haihongyuan.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

数学史部分1-古埃及的数学_图文

数学史部分1-古埃及的数学_图文

数学哲学与数学史
数学史部分

第一章

数学的起源和早期发展

? 数学的发源地:
? 古代非洲的尼罗河(Nile)——埃及文明;

? 西亚的底格里斯河(Tigris)和幼发拉底河
(Euphrates)——巴比伦文明;

? 中南亚的印度河(India)和恒河(Ganges)——
印度文明 ? 东亚的黄河和长江——中国文明.

? 数学产生于农业文明: 历法,测量土地,财富计算,产品交 换,观测天体,建造皇宫等

一、古埃及的数学——尼罗河

? BC4000年的古埃及文明,已有象形文字
(Hieroglyphic,意为“圣刻” ); ? BC3000年,埃及成为统一的奴隶制国家.

? 英国牛津博物馆(Oxford Museum in
Britain)的古埃及第一王朝(约BC3400年 以前)一个王室的权标上象形文字.

1、记数法——以十为基数的象形文字

介于两符号之间的各数由这些符号的组合 表示. 但是,他们的符号缺乏位置上的意 义,这使得这种记数法是很麻烦的,为了 表示大数,必须用相应多个符号.

5120

特点:①、最早采用10进制的国家之一; ②、但没有采用位置计数法.

2、书写材料-纸草 papyrus
是英文 “paper” 的语源. 现今保存下来的有两卷纸草记录了古埃 及的数学资料,它们都产生于约BC1700 年左右. 它们的作者可能是政治机关或 教堂的书记(秘书),它们的内容就是 题集和解答.

古埃及纸草书卷

? ①莫斯科纸草(Moscow Papyrus) (现存于莫斯科美术博物馆,一说现 存于莫斯科普希金精细艺术博物馆)— —25个数学问题(俄国贵族戈兰尼采夫 于1893年在埃及发现),长约525cm,

宽约8cm,成书于约BC1890年.

? ②兰德纸草(Rhind Papyrus)
(大英博物馆)——85个数学问题. 最初发现于埃及的底比斯古都废虚. (苏格兰人兰德 H. Rhind 于1858年购 买于埃及),长约525cm,宽约33cm.

? 零星的材料:卡呼恩(Kahun)纸草书 和柏林纸草书,阿赫姆(Akhmin)木板 书(约BC2000年左右)以及克索斯时代 的羊皮书一卷----埃及数学的补充信息. ? 注意:希腊人认为他们的数学是从埃及 来的,然而埃及数学只限于非常实用者, 古埃及人没有命题证明的思想,他们的 数学完全是实用数学,完全找不到推理 的数学痕迹,而古希腊却有.

3、古埃及的算术知识: (1) 古埃及人的计算具有迭加的特点: ? 任何自然数都可由2的各次幂的和组成. ? 例如: 计算 27×31 0 1 3 4 27 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 8 ? 16
*1 31 *2 62 4 124 *8 248 + *16 496 -------------------837

? 例:计算745÷26,只要连续地把除数 26加倍,直到再加倍就超过745为止.
1 26

2
*4 *8 + *16

52
104 208 416

∵ 745 = 416+329
= 416+208+121 = 416+208+104+17 将上述带(*)号的各项相 加,得商为16+8+4=28 其余数为17.

-----------

28

(2)、 分数的记法和计算
? 单位分数的广泛使用成为埃及数学的一个 重要而有趣的特色,埃及人将所有的真分 数都表示为一些单位分数(分子为1的分 数)的和的形式(2/3例外). ? 埃及人表示分数的符号是相当复杂的. 用 (读作ro)表示分数线,将 或 点的记号放在数的上方用来表示分数.

? 例如:

? 某些特殊的分数记号,如

1 2

2 3

1 4

兰德纸草书中数表:将所有分子为2而分 母从5 -101的奇数表示为单位分数之和.
2/5=1/3+1/15 2/7=1/4+1/28 2/9=1/6+1/18 ...... 2/97=1/56+1/679+1/776 2/99=1/66+1/198 2/101=1/101+1/202+1/303+1/606

? 利用此表可进行分数计算 ? 例如,要用5÷21,可写成单位分数之和 ? 运算程序如下:
5/21=1/21+2/21+2/21 =1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42 =1/21+1/7+1/21 =1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42

? 注意:加倍程序和单位分数概念

? 兰德纸草书第70题:
求100÷(7+1/2+1/4+1/8)的商. 答:12+2/3+1/42+1/126.

解:将除数逐渐加倍:
15+1/2+1/4→31+1/2→63,是除数的8倍;
3 另外,除数与8+4+2/3相乘得 99 4



比被除数100小1/4.

调整:因除数的8倍是63,故 (7+1/2+1/4+1/8)×2/63=1/4 由2/n数表查得 2/63=1/42+1/126,

于是
100÷(7+1/2+1/4+1/8)

= 8+4+2/3+2/63
= 12+2/3+1/42+1/126.

? 埃及人为什么对单位分数情有独钟,原 因尚不清楚. ? 这种运算方法冗长繁复妨碍了数学的进 一步发展,这也是古埃及算术和代数不 能发展到更高水平的原因之一.
? 但是这种方法对于解决食物分配和土地 分配问题却十分方便. ? 例如,平均分食物的7个面包8个人分.

7/8 = 1/2+1/4+1/8

(3)、完成了基本的算术四则运算
(4)、已经有了求近似平方根的方法

4、古埃及的代数:
①、有渐进的代数,但叙述方式是文词(即 文词代数阶段),很少引用符号; ②、比例的概念也已有萌芽; 三角函数观念的萌芽 ③、一元一次方程求解 即形如 x ? ax ? b 或 x ? ax ? bx ? c 某些二次方程

④、等差级数和等比级数的概念及其求和

? 例1、兰德纸草书中有一方程问题:有一数 量,它的2/3加它的1/2,加它的1/7,再加全 部共为33.
用现代的记号是: 2 1 1 28 x ? x ? x ? x ? 33 ? x ? 14 3 2 7 97 只不过分数部分写为 28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388. 古埃及人把未知数称为“堆”(aha)

? 例2、兰德纸草书中的第24题:已知“堆”与 七分之一“堆”相加为19,求“堆”的值. “假位法”(method of false position)—先假 设一个特殊的数作为“堆”的值(多半是假 值),将其代入等式左边去运算,然后比较得 数与应得的结果,再通过比例的方法算出正确 的答案. ? 在上例中,用数7作为未知数x的实验值,于是 有,左边= x ? 1 / 7 ? x ? 7 ? 1 / 7 ? 7 ? 8 而应得的结果是19,这两个结果之比为 19/8=2+1/4+1/8,将7乘以(2+1/4+1/18)即得 正确的“堆”值为16+1/2+1/8.

? 例3、算术级数问题:5个人分100个面包,要 求每个人所得的份数构成一个算术级数,并 且前三个所得总数的1/7等于后二人所得之和 ---下伪法(regula falsi) 解: 先令第一项最大,这使得公差是负数. 令首项和公差分别为a和d,写出了 于是公差为最小项的11/2倍,设最小项为1. 1 1 于是得级数: 1,6 2 ,12,17 2 ,23 但和为60,为满足条件,各项×5/3, 2 5 1 1 最后得: 1 ,10 ,20,29 ,38
3 6 6 3

a ? (a ? d ) ? (a ? 2d ) 11 ? (a ? 3d ) ? (a ? 4d ) ? d ? (a ? 4d ) 7 2

? 例4、几何级数(等比级数).兰德纸草书第
79题:是在数字 7,49,343,2401,16807

旁边各注有图人,猫,鼠,大麦,量器等字
样,而且给出总数为19607.

? 问这个题目产生的是什么数列?总数是多少?
---有答案无解法. ? “出门望九堤,堤有九木,木有九巢,巢有九 鸟,鸟有九毛,毛有九色.”

5、古埃及的几何:
在兰德纸草书和莫斯科纸草书中确实包 含有许多几何性质的问题,内容大都与土 地面积和谷堆体积的计算有关. 由此可知,古埃及的几何很发达. 几何 问题多是讲度量法,涉及到田地的面积, 谷仓的容积和有关金字塔的计算等. 著名的 “金字塔之迷”就是其中的代表.

(1)、法老胡夫的金字塔(Pyramid):

兴建于齐阿斯王朝(BC2900年左右),高 146.5米,塔基宽 233米,底边长度的误差为 1.6厘米,正方程度与水平程度的平均误差 ≤1/10000,塔高与塔基之比非常近似于圆的周 长与其半径之比.用以砌塔的巨石达230万块, 重量从2.5吨到50吨不等.如把这些石头凿成平 均一立方英尺的小块并排列成行,其长度相 当于地球周长的2/3. 10万人用了20年的时间 才建成的.

N.Khufu Pyramid

(2)、阿蒙神庙(Oman Tamples): 阿蒙——埃及的太阳神.王殿总面积5000平方 米,有134根圆柱,中间最高的12根高达21米.

①、正方形,矩形,三角形,梯形面积公式.其他
几何图形近似计算. 如:任意四边形的面积

②、已经知道毕达哥拉斯定理的特殊情况. a?b c?d ③、圆的面积很好的近似. ? 2 2 Rhind 50:假设一直径为9的圆形土地,其面
积=边长为8的正方形土地. 8 2 由此可知,圆面积为 S ? ( d ) ,其中 d 为直 9 径,相当于取π=3.1605,误差为0.6%.

④、体积的计算
正四棱台的体积-最高成就.

直棱柱(圆柱)的体积等于底面积乘以高. ⑤、半球表面积的计算公式. ⑥、知道相似三角形. ⑦、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分 的问题上,已经有了正确的知识.

1 2 2 V ? h(a ? ab ? b ) 3

? 结束语: ? 静止的特性---产生于约BC1700年左右的兰德 纸草书和莫斯科纸草书中的数学,在数千年漫 长的岁月中很少变化. ? 加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块, 使古埃及人的计算显得笨重繁复. ? 古埃及人的面积、体积算法对精确的公式和近 似关系往往不作明确的区分,这又使他们的实 用几何带上了粗糙的色彩. ? 公元前四世纪希腊人征服埃及以后,这一古老 的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所代替.

古埃及相关资料:

古埃及象形文字

古埃及彩色象形文字

古 埃 及 象 形 文 字 — 字 母 一

兰 德 草 书 中 问 题 的 解

79

? 作业 ? (1) 金字塔之谜 ? (2)普林斯顿第322号泥版

? (3)古埃及的几何知识
注意:本作业为第四周作业,三选一, 两周之后交.


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com