haihongyuan.com
海量文库 文档专家
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

02高等数学课件(共10章)导数与微分

02高等数学课件(共10章)导数与微分


高等数学
第一章:导数与微分

导数与微分

1

一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t 0时刻的瞬时速度,

取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间?t ,
?s s ? s 0 g 平均速度 v ? ? ( t 0 ? t ). ? ?t t ? t 0 2

t0
t

?t

当 t ? t 0时,

取极限得

g(t 0 ? t) ? gt 0 . 瞬时速度 v ? lim t ?t0 2
导数与微分 2

2.切线问题 割线的极限位置——切线位置

播放

导数与微分

3

y

如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
MN ? 0, ?NMT ? 0.

y ? f ( x)

N T

C
o
?

M
?

x0

x

x

设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).

y ? y0 f ( x ) ? f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan ? ? ? , x ? x0 x ? x0 C N ?沿曲线 ?? ? ? M , x ? x0 , f ( x ) ? f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k ? tan ? ? lim x ? x0 x ? x0
导数与微分

4

二、导数的定义
定义 设函数 y ? f ( x )在点 x0的某个邻域内

有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量?x ( 点 x0 ? ?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ); 如果?y与 ?x之比当?x ? 0时的极限存在, 则称函数 y ? f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y ? f ( x )在点 x0处的导数, 记为y? x ? x0 ,
导数与微分 5

dy dx

df ( x ) x ? x0 或 dx

x ? x0

,

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y ? lim 即 y ? x ? x0 ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x
其它形式

f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) f ?( x 0 ) ? lim . h? 0 h
f ( x ) ? f ( x0 ) f ?( x 0 ) ? lim . x ? x0 x ? x0

导数与微分

6

关于导数的说明:



点导数是因变量在点 x0处的变化率, 它

反映了 因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.


如果函数 y ? f ( x )在开区间 I 内的每点

处都可导, 就称函数 f ( x )在开区间 I 内可导.

导数与微分

7

★ 对于任一 x ? I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的

导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y?, f ?( x ), 或 . dx dx
f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 即 y ? ? lim ?x ? 0 ?x f ( x ? h) ? f ( x ) 或 f ?( x ) ? lim . h? 0 h

注意: 1. f ?( x0 ) ? f ?( x ) x ? x .
0

导数与微分

8

2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.

播放

导数与微分

9

★ 单侧导数 1.左导数:
f ?? ( x 0 ) ? lim
x ? x0 ? 0

f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? lim ; ? x ? ? 0 x ? x0 ?x

2.右导数:
f ?? ( x 0 ) ? lim
x ? x0 ? 0

f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? lim ; ? x ? ? 0 x ? x0 ?x

★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导? 左导数 f ?? ( x 0 ) 和右

导数 f ?? ( x 0 ) 都存在且相等.
导数与微分 10

★ 如果 f ( x ) 在开区间?a , b ? 内可导,且 f ?? (a ) 及

f ?? (b ) 都存在,就说 f ( x ) 在闭区间?a , b? 上可导.
x ? x0 , 讨论在点 x0的 x ? x0

? ( x ), ? ★ 设函数 f ( x ) ? ? ?? ( x ), 可导性.
f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 若 ?lim x ? ?0 ?x
? ?lim x ? ?0

? ( x0 ? ?x ) ? ? ( x0 )
?x
导数与微分

? f ??( x0 ) 存在,

11

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 若 ?lim x ? ?0 ?x ? ?lim x ? ?0

? ( x0 ? ?x ) ? ? ( x0 )
?x

? f ??( x0 ) 存在,

且 f ??( x0 ) ? f ??( x0 ) ? a,
则 f ( x ) 在点x 0 可导,

且 f ?( x0 ) ? a.

导数与微分

12

三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x );
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x ?y ( 3) 求极限 y ? ? lim . ?x ? 0 ? x

例1 求函数 f ( x ) ? C (C为常数) 的导数.
f ( x ? h) ? f ( x ) C ?C 解 f ?( x ) ? lim ? 0. ? lim h? 0 h? 0 h h



(C )? ? 0.
导数与微分 13

例2 设函数 f ( x ) ? sin x , 求(sin x )?及(sin x )? 解
(sin x )? ? lim sin( x ? h) ? sin x h? 0 h h sin h 2 ? cos x. ? lim cos( x ? ) ? h? 0 h 2 2 (sin x )? ? cos x .

? x? 4

.



? (sin x )?

x?

? 4

? cos x

x?

? 4

2 ? . 2
14

导数与微分

例3 求函数 y ? x n (n为正整数) 的导数. 解
n n ( x ? h ) ? x ( x n )? ? lim h? 0 h n( n ? 1) n? 2 n ?1 ? lim[nx ? x h ? ? ? hn?1 ] ? nx n ? 1 h?0 2!


更一般地 例如,

( x n )? ? nx n ?1 .

( x ? )? ? ?x ? ? 1 .
1

(? ? R )

1 ?1 1 2 ? . ( x )? ? x 2 x 2

( x )? ? (?1) x
?1

? 1? 1

1 ?? 2. x
15

导数与微分

例4 求函数 f ( x ) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的导数. 解
x?h x a ? a (a x )? ? lim h? 0 h h a ?1 x ? a lim h? 0 h

? a x ln a .



(a x )? ? a x ln a .

( e x )? ? e x .

导数与微分

16

例5 求函数 y ? log a x(a ? 0, a ? 1) 的导数.



y ? ? lim

log a ( x ? h) ? log a x h? 0 h h log a (1 ? ) 1 x ? lim ? h? 0 h x x x 1 h h 1 ? lim log a (1 ? ) ? log a e . x h? 0 x x
1 (log a x )? ? log a e . x
导数与微分



1 (ln x )? ? . x
17

例6 讨论函数 f ( x ) ? x 在x ? 0处的可导性.
解 ? f (0 ? h) ? f (0) ? h ,
h h
f ( 0 ? h) ? f ( 0 ) h ? 1 , lim ? lim h? 0 ? h? 0 ? h h f ( 0 ? h) ? f ( 0 ) ?h lim ? lim ? ?1. ? ? h? 0 h? 0 h h
即 f ?? (0) ? f ?? (0), ?函数y ? f ( x )在x ? 0点不可导.
导数与微分 18

y

y? x

o

x

四、导数的几何意义
y

f ?( x0 )表示曲线 y ? f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? tan ? , (?为倾角) o
?

y ? f ( x)

T

M

x0

x

切线方程为 y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).
1 ( x ? x 0 ). 法线方程为 y ? y 0 ? ? f ?( x 0 )
导数与微分 19

1 1 例7 求等边双曲线 y ? 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k ? y?
1 x? 2

1 ? ( )? x

1 x? 2

1 ?? 2 x

1 x? 2

? ?4.

1 所求切线方程为 y ? 2 ? ?4( x ? ), 即 4 x ? y ? 4 ? 0. 2 1 1 法线方程为 y ? 2 ? ( x ? ), 即 2 x ? 8 y ? 15 ? 0. 4 2
导数与微分 20

五、可导与连续的关系
定理


凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导,
?y lim ? f ?( x 0 ) ?x ? 0 ? x ?y ? f ?( x 0 ) ? ? ?x

? ? 0 ( ?x ? 0 )
?x ? 0 ?x ? 0

?y ? f ?( x0 )?x ? ??x

lim ?y ? lim [ f ?( x 0 )?x ? ??x ] ? 0

?函数 f ( x )在点 x0 连续 .
导数与微分 21

注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 连续函数不存在导数举例

1. 函数 f ( x )连续 , 若 f ??( x0 ) ? f ??( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x ) 的角点 , 函数在角点不可导 .
例如,
?x2, f ( x) ? ? ? x, x?0 , x?0
y
y ? x2
y?x

0

x

在 x ? 0处不可导, x ? 0为 f ( x )的角点.
导数与微分 22

2. 设函数 f ( x )在点 x0 连续, 但 f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y lim ? lim ? ? , ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 称函数 f ( x )在点 x0有无穷导数. (不可导)
例如,

y

y ? 3 x ?1

f ( x ) ? 3 x ? 1,

在 x ? 1处不可导.

0

1

x

导数与微分

23

3. 函数 f ( x )在连续点的左右导数都不存在 (指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
例如,
y

1 ? ? x sin , f ( x) ? ? x ? ? 0,
在x ? 0处不可导.

x?0 , x?0

1

-1/π

0

1/π

x

导数与微分

24

4. 若f ?( x0 ) ? ? , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y ? f ( x)

y

y ? f ( x)

o

x

o

x0

x

导数与微分

25

1 ? ? 例8 讨论函数 f ( x ) ? ? x sin x , x ? 0, ? x?0 ? 0, 在x ? 0处的连续性与可导性 .
1 解 ? sin 是有界函数 , x 1 ? lim x sin ? 0 x ?0 x

? f ( x )在x ? 0处连续. x ?0 1 (0 ? ?x ) sin ?0 1 ?y 0 ? ? x ? sin 但在x ? 0处有 ? ?x ?x ?x ?y 当?x ? 0时, 在 ? 1和1之间振荡而极限不存在. ?x ? f ( x )在x ? 0处不可导.
导数与微分 26

? f (0) ? lim f ( x ) ? 0

六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;

2. f ?( x 0 ) ? a ? f ?? ( x 0 ) ? f ?? ( x 0 ) ? a;
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续,但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
不连续,一定不可导.

6. 判断可导性
连续

直接用定义;

看左右导数是否存在且相等.
导数与微分 27

思考题
函数 f ( x ) 在某点x 0 处的导数 f ?( x 0 ) 与导函数 f ?( x ) 有什么区别与联系?

导数与微分

28

思考题解答
由导数的定义知, f ?( x 0 ) 是一个具体的 I 上每一 数值, f ?( x ) 是由于 f ( x ) 在某区间 I 上的一个新函数,即 点都可导而定义在 ? x ? I ,有唯一值 f ?( x ) 与之对应,所以两
者的区别是:一个是数值,另一个是函数.两 者的联系是:在某点x 0 处的导数 f ?( x 0 ) 即是导 函数 f ?( x ) 在 x 0 处的函数值.

导数与微分

29

练习题
一、填空题: 1 、设 f ( x ) 在 x ? x 0 处可导,即 f ?( x 0 ) 存在,则 f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) lim ? _________ , ?x ? 0 ?x f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) lim ? _________ . ?x ? 0 ?x 2 s ? t 2 、已知物体的运动规律为 (米),则该物体在 t ? 2 秒时的速度为_______ . 23 2 1 x x 3 、设 y1 ( x ) ? 3 x 2 , y 2 ( x ) ? 2 , y 3 ( x ) ? , 则 5 x x dy1 它们的导数分别为 =___________________ , dx dy2 dy3 =_____________ , =_____________ . dx dx
导数与微分 30

4、 设 f ( x ) ? x 2 , 则 f ? f ?( x )? ? ________________ ; f ?? f ( x )? ? _________________. 5、 曲 线 y ? e x 在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 __________________. 二、 在下列各题中均假定 f ?( x 0 ) 存在,按照导数的定 A 表示什么? 义观察下列极限,分析并指出 f ( x) ? f ( x0 ) ? A; 1、 lim x ? x0 x ? x0 f ( h) ? A ,其中 f ( 0 ) ? 0且 f ?( 0 ) 存在; 2、lim h? 0 h f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) ? A. 3、lim h? 0 h 三、证明:若 f ( x ) 为偶函数且 f ?( 0) 存在,则f ?( 0) ? 0 .
导数与微分 31

1 ? k ? x sin , x ? 0 四、 设函数 f ( x ) ? ? 问 k 满足什么条 x ? ?0 , x ? 0 件, f ( x )在 x ? 0 处 (1)连续; (2)可导; (3)导数连续. ?x2 , x ? 1 五、 设函数 f ( x ) ? ? ,为了使函数 ?ax ? b , x ? 1 f ( x )在 x ? 1处连续且可导, a , b 应取什么值. ?sin x , x ? 0 六、 已知 f ( x ) ? ? ,求 f ( x ). ? x, x ? 0

导数与微分

32

练习题答案
一、1、 f ?( x 0 ) ; 2、 ? f ?( x 0 ) ; 1 5 2 ?3 2 1 ?6 3、 x , ? 3 , x ; 3、 4 x 2 , 2 x 2 ; 3 x 6 5、 x ? y ? 1 ? 0 . 二、1、 f ?( x 0 ) ; 2、 f ?(0) ; 3、 2 f ? ( x 0 ) . 四、(1)当 k ? 0 时, f ( x )在 x ? 0 处连续; (2)当 k ? 1时, f ( x )在 x ? 0 处可导,且 f ?(0) ? 0 ; (3)当 k ? 2 及 x ? 0 时, f ?( x )在 x ? 0 处连续. 五、 a ? 2, b ? ?1. ?cos x , x ? 0 六、 f ( x ) ? ? . . x?0 ? 1,
导数与微分 33

一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也 可导, 并且

(1) [u( x ) ? v ( x )]? ? u?( x ) ? v ?( x ); ( 2) [u( x ) ? v ( x )]? ? u?( x )v ( x ) ? u( x )v ?( x ); u( x ) u?( x )v ( x ) ? u( x )v ?( x ) ( 3) [ ]? ? (v ( x ) ? 0). 2 v( x ) v ( x)
导数与微分 56

证(1)、(2)略.
u( x ) 证(3) 设 f ( x ) ? , (v ( x ) ? 0), v( x )
f ( x ? h) ? f ( x ) f ?( x ) ? lim h? 0 h u( x ? h) u( x ) ? v ( x ? h) v ( x ) ? lim h? 0 h

u( x ? h)v ( x ) ? u( x )v ( x ? h) ? lim h? 0 v ( x ? h)v ( x )h
导数与微分 57

[u( x ? h) ? u( x )]v ( x ) ? u( x )[v ( x ? h) ? v ( x )] ? lim h? 0 v ( x ? h)v ( x )h
u( x ? h) ? u( x ) v ( x ? h) ? v ( x ) ? v ( x ) ? u( x ) ? h h ? lim h? 0 v ( x ? h)v ( x )

u?( x )v ( x ) ? u( x )v ?( x ) ? [v ( x )]2

? f ( x )在x处可导.
导数与微分 58

推论

(1) [? f i ( x )]? ? ? f i?( x );
i ?1 i ?1

n

n

( 2) [Cf ( x )]? ? Cf ?( x );

( 3) [ ? f i ( x )]? ? f1 ( x ) f 2 ( x )? f n ( x )
i ?1

n

?

?( x) ? ? ? f 1 ( x ) f 2 ( x )? f n ? ? ? f i?( x ) f k ( x );
i ?1k ?1 k ?i
导数与微分 59

n n

二、例题分析
例1 求 y ? x 3 ? 2 x 2 ? sin x 的导数 . 解
2 ? y ? 3 x ? 4 x ? cos x.

例2 求 y ? sin 2 x ? ln x 的导数 . 解
? y ? 2 sin x ? cos x ? ln x

y ? ? 2 cos x ? cos x ? ln x ? 2 sin x ? ( ? sin x ) ? ln x 1 ? 2 sin x ? cos x ? x 1 ? 2 cos 2 x ln x ? sin 2 x . x
导数与微分 60

例3 求 y ? tan x 的导数 . 解
sin x y ? ? (tan x )? ? ( )? cos x

(sin x )? cos x ? sin x(cos x )? ? cos 2 x

1 cos 2 x ? sin2 x 2 ? ? sec x ? 2 2 cos x cos x


同理可得

(tan x )? ? sec 2 x . (cot x )? ? ? csc 2 x .
导数与微分 61

例4 求 y ? sec x 的导数 . 解
1 y ? ? (sec x )? ? ( )? cos x ? (cos x )? sin x ? sec x tan x . ? ? 2 2 cos x cos x

同理可得

(csc x )? ? ? csc x cot x .

例5

求 y ? sinh x 的导数 .



1 x 1 x ?x ?x y ? ? (sinh x )? ? [ (e ? e )]? ? ( e ? e ) ? cosh x . 2 2
1 (tanh x )? ? cosh 2 x
62

同理可得 (cosh x )? ? sinh x

导数与微分

例6

x, x?0 ? 设 f ( x) ? ? , 求f ?( x ). ?ln(1 ? x ), x ? 0

解 当x ? 0时, f ?( x ) ? 1,
当x ? 0时,

ln(1 ? x ? h) ? ln(1 ? x ) f ?( x ) ? lim h? 0 h 1 h ? lim ln(1 ? ) h? 0 h 1? x 1 ? , 1? x
导数与微分 63

当x ? 0时,

f ?? (0) ? lim ?
h? 0

(0 ? h) ? ln(1 ? 0) ? 1, h

ln[1 ? (0 ? h)] ? ln(1 ? 0) ? 1, f ?? (0) ? lim ? h? 0 h
? f ?(0) ? 1.
1, ? ? ? f ?( x ) ? ? 1 , ? ?1 ? x x?0 x?0 .

导数与微分

64

三、小结
注意: [u( x ) ? v ( x )]? ? u?( x ) ? v ?( x );

u( x ) u ?( x ) [ ]? ? . v( x ) v ?( x )
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.

导数与微分

65

思考题
3 求曲线 y ? 2 x ? x 上与 x 轴平行 的切线方程.

导数与微分

66

思考题解答
y? ? 2 ? 3 x 2
令 y? ? 0

? 2 ? 3x2 ? 0

2 x1 ? 3

2 x2 ? ? 3

? 2 4 6? 切点为 ? , ? ? 3 9 ?

2 4 6? ? ?? , ? ? 3 9 ? ? 4 6 4 6 所求切线方程为 y ? 和 y?? 9 9
导数与微分 67

练 习 题
一、填空题: 1、设 y ? x ? sin x ,则 y ? = __________. 2 dy x x 2、设 y ? 3a ? e ? ,则 =__________. x dx dy x 2 3、设 y ? e ( x ? 3 x ? 1) ,则 = __________. dx x ? 0 4、设 y ? 2 tan x ? sec x ? 1 ,则 y ? =_________. 3 x2 ? 5、设 y ? f ( x ) ? ,则 f ? ( 0 ) =________. 5? x 5 ? x?0 6、曲线 y ? ? sin x 在 处的切线与 x 轴 正向的 2 夹角为_________.
导数与微分 68

二、计算下列各函数的导数:
10 x ? 1 1 1、 y ? ;2、 y ? x ; 2 10 ? 1 1? x ? x 1? t 2 csc x 3、 y ? ; 4、 f ( x ) ? ,求 f ?( 4) ; 2 1? t 1? x x a b a b x ? ? ? ? ? ? 5、 y ? ? ? ? ? ? ? (a ? 0, b ? 0) . ?b? ? x? ? a ?
2 三、求抛物线 y ? ax ? bx ? c 上具有水平切线的点.

1 x 四、写出曲线 y ? x ? 与 轴交点处的切线方程. x
导数与微分 69

练习题答案
2 sin x x x 一、1、 x ( ? cos x ) ;2、3a ln a ? e ? 2 ; 2x x 3 ? sec x ( 2 sec x ? tan x ) ? 2 3、 ; 4 、 ;5、 ;6、 . 25 4 1 ? 2x 10 x ? 2 ln 10 二、1、 ; 2、 ; 2 2 x 2 (1 ? x ? x ) (10 ? 1) 1 2 csc x[(1 ? x 2 ) cot x ? 2 x ] 3、 ; 4、 ; 2 2 18 (1 ? x ) a x b a x b a a?b ). 5、( ) ( ) ( ) (ln ? b x a b x 2 b b ? 4ac ). 三、( ? ,? 2a 4a 2x ? y ? 2 ? 0 2x ? y ? 2 ? 0 四、 和 .
导数与微分 70

一、反函数的导数
定理 如果函数 x ? ?( y )在某区间I y内单调、可导
且??( y ) ? 0 , 那末它的反函数 y ? f ( x )在对应区间 I x内也可导 , 且有 1 f ?( x ) ? . ??( x )

即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

导数与微分

71

证 任取x ? I x , 给x以增量?x ( ?x ? 0, x ? ?x ? I x )
由y ? f ( x )的单调性可知
于是有

?y ? 0,

?y 1 ? , ?x ?x ?y

? f ( x )连续,
又知 ? ?( y ) ? 0

? ?y ? 0 ( ?x ? 0),

?y 1 1 ? ? f ( x ) ? lim ? lim ? ?x ? 0 ? x ?y ? 0 ? x ? ?( y ) ?y 1 即 f ?( x ) ? . ??( y )
导数与微分 72

例1 求函数 y ? arcsin x 的导数. 解
? ? ? x ? sin y在 I y ? ( ? , )内单调、可导, 2 2

且 (sin y )? ? cos y ? 0,

? 在 I x ? (?1,1)内有

1 1 1 1 ? ? (arcsin x )? ? ? . 2 2 (sin y )? cos y 1 ? sin y 1? x

同理可得

(arccos x )? ? ?
1 ; 2 1? x

1 1? x
2

.

(arctan x )? ?

1 ( arccot x )? ? ? . 2 1? x
导数与微分 73

例2

求函数 y ? log a x 的导数.

解 ? x ? a y在I y ? ( ??,??)内单调、可导,
且 (a y )? ? a y ln a ? 0,
? 在I x ? (0,??)内有,

1 1 1 ? . (log a x )? ? y ? y (a )? a ln a x ln a
1 特别地 (ln x )? ? . x

导数与微分

74

二、复合函数的求导法则
定理 如果函数u ? ?( x )在点 x0可导 , 而y ? f ( u)
在点 u0 ? ?( x0 )可导 , 则复合函数 y ? f [?( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy ? ? x ? x0 ? f ( u0 ) ? ? ( x0 ). dx 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
导数与微分 75



?y ? f ?( u0 ) 由y ? f (u)在点u0可导 , ? lim ?u? 0 ? u ?y 故 ? f ?( u0 ) ? ? ( lim ? ? 0) ?u ? 0 ?u

则 ?y ? f ?( u0 )?u ? ??u
?y ?u ?u ? ? lim ? lim [ f ( u0 ) ?? ] ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x ?x ?u ?u ? f ?( u0 ) lim ? lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x ? 0 ? x

? f ?( u0 )??( x0 ).

导数与微分

76

推广 设 y ? f ( u), u ? ? (v ), v ? ? ( x ),

则复合函数 y ? f {? [? ( x )]}的导数为 dy dy du dv ? ? ? . dx du dv dx
例3 求函数 y ? ln sin x 的导数. 解
? y ? ln u, u ? sin x .

dy dy du 1 cos x ? cot x ? ? ? ? ? cos x ? dx du dx u sin x
导数与微分 77

例4 求函数 y ? ( x 2 ? 1)10 的导数 . 解
dy ? 10( x 2 ? 1) 9 ? ( x 2 ? 1)? dx ? 10( x 2 ? 1) 9 ? 2 x ? 20 x( x 2 ? 1) 9 .
2

x 2 a x 2 a ? x ? arcsin 的导数 . 例5 求函数 y ? 2 2 a ( a ? 0) 2 x 2 a x 解 y ? ? ( a ? x 2 )? ? ( arcsin )?
2 2 a
2 2 1 2 1 x a ? a ? x2 ? ? 2 2 2 2 a ?x 2 a2 ? x2

? a2 ? x2 .
导数与微分 78

x2 ? 1 例6 求函数 y ? ln 3 ( x ? 2) 的导数. x?2
1 1 2 解 ? y ? ln( x ? 1) ? ln( x ? 2), 2 3 1 1 1 x 1 ? y? ? ? 2 ? 2x ? ? 2 ? 2 x ?1 3( x ? 2) x ? 1 3( x ? 2)

例7 解

求函数 y ? e
sin 1 x

sin

1 x

的导数.

1 sin 1 1 1 x y ? ? e (sin )? ? e ? cos ? ( )? x x x 1 1 sin x 1 ?? 2e ? cos . x x
导数与微分 79

三、小结
反函数的求导法则(注意成立条件);
复合函数的求导法则 (注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 导法); 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常 数与基本初等函数的和、差、积、商.

导数与微分

80

思考题
若 f ( u) 在u0 不可导,u ? g ( x ) 在x0 可导,且 u0 ? g ( x 0 ) ,则 f [ g( x )] 在x0 处( ). (1)必可导;(2)必不可导;(3)不一定可导;

导数与微分

81

思考题解答
正确地选择是(3)
例 f ( u) ?| u | 在 u ? 0 处不可导,

取 u ? g( x ) ? sin x 在 x ? 0处可导,

f [ g( x )] ?| sin x | 在 x ? 0 处不可导,(1) ?
取 u ? g ( x ) ? x 4 在 x ? 0处可导,

( 2) ? f [ g ( x )] ?| x |? x 在 x ? 0处可导,
4 4
导数与微分 82

练 习 题
一、 填空题: 1、 设 y ? ( 2 x ? 5) 4 ,则 y ? =___________. 2、 设 y ? sin 2 x ,则 y ? =____________. 3、 设 y ? arctan( x 2 ) ,则 y ? =____________. 4、 设 y ? ln cos x ,则 y ? =____________. 5、 设 y ? 10 x tan 2 x ,则 y ? =____________. 6、 设 f ( x )可导,且 y ? f ( x 2 ) , dy 则 =___________. dx tan k x 7、 设 f ( x ) ? e ,则 f ?( x )=__________, ?? ? ? 若 f ? ? ? e ,则 k ? ___________. ?4?
导数与微分 83

二、求下列函数的导数: 1 sin 2 x 1 、 y ? arccos ; 2、 y ? ; x x 2 2 3、 y ? ln( x ? a ? x ) ;4、 y ? ln(csc x ? cot x ) ; x arctan x 5、 y ? (arcsin ) 2 ; 6、 y ? e ; 2 1? x arcsin x 7、 y ? ; 8、 y ? arcsin . 1? x arccos x 2 2 三、设 f ( x ) , g ( x ) 可导,且 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 ,求函数 y ? f 2 ( x ) ? g 2 ( x ) 的导数 . 四、设 f ( x ) 在 x ? 0 处可导,且 f ( 0) ? 0 , f ?( 0) ? 0 , 又F ( x ) 在 x ? 0 处可导,证明F ? f ( x )? 在x ? 0 处 也可导 .
导数与微分 84

练习题答案
2x 一、1、8( 2 x ? 5) ; 2、sin 2 x ; 3、 ; 4 1? x x tan 2 x ln 10(tan 2 x ? 2 x sec 2 2 x ) ; 4、? tan x ; 5、10 1 tan k x k ?1 2 2 ? e ? k tan x ? sec x 2 x f ( x ) 6、 ; 7、 , . 2 x 2 x cos 2 x ? sin 2 x 二、1、 2 ; 2、 ; 2 2 x x x ?1 1 3、 2 ; 4、csc x ; 2 a ?x x 2 arcsin arctan x e 2; 5、 6、 ; 2 2 x (1 ? x ) 4? x
3

导数与微分

85

1 7、 ; 8、 . 2 2 (1 ? x ) 2 x(1 ? x ) 2 1 ? x (arccos x )

?

三、

f ( x ) f ?( x ) ? g ( x ) g ? ( x ) f ( x) ? g ( x)
2 2

.

导数与微分

86

初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C )? ? 0 (sin x )? ? cos x (tan x )? ? sec 2 x (sec x )? ? sec x tan x
( x ? )? ? ?x ? ?1 (cos x )? ? ? sin x (cot x )? ? ? csc2 x (csc x )? ? ? csc x cot x
(e x )? ? e x 1 (ln x )? ? x
导数与微分 87

(a x )? ? a x ln a 1 (loga x )? ? x ln a

(arcsin x )? ?

1

1 ? x2 1 (arctan x )? ? 1 ? x2

(arccos x )? ? ?

1

1 ? x2 1 ? ( arccot x ) ? ? 1 ? x2

2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u ? u( x ), v ? v ( x )可导,则 (1)( u ? v )? ? u? ? v ?, (2)(cu)? ? cu? ( C 是常数)
? v ? uv ? u u (3)( uv )? ? u?v ? uv ? , (4)( )? ? ( v ? 0) . 2 v v

导数与微分

88

3.复合函数的求导法则

设y ? f ( u), 而u ? ? ( x )则复合函数 y ? f [? ( x )]的 dy dy du 导数为 ? ? 或 y?( x ) ? f ?( u) ? ? ?( x ). dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数.

导数与微分

89

例1 求函数 y ?

x ? x ? x 的导数.
( x ? x ? x )?

解 y? ?

1 2 x? x? x

1 ? (1 ? ( x ? x )?) 2 x? x 2 x? x? x
1 1 ? (1 ? (1 ? )) 2 x 2 x? x 2 x? x? x 1

1

?

4 x2 ? x x ? 2 x ? 1 8 x? x? x? x ? x x
2
导数与微分

.
90

例2 求函数 y ? f n [? n (sin x n )] 的导数.

n ?1 n n n n ? ? y ? nf [? (sin x )] ? f [? (sin x )]

? n?

n ?1

n n ?1 n ? ? cos x ? nx (sin x ) ? ? (sin x )

n

? n 3 ? x n ? 1 cos x n ? f n ? 1 [? n (sin x n )] ? ? n ? 1 (sin x n ) ? f ?[? n (sin x n )] ? ??(sin x n ).

导数与微分

91

小结
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出.
关键: 正确分解初等函数的复合结构.

导数与微分

92

思考题
幂函数在其定义域内( ).

(1)必可导; (2)必不可导; (3)不一定可导;

导数与微分

93

思考题解答
正确地选择是(3)
例 f ( x) ? x
2 3

x ? ( ??,?? )

在 x ? 0 处不可导, (1) ?

f ( x) ? x

2

x ? ( ??,?? )

在定义域内处处可导, ( 2) ?
导数与微分 94

一、 填空题: ln x 1、 设 y ? n ,则 y ? =__________. x 1 2、 设 y ? ln cos ,则 y ? =__________. x 3、 设 y ? x ? x ,则 y ? =__________. e t ? e ?t 4、 设 y ? t ,则 y ? =_________. ?t e ?e 5、 设 f ( x ) ? x( x ? 1)( x ? 2)??( x ? 999)则 f ?(0) =__________.
二、 求下列函数的导数: 1、 y ? tan(1? x ) ; 2、 y ? arc sin (x ?1) ;
2 2

练 习 题

导数与微分

95

练习题答 案
一、1、
2 x ?1 1 ? n ln x 1 1 ; 2 、 ; 3 、 ; tan n?1 2 x x x 4 x x? x 1 4、 ; 5、-999!. 2 cosh t

导数与微分

96

一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s ? f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) ? f ?( t )

? 加速度a是速度v对时间t的变化率
? a( t ) ? v ?( t ) ? [ f ?( t )]? .

定义 如果函数f ( x )的导数f ?( x )在点x处可导, 即 f ?( x ? ? x ) ? f ?( x ) ( f ?( x ))? ? lim ?x ? 0 ?x 存在, 则称( f ?( x ))?为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
导数与微分 97

d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ???( x ), y ???, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx

d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ??( x ), y ??, 2 或 2 dx dx

一般地, 函数f ( x )的n ? 1阶导数的导数称为

函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ?( x )称为一阶导数 .
导数与微分 98

二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y ? arctan x , 求f ??(0), f ???(0).



y? ?

1 1? x2

y ?? ? (

1 ? 2x ? ) ? 2 1? x (1 ? x 2 ) 2

2 ? 2x 2 ( 3 x ? 1) ? y ??? ? ( ) ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x 2 ) 3

? 2x ? ? ? f ( 0) ? (1 ? x 2 ) 2

x?0

2( 3 x 2 ? 1) ? 0; f ???(0) ? (1 ? x 2 ) 3
导数与微分

x?0

? ?2.
99

例2

设 y ? x ? (? ? R), 求y ( n) .
y?? ? (?x ? ?1 )? ? ?(? ? 1) x ? ? 2 y??? ? (?(? ? 1) x ? ? 2 )? ? ?(? ? 1)(? ? 2) x ? ? 3

解 y? ? ?x ? ?1

??
y ( n) ? ?(? ? 1)?(? ? n ? 1) x ? ? n (n ? 1)

若 ? 为自然数n, 则

y

( n)

? ( x ) ? n! ,
n ( n)

y ( n ?1) ? ( n! )? ? 0.
100

导数与微分

注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例3 设 y ? ln(1 ? x ), 求y ( n) . 1 1 ? ? ? y ?? 解 y ? 1? x (1 ? x ) 2
2! y ??? ? (1 ? x ) 3 ?? y
(4)

3! ?? (1 ? x ) 4

y

(n)

? ( ?1)

n ?1

( n ? 1)! (1 ? x ) n
导数与微分

( n ? 1, 0! ? 1)
101

例4

设 y ? sin x, 求y ( n) . ? ? 解 y ? cos x ? sin( x ? ) 2 ? ? ? ? y ?? ? cos( x ? ) ? sin( x ? ? ) ? sin( x ? 2 ? ) 2 2 2 2 ? y ??? ? cos( x ? 2 ? ) ? sin( x ? 3 ? ? ) 2 2 ?? ? (n) y ? sin( x ? n ? ) 2 ? (n) 同理可得 (cos x ) ? cos( x ? n ? ) 2
导数与微分 102

例5 设 y ? e ax sin bx (a, b为常数), 求y ( n ) . 解
y? ? ae ax sin bx ? be ax cos bx ? e ax (a sin bx ? b cos bx)
b ? e ? a ? b sin(bx ? ? ) (? ? arctan ) a
ax 2 2

y ?? ? a 2 ? b 2 ? [ae ax sin( bx ? ? ) ? be ax cos( bx ? ? )] ? a 2 ? b 2 ? e ax ? a 2 ? b 2 sin( bx ? 2? )

??
y
( n) 2

? (a ? b ) ? e sin(bx ? n? )
ax
导数与微分

n 2 2

b (? ? arctan ) a
103

2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u ? v )
( n)

?u

( n)

?v

( n)

(2) (Cu)( n) ? Cu( n)

( 3) ( u ? v )

(n)

? u v ? nu
(n)

( n ?1 )

n( n ? 1) ( n? 2 ) v? ? u v ?? 2!

n( n ? 1) ? ( n ? k ? 1) ( n? k ) ( k ) (n) ? u v ? ? ? uv k! ? ?C u
k ?0 k n n ( n? k )

v

(k )

莱布尼兹公式
104

导数与微分

例6

设 y ? x e , 求y
2 2x

( 20 )

.

解 设u ? e 2 x , v ? x 2 , 则由莱布尼兹公式知

y ( 20 ) ? (e 2 x )( 20 ) ? x 2 ? 20(e 2 x )(19 ) ? ( x 2 )? 20( 20 ? 1) 2 x (18 ) ? (e ) ? ( x 2 )?? ? 0 2! 20 2 x 2 19 2 x ? 2 e ? x ? 20 ? 2 e ? 2 x 20 ? 19 18 2 x ? 2 e ?2 2! ? 220 e 2 x ( x 2 ? 20 x ? 95)
导数与微分 105

3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式

(1) (a x )( n ) ? a x ? ln n a (a ? 0) ? ( n) n ( 2) (sin kx ) ? k sin(kx ? n ? ) 2 ? ( n) n ( 3) (cos kx ) ? k cos(kx ? n ? ) 2
(4) ( x ? )( n) ? ?(? ? 1)?(? ? n ? 1) x ? ? n

(e x ) ( n ) ? e x

(5) (ln x )

(n)

? ( ?1)

n ?1

( n ? 1)! n x
导数与微分

1 (n) n n! ( ) ? ( ?1) n ? 1 x x
106

1 (5) , 求y . 2 x ?1 1 1 1 1 解?y? 2 ? ( ? ) x ?1 2 x ?1 x ?1
例7 设 y ?

?y

(5)

1 ? 5! ? 5! ? [ ? ] 6 6 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 1 1 ? 60[ ? ] 6 6 ( x ? 1) ( x ? 1)

导数与微分

107

例8 设 y ? sin6 x ? cos6 x, 求y ( n ) .
2 3 2 3 解 y ? (sin x ) ? (cos x )

? (sin x ? cos x )(sin x ? sin x cos x ? cos x )
2 2 4 2 2 4

? (sin2 x ? cos2 x )2 ? 3 sin2 x cos2 x
3 2 3 1 ? cos 4 x ? 1 ? sin 2 x? 1 ? ? 4 4 2 5 3 ? ? cos 4 x 8 8 3 n ? ( n) ? y ? ? 4 ? cos(4 x ? n ? ). 8 2
导数与微分 108

三、小结
高阶导数的定义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法;
1.直接法; 2.间接法.

导数与微分

109

思考题
2 ? g ( x ) f ( x ) ? ( x ? a ) g( x ) , 设 连续,且

求 f ??(a ) .

导数与微分

110

思考题解答
? g( x ) 可导
? f ?( x ) ? 2( x ? a ) g ( x ) ? ( x ? a )2 g?( x )

? g??( x ) 不一定存在

故用定义求 f ??(a )

?( x ) ? f ?(a ) f f ??(a ) ? lim f ?( a ) ? 0 x ?a x?a f ?( x ) ? lim ?( x )] ? 2 g(a ) ? lim [ 2 g ( x ) ? ( x ? a ) g x ?a x ? a x ?a
导数与微分 111

练 习 题
一、填空题: sin t 1 、设 y ? t 则y ?? =_________. e 2 、设 y ? tan x ,则y ?? =_________. y ?? =________. 3 、设 y ? (1 ? x 2 ) arctan x ,则 x2 4 、设 y ? xe ,则y ?? =_________. 2 y ?? =_________. 5 、设 y ? f ( x ) , f ??( x ) 存在,则 6 6 、设 f ( x ) ? ( x ? 10) ,则 f ???( 2) =_________. n n ?1 n? 2 7 、设 x ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n ?1 x ? a n (n) (a 1 , a 2 , ? , a n 都是常数),则y =___________. f ( x ) ? x ( x ? 1)( x ? 2 ) ? ( x ? n ) 8、设 , ( n?1) ( x ) =____________. 则f
导数与微分 112

二、求下列函数的二阶导数: 2x3 ? x ? 4 1、 y ? ; x 2 、 y ? cos2 x ln x ; 3 、 y ? ln( x ? 1 ? x 2 ) . dx 1 三、试从 ? ,导出: dy y ? d2x y ?? 1、 2 ? ? ; 3 dy ( y ?) d 3 x 3( y ?? ) 2 ? y ? ? y ??? 2、 3 ? . 6 dy ( y ?) 五、验证函数 y ? c1 e ?x ? c 2 e ? ?x ? ( c ,1 满足关系式 y ?? ? ? 2 y ? 0 .
导数与微分

c 2 是常数) ,
113

六、求下列函数的 n 阶导数: 1 、 y ? e x cos x ; 1? x 2、 y ? ; 1? x x3 3、 y ? 2 ; x ? 3x ? 2 4 、 y ? sin x sin 2 x sin 3 x .

导数与微分

114

练习题答案
一、1、? 2e ? t cos t ; 2、2 sec 2 x tan x ;
2x x2 2 2 xe ( 3 ? 2 x ); 3、2 arctan x ? ; 4 、 2 1? x 5、2 f ?( x 2 ) ? 4 x 2 f ??( x 2 ) ; 6、207360; 7、n ! ; 8、( n ? 1)! . 5 3 ?2 ?3 4 ? x ? 8 x 二、1、 ; 4 2 sin 2 x cos 2 x ? 2、 ? 2 cos 2 x ? ln x ? ; 2 x x x 3、 3 . (1 ? x 2 ) 2
导数与微分 115

六、1、( 2 ) e cos( x ? n ) ; 4 2 ? n! n 2、( ?1) ; n?1 (1 ? x ) 8 1 n ( ? 1 ) n ![ ? ], ( n ? 2) ; 3、 n?1 n?1 ( x ? 2) ( x ? 1) 1 n n? ) 4、 [2 sin( 2 x ? 4 2 n? n? n n ) ? 6 sin( 6 x ? )] . + 4 sin( 4 x ? 2 2
n x

?

导数与微分

116

一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y ? y( x )称为隐函数 .
y ? f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) ? 0 y ? f ( x)

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
导数与微分 117

例1 求由方程 xy ? e x ? e y ? 0所确定的隐函数

dy dy y的导数 , dx dx


x ?0

.

方程两边对x求导, dy x y dy y? x ?e ?e ?0 dx dx

dy e x ? y 解得 ? , y dx x ? e
dy ? dx
x?0

由原方程知 x ? 0, y ? 0,
? 1.
118

ex ? y ? x?ey

x?0 y?0

导数与微分

例2 设曲线C的方程为 x 3 ? y 3 ? 3 xy , 求过C上

3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
解 方程两边对x求导, 3 x 2 ? 3 y 2 y? ? 3 y ? 3 xy?
y ? x2 ? y? 3 3 ? 2 ? ?1. ( , ) y ? x 22 3 3 所求切线方程为 y ? ? ?( x ? ) 即 x ? y ? 3 ? 0. 2 2 3 3 法线方程为 y ? ? x ? 即 y ? x , 显然通过原点. 2 2
3 3 ( , ) 2 2

导数与微分

119

例3 设 x 4 ? xy ? y 4 ? 1, 求y??在点(0,1)处的值 .

解 方程两边对x求导得
3 ? 4 x ? y ? xy ? 4 y y? ? 0 3

(1)
1 ? ; 4

代入 x ? 0, y ? 1得

y?

x?0 y ?1

将方程(1)两边再对x求导得

12 x 2 ? 2 y? ? xy?? ? 12 y 2 ( y?)2 ? 4 y 3 y?? ? 0
代入 x ? 0, y ? 1, y ?
x?0 y ?1

1 ? 得 y ?? 4

x?0 y ?1

??

1 . 16
120

导数与微分

二、对数求导法
( x ? 1)3 x ? 1 , 观察函数 y ? 2 x ( x ? 4) e y? x
sin x

.

方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:

多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
导数与微分

v( x)

的情形.
121

( x ? 1)3 x ? 1 例4 设 y ? , 求y?. 2 x ( x ? 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y ? ln( x ? 1) ? ln( x ? 1) ? 2 ln( x ? 4) ? x 3 上式两边对x求导得

y? 1 1 2 ? ? ? ?1 y x ? 1 3( x ? 1) x ? 4
( x ? 1)3 x ? 1 1 1 2 ? y? ? [ ? ? ? 1] 2 x x ? 1 3( x ? 1) x ? 4 ( x ? 4) e
导数与微分 122

例5 设 y ? x sin x ( x ? 0), 求y?.



等式两边取对数得 ln y ? sin x ? ln x

上式两边对x求导得
1 1 y ? ? cos x ? ln x ? sin x ? y x
1 ? y ? ? y(cos x ? ln x ? sin x ? ) x sin x sin x ? x (cos x ? ln x ? ) x
导数与微分 123

一般地

f ( x ) ? u( x )v ( x ) ( u( x ) ? 0)
? ln f ( x ) ? v ( x ) ? ln u( x )
d 1 d 又? ln f ( x ) ? ? f ( x) dx f ( x ) dx

d ? f ?( x ) ? f ( x ) ? ln f ( x ) dx

? f ?( x ) ? u( x )

v( x)

v ( x )u?( x ) [v ?( x ) ? ln u( x ) ? ] u( x )
导数与微分 124

三、由参数方程所确定的函数的导数
? x ? ? (t ) 若参数方程? 确定 y与x间的函数关系 , ? y ? ? (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
? x ? 2t , x 例如 ? 消去参数 t t? 2 ?y ? t , 2 2 x 2 x 1 2 ?y?t ?( ) ? ? y? ? x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
导数与微分 125

? x ? ?( t ) 在方程? 中, ? y ? ?( t )

设函数x ? ? (t )具有单调连续的反函数t ? ? ?1 ( x ), ? y ? ? [? ?1 ( x )]
再设函数x ? ? (t ), y ? ? (t )都可导, 且? (t ) ? 0,
由复合函数及反函数的求导法则得

dy dy dt dy 1 ? ?( t ) ? ? ? ? ? dx dt dx dt dx ? ?( t ) dt
导数与微分

dy dy dt 即 ? dx dx dt
126

? x ? ?( t ) 若函数? 二阶可导, ? y ? ?( t )

d ? ?( t ) dt d 2 y d dy ) ? ( )? ( 2 dx dx dt ??( t ) dx dx

? ??( t )? ?( t ) ? ? ?( t )? ??( t ) 1 ? ? 2 ? ? (t ) ? ?( t )
d 2 y ? ??( t )? ?( t ) ? ? ?( t )? ??( t ) 即 ? . 2 3 dx ? ? (t )
导数与微分 127

? ? x ? a ( t ? sin t ) 在t ? 处的切线 例6 求摆线 ? 2 ? y ? a (1 ? cos t ) 方程 .

dy a sin t sin t dy dt ? ? ? dx dx a ? a cos t 1 ? cos t dt ? sin dy 2 ? 1. ? ? ? ? dx t ? 2 1 ? cos 2
导数与微分 128

当 t ? 时, x ? a( ? 1), y ? a . 2 2
所求切线方程为

?

?

y ? a ? x ? a( ? 1) 2
即 y ? x ? a( 2 ? ) 2

?

?

导数与微分

129

例7 不计空气的阻力, 以初速度v0 , 发射角?

发射炮弹, 其运动方程为 x ? v0 t cos? , ? ? 1 2 ? y ? v0 t sin? ? gt , ? ? 2 求 (1)炮弹在时刻 t 0的运动方向 ; ( 2)炮弹在时刻 t 0的速度大小 .
解 (1) 在 t 0时刻的运动方向即
y
v0

vy

v vx

轨迹在t 0时刻的切线方向 , 可由切线的斜率来反映.
导数与微分

o

x
130

1 2 (v 0 t sin ? ? gt )? dy v0 sin? ? gt 2 ? ? dx (v 0 t cos ? )? v0 cos?
dy ? dx
t ? t0

v 0 sin ? ? gt 0 ? . v 0 cos ?

(2) 炮弹在 t0时刻沿 x, y轴方向的分速度为
dx vx ? dt dy vy ? dt
t ? t0

? (v 0 t cos ? )? t ? t 0 ? v0 cos? 1 2 ? (v 0 t sin ? ? gt )? t ? t 0 ? v0 sin? ? gt0 2

t ? t0

? 在 t0时刻炮弹的速度为
2 2 2 2 ? v ? 2 v gt sin ? ? g t0 v ? vx ? v2 y 0 0 0

导数与微分

131

3 x ? a cos t ? 表示的函数的二阶导数. 例8 求由方程 ? 3 ? y ? a sin t dy dy dt 3a sin2 t cos t ? ? ? ? tan t 解 2 dx dx 3a cos t ( ? sin t ) dt

2 ? ? sec t ( ? tan t ) d y d dy ? ? ( )? 2 2 3 ? 3 a cos t sin t ? dx dx dx (a cos t )
2

sec t ? 3a sin t
导数与微分 132

4

四、相关变化率
设 x ? x ( t )及 y ? y( t )都是可导函数, 而变量 x与 dx y之间存在某种关系, 从而它们的变化率 与 dt dy 之间也存在一定关系, 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率 .
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
导数与微分 133

例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直

上升, 其速率为140米 / 秒.当气球高度为500米时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解 设气球上升 t秒后, 其高度为 h, 观察员视线
的仰角为? , 则 h tan? ? 500
2

500米

d? 1 dh 500米 ? ? 上式两边对t求导得 sec ? ? dt 500 dt dh ? ? 140米 / 秒, 当 h ? 500米时, sec2 ? ? 2 dt d? 仰角增加率 ? ? 0.14(弧度 / 分) dt 134 导数与微分

?

, 水库 例10 河水以8米 / 秒的体流量流入水库中 形状是长为 4000米, 顶角为1200的水槽, 问水深 20米时, 水面每小时上升几米 ?
解 设时刻 t水深为h( t ), 水库内水量为V ( t ), 则 V (t ) ? 4000 3h2 dV dh 上式两边对t求导得 dt ? 8000 3h ? dt dV ? ? 28800米3 / 小时, ?当h ? 20米时, dt dh 水面上升之速率 ? 0.104米 / 小时 dt 导数与微分
60 0

3

135

五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解.

导数与微分

136

思考题
? x ? ? (t ) ? ?( t ) 设? ,由 y? (? ?( t ) ? 0) x ? ? ?( t ) ? y ? ? (t ) ? ? ?( t ) ? 可知 y? ,对吗? x ? ? ? ?( t )

导数与微分

137

思考题解答
不对.

d dy? ? ? ?( t ) ? ? 1 x dt ? ? y?x ? ? ? ? ? y? ? ? x ? dx dt dx ? ? ?( t ) ? t ? ?( t )

导数与微分

138

练 习 题
一、 填空题: 1、 设 x 3 ? 2 x 2 y ? 5 xy 2 ? 5 y ? 1 ? 0确定了 y 是 x 的 dy d2y 函数,则 =________, 2 ? ________. dx (1,1 ) dx 2、 曲线 x 3 ? y 3 ? xy ? 7 在点(1,2)处的切线方程 是___________. ? ? x ? t cos t 3、 曲线 ? 在 t ? 处的法线方程________. 2 ? y ? t sin t ? x ? e t cos t dy dy 4、 已知 ? ,则 =______; =______. t dx t ? ? dx ? y ? e sin t 3 dy 5、 设 xy ? e x ? y ,则 =________. dx
导数与微分 139

d2y 二、 求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 : 2 dx 1、 y ? 1 ? xe y ; 2、 y ? tan( x ? y ); 3、 x y ? y x ( x ? 0,y ? 0) . 三、 用对数求导法则求下列函数的导数: x2 1、 y ? x ; x ? 2( 3 ? x ) 4 2、 y ? ; 5 ( x ? 1)
3、 y ?

x sin x 1 ? e x .

导数与微分

140

d2y 四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 : dx ? x ? a cos t 1、 ? ; ? y ? b sin t ? x ? f ?( t ) 2、 ? 设 f ??( t ) 存在且不为零 . ? y ? tf ?( t ) ? f ( t ) ? x ? ln( 1 ? t 2 ) 五、求由参数方程? 所确定的函数的 ? y ? t ? arctan t d3y 三阶导数 3 . dx 1 3 f ( x) f ?( x ) . f ( x ) ? 2 f ( ) ? 六、设 满足 ,求 x x
导数与微分 141

七、在中午十二点正甲船的 6 公里/ 小时的速率向东行 驶,乙船在甲船之北 16 公里,以 8 公里/ 小时的速 率向南行驶,问下午一点正两船相距的速率为多 少? 八、注入水深 8 米,上顶直径 8 米的正圆锥形容器中, 其速率为每分钟 4 立方米,当水深为 5 米时,其表 面上升的速率为多少?

导数与微分

142

练习题答案
4 6 x ? 4 xy ? 8 xy ? ? 20 yy ? ? 10 x ( y ? ) 2 一、1、 , ; 2 3 10 xy ? 2 x ? 5

2 2 x? y e ?y sin t ? cos t , ? 2 ? 3 ; 5、 4、 x? y . x?e cos t ? sin t e 2 y (3 ? y ) 二、1、 ; 3 (2 ? y ) 2 3 2 csc ( x ? y ) c tan ( x ? y) ; 2、y(ln y ? 1) 2 ? x (ln x ? 1) 2 3、 . 3 xy(ln y ? 1)
导数与微分

2、 x ? 11 y ? 23 ? 0

? ? 3、 x ? y ? ? 0 ;

143

( 2 ln x ? 1) ; x ? 2( 3 ? x ) 4 1 4 5 [ ? ? ]; 2、 5 2( x ? 2) 3 ? x x ? 1 ( x ? 1) 1 ex x 1 ]. 3、 x sin x 1 ? e [ ? cot x ? x 2 x 2(1 ? e ) b 1 四、1、 2 2、 . 3 ; f ??( t ) a sin t t4 ?1 1 2 ? 五、 3 . 六、 . 2 8t x 七、-2.8(公里/小时). 16 ? 0.204 (米/分). 八、 25?
三、1、 x
导数与微分 144

x 2 ?1

一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.

设边长由x0变到x0 ? ?x,

x0

?x

( ?x ) 2
?x

? 正方形面积 A ? x0 ,
2 ? ?A ? ( x 0 ? ?x ) 2 ? x 0

2

x 0 ?x
2 A ? x0

? 2 x 0 ? ?x ? ( ?x ) 2 .
(1) ( 2)

x 0 ?x

x0

(1) : ?x的线性函数, 且为?A的主要部分; ( 2) : ?x的高阶无穷小, 当 ?x 很小时可忽略.
导数与微分 145

再例如, 设函数 y ? x 3在点 x0处的改变量

为?x时, 求函数的改变量 ?y .
?y ? ( x 0 ? ?x ) ? x
3 3 0 2 3

? 3 x ? ?x ? 3 x 0 ? ( ?x ) ? ( ?x ) .
(1)
2 0

( 2)

当 ?x 很小时, ( 2)是?x的高阶无穷小o( ?x ),
2 ? ?y ? 3 x 0 ? ?x .

既容易计算又是较好的近似值

问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
导数与微分 146

二、微分的定义
定义 设函数 y ? f ( x )在某区间内有定义, x0及 x0 ? ?x在这区间内, 如果
? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ? A ? ? x ? o( ? x ) 成立(其中A是与?x无关的常数), 则称函数 y ? f ( x )在点 x0可微, 并且称A ? ?x为函数 y ? f ( x )在点 x0相应于自变量增量?x的微分, 记作 dy x ? x0 或 df ( x0 ), 即dy x ? x0 ? A ? ?x .

(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 ?y的线性主部.
导数与微分 147

由定义知:

(1) dy是自变量的改变量 ?x的线性函数 ;
( 2) ?y ? dy ? o( ?x )是比?x高阶无穷小 ; ( 3) 当A ? 0时, dy与?y是等价无穷小 ;

?y o( ?x ) ? ? 1 ( x ? 0). ? 1? dy A ? ?x
(4) A是与?x无关的常数, 但与f ( x )和x0 有关;

(5) 当 ?x 很小时, ?y ? dy (线性主部).
导数与微分 148

三、可微的条件
定理

函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函

数 f ( x )在点 x0处可导, 且 A ? f ?( x0 ).
证 (1) 必要性 ? f ( x )在点x0可微,
? ?y ? A ? ?x ? o( ?x ),

?y o( ? x ) ? ? A? , ?x ?x

?y o( ?x ) 则 lim ? A ? lim ? A. ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ? x

即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A ? f ?( x0 ).
导数与微分 149

(2) 充分性 ?函数f ( x )在点x0 可导,

?y ? lim ? f ?( x 0 ), ?x ? 0 ? x

?y 即 ? f ?( x 0 ) ? ? , ?x
? ? ? 0 ( ?x ? 0),

从而 ?y ? f ?( x0 ) ? ?x ? ? ? ( ?x ), ? f ?( x0 ) ? ?x ? o( ?x ),

?函数 f ( x )在点 x0可微, 且 f ?( x0 ) ? A.

? 可导 ? 可微.

A ? f ?( x 0 ).

函数 y ? f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy ? f ?( x )?x .
导数与微分 150

例1 求函数 y ? x 3 当 x ? 2, ?x ? 0.02时的微分. 解 ? dy ? ( x 3 )??x ? 3 x 2 ?x .
? dy
x?2 ?x ? 0.02

? 3 x 2 ?x

x?2 ?x ? 0.02

? 0.24.

通常把自变量x的增量 ?x称为自变量的微分,
dy ? dy ? f ?( x )dx. ? f ?( x ). dx 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于

记作 dx , 即dx ? ?x .

该函数的导数. 导数也叫" 微商".
导数与微分 151

四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T N P
o( ? x )

当?y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
o
y ? f ( x)


M

dy ?y

?x

?
x0

x0 ? ?x

x

当 ?x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
导数与微分 152

五、微分的求法
dy ? f ?( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
d (C ) ? 0 d (sin x ) ? cos xdx d (tan x ) ? sec2 xdx d ( x ? ) ? ?x ? ? 1 dx d (cos x ) ? ? sin xdx d (cot x ) ? ? csc2 xdx

d (sec x ) ? sec x tan xdx d (csc x ) ? ? csc x cot xdx
导数与微分 153

d (a x ) ? a x ln adx 1 d (log a x ) ? dx x ln a 1 d (arcsin x ) ? dx 2 1? x 1 d (arctan x ) ? 2 dx 1? x

d (e x ) ? e x dx 1 d (ln x ) ? dx x 1 d (arccos x ) ? ? dx 2 1? x 1 d (arc cot x ) ? ? 2 dx 1? x

2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ( u ? v ) ? du ? dv d ( uv ) ? vdu ? udv d (Cu) ? Cdu u vdu ? udv d( ) ? v v2

导数与微分

154

例2 设 y ? ln( x ? e ), 求dy.

x2


例3

? y? ?

1 ? 2 xe x?e

x2

x2

,

? dy ?

1 ? 2 xe x?e

x2

x2

dx.

设 y ? e 1? 3 x cos x, 求dy.

解 dy ? cos x ? d (e 1? 3 x ) ? e 1? 3 x ? d (cos x )

? (e

1? 3 x

1? 3 x ? ) ? ?3e , (cos x )? ? ? sin x.

? dy ? cos x ? (?3e 1? 3 x )dx ? e 1? 3 x ? (? sin x )dx ? ?e
1? 3 x

(3 cos x ? sin x )dx.
导数与微分 155

六、微分形式的不变性
设函数 y ? f ( x )有导数 f ?( x ),
(1) 若x是自变量时, dy ? f ?( x )dx;

( 2) 若x是中间变量时, 即另一变量 t 的可 微函数 x ? ? ( t ), 则 dy ? f ?( x )??( t )dt
? ??( t )dt ? dx, ? dy ? f ?( x )dx.

结论:无论 x是自变量还是中间变量 , 函数

y ? f ( x )的微分形式总是 dy ? f ?( x )dx
微分形式的不变性
导数与微分 156

例3 设 y ? sin(2 x ? 1), 求dy. 解 ? y ? sin u, u ? 2 x ? 1.
? dy ? cos udu ? cos( 2 x ? 1)d ( 2 x ? 1) ? cos( 2 x ? 1) ? 2dx ? 2 cos( 2 x ? 1)dx .

例4

设 y?e

? ax

sin bx, 求dy.

解 dy ? e ? ax ? cos bxd(bx) ? sin bx ? e ? ax d (?ax)

? e ? ax ? cos bx ? bdx ? sin bx ? e ? ax ? (?a )dx ? e ? ax (b cos bx ? a sin bx)dx.
导数与微分 157

例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.

(1) d ( ) ? cos ?tdt;

(2) d (sin x ) ? ( )d ( x ).
2

解 (1) ? d (sin ?t ) ? ? cos ?tdt ,
1 1 ? cos ?tdt ? d (sin ?t ) ? d ( sin ?t ); ? ? 1 ? d ( sin ?t ? C ) ? cos ?tdt . ? d (sin x 2 ) 2 x cos x 2 dx ( 2) ? ? ? 4 x x cos x 2 , 1 d( x) dx 2 x ? d (sin x 2 ) ? (4 x x cos x 2 )d ( x ).
导数与微分 158

七、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题 导数的概念

函数的增量问题

微分的概念

求导数与微分的方法,叫做微分法.

研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导 ? 可微 .
导数与微分 159

★ 导数与微分的区别:

1. 函数 f ( x ) 在点x 0处的导数是一个定数 f ?( x 0 ), 而微分 dy ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ) 是x的线性函数, 它的 定义域是R, 实际上, 它是无穷小. ? lim dy ? lim f ?( x 0 )( x ? x 0 ) ? 0.

2. 从几何意义上来看 , f ?( x0 ) 是曲线 y ? f ( x ) 在 点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率, 而微 dy ? f ?( x0 ) ( x ? x0 )是曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线 方程在点 x0 的纵坐标增量.
导数与微分 160

x ? x0

x ? x0

思考题
因为一元函数 y ? f ( x ) 在x 0 的可微性与 可导性是等价的,所以有人说“微分就是导 数,导数就是微分”,这说法对吗?

导数与微分

161

思考题解答
说法不对.
从概念上讲,微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的,导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限,它们是完全不同的概念.

导数与微分

162

练 习 题
一、填空题: x 处的自变量的增量为 1 、 已知函数 f ( x ) ? x 2 在点 dy =0.8 ,那 0.2 ,对应的函数增量的线性全部是 x 的始值为__________. 么自变量 2 、 微分的几何意义是__________. 3 、 若 y ? f ( x ) 是可微函数,则当?x ? 0 时, ? y ? dy 是关于?x 的________无穷小. 4 、 d __________ __ ? sin ? xdx . 2x d __________ __ ? e dx . 5、 2 d __________ __ ? sec 3 xdx . 6、 2 2x Y ?x e 2x 2 dY ? e d ______ ? x d ______ . 7、 , e2x x d (arctan ) ? _________ de ? ________ . 8、 , 2
导数与微分 163

二、 求下列的函数的微分: x 1、 y ? ; 2 x ?1 2、 y ? [ln( 1 ? x )]2 ; 3、 y ? arcsin 1 ? x 2 ; 1 ? x2 4、 y ? arctan ; 2 1? x 5、 y ? e ??3 x cos 3 x ,求 dy x ? ? ; 6、求由方程 cos( xy ) ? x 2 y 2 所确定的 y 微分.
3

导数与微分

164

练习题答案
一、1、-2; 2、曲线的切线上点的纵坐标的相应增量; 1 cos?x ? C ; 3、高阶; 4、 ? 1 ?2 x 1 ? C; 5、 e 6、 tan 3 x ? C ; 2 3 2 2e x 2 2x 7、 x , e ; 8、 4x . 2?e 二、1、( x 2 ? 1) dx ; 2 ln( 1 ? x ) dx ; 2、 x ?1
导数与微分 165
? 3 2

? dx ,?1 ? x ? 0 ? 2 ? 1? x 3、dy ? ? ; ? ? dx ,0 ? x ? 1 ? ? 1 ? x2 2x dx ; 4、 4 1? x 5、3dx ; y 6、 dx . x

导数与微分

166

一、计算函数增量的近似值
若y ? f ( x )在点x0处的导数f ?( x0 ) ? 0, 且 ?x 很小时,
?y
x ? x0

? dy

x ? x0

? f ?( x 0 ) ? ? x .

, 半径伸长了 例1 半径10厘米的金属圆片加热后 0.05厘米,问面积增大了多少 ?
2 设 A ? ? r , r ? 10厘米, ?r ? 0.05厘米. 解

2 ? ? ( 厘米 ). ? ?A ? d ? 2?r ? ?r ? 2? ? 10 ? 0.05
导数与微分 167

二、计算函数的近似值
1.求f ( x )在点x ? x 0附近的近似值;
? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 ) ? ? x .

f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 ) ? ? x .
例1 计算cos 60o 30?的近似值. 解

( ?x 很小时)

设f ( x ) ? cos x, ? f ?( x ) ? ? sin x , ( x为弧度)

? ? ? x 0 ? , ?x ? , 3 360
导数与微分 168

? 1 ? f( )? , 3 2

? 3 f ?( ) ? ? . 3 2 ? ? ? ? ? o ? cos 60 30? ? cos( ? ) ? cos ? sin ? 3 360 3 3 360

1 3 ? ? 0.4924. ? ? ? 2 2 360

2.求f ( x )在点x ? 0附近的近似值;

令 x 0 ? 0, ? x ? x .
? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 ) ? ? x ,

? f ( x ) ? f ( 0 ) ? f ?( 0 ) ? x .
导数与微分 169

常用近似公式 ( x 很小时)

1 (1) 1 ? x ? 1 ? x; ( 2) sin x ? x ( x为弧度); n ( 3) tan x ? x ( x为弧度); (4) e x ? 1 ? x; (5) ln(1 ? x ) ? x . 1 ?1 1 n 证明 (1) 设 f ( x ) ? n 1 ? x , f ?( x ) ? (1 ? x ) , n 1 f (0) ? 1, f ?(0) ? . n x ? ? f ( x ) ? f ( 0) ? f ( 0) x ? 1 ? . n
n
导数与微分 170

例2 计算下列各数的近似值.

(1) 3 998.5;
解 (1)
3

( 2) e ?0.03 .

998.5 ? 3 1000 ? 1.5
1.5 ? 1000(1 ? ) ? 103 1 ? 0.0015 1000 1 ? 10(1 ? ? 0.0015) ? 9.995. 3
3

( 2) e ?0.03 ? 1 ? 0.03 ? 0.97.
导数与微分 171

三、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响,测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差,我们把它叫做间接测量误差. 定义: 如果某个量的精度值为A,它的近似值

为a , 那末 A ? a 叫做a的绝对误差. A?a 而绝对误差与 a 的比值 叫做a的相对误差. a
问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
导数与微分 172

办法:将误差确定在某一个范围内.

如果某个量的精度值是 A, 测得它的近似值是 a, 又知道它的误差不超过 ? A ,即 A ? a ? ?A, ?A 那末? A叫做测量A的绝对误差限, 而 叫做测量 a A的相对误差限.
通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差.
导数与微分 173

例3 正方形边长为2.41 ? 0.005米, 求出它的面积 ,

并估计绝对误差与相对 误差.
解 设正方形边长为 x , 面积为y, 则 y ? x .
2

当x ? 2.41时,

y ? (2.41) 2 ? 5.8081(m 2 ).
x ? 2.41

y?

x ? 2.41

? 2x

? 4.82.

? 边长的绝对误差为 ? x ? 0.005,
2 ? 0 . 0241 ( m ). ? 面积的绝对误差为 ? y ? 4.82 ? 0.005 ? y 0.0241 ? 0.4%. ? 面积的相对误差为 ? y 5.8081
导数与微分 174

四、小结
近似计算的基本公式

当 ?x 很小时,

?y

x ? x0

? dy

x ? x0

? f ?( x 0 ) ? ? x .

f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 ) ? ( x ? x 0 ),
当x ? 0时,

f ( x ) ? f ( 0 ) ? f ?( 0 ) ? x .
导数与微分 175

一、填空题: 1、利用公式 f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ) 计算f ( x ) 时,要求______很小. 2、当 x ? 0 时 , 由 公 式 ?y ? dy 可 近 似 计 算 ln( 1 ? x ) ? _______ ; tan x ? ________,由此得 tan 45 ? ? _______ ;ln 1.002 ? ________ . 二、 利用微 分计算当 x 由45? 变 到 45?10? 时 ,函数 y ? cos x 的增量的近似值(1? ? 0.017453弧度).
,

练习题

三、 已知单摆的振动周期T ? 2?

l ,其中g ? 980 厘 g

米/秒 2, l 为摆长(单位为厘米) ,设原摆长为 20 T 增大 0.05 秒,摆长约需加长多 厘米,为使周期 少?
导数与微分 176

四、求近似值: 1、tan 136? ;2、 arcsin 0.5002 ; 3、3 996 .

五、设 A ? 0 ,且 B ?? A n ,证明 B n n 10 ,并计算 A ? B ? A? 1000的近似值 . n ?1 nA 六、已知测量球的直径 D 有 1%的相对误差,问用公式

? 3 V ? D 计算球的体积时,相对误差有多大? 6

七、 某厂生产 (教材 2-18 图) 所示的扇形板, 半径 R =200 毫米,要求中心角? 为 55? 产品检验时,一般用测量 弦长 L 的办法来间接测量中心角? , 如果测量弦长 L 时的误差? L =0.1 毫米, 问由此而引起的中心角测量 误差 ? ? 是多少?
导数与微分 177

练习题答案
一、1、 x ? x 0 ; 2、 x , x , 0.01309, 0.002. 2 二、 ? ? ?0.0021. 2160 三、约需加长 2.23 厘米. o 四、1、-0.96509; 2、30 47? ; 3、9.9867. 六、3%. 七、? ? ? 0.00056(弧度)=1? 55?? .

第二章习题课
导数与微分 178

一、主要内容
关 dy ? y ? ? dy ? y ?dx ? ?y ? dy ? o( ?x ) 系 dx

?y lim ?x ? 0 ? x





基本公式 高阶导数 高阶微分

微 分

dy ? y ??x

求 导 法 则
导数与微分 179

1、导数的定义
定义 设函数y ? f ( x )在点x 0的某个邻域内有定义,

当自变量x在x 0处取得增量?x (点x 0 ? ?x仍在该邻域 内)时, 相应地函数y取得增量?y ? f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ); 如果?y与?x之比当?x ? 0时的极限存在, 则称函数 y ? f ( x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y ? f ( x ) dy 在点x 0处的导数, 记为y ? x ? x 0 , dx df ( x ) x ? x0 或 dx
x ? x0

,即

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y y ? x ? x 0 ? lim ? lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x
导数与微分 180

单侧导数
1.左导数:
f ?? ( x 0 ) ? lim
x ? x0 ? 0

f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? lim ; ? x ? ? 0 x ? x0 ?x

2.右导数:
f ?? ( x 0 ) ? lim
x ? x0 ? 0

f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? lim ; ? x ? ? 0 x ? x0 ?x

函数 f ( x )在点x 0 处可导? 左导数 f ?? ( x 0 ) 和右 导数 f ?? ( x 0 ) 都存在且相等.
导数与微分 181

(常数和基本初等函数的导数公式) 2、基本导数公式
( C )? ? 0 (sin x )? ? cos x (tan x )? ? sec2 x (sec x )? ? sec xtgx ( a x )? ? a x ln a 1 (log a x )? ? x ln a 1 (arcsin x )? ? 1? x2 1 (arctan x )? ? 1? x2
( x ? )? ? ?x ? ?1 (cos x )? ? ? sin x (cot x )? ? ? csc2 x (csc x )? ? ? csc xctgx (e x )? ? e x 1 (ln x )? ? x 1 1 ? x2 1 (arccot x )? ? ? 1 ? x2 (arccos x )? ? ?
导数与微分 182

3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则

设u ? u( x ), v ? v ( x ) 可导,则
c 是常数), (1)( u ? v )? ? u ? ? v ? , (2)( cu )? ? cu ? (
? v ? uv ? u u ? ? ? (3)( uv ) ? u v ? uv , (4)( )? ? ( v ? 0) . 2 v v

(2) 反函数的求导法则

如果函数x ? ? ( y )的反函数为y ? f ( x ), 则有 1 f ?( x ) ? . ?( x ) ? 导数与微分

183

(3) 复合函数的求导法则
设y ? f ( u), 而u ? ?( x )则复合函数y ? f [?( x )]的导数为 dy dy du ? ? 或 y ?( x ) ? f ?( u) ? ??( x ). dx du dx

(4) 对数求导法
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围:

多个函数相乘和幂指函 数u( x ) v ( x ) 的情形.
导数与微分 184

(5) 隐函数求导法则

用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
(6) 参变量函数的求导法则

? x ? ? (t ) 若参数方程? 确定y与x间的函数关系, ? y ? ? (t ) dy 2 dy dt ? ?( t ) d y ? ??( t )? ?( t ) ? ? ?( t )? ??( t ) ? ? ; ? . 2 3 dx dx ? ?( t ) dx ? ? (t ) dt
导数与微分 185

4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
f ?( x ? ? x ) ? f ?( x ) 二阶导数 ( f ?( x ))? ? lim , ?x ? 0 ?x
记作
d3y 二阶导数的导数称为三阶导数, f ???( x ), y ???, 3 . dx

d 2 y d 2 f ( x) f ??( x ), y ??, 2 或 . 2 dx dx

一般地, 函数f ( x )的n ? 1阶导数的导数称为 函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , n 或 . n dx dx
导数与微分 186

5、微分的定义
定义 设函数y ? f ( x )在某区间内有定义, x 0 及x 0 ? ?x

在这区间内, 如果 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ? A ? ? x ? o( ? x ) 成立(其中A是与?x无关的常数), 则称函数y ? f ( x ) 在点x 0 可微, 并且称A ? ?x为函数y ? f ( x )在点x 0 相应 于自变量增量?x的微分, 记作dy dy
x ? x0 x ? x0

或df ( x 0 ), 即

? A ? ?x .

微分dy叫做函数增量?y的线性主部. (微分的实质)
导数与微分 187

6、导数与微分的关系
定理 函数f ( x )在点x 0 可微的充要条件是函数f ( x )

在点x 0处可导, 且 A ? f ?( x 0 ).

7、 微分的求法
dy ? f ?( x )dx

求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.

导数与微分

188

基本初等函数的微分公式
d (C ) ? 0 d (sin x ) ? cos xdx d (tan x ) ? sec2 xdx d ( x ? ) ? ?x ? ? 1 dx d (cos x ) ? ? sin xdx d (cot x ) ? ? csc2 xdx

d (sec x ) ? sec x tan xdx d (csc x ) ? ? csc x cot xdx

d (a x ) ? a x ln adx 1 dx x ln a 1 d (arcsin x ) ? dx 2 1? x 1 d (arctan x ) ? 2 dx 1? x d (log a x ) ?

d (e x ) ? e x dx d (ln x ) ? 1 dx x

1 d (arccos x ) ? ? dx 2 1? x 1 d (arccot x ) ? ? 2 dx 1? x
导数与微分 189

8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
d ( u ? v ) ? du ? dv d ( uv ) ? vdu ? udv d (Cu) ? Cdu u vdu ? udv d( ) ? v v2

微分形式的不变性

无论x是自变量还是中间变量,函数y ? f ( x ) 的微分形式总是 dy ? f ?( x )dx
导数与微分 190

二、典型例题
例1 设 f ( x ) ? x ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 100),

求 f ?(0).


f ( x ) ? f ( 0) f ?(0) ? lim x ?0 x?0

? lim( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 100)
x ?0

? 100!
导数与微分 191

1 1 1? x ?1 2 例2 设 y ? arctan 1 ? x ? ln , 2 2 4 1? x ?1 求 y ?.
2

解 设 u ? 1 ? x2 ,
? y? u ?

1 1 u?1 则 y ? arctan u ? ln , 2 4 u?1

1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ( ? ) 4 2 4 2 ? 2x ? x 2(1 ? u ) 4 u ? 1 u ? 1 1 ? u
2

x , ?? u? x ? ( 1? x ) 2 1? x 1 ? ? yx ? ? . 3 2 (2 x ? x ) 1 ? x
导数与微分 192

? x ? 2t ? t dy 例3 设 ? ,求 2 dx ? y ? 5t ? 4t t
解 分析: 当t ? 0时, t 不存在,
dx dy ?当t ? 0时, , 不存在, dt dt

t ?0

.

不能用公式求导.

5( ?t ) 2 ? 4?t ?t ?y ?t[5 ? 4 sgn(?t )] lim ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?t ?0 ?t ? 0 2?t ? ?t 2 ? sgn(?t )
dy 故 dx

? 0.
t ?0

? 0.
导数与微分 193

例4 设函数y ? f ( x )由方程 x y ?

y

x ( x ? 0, y ? 0)

d y 所确定, 求 2 . dx
1 1 解 两边取对数 ln y ? ln x , 即y ln y ? x ln x , x y ln x ? 1 ? y ? , ? (1 ? ln y ) y? ? ln x ? 1, 1 ? ln y 1 1 (ln y ? 1) ? (ln x ? 1) ? y? x y y?? ? (1 ? ln y ) 2

2

y(ln y ? 1) 2 ? x(ln x ? 1) 2 ? xy(ln y ? 1) 3
导数与微分 194

例5

设f ( x ) ? x x ( x ? 2) , 求 f ?( x ).

解 先去掉绝对值
? x 2 ( x ? 2), x ? 0 ? 2 f ( x ) ? ? ? x ( x ? 2),0 ? x ? 2, ? x 2 ( x ? 2), x ? 2 ?
当x ? 0时,

f ?? (0) ? f ?? (0) ? 0,

f ?(0) ? 0;

当x ? 2或x ? 0时, 当0 ? x ? 2时,

f ?( x ) ? 3 x 2 ? 4 x;
2 ? f ( x ) ? ?3 x ? 4 x;
导数与微分 195

当x ? 2时,

f ( x ) ? f ( 2) ? x 2 ( x ? 2) ? ?4. f ?? ( 2) ? lim ? lim ? ? x?2 x ?2 x?2 x?2
2 f ( x ) ? f ( 2) x ( x ? 2) ? f ? ( 2) ? lim ? lim ? 4. ? ? x?2 x ?2 x?2 x?2

f ?? ( 2) ? f ?? ( 2),
2

? f ( x )在x ? 2处不可导.

? 3 x ? 4 x , x ? 2, 或x ? 0 ? f ?( x ) ? ?0, x ? 0, ? ? 3 x ? 4 x ,0 ? x ? 2, ?
2

导数与微分

196

例6

设y ? x (sin x )cos x , 求 y ?.



y? ? y(ln y )? ? y(ln x ? cos x ln sin x )?
2 1 cos x cos x ? x(sin x ) ( ? sin x ? ln sin x ? ) x sin x

导数与微分

197

例7

4x ? 1 设y ? 2 , 求 y (n) . x ?1
2

4x2 ? 1 4x2 ? 4 ? 3 3 1 1 解 y? 2 ? ? 4? ( ? ) 2 x ?1 x ?1 2 x ?1 x ?1
1 (n) ( ?1) n n! 1 (n) ( ?1) n n! ?( ) ? , ( ) ? , n ?1 n ?1 x ?1 ( x ? 1) x ?1 ( x ? 1)
?y
(n)

3 1 1 n ? ( ?1) n![ ? ]. n ?1 n ?1 2 ( x ? 1) ( x ? 1)
导数与微分 198

一、选择题: x 0 的导数 f ?( x 0 ) 定义为( 1、函数 f ( x ) 在点 ) f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) (A) ; ?x f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) (B) lim ; x ? x0 ?x f ( x) ? f ( x0 ) (C) lim ; x ? x0 ?x f ( x) ? f ( x0 ) lim (D) x ; ? x0 x ? x0 y ? f ( x) x 0 处的导数 f ?( x 0 ) ? 0 ,则 2、若函数 在点 y ? f ( x) 曲线 在点( x 0 , f ( x 0 ) )处的法线( ) x x (A)与 轴相平行; (B)与 x 轴垂直; (C)与 y 轴相垂直; (D)与 轴即不平行也不垂直:
导数与微分 199

测验题

x 0 不连续,则 f ( x ) 在 x0 ( 3、若函数 f ( x ) 在点 ) (A)必不可导; (B)必定可导; (C)不一定可导; (D)必无定义. 4、如果 f ( x ) =( ) ,那么 f ?( x ) ? 0 . (A) arcsin 2 x ? arccos x ; 2 2 sec x ? tan x; (B) (C) sin 2 x ? cos2 (1 ? x ) ; arccot x . (D) arctan x ? ?e ax , x ? 0 5、如果 f ( x ) ? ? 处处可导,那末( ) 2 ?b(1 ? x ), x ? 0 a ? ? 2, b ? ? 1 a ? b ? 1 (A) ; (B) ; a ? 1, b ? 0 a ? 0, b ? 1 (C) ; (D) .
导数与微分 200

6、已知函数 f ( x )具有任意阶导数,且 2 f ?( x ) ? ? f ( x )? ,则当 n 为大于 2 的正整数时, f ( x )的 n 阶导数 f ( n ) ( x ) 是( ) (A) n![ f ( x )]n?1 ; (B) n[ f ( x )]n?1 ; (C) [ f ( x )]2 n ; (D) n![ f ( x )]2 n . 7、若函数 x ? x(t ) , y ? y(t ) 对 t 可导且 x ?(t ) ? 0,又 dy =( ) x ? x(t ) 的反函数存在且可导,则 dx y ?( t ) y ?( t ) (A) ; ( B) ? ; x( t ) x ?( t ) y ?( t ) y( t ) (C) ; ( D) . x ?( t ) x ?( t )
导数与微分 201

dy ( ) 8、若函数 f ( x ) 为可微函数,则 (A)与?x 无关; (B)为?x 的线性函数; (C)当?x ? 0 时为?x 的高阶无穷小; (D)与?x 为等价无穷小.
x x0 增 x 由 9、设函数 y ? f ( x ) 在点 处可导,当自变量 dy 为f ( x ) 的 加到 x 0 ? ?x 时,记?y 为 f ( x ) 的增量, ?y ? dy 微分, lim 等于( ) ?x ? 0 ?x (A)-1; (B)0; ? . (C)1; (D)
0

导数与微分

202

10、设函数 y ? f ( x ) 在点x 0 处可导,且 f ?( x 0 ) ? 0 , ?y ? dy 则 lim 等于( ). ?x ? 0 ?x (A)0; (B)-1; ? . (C)1; (D)

二、求下列函数的导数: a?0 ) 1、 y ? sin x ln x 2 ; 2、 y ? a cosh x ( ; 3、 y ? (1 ? x 2 ) sec x ; 4、 y ? ln[cos( 10 ? 3 x 2 )]; y 2 2 y x 5、设 为 的函数是由方程ln x ? y ? arctan 确 x 定的; 3 dy 2 2 2 6、设 x ? y ? y ,u ? ( x ? x ) ,求 . du
导数与微分 203

三、证明 x ? e t sin t , y ? e t cos t 满足方程 2 d y dy 2 ( x ? y) ? 2( x ? y ) . 2 dx dx ? g ( x ) ? cos x ,x ? 0 ? 四、已知 f ( x ) ? ? 其中 g ( x ) 有二阶连 x ? ?a , x ? 0 续导数,且 g ( 0 ) ? 1 , 1、确定 a 的值,使 f ( x ) 在x ? 0 点连续; 2、求 f ?( x ) y ? x ln x , f ( n ) (1) 五、设 求 . 3 六、计算 9.02 的近似值 .
导数与微分 204

七、一人走过一桥之速率为 4 公里/小时,同时一船在 此人底下以 8 公里/小时之速率划过,此桥比船高 200 米,问 3 分钟后人与船相离之速率为多少?

导数与微分

205

测验题答案
一、1、D; 6、A; 2 、B; 3、A ; 7、C; 8、B ; 2 sin x 2 二、1、cos x ln x ? ; x cosh x 2、ln a sinh xa ;
2 sec x 2

4、D; 5 、D ; 9、B; 10、A;

2x ] sec x ; 3、(1 ? x ) [tan x ln( 1 ? x ) ? 2 1? x 2 4、6 x tan(10 ? 3 x ) ; x? y 5、 ; x? y 1 6、 . 2 3( 2 y ? 1)( 2 x ? 1) x ? x
导数与微分 206

四、1、a ? g ?( 0) ; ? x[ g ?( x ) ? sin x ] ? [ g ( x ) ? cos x ] ,x ? 0 2 ? ? x 2、 f ?( x ) ? ? . ? 1 ( g ??(0) ? 1), x ? 0 ? ?2 (n) n? 2 五、 f (1) ? ( ?1) ( n ? 2)! . 六、2.09. 20 ? 8.16 (公里/小时). 七、 6

导数与微分

207



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com