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2014年广东高考文科数学试卷及答案

2014年广东高考文科数学试卷及答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 M ? ?2,3,4?, N ? ?0,2,3,5? ,则 M ? N ( ) A. ?0,2? B. ?2,3? C. ?3,4? D. ?3,5? (2)已知复数 z 满足 (3 ? 4i ) z ? 25 ,则 z ? ( ) A. ? 3 ? 4i

? ? ? ? (3)已知向量 a ? (1,2), b ? (3,1) ,则 b ? a ? ( ) A. (?2,1) B. (2,?1) C. (2,0) D. (4,3)

B. ? 3 ? 4i

C. 3 ? 4i

D. 3 ? 4i

?x ? 2 y ? 8 ? (4)若变量 x, y 满足约束条件 ? 0 ? x ? 4 则 z ? 2 x ? y 的最大值等于( ) ?0? y?3 ?
A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 5.下列函数为奇函数的是( ) A. 2 x ?

1 2x

B. x 3 sin x

C. 2cosx ? 1

D. x 2 ? 2 x

6.为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分段的间隔 为( ) A.50 B.40 C.25 D.20 7.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, 则“ a ? b ”是“ sinA ? sin B ”的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 8.若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1 的( ) 16 5 ? k 16 ? k 5

A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 9. 若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2, l2∥ l3, l3? l4, 则下列结论一定正确的是 ( ) A. l1 ? l4 B. l1∥ l4 C. l1 与 l4 既不垂直也不平行 D. l1 与 l4 的位置关系不确定

10.对任意复数 w1 , w2 , 定义 ?1 ??2 ? ?1?2 , 其中 ?2 是 ?2 的共轭复数,对任意复数 z1 , z2 , z3 有如下四 个命题: ① ( z1 ? z2 ) ? z3 ? ( z1 ? z3 ) ? ( z2 ? z3 ); ② z1 ? ( z2 ? z3 ) ? ( z1 ? z2 ) ? ( z1 ? z3 ) ; ③ ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ); ④ z1 ? z2 ? z2 ? z1 ; 则真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11—13 题) 11.曲线 y ? ?5e ? 3 在点 ? 0, ?2 ? 处的切线方程为________.
x

12.从字母 a, b, c, d , e 中任取两个不同字母,则取字母 a 的概率为________.

13.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1a5 ? 4 ,则

log 2 a1 + log 2 a2 + log 2 a3 + log 2 a4 + log 2 a5 = ________.
(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 与 C 2 的方程分别为 2 ? cos ? ? sin ? 与 ? cos? ? 1 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲
2

线 C1 与 C 2 的直角坐标为________ 15.(几何证明选讲选做题)如图 1 ,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB ? 2 AE, AC 与

DE 交于点 F 则

?CDF 的周长 ? ______ ?AEF 的周长

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1) 求 A 的值; (2) 若 f (? ) ? f (?? ) ? 3, ? ? (0, 17(本小题满分 13 分) 某车间 20 名工人年龄数据如下表: 年龄(岁) 工人数(人) 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 (1) 求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2) 以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3) 求这 20 名工人年龄的方差. 18(本小题满分 13 分) 如图 2,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图 3 折叠,折痕 EF∥DC.其中点 E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为 M,并且 MF⊥CF. (1) 证明:CF⊥平面 MDF (2) 求三棱锥 M-CDE 的体积.

?
3

), x ? R ,且 f (

5? 3 2 )? 12 2

?

) ,求 f ( ? ? ) 2 6

?

19.(本小题满分 14 分) 设各项均为正数的数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且 S n 满足
2 Sn ? n 2 ? n ? 3 S n ? 3 n 2 ? n ? 0, n ? N ? .

?

?

?

?

(2)求数列 ?a n ?的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有 20(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

(1)求 a1 的值;

1 1 1 1 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的一个焦点为 a 2 b2

?

5 ,0 ,离心率为

?

5 。 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.

21.(本小题满分 14 分)

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1(a ? R) 3 (1) 求函数 f ( x) 的单调区间;
已知函数 f ( x) ? (2) 当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? (0, )

1 2

1 1 ( ,1) ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) 2 2

参考答案 选择题 1-5BDBCA 6-10 CADDB 填空题 11. 5 x ? y ? 2 ? 0 12.

2 5

13. 5 15. 3

14. ?1,2?

解答题 16.(1)

? f ( x) ? A sin( x ?

5? 3 2 )? . 3 12 2 5? 5? ? 3? 2 3 2 ? f ( ) ? A sin( ? ) ? A sin ? A? ? . 12 12 3 4 2 2 ? A ? 3. ), 且f (

?

(2)

? f ( x) ? 3 sin( x ?

?

3

), 且f (? ) ? f (?? ) ? 3.

? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ?

?
3

) ? 3 sin(?? ?

?
3

)

?? ? ?? ? ? ? ?? ? 3?? sin ? cos ? cos? sin ? ? ? sin cos? ? cos sin ? ?? 3 3? ? 3 3 ?? ?? ? 3 ? 2 sin ? cos ? sin ? ?

?
3

? 3 sin ? ? 3.

? 3 (0, ) .且? ? 3 2 6 . ? cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 3 ? ?? ? ?? ?? ? f ( ? ? ) ? 3 sin ? ? ? ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 3 cos? ? 6 6 3? ? ?2 ?6

17. 解: (1)由图可知,众数为 30.极差为:40-19=21. 1 9 2 888999 3 000001111222 4 1 (2)根据表格可得:

19 ? 28 ? 3 ? 29 ? 3 ? 30 ? 5 ? 31? 4 ? 32 ? 3 ? 40 ? 30 20 1 ?19 ? 30?2 ? 3?28 ? 30?2 ? 3?29 ? 30?2 ? 5?30 ? 30?2 ? 4?31 ? 30?2 ? ?41 ? 30?2 ?s2 ? 20 ? 13.05 x?

?

?

18.解:证明: (1)

? PD ? 面ABCD, 且PD ? 面PCD. ? 面PCD ? 面ABCD, 交线为CD. 又 ? 四边形ABCD为矩形,AD ? CD, AD ? 面ABCD ? MD ? 面PCD, 又由于CF ? 面PCD ? MD ? CF . ? MF ? CF , 且MD ? MF ? M ? CF ? 面MDF
解: (2)

? MD ? 面PCD 1 ?VM ?CDE ? ? S ?CDE ? MD. 3 ? CF ? 面MDF, DF ? 面MDF. ? CF ? DF ? 在RT?PCD中,CD ? 1, PC ? 2 ? ?PCD ? 60?, 且CD ? 1 1 3 1 , 故PF ? 2 ? ? . 2 2 2 3 ? MF ? . 2 ? CF ? CM ? 又 ? CF ? MF , 故利用勾股定理得: ? 在RT?MDC中,CM ? 10 2

10 6 , CD ? 1, 得DM ? . 2 2 又 ? F点位于CP的三分点, 且PD ? 3

3 . 4 1 1 3 3 . ? S ?CDE ? CD ? DE ? ? 1? ? 2 2 4 8 1 2 . ?VM ?CDE ? S ?CDE DM ? 3 16 ? E为PD的三分点,故DE ?

2 2 2 ? 19.解: (1)由 S n ? n ? n ? 3 S n ? 3 n ? n ? 0, n ? N

?

?

?

?

2 即 a1 ? a1 ? 6 ? 0 .解得 a1 ? 2 或 a1 ? ?3 ,由于数列 ?an ? 为正项数列,所以 a1 ? 2 ;

,令

n ? 1 ,得 S12 ? (?1)S1 ? 6 ? 0 ,

2 2 2 ? (2)由 S n ? n ? n ? 3 S n ? 3 n ? n ? 0, n ? N ,因式分解得 ? Sn ? 3? Sn ? n2 ? 2n ? 0
2 2 由数列 ?an ? 为正项数列可得 S n ? n ? 2n ? 0 ,即 S n ? n ? 2n ,当 n ? 2 时,

?

?

?

?

?

?

2 an ? Sn ? Sn ?1 ? n 2 ? 2n ? ?? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? ? 2n ,由 a1 ? 2 可得, ?n ? N ? , an ? 2n ? ? 1 1 ? (3)由(2)可知 an ? an ? 1? 2n ? 2n ? 1?

1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? an ? an ? 1? 2n ? 2n ? 1? ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 1 1 ? ? ; 当 n ? 1 时,显然有 a1 ? a1 ? 1? 6 3 ?n ? N ?
当 n ? 2 时,

1 1 ? ? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1?

?

1 an ? an ? 1?

1 1?1 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 ? 2 ? 2n ? 1 ? 3 2 ? ? 2 ? 1? 2 ? 3 5 5 7 2n ? 1 2 n ? 1 ? 1 1 1 1 ? ?? ? . 所以,对一切正整数 n ,有 a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3 ?
5 c ? 得:a ? 3, b ? 2. 3 a 20.解: (1) x2 y2 ?1 椭圆方程为: ? 9 4 设两个切点分别为 A、B 由c ? 5 , e ?
(2) ①当两条切线中有一条斜 率不存在时,即 A、B两点分别位于

椭圆长轴与短轴的端点 ,P点坐标为(? 3,?2)

②当两条 切线斜率均存在时, 设椭圆切线斜率为 k,过点P的椭圆切线方程为 y - y 0 ? k ( x ? x0 ) ? y - y 0 ? k ( x ? x0 ) ? 联立? x 2 y 2 ,得 ?1 ? ? 4 ?9 2 2 2 2 (9k ? 4)x ? (18ky0 ? 18k 2 x0 ) x ? 9k 2 x0 ? 18kx0 y 0 ? 9 y 0 ? 36 ? 0
2 2 ? 9) k 2 ? 2 x 0 y 0 k ? y 0 ?4?0 △? 0 ? 9k 2 ? 4 ? (kx0 ? y 0 ) 2 ? ( x0 2 y0 ?4 2 x0 ? 9

设PA、PB斜率分别为k1、k 2,则k1 ? k 2 ? 又PA、PB互相垂直, ? k1 ? k 2 ?
2 2 化简得x0 (x0 ? ?3) ? y0 ? 13

2 y0 ?4 ? -1 2 x0 ? 9

2 2 又 ? P( ? 3,?2)在x0 ? y0 ? 13上

?点P在圆x 2 ? y 2 ? 13上.
21.解: (1)由 f ? x ? ?

1 3 f ' ? x ? ? x2 ? 2 x ? a f ' ? x? ? 0 ,令 x ? x 2 ? ax ? 1 ,求导得 3 2 即 x ? 2 x ? a ? 0 , ? ? 4 ? 4a , ' ① 当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时, f ? x ? ? 0 恒成立, f ? x ? 在 R 上单调递增;
② 当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时,方程 x2 ? 2 x ? a ? 0 的两根分别为:

? 当 x ? ? ?1 ? 当 x ? ? ?1 ?

x1 ? ?1 ? 1 ? a , x2 ? ?1 ? 1 ? a ,

当 x ? ??, ?1 ? 1 ? a , f

?

'

? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增;

1 ? a , ?1 ? 1 ? a , f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减; 1 ? a , ?? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增。

?

?

(3) 当 a ? 0 时,由(1) ,令 x1 ? ?1 ? 1 ? a ? 1 ,解得 a ? ?3 .

①当 a ? ?3 时, 1 ? ?1 ? 1 ? a ,由( 1 )的讨论可知 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,此时不存在

?1? ? 1? ?1 ? x0 ? ? 0, ? ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? f ? ? ?2? ? 2? ?2 ?

②当 ?3 ? a ? 0 时, 1 ? ?1 ? 1 ? a , f ? x ? 在 0, ?1 ? 1 ? a 递减,在 ?1 ? 1 ? a ,1 递增,

?

?

?

?

25 1 1 1 ?1? 1 f ?1? ? f ? ? ? a ? ,依题意,要 f ? x ? 存在 x0 ? (0, ) ( ,1) ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) , 24 2 2 2 ?2? 2 25 25 25 ?1? 1 ? 0 ,解得 a ? ? ,于是有 ? ? a ? 0 即为所求。 只需 f ?1? ? f ? ? ? a ? 24 12 12 ?2? 2



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