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四川省乐山一中2013-2014学年高二下学期第一阶段考试数学文试题 Word版含答案

四川省乐山一中2013-2014学年高二下学期第一阶段考试数学文试题 Word版含答案

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四川省乐山一中 2013-2014 学年高二下学期第一阶段考试

数 学 试 题(文科)

第Ⅰ卷 选择题 一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分)
1. 复平面内,复数 Z ? 2 ? i 对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

D. 第四象限

2.

已知曲线

y

?

1

x2

? 2 上一点 P(1, ?

3
),则过点 P 的切线的倾斜角为(



2

2

A. 300

B. 450

C. 1350

D. 1650

3. 函数 f (x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间?? ? 1,1 上的最大值是( )

A. ? 2

B. 0

C. 2

D. 4

4. 复数 Z 满足 (3 ? 4i)Z ? 4 ? 3i ,则 Z 的虚部位( )

A. 4i

B. 4

C. 4 i 5

4
D.
5

5. 函数 y ? x cos x ? sin x 的导数为( )

A. xsin x B. ? xsin x

C. xcos x

D. ? xcos x

6. Z 是复数 Z 的共轭复数,若 Z× Z i +Z=2Z,则 Z=( )

A. 1? i

B. 1? i

C. ?1 ? i

7. 函数 f ?x? ? 2x2 ? ln x的递增区间是( )

D. ?1 ? i

A. (0, 1) 2

B. (0, 1),(1 ,??) C. (1 ,??)

22

2

D. (??, 1),(0, 1) 22

8. 设函数 f (x) 在 R 上可导,其导函数为 f ?(x) 且函数 y ? (1 ? x) f ?(x) 的图像如图所示,

则下列结论一定成立的是(



A. 函数 f (x) 的极大值是 f (2) ,极小值是 f (1)

B. 函数 f (x) 的极大值是 f (?2) ,极小值是 f (1)

C. 函数 f (x) 的极大值是 f (2) ,极小值是 f (?2)

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D. 函数 f (x) 的极大值是 f (?2) ,极小值是 f (2)

Y

2

O

X

-2

1

9. 若函数 f (x) ? x3 ? ax2 ?1在 (0,2) 上单调递减,则实数 a 的取值范围为( )

A. a ? 3

B. a ? 3 C. a ? 3 D. 0<a<3

10. 若函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 有极值点 x1, x2 ,且 f (x1) ? x1<x2 ,若关于 x 的

方程3? f (x)?2 ? 2af (x) ? b ? 0 的不同实数根的个数是( )

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题(共 5 个小题,25 分)
11. y ? 1 在点(1,1)处的切线方程 x
12.已知函数 f (x) ? x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2)x ?1既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值
范围是
13.函 数 y ? x2 (x>0) 的 图 像 在点 (ak , ak 2 ) 处 的切 线 与 x 轴 的 交点 的横 坐标 为 ak?1 ( k ? N ? )若 a1 ?16,则 a1 ? a2 ? a3 =
14.设 Z1, Z2 是复数,命题①若 Z1 ? Z2 ? 0 ,则 Z1 ? Z2
②若 Z1 ? Z2 则 Z1 ? Z2 ③若 Z1 ? Z2 ,则 Z1Z1 ? Z2Z2

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④若

Z1

?

Z2

,则

Z2 1

?

Z2 2

,以上真命题序号

15.若函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 在 x ? 1处有极值 10,则 a ? b ?

三、解答题:(共 6 个小题,75 分)
16.(12 分)已知复数 z ? m(m ?1) ? (m2 ? 2m ? 3)i ( m ? R ) ⑴若 z 是实数,求 m 的值; ⑵若 z 是纯虚数,求 m 的值;
⑶若在复平面 C 内, z 所对应的点在第四象限,求 m 的取值范围。

17.(12 分)已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- 1 x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程。 4
18.(12 分)已知函数 f(x)= 1 +ln x(a≠0,a∈R).求函数 f(x)的极值和单调区间。 X

19.(12 分)设函数 f (x) ? x3 ? 3ax2 ? 3bx 的图象与直线12x ? y ?1 ? 0 相切于点(1,-11)。 (1)求 a, b 的值;(2)讨论函数 f (x) 的单调性。
20.(13 分)已知函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0,2),且在点 M(-1, f (?1) ) 处的切线方程 6x ? y ? 7 ? 0 。
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(1)求函数 y ? f (x) 的解析式; (2)求函数 g(x) ? 3 x2 ? 9x ? a ? 2 与 y ? f (x) 的图像有三个交点,求 a 的取值范围。
2

f (x) ? ? 1 x3 ? 1 x2 ? 5 x ? 4 x ?[0, ??)

21. (14 分)已知函数

333



⑴求 f (x) 的极值;

⑵当 x ?[0,1] 时,求 f (x) 的值域;

⑶设 a ≥1 ,函数 g(x) ? x3 ? 3a2x ? 2a, x ?[0,1] ,若对于任意 x1 ?[0,1] ,总存在 x0 ?[0,1],

使得 g(x0 ) ? f (x1) 成立,求 a 的取值范围。

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数学答案(文科)

一选择题 1--5 DBCDB 二填空题

6--10 ACDAA

11. x ? y ? 2 ? 0

12. a ? ?1或a ? 2 13. 21
14.①②③
15. 2(1? ln 2)
三.解答题
16.(本小题 12 分)已知复数 z ? m(m ?1) ? (m2 ? 2m ? 3)i ( m ? R ) ⑴若 z 是实数,求 m 的值; ⑵若 z 是纯虚数,求 m 的值; ⑶若在复平面 C 内, z 所对应的点在第四象限,求 m 的取值范围.
16.解:⑴ z 为实数 ? m2 ? 2m ? 3 ? 0 ,解得: m ? ?3 或 m ? 1;
?m(m ?1) ? 0 ⑵ z 为纯虚数 ? ??m2 ? 2m ? 3 ? 0 ,解得: m ? 0 ;
?m(m ?1) ? 0 ⑶ z 所对应的点在第四象限 ? ??m2 ? 2m ? 3 ? 0 ,解得: ?3 ? m ? 0 . 17.(12 分)已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-14x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 解 (1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1. ∴f′(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32.

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(2)法一 设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x20+1, ∴直线 l 的方程为 y=(3x20+1)(x-x0)+x30+x0-16, 又∵直线 l 过点(0,0),∴0=(3x20+1)(-x0)+x30+x0-16, 整理得,x30=-8,∴x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26.)

法二 设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), 则 k=yx00- -00=x30+xx00-16 又∵k=f′(x0)=3x20+1,∴x30+xx00-16=3x20+1,

解之得 x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).

(3)∵切线与直线 y=-14x+3 垂直,

∴切线的斜率 k=4.

设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3x20+1=4, ∴x0=±1,

∴???x0=1, ??y0=-14

或???x0=-1, ??y0=-18,

切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18.

即 y=4x-18 或 y=4x-14.

18.(12 分)已知函数 f(x)=1x+ln x(a≠0,a∈R).求函数 f(x)的极值和单调区间.

18.解析: 因为 f′(x)=-x12+1x=x-x2 1,

令 f′(x)=0,得 x=1,

又 f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:

x

(0,1)

1

(1,+∞)

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f′(x)



0



f(x)

极小值

所以 x=1 时,f(x)的极小值为 1.

f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).

19.(12 分)已知函数 f(x)=ax2+bln

x



x=1

1 处有极值2.

(1)求 a,b 的值;

(2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间.

19.解析: (1)f′(x)=2ax+bx.



f(x)在

x=1

1 处有极值2.

?? f ∴?

=12,

即???a=12,

??f

=0,

??2a+b=0.

解之得 a=12且 b=-1.

(2)由(1)可知 f(x)=12x2-ln x,其定义域是(0,+∞),

且 f′(x)=x-1x=

x+

x- x

.

由 f′(x)<0,得 0<x<1;

由 f′(x)>0,得 x>1.

所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1).

单调增区间是(1,+∞).

20.(13 分)已知函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0,2),且在点 M(-1, f (?1) )

处的切线方程 6x ? y ? 7 ? 0 。

(1)求函数 y ? f (x) 的解析式;

(2)求函数 g(x) ? 3 x2 ? 9x ? a ? 2 与 y ? f (x) 的图像有三个交点,求 a 的取值范围。 2

20. 解:(1)由 f (x) 的图象经过点 P(0,2),知 d ? 2 。

1分

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所以 f ?(x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 2 ,则 f ?(x) ? 3x2 ? 2bx ? c.

2分

由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6x ? y ? 7 ? 0, 知 ?6 ? f (?1) ? 7 ? 0 ,即

f

(?1)

?

1,

f

?(?1)

?

6

。所以

?3 ? 2b ? ???1? b ?

c c

? ?

6, 2 ? 1,



?2b ? c ? ?3, ??b ? c ? 0,

解得

b

?

c

?

?3。

4分

故所求的解析式是 f (x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2 。

5分

(2)因为函数 g(x) 与 f (x) 的图像有三个交点

所以 x3 ? 3x2 ? 3x ? 2 ? 3 x2 ? 9x ? a ? 2 有三个根

6分

2

即 x3 ? 9 x2 ? 6x ? a 有三个根 2

令 h(x) ? x3 ? 9 x2 ? 6x ,则 h(x) 的图像与 y ? a 图像有三个交点。

7分

2

接下来求 h(x) 的极大值与极小值(表略)。

h(x) 的极大值为 5 2
因此 2 ? a ? 5 2

h(x) 的极小值为 2

10 分 11 分

f (x) ? ? 1 x3 ? 1 x2 ? 5 x ? 4 x ?[0, ??)

21. (本小题 14 分)已知函数

333



⑴求 f (x) 的极值;

⑵当 x ?[0,1] 时,求 f (x) 的值域;

⑶设 a ≥1 ,函数 g(x) ? x3 ? 3a2 x ? 2a, x ?[0,1] ,若对于任意 x1 ?[0,1] ,总存在 x0 ?[0,1],

使得 g(x0 ) ? f (x1) 成立,求 a 的取值范围.

21.解:⑴

f

' ( x)

?

?x2

?

2 3

x

?

5 3

,令

f

' ( x)

?

0 ,解得:

x

?

?

5 3

(舍)或

x

?1

当 0 ≤ x ≤1 时, f ' (x) ≥ 0 ;当 x ? 1 时, f ' (x) ? 0 ,

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∴ f (x)极大值 ? f (1) ? ?3 ,无极小值.

⑵由⑴知 f (x) 在 区间 [0,1] 单调递增,∴ f (x) 在区 间 [0,1] 的值域为 [ f (0), f (1)] ,即

[?4, ?3] .

⑶∵ g ' (x) ? 3x2 ? 3a2 且 a ≥1 ,∴当 x ?[0,1] 时 g ' (x) ≤ 0 ,∴ g(x) 在区间[0,1] 单调递减,

∴ g(x) 在区间[0,1] 的值域为[g(1), g(0)],即[1? 3a2 ? 2a, ? 2a] .

又对于任意 x1 ?[0,1] ,总存在 x0 ?[0,1],使得 g(x0 ) ? f (x1) 成立 ? f (x) 在区间[0,1] 的值

域 ? g(x) 在区间[0,1] 的值域,即[?4, ?3] ? [1? 3a2 ? 2a, ? 2a] ,

?1? 3a2 ???2a ≥

? 2a ?3



?4

1
,解得:



a



3 2



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