x? ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ? x)? ( x ? 0) ,

则 g ?( x) ? (k ? 1)? ?1 ? ? x? ?1 ? ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ? x)? ?1 ,

a1 ? a2 ? ? ? ak , k a ? a2 ? ? ? ak 当0? x? 1 时, g ?( x) ? ? (kx ? x)? ?1 ? ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ? x)? ?1 ? 0, g ?( x) ? 0 , k a ? a2 ? ? ? ak 故 g ( x) 在 (0, 1 ] 上递减; k a ? a2 ? ? ? ak a ? a2 ? ? ? ak 当x? 1 ,类似可证 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( 1 , ??) 上递增. k k a ? a ? ? ? ak a ? a2 ? ? ? ak 时, g ( x) 的最小值为 g ( 1 ?当 x ? 1 2 )? k k a ? a ? ? ? ak ? a ? a ? ? ? ak ? ? ? ? (k ? 1)? ?1[a1 ? a2 ? ? ? ak ? ( 1 2 ) ] ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ? 1 2 ) k k (k ? 1)? ?1 ? ? ( k ? 1)? ? ? ? [k (a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak )? ] ? (a1 ? a2 ? ? ? ak )? ? ? k k (k ? 1)? ?1 ? ? ? ? ? [k (a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak )? ? (k ? 1)(a1 ? a2 ? ? ? ak )? ] k? (k ? 1)? ?1 ? ?1 ? ? ? ? [k (a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? ( a1 ? a2 ? ? ? ak )? ] , ? ?1 k a ? a2 ? ? ? ak ? ? ? 由归纳假设知 k ? ?1 (a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak )? ,所以 g ( 1 ) ? 0, k a ? a ? ? ? ak ? ak ?1 ? 0 ,? g (ak ?1 ) ? g ( 1 2 ) ? 0. k
令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?
? n ? k ? 1 时不等式成立. 综上,原命题得证.….……………………………………..9 分

(Ⅲ )令 xi ? x ? 0 ,则 nx ? x , 即 x ? n n ?1 ,
n

1

此时 x1 ? x2 ? ? ? xn ? x1 ? x2 ? xn ? n n ?1 (n ? 2, n ? N ? ) ① x1 ? x2 ? xn ? n n ?1 (n ? 2, n ? N ? ) 时,由(Ⅱ 当 )中不等式知,
n

n

x1 ? x2 ? ? ? xn ? x ? x ? xn ? ) ? n( 1 2 ) . n n n ? ?1 ? ? ? (? ?1) x1 ? x2 ? ? ? xn n ? ?1 1?? n ?1 ? ? ? ( x1 ? x2 ? xn ) ? n ? n ? n n ?1 . x1 ? x2 ? xn n
? ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? n(

②x1 ? x2 ? xn ? n n ?1 (n ? 2, n ? N ? ) 时,由算术——几何平均值不等式知,
? ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? n( x1 ? x2 ? xn ) n , ?

n

? n ?? n n ?? ? ?n ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?1 x1 ? x2 ? ? ? xn 1 n n n ?1 n n ?1 ? ? n( x1 ? x2 ? xn ) ? n( ) ? n?n ?n ? n n ?1 . x1 ? x2 ? xn x1 ? x2 ? xn 综上即证. ….……………………………………..14 分



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