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函数的周期性

函数的周期性


北师大版必修4第一章

三角函数

一、周期现象
现实生活中的许多变化、运动都有循环 往复、周而复始的现象。这种现象就叫周期 现象,这种变化规律就叫周期性。 问题1:生活中,下列现象有哪些共性? ①星期现象 ②钟表现象③钟摆现象 ④海水的潮汐现象——大约在每一昼夜的时间 里,潮水会涨落两次,是一个周期现象,当潮 汐发生时,水的深度会产生周期变化.

练习1:判断下列现象是否周期现象, 如果是,指出一个周期: (1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化 (2)钟表的分针的运动 (3)连续抛一枚硬币,出现正面向上 身边生活中下列现象中,哪些是周期现象?哪些 不是? (1)逢年过节 (2)东升西落 (3)月盈月亏 (4)潮起潮落 (5)冬去春来 (6)周而复始 (7)简谐振动 (8)喜怒哀乐 (9) ……

潮汐现象的探究
①若确定一个位置,考察该位置的水深 H和时间 t 的关系,那么H是 t 的函数吗?

答:由于一个时间 t 对应唯一一个海水深度H, 所以H是关于t的一个函数,记为H=H(t). ②函数H=H(t)是不是一个周期函数?

数学建模:潮汐中的函数 某港口在某一天水深H与时间t的对应关系 H(t)记录如下:
时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 水深/m 5.0 6.2 7.5 7.3 6.2 5.3 4.1 3.1 时刻 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 水深/m 2.5 2.7 3.5 4.4 5.0 6.2 7.5 7.3 时刻 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00 水深/m 6.2 5.3 4.1 3.1 2.5 2.7 3.5 4.4

根据P3的数据表,作出H和t的散点图
8 7 6 5 4 3 2 1 0 0:00

H/m

潮汐函数图

t/h
4 4:48 8 9:36 12 16 14:24 20 19:12 24 0:00
4:48

由散点图可知,每经过相同的时间间隔T(12h), 水深就重复出现相同的数值,即 H(t+T)=H(t)

抽象概括:
1.函数的周期性 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的 常数T,使得当x取定义域内的每一个值时, f(x+T)=f(x) 都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数, T叫做函数的一个周期,称y=f(x)具有周期性。 ①常数T≠0,不一定是正数; ②如果T 为函数的一个周期,那么T的整数倍nT 也是函数的周期; ③对定义域内任意x, f(x+T)=f(x)都成立; ④定义域至少是无限集.

如果在所有的周期中存在着一个最小的 正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期. 如:潮汐现象的函数中,12h、24h、36h 都是 一个周期,但是最小的是12h,所以这 函数的最小正周期是12h. 注意:今后所称周期,若无特别说明,均指 函数的最小正周期。 ⑤周期函数不一定都有最小正周期;

3.诱导公式1:终边相同角的同名三角函数值 相等

f (2k? ? ? ) ? f (? ) ? k ? Z ? , 这里f 指正弦、余弦、正切。
由此,你能得出正弦、余弦、正切函数 的周期性的哪些结论?

拓展1.有关周期性的结论
1. 设a为非零常数,若对于f ( x)定义域内的任意x, 恒有下列条件之一成立,

(1) f ( x ? a) ? f ( x ? a)
1 (3) f ( x ? a) ? f ( x) 1 (4) f ( x ? a) ? ? f ( x) f ( x) ? 1 (5) f ( x ? a ) ? f ( x) ? 1

(2) f ( x ? a) ? ? f ( x)

则函数f ? x ? 是周期函数, 2a是它的一个周期.

?

判断周期练习:

?1?已知函数f ? x ? 在其定义域上满足f ? x ? 1? ? f ? x ? 6 ? ,
求此函数的周期。T=5

? 2 ?已知函数f ? x ? 在其定义域上满足f ? x ? 1? ? ? f ? x ? ,
求此函数的周期。T=2 1 , ? 3?已知函数f ? x ? 在其定义域上满足f ? x ? 1? ? f ? x? 求此函数的周期。T=2 求此函数的周期。T=2

? 4 ?已知函数f ? x ? 在其定义域上满足f ? x ? 2 ? ? ? f ? 3 ? x ?

拓展2.由对称性得出周期性的常用结论
1. 若f ( x)同时关于x ? a, x ? b对称(a ? b) , 则函数f ( x)的一个周期是( 2 b ? a).

证明:f (a ? x) ? f (a ? x), f (b ? x) ? f (b ? x) 即f (2a-x) ? f ( x), f (2b-x) ? f ( x)

? f (2a-x) ? f (2b-x) 即f (2a+x) ? f (2b+x) f [2a ? (?2a ? x)] ? f [2b ? (?2a ? x)]
? f ( x) ? f [ x ? (2b ? 2a)],即T=( 2 b-a)

拓展2.由对称性得出周期性的常用结论
2. 若f ( x)同时关于(a,0), (b,0)对称(a ? b) , 则函数f ( x)的一个周期是( 2 b ? a).
3. 若f ( x)关于x ? a对称, 同时关于点(b,)对称 0 ( a ? b) (b ? 0) , 则 f ( x)的一个周期是( 4 b ? a).

应用:①利用周期函数的周期性求函数值 练习1:已知是定 义在实数集上的周期函数, 且满足 f (1) ? 1 , T ? 2 , 求 f (2013) 的值。 练习2:若周期函数f(x) 奇函数,6是f(x)的一个 周期,且f(-1)=1,则f(-5)=——? 解:f(-1)=1,f(-1+6)=f(5)=f(-1)=1, ∴ f(5)=-f(-5)=1. ∴ f(-5)=-1 练习3:设f(x)是定义在R上的周期为5的奇函数, 且f(1)=a,则f(4)=——?f(5)=_?

解:∵f(1)=a,∴f(-1)=-a, f(4)=f(-1+5)=f(-1)=-a, f(5)=f(0+5)=f(0)=0

练习4:今天是周二,7k(k∈Z)天后的那一天 是周 ?67天后是周 ? 六 二 练习5:设函数f(x)是定义在R上的周期为4 的奇函数,求f(2)+f(4)+f(6)的值。 (答案:0)

练习2:

?1? f ? x ? 是定义在R上的偶函数,且满足 f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? , 求证:f ? x ? 是周期函数。 (如果f ? x ? 是奇函数呢?)

T ?4

T ?8

? 2 ? 设f ? x ? 是定义在R上的函数,并且对任意的x, 都有f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 1? . 求证:f ? x ? 是周期函数,并求出它的一个周期

(2)解:

? f ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) -------(1)
-------(2)

? f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? f ( x ? 2)
将(2)代入(1)得

? f ( x) ? [ f ( x ? 1) ? f ( x ? 3)] ? f ( x ? 1)

? f ( x) ? f ( x ? 3) ? 0 ? f ( x) ? ? f ( x ? 3)
? f ( x) ? ? f ( x ? 3) ? ?{? f [( x ? 3) ? 3]} ? f ( x ? 6)

?T ? 6

练习与习题:

? x ? 是周期为4的偶函数, 且当x ? ? 2 , 4?时,f ? x ? ? 4 ? x,则 f ? ?7.4 ? ? _____ 分析:令x ? ?6,8?,则x ? 4 ? ?2,4?,
3.函数f

? f ? x? ? f ? x ? 4 ? 4 ? f x ? 4 ? 8 ? x ? ? ? ? ? ? ?

从而,f ? x ? 4? ? 4 ? ? x ? 4? ? 8 ? x

? f ? ?7.4? ? f ? 7.4? ? 8 ? 7.4 ? 0.6

4、f ? x ? 是定义在R上的以3为周期的奇函 数,且f ? 2 ? ? 0,则方程f ? x ? ? 0在 ? 0 , 6 ?内 解的个数的最小值是 ? A、 2 B、 3 C、 4 D、 5

?

∵f(x)为奇函数,且定义域为R, ∴f(0)=0
所以f(3)=f(0)=0 又因周期T=3,
T T 由奇函数 f ( ) ? ? f (? ) 2 2 T T T T f(?)?[?T] 又因为周期函数 f (? ) ? f [T ? (? )] ? f ( ) 2 2 2 2 3 3 9 f ( ) ? f ( ? 3) ? f ( ) ? 0 2 2 2 T f( )?0 2

又因

f (2) ? 0
0

所以
3 2 2
3

f (2) ? f (2 ? 3) ? f (5) ? 0
9 2 5
x

5、已知函数f ? x ? 是定义域为R的奇 函数,且其图象关于直线x ? 1对称。

?1? 求f ? 0 ?的值; ? 2 ? 证明函数f ? x ? 是周期函数; 2 ? 3? 若f ? x ? ? ? x ? 1? ? 0 ? x ? 2 ?,求x ? ?6,8 ?时 f ? x ?的解析式。

解:

(1)因 f(x)为奇函数,且定义域为R, 所以f(0)=0

(2)T=4 ? f ( x) ? ? f (? x) (应用奇函数) ? ? f ( 2 ? x) (应用关于x=1对称) ? f (?2 ? x) (再应用奇函数) ? f [2 ? (?2 ? x)] (再应用关 ? f (4 ? x) 于x=1对称)

已知函数y ? f ( x )为R上的偶函数,且关于
2

直线x ? 2对称,当x ? [?2, 2]时,f ( x ) ? 1 ? x , 求x ? [?6, ?2]时,f ( x )的解析式.

1 ? f ( x) (1)已知f ( x ? 2) ? 且f (2) ? 2 ? 3, 求f (2006); 1 ? f ( x) (2)已知f ( x ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1)对一切x ? R都成立,且
1? 1 ? f ( x ? 2) 1? 解:( 1 )f ( x ? 4) ? ? 1? 1 ? f ( x ? 2) 1? 1? 1? ? f ( x ? 8) ? ? 1 ? f ( x) f ( x ? 4) 1 1 ?? ? 3?2 f ( 2) 2? 3

f (0) ? 19, f (4) ? 93,求f (59).

f ( x) 1 f ( x) ?? f ( x) f ( x) f ( x)

? f ( 2006) ? f (6) ? f ( 2 ? 4) ? ?

(2) ? f ( x ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1)对一切实数都成立,用x ? 1替换x , 得f ( x ? 1) ? f ( x ) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 3) ? ? f ( x ) ? f ( x ? 6) ? f ( x ) f (59) ? f (6 ? 9 ? 5) ? f (5) ? f (4) ? f (6) ? f (4) ? f (0) ? 112

设函数f ( x )在( ??, ?? )上满足f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ), f (7 ? x ) ? f (7 ? x ), 且在区间[0, 7]上,只有f (1) ? f (3) ? 0. (1)试判断函数y ? f ( x )的奇偶性; ( 2)试求方程f ( x ) ? 0在闭区间[?2005, 2005]上根的个数, 并证明你的结论.
? f (2 - x ) ? f (2 ? x ) ? f (4 ? x ) ? f ( x ) 解:(1)由 ? ?? ? f ( 4 ? x ) ? f (14 ? x ) ? f (7 - x ) ? f (7 ? x ) ? f (14 ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? f (10 ? x ) ? 函数f ( x )的周期为T ? 10 又f (3) ? f (1) ? 0, 而f (7) ? 0, 故f ( ?3) ? 0,? f (3) ? f ( ?3) ?函数是非奇非偶函数.
( 2) ?函数f ( x )的周期为10,且f (3) ? f (1) ? 0, f (-7) ? f (-9) ? 0 故f ( x )在[0,10]和[ ?10, 0]上均有两个解,从而可知函数y ? f ( x )在[0, 2005]上有 402个解, 在[-2005, 0]上有 400个解,所以函数y ? f ( x )在[-2005, 2005]上共有802个解.

f(x)满足f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x), 若f(a) =-f(2000),a∈[5,9] 且f(x)在[5,9]上单调.求a的值.

生活中周期现象探究: Ⅰ. 地球围绕着太阳转,地球到太阳的距离y 是时间t的函数吗?如果是,这个函数 y=f (t) 是不是周期函数?指出最小正 周期.

Ⅱ. 我们选定自行车车轮边缘上一点A,轮的中 心记为O,OA与竖直方向的夹角记为 ? .当 自行车沿直线做匀速运动时,变量 ? 是时 间 t 的函数吗?如果是,它是周期函数吗? A

?
O

Ⅲ.单摆运动

M

?
A
y

摆心A到垂线MN的距离 y是时间t的函数,y=g(t) 设T为钟摆摆动一周(往返 一次)所需要的时间,则有

N

g(t+T )=g(t)

思考:y是不是 ? 的周期函数? 设摆长为l,则y=lsin ?



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