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总体均值的区间估计公式_图文

总体均值的区间估计公式_图文

四、单变量推论统计
推论统计就是利用样本的统计值 对总体的参数值进行估计的方法.
推论统计的内容主要包括 两个方面:
区间估计 和 假设检验

一.区间估计(Interval Estimation)
1. 区间估计的概念 区间估计是指在一定的可信度(置信度)下,用样本
统计值的某个范围(置信区间)来“框”住总体的参数值. 范围的大小反映的是这种估计的精确性问题,而可
信度高低反映的则是这种估计可靠性或把握性的问题. 区间估计的结果通常可以采取下述方式来表述:我
们有95%的把握认为,全市职工的月收入在750元至850 元之间,或者“全市人口中,女性占50%至52%的可能性为 99%.

区间估计中的可靠性或把握性是指用 某个区间去估计总体参数值时,成功的可能 性有多大.
? 它可以这样来解释,如果从这个总体中重复抽样 100次,约有95%次所抽 样本的统计值都落 在这个区间, 说明这个区间估计的可靠性为95%.
对于同一总体和同一抽样规模来说 ①所给区间的大小与做出这种估计所具有的把握性形 成正比. ② 区间大小所体现的是估计的精确性,区间越大,精确 性程度越低,区间越小精确性越高,二者成反比.

③ 从精确性出发,要求所估计的区间越 小越好,从把握性出发,要求所估计的区间越大 越好,因此人们总是需要在这二者之间进行平 衡和选择.
在社会统计中,常用的置信度分别为90%, 95%和99%.与他们所对应的允许误差(α)分别 为10%,5%和1%.在计算中,置信度常用1- α来 表示.
以下我们分别介绍总体均值,和总体百分 比的区间估计方法

2.总体均值的区间估计

总体均值的区间估计公式:

X

±

Z

(1-α)

S
√n

其中X为样本平均数,S为样本标准差, Z(1-α) 为置

信度是1-α所对应的 Z 值. n为样本规模.

计算练习:

调查某单位的工资情况,随机抽取900名工人作

为样本,调查得到他们的月平均工资为186元,标准

差为42元,求95%得置信度下,全单位职工的月平均

工资的置信区间是多少.

(解) 将调查资料带入总体均值的
区间估计公式得:

?

186± Z (1-0.05) 42

√900

? 查表得Z (1-0.05) = 1.96 (p.358)

所以,总体均值的置信区间为:

186±

1.96×

42 √900

得183.26—188.74元

当我们希望提高估计的可靠性时就必须相

应扩大置信区间.比如我们将置信度提高到

99%时,那么,上例中得置信区间又是多大呢?

Z 检验表
P≤
0.10 0.05 0.02 0.01

│Z│≥

一端

二端

1.29

1.65

1.65

1.96

2.06

2.33

2.33

2.58

3.总体百分数的区间估计

总体百分数的区间估计公式为:

P±Z(1-α)

P(1—p) n

这里,P为样本的百分比 。 例题:
从某工厂随机抽取400名工人进行调查,结 果表明女工的比例为 20%现在要求在90%的置 信度下,估计全厂工人中女工比例的置信区间。

(解)带入公式得:
20%±1.65× 20%×(1-20%) 400
即.16.7-23.3% 而当提高置信度时,比如在95%的置
信度下,置信区间为16.1%和23.9%.可见随着 制度的提高,置信区间进一步扩大,估计的精 确性则进一步降低.

练习题:
? 从某校随机抽取300名教师进 行调查,得出他们的平均年龄为42 岁,标准差为5岁,在95%的置信度 下,该校全体教师平均年龄的置信 区间是多少?

二.假设检验
假设检验是推论统计中的另一种类型.需要 说明的是,这里的假设不是指抽象层次的理论假 设,而是指和抽样手段联系在一起并且依靠抽样 调查的数据进行验证的经验层次的假设,即统计 假设.
(一)假设检验及其依据 假设检验实际上就是先对总体的某一参数 作出假设,然后用样本的统计量去进行验证,以决 定假设是否为总体所接受.

1.假设检验的依据
? 假设检验所依据的是概率论中的“小概率 原
理”即“小概率事件在一次观察中不可能出现的 原
理”,但是如果现实的情况恰恰是在一次观察中小 概率事件出现了,应该如何判断呢?
一种意见认为该事件的概率仍然很小 ,只不 过偶然被遇上了,
另一种则是怀疑和否定该事件的概率未必很 小,即认为该事件本身就不是一种小概率事件,而

2.举例说明假设检验的基本思路
某单位职工上月平均收入为210元,这个月 的情况与上月没有大的变化,我们设想平均收 入还是210元.
为了验证这一假设是否可靠,我们抽取100 人作调查,结果得出月平均收入为220元,标准 差位15元.
显然,样本的结果与总体 结果之间出现了 误差,这个误差是由于我们假设错误引起的,还 是由于抽样误差引起的呢?
如果是抽样误差引起的,我们就应该承认 原来的假设,而如果是假设错误引起的,我们就 应该否定原假设.

方法:
? 通过将原假设作为虚无假设,而将与之对 立的假设作为研究假设,然后用样本的数据计算 统计量并与临界值比较. ? 当统计值的绝对值小于临界值,
即│Z│≤Zα/2 时则接受虚无假设,否定 研究假设;当统计值的绝对值大于或等于临界值: ? 即│z│≥ Zα/2 时则拒绝虚无假设,接受研
究假设.

3.假设检验的步骤:
①建立虚无假设和研究假设通常将原假 设作为虚无假设.
②根据需要选择适当的显著性水α(即 小概率的大小).通常α=0.05或α=0.01等.
③根据样本数据计算出统计值,并根据显 著性水平查出对应的临界值.
④将临界值与统计值进行比较,以判定是 接受虚无假设还是接受研究假设.

(二)总体均值的假设检验
? 某单位职工上月平均奖金为210元,本月调查 了100名职工,平均奖金为220元,标准差为15元,问 该单位职工平均奖金与上月相比是否有变化. (解)首先建立虚无假设 (用H0 表示) 和研究假设 (用H1 表示) ,即有:
H0 : μ =210 H1 : μ≠210 选择显著性水平α= 0.05,由Z检验表查得
Z(0.05/2)=1.96

然后根据样本数计算统计值:

? 公式为:

Z= X—μ = 220—210 = 6.67

S/√n

15/√100

由于Z=6.67>Z (0.05/2) =1.96 所以.拒绝虚无假设,接受研究假设,即
从总体上说,该单位职工月平均奖金与上月 相比有变化.

(三).总体百分比的假设检验:

总体百分比的假设检验的基本思路和方法

与总体均值的假设检验相同,只是统计量的计

算公式为 :

P — P0

Z = P0(1— P0)

n

例题:一所大学全体学生中抽烟者的比例为

35%,经过学习和戒烟宣传后,随机抽取100名大

学生进行调查,结果发现抽烟者为25明,问戒烟

宣传是否受到了成效.

(解)1.建立假设
? H0 : P0 = 0.35 H1 : P0 <0.35
2.选择显著性水平
α=0.05,由Z检验表查得Z 0.05 =1.65
3.根据公式计算统计量
0.25—0.35 = 0.35× (1-0.35) = - 2.1
100
4.将统计值与临界值进行比较做出判断
由于│ Z │=2.1>Z 0.05 = 1.65 所以,拒绝虚无假设,接受研究假设,即从总体上 说,戒烟宣传受到了成效,戒烟者的比例明显下降.


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