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河北冀州中学2014届高三上学期期中考试 数学文B卷试题 Word版含答案

河北冀州中学2014届高三上学期期中考试 数学文B卷试题 Word版含答案


试卷类型:B 卷 河北冀州中学 2013-2014 学年上学期期中考试 高三年级数学试题(文科)
考试时间 120 分钟 满分 150 分 命题人:戴洪涛 审题人:孟 春

第 I 卷(共 60 分) 一、选择题(共 15 题,每题 4 分) 1.已知复数 A. 2 ? i
z? 1 ? 2i i 5 ,则它的共轭复数 z 等于(

)

B. 2 ? i

C. ?2 ? i

D . ?2 ? i

? x 2 ? 1,( x ? 1) ? 2.已知函数 f ( x ) ? ? x ,若 f ( f (1)) ? 4a ,则实数 a 等于 2 ? ax ,( x ? 1) ? ?

A、

1 2

B、

4 3

C、2

D、4

3.在平面直角坐标系中,A ( 3,1) ,B 点是以原点 O 为圆心的单位圆上的动点, ??? ? ??? ? | OA ? OB | 的最大值是 则 A、4 B、3 C、2 4.下列命题中的真命题是 D、1 ( 3 2 ). B. ? x∈(0,+∞), e x ? x ? 1 D. ? x∈(0,π ),sin x>cos x )

A. ? x∈R,使得 sin x+cos x= C. ? x∈(-∞,0), 2 x ? 3 x

r r u r uu r 5. 已知向量 a ? (1,2) , b ? ( ?2,1) ,则“ ? ? 2014 ”是“ ? a ? b ”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

? 3 ? 6.已知 ? ? ( , ? ),sin ? ? ,则 tan(? ? ) ? ( 2 5 4
A.7 B.-7 C. ?

1 1 D. 7 7 7.已知锐角 ? 的终边上一点 P(1+cos 40°, sin 40°),则锐角 ? = ( ). A.80° B.70° C.20° D.10° 3 2 8.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范 围 ( ) A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

9.函数 f ( x) ? e x ? ln x , g( x) ? e ? x ? ln x , g( x) ? e ? x ? ln x 的零点分别是 a,b,

c 则( ) A.a<b<c B.c<b<a 10.下列命题正确的是 (

C.c<a<b )

D.b<a<c

π π π A.函数 y ? sin(2 x ? ) 在 ( ? , ) 内单调递增 3 6 3
π π B.函数 y ? cos( x ? ) 图象关于点 ( , 0) 对称 6 3
4 4 C.函数 y ? cos x ? sin x 的最小正周期为 2π

π π D.函数 y ? tan( x ? ) 图象关于直线 x ? 对称 6 3

3 ? ? 11. 集合 A ? ? x ? N ? 1? , B ? ? x ? N log2 ( x ? 1) ? 1? , S ? A , S ? B ? ? ,则集 x ? ?
合 S 的个数为 A、0 B、2 12.函数 f ( x ) = tan x A、1 B、2 C、4 D、8

,则函数 y= f ( x ) -1+ log4 x 与 x 轴的交点个数是 C、3

D、4 13. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 在区间 ?? ?,2? 上是增函数,且 f ( x ? 2) 的图象关于 x ? 1 对称,则( ) A. f (1) ? f (5) B. f (1) ? f (5) C. f (1) ? f (5) D. f (0) ? f (5)

14.设扇形的周长为 6,面积为 2,则扇形的圆心角是(弧度)( ) ? A. 1 B. 4 C. D. 1 或 4 15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,点(a,b)在直线 x (sin A- sin B)+ y sin B= c sin C 上.则角 C 的值为 ( ) A.

? 6

B.

5? 6

C.

? 4

D.

? 3
y 3

二、填空题(共 5 题,每题 4 分) 16.函数 y ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 2) 的单调增区间为______.
2

17.如图是函数
f ( x ) ? A sin(? x ? ? ),( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的图象, 则其解

π 6

O

π 3

5π 6

x

析式是___. 18.若函数 f(x)=x+asin x 在 R 上递增,则实数 a 的 -3 取值范围为______. ??? ? ??? ? ? 19. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 90 ,点 C 在以 O 为

? ??? ? ??? ? ??? ? 圆心的劣弧 AB 上运动,若 OC = x OA ? y OB ,其中 x, y ? R ,则 xy 的取值范围是 ___________________. 1 20. 若数列 ?an ? 的通项公式 an ? ,记 cn ? 2(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) ,试推 ( n ? 1)2 测 cn ? _________

三、解答题:(共 70 分.解答必须写出必要的文字说明或解答过程) 21. (本小题满分 12 分) ?? ? 3A 3A? ,sin ?, 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m =?cos 2 2? ? ? ?? ? A A? n =? ?cos ,sin ?,且满足| m + n |= 3. 2 2? ? (1)求角 A 的大小; →|+|AB →|= 3|BC →|,试判断△ABC 的形状. (2)若|AC

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx ? c 在 x=2 处取得极值为 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[-3,3]上的最小值.

23..设集合 A 为函数 y ? ln(? x 2 ? 2 x ? 8) 的定义域,集合 B 为函数 y ? x ?

1 的 x ?1

1? ? 值 域 , 集 合 C 为 不 等 式 ? ax ? ? ? x ? 4 ? ? 0 的 解 集 . (1) 求 A ? B ; (2) 若 a? ?

C ? C R A ,求 a 的取值范围.

24.(本小题满分 12 分)
2 ? 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ? m ( m ? R) 的图象过点 M ( , 0) 12

(I)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (II)将函数 f(x)图象各点纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍,然后向左平



?
3

个单位,得函数 g(x)的图象,若 a、b、c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C

的对边,a+c=4,且当 x=B 时,g(x)取得最大值,求 b 的取值范围。 25.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? a 2 (a>0)的单调递减区间是 (1,2)且满足 f(0) =1,(1)求 f(x)的解析式; (2)对任意 m∈(0,2],关于 x 的不等式 f ( x ) ? +∞)上有解,求实数 t 的取值范围。
1 3 m - m ln m ? mt ? 3 在 x ∈[2, 2

请考生在第 26、27、28 题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分
26. 【选修 4-1:平面几何】 如图所示,PA 为 0 的切线,A 为切点,PBC 是过点 O 的割线,PA =10,PB =5、
AB PA ? (I)求证: AC PC ;

(Ⅱ)求 AC 的值.

27.【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系中,以原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建坐标系 , 已知曲线 C : ? sin2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,已知过点 P ( ?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为:

? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 (t 为参数)直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点. ? 2 ? y ? ? 4 ? t ? ? 2 (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; PM , MN , PN (2)若 成等比数列, 求 a 的值.

28【选修 4-5:不等式选讲】 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 3 已知函数 (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式

f ( x) ? a ?1

的解集非空,求实数 a 的取值范围.

高三数学上学期期中考试文科

B 卷 1-5.BCBBA 5-10.DCBAB 11-15. CCCDD 16. (-∞,1)

17. y ? 3sin(2 x ?

?
3

)

18.[-1,1]

19. ?0, ? 2

? 1? ? ?

20.

n?2 n ?1

21.解

(1)由|m+n|= 3,得 m2+n2+2m· n=3, 3A A 3A A? ? 即 1+1+2?cos 2 cos 2 +sin 2 sin 2 ?=3, ? ? 1 π ∴cos A= .∵0<A<π,∴A= . …………..6 分 2 3 → |+|AB → |= 3|BC → |,∴sin B+sin C= 3sin A, (2)∵|AC

π? 3 3 1 3 ?2π ? ? ∴sin B+sin? 3 -B?= 3× , 即 sin B+ cos B= ,∴sin?B+6 ?= ? ? 2 2 2 2 ? ? 3 . 2 2π π π 5π π π 2π π π ∵0<B< ,∴ <B+ < , ∴B+ = 或 ,故 B= 或 . 3 6 6 6 6 3 3 6 2 π π π π 当 B= 时,C= ;当 B= 时,C= . 6 2 2 6 故△ABC 是直角三角形 . …………..12 分 3 22.解 (1)因 f(x)=ax +bx+c,故 f′(x)=3ax2+b, 由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ?f′?2?=0, ?12a+b=0, 故有? 即? ?f?2?=c-16, ?8a+2b+c=c-16. ?12a+b=0, ?a=1, 化简得? 解得? …………..6 分 ?4a+b=-8, ?b=-12. (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12. 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 2,当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞, -2)上为增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,f(x)在 x=2 处取得极小 值 f(2)=c-16. 由题设条件知,16+c=28,解得 c=12, 此时 f(-3)=9+c=21, f(3)=-9+c=3, f(2)=c-16=-4, 因此 f(x)在[-3,3] 上的最小值为 f(2)=-4. . …………..12 分 23.解(1)由于 ? x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 , 解得 A ? (?4, 2) , 又 y? x? 所以 B ? (??, ?3] ? [1, ??) 。所以 A ? B ? (?4, ?3] ? [1, 2) (2)因为 CR A=(-?,-4] ? [2,+? )
1 1 ? ( x ? 1) ? ?1 x ?1 x ?1

…………..6 分

1 由 (ax ? )( x ? 4) ? 0 ,知 a ? 0 a 1 1 当 a ? 0 时,由 (ax ? )( x ? 4) ? 0 ,得 C ? [?4, 2 ] ,不满足 C ? CR A a a 1 1 当 a ? 0 时,由 (ax ? )( x ? 4) ? 0 ,得 C ? ( ?? , ?4] ? [ 2 , ?? ) ,???10 分 a a

欲使





解得:



,又



所以



综上所述,所求 的取值范围是
f ( x) ?
24.解: (Ⅰ)

???12 分

?? 1 ? 3 1 sin 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? ? m ? sin ? 2 x ? ? ? m ? 6? 2. ? 2 2
????2 分

1 ? ? ?? ?? ? sin ? 2 ? ? ? ? m ? ? 0 M ? ,0? 2 ? 12 6 ? 因为点 ? 12 ? 在函数 f ( x) 的图像上,所以 ,解得
m?

?? ? 1 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 6 ?. ? 2. ∴
?
2 剟 2x ?

????4 分

2 k? ?


?
6

2k? ?

?
2 , k ? Z ,得

k? ?

?
6

剟 x k? ?

?
3,

? ?? ? k ? ? , k ? ? (k ? Z ) ? ? f ( x ) 6 3 ? ? ∴函数 的单调增区间为 . ????6 分

? ?? ?? ?1 ? g ( x) ? sin ? ? 2 x ? ? ? ? sin ? x ? ? 3 6? 6 ?. ?2 ? (Ⅱ)
∵当 x ? B 时, g ( x) 取得最大值,

B?


?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z
,∴

B?

?
3.
????8 分

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos
由余弦定理可知

?
3

? a 2 ? c 2 ? ac ? ? a ? c ? ? 3ac
2

?a?c? … 16 ? 3 ? ? ? 16 ? 12 ? 4 ? 2 ? .

2

2 ,又 b ? a ? c ? 4 . ∴ b…
∴ b 的取值范围是

? 2, 4 ? . ????12 分
则c ? 4 ? a (0 ? a ? 4)

注:此题的 8 分以后可以用二次函数,如下:由 a ? c ? 4 则 b2 ? 3(a ? 2)2 ? 4 ( 0 ? a ? 4 ) 则 b2 ? 4,16?

?

则 b ? 2,4?

?

25.(本题满分 12 分) 2 3 2 2 解:(1)由已知,得 f′(x)=3ax +2bx+c,∵函数 f(x)=ax +bx +cx+a 的单调递减 区是(1,2),∴f′(x)<0 的解是 1<x<2. 2 所以 f′(x)=3ax +2bx+c=0 的两个根分别是 1 和 2,且 a>0, 2 由 f(0)=a =1,且 a>0,可得 a=1. ???2 分

9 ? ? f ' (1) ? 3 ? 2b ? c ? 0 9 2 ?b ? ? 3 又? 得? 2 ? f ( x) ? x ? x ? 6 x ? 1 ???4 分 2 ? f ' (2) ? 12 ? 4b ? c ? 0 ?c ? 6, ?
(2)由(1),得 f′(x)=3x -9x+6=3(x-1)(x-2) ∵当 x>2 时,f′(x)>0,∴f(x)在[2,+∞)上单调递增, x∈[2,+∞)时,f(x)min=f(2)=3 ???6 分 要使 f ( x) ?
2

1 3 m ? mln m ? mt ? 3 在 x∈[2,+∞)上有解,需 2 1 3 1 m ? mln m ? mt ? 3 ? f ( x) min ,? m 3 ? m ln m ? mt ? 3 ? 3, 2 2 1 1 mt ? m 3 ? m ln m 对任意 m∈(0, 2] 恒成立,即 t ? m 2 ? ln m 对任意 m∈(0, 2] 恒成 2 2
???9 分

立。 设 h(m) ?

1 2 m ? ln m ,m∈(0,2],则 t<h(m)min 2

h ' ( m) ? m ?

1 m 2 ? 1 (m ? 1)( m ? 1) ? ? , m m m

令 h′(m)=0 得 m=1 或 m=-1 由 m∈(0,2],列表如下:

m h′(m) h(m)

(0,1) - ↘

1 0 极小值

(1,2) + ↗

2

1 1 ∴当 m=1 时,h(m)min=h(m)极小值 ? ? t ? 2 2

?????12 分

26. (10 分) 解: (Ⅰ)∵ PA 为⊙ O 的切线,∴ ?PAB ? ?ACP ,

AB PA ? PC .???????4 分 又 ?P ? ?P ∴ ?PAB ∽ ?PCA .∴ AC
(Ⅱ)∵ PA 为⊙ O 的切线, PBC 是过点 O 的割线,∴ PA ? PB ? PC .
2

又∵ PA ? 10 , PB ? 5 ,∴ PC ? 20 , BC ? 15 ?7 分

AB PA 1 ? ? PC 2 ,∵ BC 是⊙ O 的直径, 由(Ⅰ)知, AC
∴ ?CAB ? 90 .∴ AC ? AB ? BC ? 225,
?

2

2

2

∴AC= 6 5

?????10 分

27.解: (Ⅰ )根据极坐标与直角坐标的转化可得,C:ρsin2θ=2acosθ, 即 ρ2sin2θ=2aρcosθ,即 y2=2ax, ............(2 分) 直线 L 的参数方程为: 即 y=x﹣2 (Ⅱ )直线 l 的参数方程为 代入 y2=2ax 得到 则有 因为|MN|2=|PM|?|PN|,所以 即:[2 (4+a)]2﹣4×8(4+a)=8(4+a) 解得 a=1 ................…(10 分) 28.解: (Ⅰ )不等式 f(x)≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6, ∴ ① ,或② <x≤2. , ,或③ . ,消去参数 t 得:直线 L 的方程为 y+4=x+2 ...................(5 分) (t 为参数) , , ........... (8 分)

解① 得﹣1≤x<﹣ ,解② 得﹣ ≤x≤ ,解③ 得 故由不等式可得

即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}. (5 分) (Ⅱ )∵ f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|≥|(2x+1)﹣(2x﹣3)|=4,即 f(x)的最小值等于 4,

∴ |a﹣1| ? 4,解此不等式得 a ? ﹣3 或 a ? 5. 故实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣3 [5,+∞) ?∪ (10 分) .



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