haihongyuan.com
海量文库 文档专家
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高一(下)期中数学试卷

2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高一(下)期中数学试卷


2014-2015 学年安徽省黄山市屯溪一中高一(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分). 1. (5 分) (2015 春?黄山校级期中) 已知集合 A={x| (x﹣1) <3x+7, x∈R}, B= 则 A∩B=( A. 0) ) [﹣1,0] B.(﹣1,0) C. (﹣1,0] D. [﹣1,
2



考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,求出两集合的 交集即可. 2 解答: 解:由 A 中不等式变形得:x ﹣5x﹣6<0,即(x﹣6) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<6,即 A=(﹣1,6) , 由 B 中不等式变形得:x(x+1)≤0,且 x+1≠0, 解得:﹣1<x≤0,即 B=(﹣1,0], 则 A∩B=(﹣1,0]. 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分) (2015 春?黄山校级期中) 在△ ABC 中, 若 a= , 则此三角形 ( A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数无法确定 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由题意求出 asinB 的值,再与 b 进行比较,可判断出此三角形的解的情况. 解答: 解:∵在△ ABC 中,a= ∴asinB= = >2, , )

则此三角形无解, 故选:A. 点评: 本题主要考查三角形存在个数的条件,比较基础.

3. (5 分) (2014?湖南校级模拟)在数列{an},a1=1,an+1= A. B. C.

(n∈N ) ,则 a5=( D.

*



考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 由数列递推式得到数列{ 式后可得 a5 的值. 解答: 解:由 an+1= 又∵a1=1, ∴数列{ 则 ∴ ∴ . . ,得

}是以 1 为首项,以 为公差的等差数列,求出其通项公



}是以 1 为首项,以 为公差的等差数列, ,

故选:A. 点评: 本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,是中档题. 4. (5 分) (2015 春?黄山校级期中)如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 求出对应的直线方程,结合二元一次不等式与平面区域的关系进行求解即可. 解答: 解:过(2,0) , (0,﹣2)的直线方程为 过(4,0) , (0,2)的直线方程为 + =1,即 x+2y﹣4=0, 则对应的区域在 y 轴的右侧,x﹣y﹣2=0 的上方,x+2y﹣4=0 的下方, ,即 x﹣y﹣2=0,

则对应的不等式组为



故选:B 点评: 本题主要考查二元一次不等式组的确定,求出直线方程结合二元一次不等式组表示 平面区域的性质是解决本题的关键. 5. (5 分) (2015 春?黄山校级期中)等比数列{an}的前项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差 数列,则公比 q 为( ) A. ﹣3 B. ﹣ C. 3 D .

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的性质以及等差数列的关系进行求解即可. 解答: 解:若 S1,2S2,3S3 成等差数列, 则 S1+3S3=4S2, 则 a1+3(a1+a2+a3)=4(a1+a2) , 即 3a3=a2, 则 ,即公比 q= ,

故选:D. 点评: 本题主要考查等比数列通项公式的应用,根据条件结合等比数列的前 n 项和公式建 立方程关系是解决本题的关键. 6. (5 分) (2015 春?黄山校级期中)设 0<b<a<1,则下列不等式不成立的是( A. C. 2 <2 <2 ab<b <1
2 b a

) b

B. D. ab<a <1
2

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据指数函数的单调性,对数函数的单调性,不等式的基本性质逐一分析四个答案 的真假,可得答案. 解答: 解:∵0<b<a<1, x b a A 中,由 y=2 为增函数,可得:2 <2 <2 成立,故正确; B 中,由 y= 为减函数,可得: 成立,故正确; C 中,b <ab<b<1,故错误; 2 D 中,ab<a <a<1,故正确; 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键.
2

7. (5 分) (2015 春?黄山校级期中)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 角 ,asin2C=bsinA,则下列结论正确的有( )个

①一定是锐角三角形; ②一定是等腰三角形; ③可能是等腰直角三角形; ④可能是等边三角形. A. 1 B.

2

C.

3

D. 4

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理、余弦定理和二倍角公式化简已知的式子,再对化简后式子进行分类 讨论,分别判断出△ ABC 的形状. 解答: 解:∵asin2C=bsinA,∴根据正弦定理得:sinAsin2C=sinBsinA, 由 sinA≠0,则 sin2C=sinB, ∴2sinCcosC=sinB,∴2c
2 2

=b,

化简可得: (a﹣c) (ac+c ﹣b )=0, 2 2 ∴a﹣c=0 或 ac+c ﹣b =0, 2 2 ①当 a﹣c=0 且 ac+c ﹣b ≠0 时,a=c,△ ABC 是等腰三角形; 2 2 2 2 2 ②当 a﹣c=0 且 ac+c ﹣b =0 时,a=c 且 a +c =b ,△ ABC 是等腰直角三角形; 2 2 ③当 a﹣c≠0 且 ac+c ﹣b =0 时,无法判断△ ABC 的形状, ∴△ABC 是等腰三角形或等腰直角三角形; 故选:B. 点评: 本题考查正弦定理, 、余弦定理和二倍角公式的应用,考查分类讨论思想,属于中档 题. 8. (5 分) (2015 春?黄山校级期中)已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 ,则使得 A. 为整数的正整数的个数是( 5 B. 4 C. ) 3 D. 2

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: ①当 n=1 时, = = =17;②当 n≥2 时,

=

=

=9+

;从而判断即可.

解答: 解:①当 n=1 时,

=

=

=17,故成立;

②当 n≥2 时,

=

= = =9+ ;

=

故 n=3,7,15; 故使得 为整数的正整数的个数是 4;

故选:B. 点评: 本题考查了等差数列前 n 项和公式的应用及分类讨论的思想应用,属于基础题. 9. (5 分) (2015 春?黄山校级期中) 若数列{an}满足: a1= , an= (n=2, 3, 4, …) ,

且有一个形如 an=Asin(ωn+φ)的通项公式,其中 A,ω,φ 均为实数,且 ω>0,则此通项公 式 an 可以为( ) A. an= C. an= an=﹣ D. an= B.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法;三角函数的图像与性质. 分析: 由题设得到 a2=0,a3=﹣ ,a4= ,因为数列有个形如 an=Asin(ωn+φ)的通项公式, 而数列的周期是 3,由周期公式可求 ω,代入得 Asin( Asin(3× +φ)=﹣ ,联立方程解答 A,φ 即可得解. (n=2,3,4,…) , +φ)= ,Asin(2× +φ)=0,

解答: 解:∵a1= ,an= 由此得到 a2=0,a3=﹣ ,a4= …

因为数列有个形如 an=Asin(ωn+φ)的通项公式,

而数列的周期是 3,所以 代入得 Asin( Asin(2× Asin(3×

=3,ω=



+φ)= ,①

+φ)=0,② +φ)=﹣ ,③

因为 A,ω,均为实数,且 ω>0,

解得:

从而得:A=

,φ=k

(k∈Z) , n﹣ ) .

所以其中一个通项公式可以是 an= sin(

故选:D. 点评: 本题主要考查了数列的性质和应用,由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式, 三角函数的图象与性质,综合性较强,解题时要注意三角函数的应用,属于中档题. 10. (5 分) (2015 春?黄山校级期中)定义在 R 上的函数 y=f(x)是减函数,且对任意的 a∈R, 都有 f(﹣a)+f(a)=0,若 x、y 满足不等式 f(x ﹣2x)+f(2y﹣y )≤0,则当 1≤x≤4 时,x ﹣2y 的最小值为( ) A. ﹣4 B. ﹣1 C. 0 D. 8 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先根据已知条件确定函数的性质没利用函数的奇偶性和单调性求解不等式,得到 x,y 所满足的条件,确定可行域与目标函数,把已知问题转化为线性规划问题,利用目标函 数的几何意义确定最值,求解线性规划问题,要注意结合目标函数的几何意义求解最值,该题 中,目标函数 Z=2x﹣y 的几何意义是直线 2x﹣y﹣Z=0 在 y 轴上截距的相反数,所以当直线在 y 轴上截距最小时,对应的目标函数的最大 解答: 解:由于任意的 a∈R 都有 f(﹣a)+f(a)=0,可知函数 y=f(x)为奇函, 2 2 2 2 由 f(x ﹣2x)+f(2y﹣y )≤0 可得 f(x ﹣2x)≤﹣f(2y﹣y ) , 2 2 由函数为奇函数可得式 f(x ﹣2x)≤f(﹣2y+y ) , ∵函数 y=f(x)为 R 上的减函数, 2 2 2 2 ∴x ﹣2x≥﹣2y+y ,即 x ﹣y ﹣2(x﹣y)≥0, 整理可得, (x+y﹣2) (x﹣y)≥0, 作出不等式组 所表示的平面区域即可行域如图所示的△ ABC.
2 2

令 Z=x﹣2y,则 Z 表示 x﹣2y﹣z=0 在 y 轴上的截距的相反数, 由图可知,当直线经过点 B(4,4)时 Z 最小,最小值为 Z=4﹣2×4=﹣4; 故选:A.

点评: 本题主要考查了抽象函数的函数的单调性与函数的奇偶性的综合应用,不等式表示 平面区域的确定,利用线性规划求解目标函数的最值问题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分) (2015 春?黄山校级期中) 《莱因徳纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中 有这样一道题目:把 100 个面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和 的 是较小的两份之和,问最小的一份为 .

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意设等差数列{an}的公差是 d>0,首项是 a1,根据等差数列的前 n 项和公式、 通项公式列出方程组,求出公差 d 和首项 a1,即可得到答案. 解答: 解:设等差数列{an}的公差是 d>0,首项是 a1,

由题意得,





,解得



所以 a1= , 所以最小的一份为 ,

故答案为: . 点评: 本题考查等差数列的通项公式,等差数列的前 n 项和公式,以及方程思想,是数列 在实际生活中的应用,属于基础题. 12. (5 分) (2015 春?黄山校级期中)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若 c= ,则△ ABC 的面积为 或 .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据题意和正弦定理求出 sinC 的值,由内角的范围求出角 C,再由内角和定理分别 求出角 A 和△ ABC 的面积. 解答: 解:∵c= ∴由正弦定理得, , ,则 sinC= = = ,

由 0<C<π 得,C=60°或 120°, ①当 C=60°时,A=180°﹣B﹣C=90°, ∴△ABC 的面积 S= = ;

②当 C=120°时,A=180°﹣B﹣C=30°, ∴△ABC 的面积 S= 综上可得,△ ABC 的面积是 故答案为: 或 . = 或 , ,

点评: 本题考查正弦定理,内角和定理的应用,注意内角的范围,考查分类讨论思想,属 于中档题.

13. (5 分) (2015 春?黄山校级期中) 设 x, y 满足约束条件

, 若目标函数 z=abx+y

(a>0,b>0)的最大值为 8,则 a+b 的最小值为



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识先求出 a,b 的关系,然后利用基 本不等式求 a+b 的最小值. 解答: 解:由 z=abx+y(a>0,b>0)得 y=﹣abx+z, 作出可行域如图: ∵a>0,b>0,

∴直线 y=﹣abx+z 的斜率为负,且截距最大时,z 也最大. 平移直线 y=﹣abx+z,由图象可知当 y=﹣abx+z 经过点 A 时, 直线的截距最大,此时 z 也最大. 由 ,解得 ,即 A(4,5) .

此时 z=4ab+5=8, 即 ab= , 则 a+b 当且仅当 a=b= 故最小值为 故答案为: , . =2 = ,

时取=号,

点评: 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决线性规 划题目的常用方法. 14. (5 分) (2015 春?黄山校级期中)设关于 x 的不等式 x ﹣x<2n(n+1)x, (n∈N )的解集 中整数的个数为 ,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为 .
2 *

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 解不等式 x ﹣x<2n(n+1)x 得 0<x<2n(n+1)+1,从而可得 an= = ( ﹣
2 2

=2n(n+1) ,

) ,从而求前 100 项和即可.
*

解答: 解:∵x ﹣x<2n(n+1)x, (n∈N ) , 2 ∴x ﹣(2n(n+1)+1)x<0, ∴0<x<2n(n+1)+1, ∴ =2n(n+1) ,

∴an=

= ( ﹣

) , ﹣ )

∴S100= (1﹣ + ﹣ +…+ = (1﹣ 故答案为: )= . ;

点评: 本题考查了二次不等式的求解及裂项求和法的应用,属于中档题. 15. (5 分) (2015 春?黄山校级期中)给出下列五个结论: ①在△ ABC 中,若 sinA>sinB,则必有 cosA<cosB; ②在△ ABC 中,若 a,b,c 成等比数列,则角 B 的取值范围为 ;

③等比数列{an}中,若 a3=2,a7=8,则 a5=±4; * ④等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S10<0 且 S11=0,满足 Sn≥Sk 对 n∈N 恒成立,则正整数 k 构成集合为{5,6} ⑤若关于 x 的不等式 (a ﹣1) x﹣ (a﹣1) x﹣1<0 的解集为 R, 则 a 的取值范围为 其中正确结论的序号是 ①②④ . (填上所有正确结论的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列;解三角形. 分析: ①根据正弦定理,大边对大角可得 A>B,根据余弦的图象可得命题正确; ②根据已知得 b =ac,由余弦定理可得 cosB≥ ,可解得 B 的范围,命题正确;
2 2 2 2



③由

,解得 a1,q ,可得 a5,不正确;

④由

,即可得 d>0,a6=a1+5d=0,可得 a1 到 a5 都是负数,a6 是 0,以后各
+

项全是正数.要 Sn≥Sk 对 n∈N 恒成立,可解得 k=5,或 k=6 可证命题正确; 2 2 ⑤首先题目由不等式(a ﹣1)x ﹣(a﹣1)x﹣1<0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围,考 2 2 虑转化为函数 f(x)=(a ﹣1)x ﹣(a﹣1)x﹣1.对任意的 x,函数值小于零的问题.再分 类讨论 a=1 或 a≠1 的情况即可解出答案. 解答: 解:①在△ abc 中,sinA>sinB,根据正弦定理,根据大边对大角可得 A>B,根据 余弦的图象,可得 cosA<cosB,所以正确; ②根据已知得:b =ac,由余弦定理可得 cosB= 得 B∈ ,所以正确;
2

=



= ,可

③由

,解得 a1=1,q =2,可得:a5=

2

=4,所以不正确;

④解:∵Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S10<0,且 S11=0, ∴ ,即 ④,

∴d>0,a6=a1+5d=0, ∴a1 到 a5 都是负数,a6 是 0,以后各项全是正数. + ∵Sn≥Sk 对 n∈N 恒成立,∴k=5,或 k=6. ∴正整数 k 构成的集合为{5,6}.故正确; ⑤解:设函数 f(x)=(a ﹣1)x ﹣(a﹣1)x﹣1.由题设条件关于 x 的不等式(a ﹣1)x ﹣(a﹣1)x﹣1<0 的解集为 R. 可得对任意的 x 属于 R.都有 f(x)<0. 又当 a≠1 时,函数 f(x)是关于 x 的抛物线.故抛物线必开口向下,且于 x 轴无交点. 故满足
2 2 2 2

故解得﹣ <x<1. 当 a=1 时.f(x)=﹣1.成立. 综上,a 的取值范围为(﹣ ,1]. 故不正确. 故答案为:①②④. 点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,等差数列和等比数列的通项公式和求和公式 的应用,考查了函数的性质问题,其中应用到函数在不同区间的值域,对于抛物线值域问题一 直是高考重点题型,多以选择填空的形式出现,同学们要注意掌握,本题综合性强,考查知识 点多,属于难题. 三、解答题(答案必须写在指定的区域内,否则不得分) 16. (12 分) (2015 春?黄山校级期中)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, a=4,b=2,cosC= . (1)求△ ABC 的周长; (2)求 cos(B﹣C)的值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)根据题意和余弦定理求出边 c 的值,即可求出△ ABC 的周长; (2)根据内角的范围和平方关系求出 sinC 的值,利用正弦定理求出 sinB,由边角的关系和平 方关系求出 cosB,利用两角差的余弦公式求出 cos(B﹣C)的值.

解答: 解: (1)由题意知,a=4,b=2,cosC= , 由余弦定理得,c =a +b ﹣2abcosC=16+4﹣2× 则 c=4, ∴△ABC 的周长为 a+b+c=4+2+4=10; (2)∵0<C<π,cosC= , ∴ 由正弦定理得, = = , = = ,
2 2 2

=16,

,则 sinB=

∵b<c,∴B<C,由 cosC= >0,则 B、C 都是锐角, ∴ = = , ×

∴cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC= × + = = .

点评: 本题考查正弦、余弦定理,边角的关系和平方关系,以及两角差的余弦公式,注意 内角的范围和三角函数值的符号,属于中档题. 17. (12 分) (2015 春?黄山校级期中) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 2Sn=﹣an+1 (n≥1, * n∈N ) ;等差数列{bn}的公差为正数,且满足 b1+b2+b3=15,b1b2b3=80. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an+bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 解: (1) 化简可得 3an+1=an, 从而可得 an= × ( ) (n﹣1)=3n﹣1;
n﹣1

=

; 再由等差数列可得 bn=2+3

(2)化简 an+bn=

+3n﹣1,从而可得 Tn=

+

=

+ ﹣

. 解答: 解: (1)∵2Sn=﹣an+1,∴2Sn+1=﹣an+1+1; ∴2an+1=﹣an+1+an, ∴3an+1=an, ∴ = ;

而由 2S1=﹣a1+1 解得 a1= ; 故 an= ×( )
n﹣1

=



∵b1+b2+b3=3b1+3d=15,b1(b1+d) (b1+2d)=80,d>0; ∴b1=2,d=3; ∴bn=2+3(n﹣1)=3n﹣1; (2)∵an+bn= +3n﹣1,

∴Tn=

+

=

+ ﹣



点评: 本题考查了等差数列与等比数列的应用及通项公式与前 n 项和公式的应用,属于中 档题. 18. (12 分) (2015 春?黄山校级期中)已知 f(x)=x +(a+1)x+b,f(3)=3,其中 a,b∈R (1)若 f(x)≥x 对任意实数 x 恒成立,求 a,b 的值. (2)求关于 x 的不等式 f(x)>﹣9﹣4a 的解集. 考点: 函数恒成立问题;函数的值. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)运用二次函数的性质,可得判别式小于等于 0,解不等式可得 a,b 的值; (2)化简不等式 f(x)>﹣9﹣4a,可得(x+a) (x+1)>0,对 a 讨论,分 a=1,a>1,a<1 三种情况,可得不等式的解集. 解答: 解: (1)f(3)=3,可得 3a+b=﹣9. 2 f(x)≥x 即为 x +ax+b≥0, 2 则 x +ax+b≥0 对任意实数 x 恒成立, 2 2 2 即有△ =a ﹣4b=a ﹣4(﹣9﹣3a)=(a+6) ≤0, 2 由(a+6) ≥0,即有 a+6=0, 解得 a=﹣6,b=9; (2)不等式 f(x)>﹣9﹣4a,即为 x +(a+1)x﹣9﹣3a>﹣9﹣4a, 2 即有 x +(a+1)x+a>0, 即(x+a) (x+1)>0, 2 当 a=1 时, (x+1) >0,原不等式的解集为{x|x≠﹣1}; 当 a>1 时,﹣a<﹣1,原不等式的解集为{x|x>﹣1 或 x<﹣a}; 当 a<1 时,﹣a>﹣1,原不等式的解集为{x|x>﹣a 或 x<﹣1}. 点评: 本题考查二次不等式恒成立问题的解法,同时考查二次不等式的解法,注意运用分 类讨论的思想方法,属于中档题.
2 2

19. (12 分) (2010?六合区校级模拟)某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各 种费用 12 万元,以后每年都增加 4 万元,每年捕鱼收益 50 万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案: ①年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船; ②总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船. 问哪种方案更合算? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1) 由入纯收入等于 n 年的收入减去 n 年总的支出, 我们可得 ( f n) =50n﹣[12+16+…+ (8+4n)]﹣98,化简可得到纯收入关于使用时间 n 的函数解析式,然后构造不等式,解不等 式即可得到 n 的取值范围. (2)由(1)中的纯收入关于使用时间 n 的函数解析式,我们对两种方案分析进行分析比较, 易得哪种方案更合算. 解答: 解: (1)由题设知每年的费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列. 设纯收入与年数的关系为 f(n) , 则 f(n)=50n﹣[12+16+…+(8+4n)]﹣98=40n﹣2n ﹣98, 由 f(n)>0, 得 10﹣ 又∵n∈N*, ∴3≤n≤17. 即从第 3 年开始获利. (2)①年平均收入为 当且仅当 n=7 时,年平均获利最大,为 12 万元/年. 此时,总收益为 12×7+26=110(万元) . ②f(n)=﹣2(n﹣10) +102,∵当 n=10 时,f(n)max=102(万元) . 此时,总收益为 102+8=110(万元) . 由于这两种方案总收入都为 110 万元,而方案①只需 7 年、而方案②需要 10 年,故方案① 更合算. 点评: 函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注意 实际情况对自变量 x 取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.根据函数图象或性质, 对两个函数模型进行比较,分析最优解也是函数的主要应用. 20. (13 分) (2015 春?黄山校级期中)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, ,点 P 为△ ABC 内任意一点,点 P 到三边的距离之和为 d. (1)求 sinA 的值; (2)若 a=3,c=5,求边 b 的长; (3)在(2)的条件下,建立如图平面直角坐标系 xOy,求 d 的取值范围.
2 2

40﹣2×14=12,

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形;不等式的解法及应用. 分析: (1)根据正弦定理化简已知的式子,利用余弦定理求出 cosA 的值,根据内角的范 围和平方关系求出 sinA 的值; (2)由条件和余弦定理求出边 b 的值; (3)设 P(x,y) ,x、y>0,点 P 到 AB 边的距离是 h,由等积法求出 h 的式子,代入 d 进 行化简,由题意和图象列出不等式组,利用简单的线性规划问题求出 h 的范围,即可求出 d 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意知, 由正弦定理得, ∴5(b +c ﹣a )=8bc, 由余弦定理得,cosA= ∵0<A<π,∴sinA=
2 2 2 2 2

, ,

= , = ;
2

(2)把 a=3、c=5 代入 5(b +c ﹣a )=8bc, 2 得 5(b +25﹣9)=40b,解得 b=4; (3)设 P(x,y) ,x、y>0,连接 PA、PB、PC, 设点 P 到 AB 边的距离是 h, 由等积法得:S△ ABC=S△ PAB+S△ PAC+S△ PBC, ∴ 则 h= ∴d=x+y+h= , , ,

∵点 P 为△ ABC 内任意一点,且直线 AB 的方程是:4x+3y﹣12=0,

满足



令 z=x+2y,则 y= 当 y= 当 y=

x+ z,

x+ z 过点 A(0,4)时,z 取到最大值是 8, x+ z 过点 0(0,0)时,z 取到最小值是 0, , ) .

∴0<x+2y<8,则 即 d 的取值范围是(

点评: 本题考查正弦、余弦定理,平方关系和等积法的应用,以及简单的线性规划问题, 注意内角的范围,属于中档题. 21. (14 分) (2015 春?黄山校级期中)在数列{an}中,a1=1,a2=6,点(an﹣an﹣1,an+1)在函 数 f(x)=4x 的图象上 (1)求证:数列{an+1﹣2an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; n+1 (2)数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn<(n﹣1)?2 +2; (3)若 Cn=3 ﹣λ?(﹣1) ? 求实数 λ 的取值范围. 考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 计算题;证明题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意得 an+1=4(an﹣an﹣1) ,从而可得 an+1﹣2an=2(an﹣2an﹣1) ,从而判断数 列{an+1﹣2an}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列;则 an+1﹣2an=4?2
n﹣1 n n

, (n∈N ,λ 为非零实数) ,对任意 n∈N ,Cn+1>Cn 恒成立,

*

*

=2

n+1

,化简



=1,从而可得 an=(2n﹣1)2
2

n﹣1


n﹣1 n

(2)化简 Sn=1+3×2+5×2 +…+(2n﹣1)2 ,从而可得 Sn=(2n﹣3)2 +3,从而证明即可; n n n (3)化简可得 2?3 +3λ(﹣1) ?2 >0,分当 n 为偶数时与当 n 为奇数时讨论实数 λ 的取值范 围即可. 解答: 解: (1)∵点(an﹣an﹣1,an+1)在函数 f(x)=4x 的图象上, ∴an+1=4(an﹣an﹣1) ,

∴an+1﹣2an=2(an﹣2an﹣1) , 又∵a2﹣2a1=6﹣2=4, ∴ =2,

∴数列{an+1﹣2an}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列; n﹣1 n+1 故 an+1﹣2an=4?2 =2 ; ∴ ﹣ =1;

故{

}是以 为首项,1 为公差的等差数列;
n﹣1

∴an=(2n﹣1)2 ; 2 n﹣1 (2)证明:Sn=1+3×2+5×2 +…+(2n﹣1)2 ①, 2 3 n 2Sn=1×2+3×2 +5×2 +…+(2n﹣1)2 ②, ①﹣②得, ﹣Sn=1+2(2+2 +2 +…+2 )﹣(2n﹣1)2 n =(3﹣2n)2 ﹣3, n 故 Sn=(2n﹣3)2 +3, n n n Sn=(2n﹣3)2 +3=(2n﹣2)2 ﹣2 +3 n+1 n =(n﹣1)2 +2+(1﹣2 ) n+1 <(n﹣1)2 +2. (3)Cn=3 ﹣λ?(﹣1) ?
* n n n 2 3 n﹣1 n

=3 ﹣λ?(﹣1) ?2 ;

n

n

∵对任意 n∈N ,Cn+1>Cn 恒成立, n+1 n+1 n+1 n n n ∴3 ﹣λ?(﹣1) ?2 >3 ﹣λ?(﹣1) ?2 , n n n ∴2?3 +3λ(﹣1) ?2 >0, 当 n 为偶数时,2?3 +3λ?2 >0,∴λ>﹣ 当 n 为奇数时,2?3 ﹣3λ?2 >0,∴λ< ∴实数 λ 的取值范围为(﹣ ,0)∪(0,1) . 点评: 本题考查了等差数列与等比数列的应用及数列前 n 项和的求法及不等式的证明,属 于难题.
n n n n

,故 λ>﹣ ; ,故 λ<1;



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com