haihongyuan.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

高等代数第四章及其习题答案_图文

高等代数第四章及其习题答案_图文

第四章部分习题提示与解答

5、已知

? a1

0?

? A??

a2

? ?,

?

?

?

?

?0

an ?

其中 ,当 ai ? a j , i ? j, i, j ? 1, 2, , n.

? ? 考虑与 A能交换的任意 n 阶矩阵 B ? bij , nn

? ? ? ? 一方面 AB ?

ai bij

,
nn

另一方面 BA ?

bija j

.
nn

由 BA ? AB 有 aibij ? bija j , 即

(ai ? a j )bij ? 0, i, j ? 1, 2, , n.

当 i ? j 时,因 ai ? a j ,故

bij ? 0, i ? j, i, j ? 1, 2, , n.

从而 B为对角阵.

6、本题为第5题的推广

已知

? a1E1 0

? A??

0

a2 E2

?

? ?

0

0

0?

0

?

? ?

,

? ar Er ?

其中 ai ? a j , 当 i ? j, i, j ? 1, 2, , r.
r
? Ei为 ni 级单位阵, ni ? n. i ?1

? ?b 考虑能与 A进行交换的任意矩阵 B ? ij . 对 B nn

按 A的形式进行分块有

? B11 B12

B

?

? ?

?? Br1 Br2

B1r ?

? ?

,

Brr ??

其中 Bij 为 ni ? n j 矩阵. 一方面,

? a1B11

AB

?

? ?

?? ar Br1

a1B12 ar Br2

a1B1r ?

? ?

?

(ai

Bij

),

ar Brr ??

另一方面,

? a1B11

BA

?

? ?

?? a1Br1

a2 B12 a2 Br 2

ar B1r ?

? ?

?

(a

j

Bij

),

ar Brr ??

由AB ? BA有 ai Bij ? a j Bij ,

即 (ai ? a j )bij ? 0, i, j ? 1, 2, , r.

? B11

于是当

i?

j 时,Bij

? 0,

从而

B

?

? ?

? A1

0 ? ?? 0

记 Bii

?

Ai , 则

B

?

? ?

??.

?? 0

Ar ??

0?

? ?

,

Brr ??

7、已知 ? 0

0

?

?

?0

0

Eij

?

? ?

?

?

?

?? 0

0?

?

?

1

0?

?

?

0

?

?

?

0 ??

为第 i 行 j 列元素为1,其余元素为0的矩阵.

? A1 ?

? ? A ?

aij

n?n

?

? ? ??

An

? ? ??

?

? B1

Bn ? ,

其中 Ai , Bj 分别为 A 的第 i 行行向量,第 j 列列向量

?0?

??

??

?0?

Eij

?

? ?

?

j

? ?

i行,?

j

? ?0,

, 0,1, 0,

, 0?,

?0? ?? ?? ?? 0 ??

j列
?0? ?? ??

?0?

? ? Eij ? 0,

,

0,

?

T i

,

0,

,0

,

?

T i

?

? ?

1

? ?

i行.

j列

?0? ??

??

?? 0 ??

? Eij A ? 0,

,

0,

?

T i

,

0,

? A1 ?

?, 0

? ?

? ?

?

?

T i

Aj

?? An ??

?0?

??

??

?0?

? ?

? ?

1

? ?

a j1,

?0? ??

??

?? 0 ??

?0

?

?

?0

? , a jn

?

? ?

a

j1

?0 ?

?

?? 0

0?

?

?

0?

a

jn

? ?

i行.

0? ?

?

0 ??

?0?

??

??

AEij ? ? B1,

?0

,

Bn

?

? ?

?

j

? ? ?

?

Bi? j

? a1i

?

? ?

?

? ?

?

0,

, 0,1, 0,

,0?

?0? ??

?? ani ??

??

?? 0 ??

?0

0 a1i 0

0?

?

? ?

0

0 a2i

0

? ?.

?

?

?

?

?0

0 ani 0

0?

由 Eij A ? AEij 有

?0

?

?

?0

AEij

?

Eij

A

?

? ?

?a j1

?0 ?

?

?? 0

0

a1i

0

0 ?a j, j?1
0

ai?1,i aii ? a jj
ai?1,i

0 ?a j, j?1
0

0

ani

0

0?

?

?

0?

?a

jn

? ?

?

0,

0? ?

?

0 ??

于是 aki ? 0, k ? 1, , i ?1, i ?1, , n,

a jk ? 0, k ? 1, , j ?1, j ?1, , n, aii ? a jj .

即证明 2),1)为 2)的特例.

3)因

n

n

n

? ? ? ? ? B ?

kij Eij ?

bij

, AB ?
n?n

kij AEij , BA ?

bij Eij A,

i, j?1

i, j?1

i, j ?1

又 AB ? BA, 故由 bij 的任意性有

AEij ? Eij A, i, j ? 1, , n.
再由 2)知
aii ? a jj , i, j ? 1, , n.
aki ? 0, k ? 1, , i ?1, i ?1, , n, a jk ? 0, k ? 1, , j ?1, j ?1, , n,



? a11 0

? A??

0

a22

?

? ?

0

0

0 ? ?1

0

??

? ?

?

? ?

1

ann

? ?

? ?

0

0?

?

? ?

a11

,

1

? ?

为数量矩阵.
注:因 A 与所有 n 级矩阵可交换,故 A 一定与

Eij (i, j ? 1, , n) 可交换,于是 AEij ? Eij A.

? ? 10、已知A为实对称矩阵, 且 A2 ? 0 , 不妨设 A ? aij nn
为 n 阶矩阵,x ? ? x1, , xn ?T为任意 n 维列向
量,则 ( Ax)T Ax ? xT AT Ax ? xT A2 x ? 0.

记 y ? Ax, 则 y 为 n 维的列向量,设 y 的分量为

n
? y1, , yn , 即 yi ? ? aij x j , 且 y ? y1, , yn ?T . j ?1

于是
( Ax)T Ax ? yT y ? ? y1,

? ? y1 ?

,

yn

?

? ?

? ?

?

n

yi2 ? 0,

?? yn ?? i?1

从而 yi ? 0,i ? 1, , n , 即 y ? Ax ? 0 ,由

x 的任意性知 A? j ? 0, j ? 1, , n ,其中

?0?

??

??

?0?

?j

?

? ?

1

? ?

j行,

?0? ??

??

?? 0 ??

从而 A(?1,? 2 , ,?n ) ? 0, 即 AEn ? 0 ,即 A ? 0.

13、已知
n
? sk ? xik , k ? 0,1, 2, , aij ? si? j?2,i, j ? 1, 2, , n. i ?1

? ? 要证 aij ?

(xi ? x j )2 ? (

(xi ? x j ))2.

1?i? j?n

1?i? j?n



11

x1 x2

x x n?1 n?1

1

2

1
? xn ? (xi ? xj ). i? j
xn?1 n

范德蒙行列式

1 x1 1 xn

x n ?1 1

? ? (xi ? x j ). 记

x n ?1 n

i? j

11 B ? x1 x2

1

1

xn , 则 BT ?

x1

x n ?1 1 ,而

x x n?1 n?1

1

2

xn?1 n

1 xn

x n ?1 n

n
? ? ? ? ? BBT ? aij ? si? j?2 , si? j?2 ? xli? j?2 , 于是 l ?1

? aij ? B ? BT ? B 2 ?

(xi ? x j )2.

i? j

14、 只须注意到 B ? 0,则至少存在 B ? (B1, B2, , Bn ) 的一列向量(例如 B j)非零 (Bj ? 0).而由
A(B1, B2, , Bn ) ? 0 有 ABj ? 0,即方程组 Ax ? 0
有非零解,从而 A ? 0.
反之, A ? 0 意味着 Ax ? 0 有非零解,
不妨设为 x0,令 B ? (0,0, , x0),显然 AB ? 0.

15、已知 n 阶矩阵 A 满足 Ax ? 0(对任一 n 维向量

? x1 ?

x

?

? ?

? ?

),故可取

x为单位列向量

?i

,

i

?

1,

?? xn ??

, n,

于是 A?i ? 0,i ? 1, , n,从而 AEn ? 0,即 A ? 0.

25、1)设

? ? ? ? A ?

aij

,B ?
nn

bij

nn

为两个上三角形矩阵,则

n

? ? ? AB ? cij nn , cij ?

aik bkj ,

k ?1

且 aik ? 0(i ? k ), bkj ? 0(k ? j).

证法一:当 i ? j 时,

n

n

j

? ? ? cij ? aikbkj ?

aik bkj ? aik bkj

k ?1

k ? j ?1

k ?1

j
? ? aikbkj ? 0(i ? j ? k ) k ?1

故 AB 为上三角形矩阵.

证法二:对 A, B 进行分块:

A

?

? ? ?

a11 0

?
A1

? ? ?

,

B

?

? ? ?

b11 0

??

B1

? ?

,

其中,

? ? ?a12 , , a1n ? , ? ? ?b12 , , b1n ? ,

n

n

? ? ? ? A1 ? aij , B1 ? bij .

i, j?2

i, j?2

显然 A1、B1 为上三角形矩阵( n ?1 级).

下面用归纳法来证明



n

?

2时,AB

?

? ? ?

a11 0

a12 ? ? b11

a22

?? ??

0

b12 b22

? ? ?

?

? ? ?

a11b11 0

a11b12 ? a12b22 a22b22

??, ?

结论成立.

设当级数为n ?1时结论成立,下证当级数为 n 时结论

成立。

AB

?

? ? ?

a11 0

? ? ? b11

A1

? ?

? ?

0

?
B1

? ? ?

?

? ? ?

a11b11 0

a11? ? ?
A1B1

B1

??, ?

由归纳法假设知 A1B1 为上三角形矩阵,故 AB 为上三

角形矩阵。

? ? 2)设

A?

aij

为一可逆的上三角形矩阵,则
nn

? ? ? ? A

?

? ? ?

a11 0

?
A1

? ?

,?

?

?

a12 ,

n
, a1n , A1 ? aij . i , j?2



A?1

?

? ? ?

a ?1 11 0

p?

A1?1

? ?

,则有

p

?

?

1 a11

?

A1?1.

对级数 m 用归纳法。



m

?

2

时,

A

?

? ? ?

a11 0

结论成立.

a12 a22

? ?

,

?

A?1

?

? ?
???

a ?1 11 0

? a12 a11a22 a ?1
22

? ????,

设当 m ? n ?1时结论成立.

对 m?n

A?1

?

? ?
???

a ?1 11 0

?

1 a11

?

A1?1

A1?1

? ?
???

其中,A1?1为 n ?1级可逆上三角形,则由归纳法假设知

A1?1为可逆上三角形阵,于是结论成立。

16、已知 B为 r ? r矩阵,C为 r ? n 矩阵,秩 (C) ? r 1)若 BC ? 0, 则 B ? 0. 2)若 BC ? C, 则 B ? E.
证:显然 2)可化为 1)的情形,事实上,
BC ? C ? (B ? E)C ? 0
对 1),因秩 (C) ? r, 故 C 的行向量组线性无关, 设 C 的列向量组为 C1, , Cn ,即 C ? (C1, ,Cn ).

取 C 的列向量组中极大组(不妨设为 C1, , Cr )
组成一个 r ? r 矩阵 C ? (C1, ,Cr ),则由已知
BC ? B(C1, , Cr , , Cn ) ? B(C, Cr?1, , Cn ) ? (BC, BCr?1, , BCn ) ? 0
故 BC ? 0,又 C ? 0,从而 B ? 0.

29、证明:

? Em

? ?

p

0 ?? Em

En

? ?

? ?

A

B En

? ? ?

?

? ? ?

Em A?

p

B?

pB

?

En

? ?

取 p ? ?A ,则

? Em

? ?

?

A

0 ? ? Em

En

? ?

? ?

A

B En

? ? ?

?

? ? ?

Em 0

B?

En

?

AB

? ?

? Em 0 ? Em B ? Em

B

? A En A En 0 En ? AB

? Em A

B En ? En ? AB

类似地,

? Em

? ?

A

B ?? Em

En

? ?

? ?

?

A

0 En

? ? ?

?

? ? ?

Em

? 0

BA

B En

??, ?

? Em A

B En

?

Em ? BA .

30、证明: ?=0

?

? En

?

AB

? ?n

En

?

AB
?

? ?n

Em

?B

A
?

? ?n

1
?

(?

Em

?

BA)

? ?n?m

?Em ? BA .

补充习题1:

已知 A 为 n 阶矩阵,秩 (A) ? 1 ,要证

? a1 ?

A

?

? ?

? ?

?

b1

,

?? an ??

, bn ? , A2 ? kA.

证明:因秩 (A) ? 1,则 A 的任两行成比例,从而对

? ? A ? A1, , An T 有 Ai ? ki A1,i ? 1, 2,3, , n, k1 ? 1, 故

? A1 ? ? 1 ?

A

?

? ? ?

k2

A1

? ? ?

?

? ? ?

k2

? ? ?

A1,

? ?

kn

A1

? ?

? ?

kn

? ?

? a1 ?

记 A1 ? ?b1,

,bn ?, ai ? ki ,i ?1,

, n,



A

?

? ?

? ?

?b1,

,bn ?.

?? an ??

? a1 ?

A2

?

? ?

? ?

?

b1

,

?? an ??

? a1 ?

,

bn

?

? ?

? ?

?

b1

,

?? an ??

? ?

? a1 ? ? ?? an

? ?? ??? ??

n i ?1

bi ai

? ?

?

b1

,

?

, bn ?

? ?

? ?

n

bi

ai

? ?

A.

? i?1

?

, bn ?

有关矩阵的秩的习题
1、证明秩 (C) ? 秩 (A) ? 秩 (B),其中 C ? (A, B). 证明:设秩 (A) ? r,秩 (B) ? s, 则 A的所有列向量 可由其列向量组的极大组线性表出,不妨设此极大
组为 A1, , Ar , B的所有列向量均可由其列向量组
的极大组线性表出,不妨设此极大组为 B1, , Bs , 于是 C ? ( A, B)的所有列向量均可由 A1, , Ar , B1, , Bs

线性表出,从而秩 (C) ? 秩( A1, , Ar , B1, , Bs ) ? r ? s,
即秩 (C) ? 秩 ( A) ? 秩 (B).
2、(书17题)证明秩 (A ? B) ? 秩 ( A) ? 秩(B).
证法一:令 C ? (A, B),则对 C 施加列的初等变换:
把 B 的列逐一加到相应的 A 的列上去,可得:
C ? (A ? B, B) :? D
于是秩 (D) ? 秩 (C) ? 秩 ( A) ?秩(B).

但 A? B为 D 的部分列,故秩 (A ? B) ? 秩 (D) ?
秩 ( A) ? 秩(B).
证法二:设 A ? ( A1, , An ), B ? (B1, , Bn ), 这里 Ai , Bi
分别为 A与 B第 i 列的列向量. 记秩 (A) ? r,
秩 (B) ? s. 设 Ai1, , Air 为 A1, , An 的极大组, Bi1, , Bis 为列向量组 B1, , Bn 的极大组,于是
存在不全为零的常数 k j ( j ? 1, , r) 及不全为零
的常数 l j ( j ? 1, , s) 使得

r

s

? ? Ai ? k j Aij , Bi ? l j Bij , i ? 1, , n

j ?1

j ?1

r

s

? ? 从而 Ai ? Bi ? k j Aij ? l j Bij ,i ? 1, , n, 即

j ?1

j ?1

A ? B 的所有列向量可由 Ai1, , Air , Bi1, , Bis

线性表出,于是秩 (A ? B) ? 秩 ( Ai1, , Air , Bi1, , Bis ) ? r ? s.

3、(书18题)设 A, B 为 n ? n 矩阵,证明:如果
AB ? 0, 则秩 ( A) ? 秩 (B) ? n.

证明:因 AB ? 0,故 B ? (B1, , Bn )的列向量 Bj ( j ? 1, , n) 为方程组 Ax ? 0 的解向量。于是由 Ax ? 0 的基础
解系的秩为 n ?秩 ( A) 知秩 (B) ? n ?秩( A), 即
秩 ( A) ?秩 (B) ? n (因 Bj , j ? 1, 2, , n, 均可由 Ax ? 0 的基础解系线性表出).
4、(书27题)证明:如果 A为 n ? n 阵(n ? 2), 则

?n,

秩(

A?

)

?

? ?

1,

??0,

当秩( A) ? n, 当秩( A) ? n ?1, 当秩( A) ? n ?1.

证明:因 A?A ? A En ,故当秩 ( A) ? n 时 A ? 0, 从而 A? ? 0, 即 A? 可逆,且秩 ( A? ) ? n. 当秩 (A) ? n ?1时,显然 A奇异,A ? 0, 于是
A? A ? 0, 则由书18题知秩 ( A?) ? 秩 ( A) ? n,

从而秩 ( A? ) ? n ? 秩 (A) ? n ? (n ?1) ?1. 又由秩 (A) ? n ?1
知,A 存在一个 n ?1 级子式不为0,从而 A? ? 0, 故
( A?) ? 1. 当秩 (A) ? n ?1时,由 P132 定理6知 A 的所有
n ?1 级子式全为0, 而 A? 的元素 Aij为 A 的元素 aij
的代数余子式(为 (?1)i? j 乘上一 n ?1级子式), 故
A? ? 0 ,即秩 ( A?) ? 0.

6、设 A为 n ? n 阵,证明:若 A2 ? E ,则
秩(A ? E) ? 秩(A ? E) ? n.
证明:一方面,
秩(A ? E) ? 秩(A ? E) ? 秩(2A) ? 秩(A) ? n
(由书17题及 A 2 ? 1),另一方面,因 (E ? A)( A ? E) ? A2 ? E ? 0, 故由书18题有 秩(E ? A) ? 秩(A ? E) ? n. 因此 秩(A ? E) ? 秩(A ? E) ? n.

7、(书补充题4)设 A 为 n ? n 阵,且 A2 ? A, 证明:秩(A) ? 秩(A ? E) ? n
证明:类似上题可证 一方面,因 A( A ? E) ? A2 ? A ? 0
故由18题有 秩(A) ? 秩(A ? E) ? n, 另一方面, 秩(A) ? 秩(A ? E) ? 秩(A) ? 秩(E ? A) ? 秩(E) ? n,
(由17题)于是 秩(A) ? 秩(A ? E) ? n.


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com