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江苏省海门市四甲中学高三数学模拟试卷(一)

江苏省海门市四甲中学高三数学模拟试卷(一)

江苏省海门市四甲中学 2008 届高三数学模拟试卷(一)
注意:本试卷分必考和选考两部分.必考内容满分 160 分,答卷时间 120 分钟;选考内容 满分 40 分,答卷时间 30 分钟.

第Ⅰ部分

必考内容

(满分 160 分,答卷时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接填 写在相应位置上. 1、设集合 M ? ?x x ? 1 ? 0? , N ? ?x | x |? 2? ,若 U ? R ,则 ? U M

?

?

N 等于____________。

2、若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则椭圆的离心率等于__________。 3、掷一个骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现” ,事件 B 表示“小于 5 的点数 出现” ,则事件 A ? B 发生的概率为_____。 4、 已知 x、y 的取值如下表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 .

从散点图分析,y 与 x 线性相关,且回归方程为 y ? 0.95x ? a ,则 a ? 5、若 cos(2? ? ? ) ?

5 ? 且 ? ? (? ,0), 则sin(? ? ? ) ? _________ 3 2 6、已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆) ,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,
可得这个几何体的体积是

cm 3 .

4 12 8 10

俯视图 主视图
8

左视图 第 7 题图

7、 首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是 8、已知 a , b 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 a ? ? , a ? ? ,则 ? // ? ③若 ? // ? , a ? ? , b ? ? , 则a // b 其中正确命题的序号有________. ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ④若 ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 则a // b



?x ? y ? 5≥ 0 ? 9、已知实数 x,y 满足条件 ? x ? y ≥ 0 , z ? x ? yi ( i 为虚数单位) ,则 | z ? 1 ? 2i | 的最小 ?x ≤ 3 ?
值是 . 点 C 2 O?,A O ?B 0 ,在 ?AOB 内 , 且 ?AOC ? 450 , 设

10 、 已 知 | O A? | 1 ,O | B ? |

O C?

mO ?A

n O B m, n ? R ,则 ,其中

m 等于__________. n

11、某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f ( x) 在 ?0,1? 上有意义,且 f (0) ? f (1) ,如果 对于不同的 x1 , x2 ??0,1? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 的 反 设 应 该

1 。那么他 2


__________________________________________________________________. 12、无论 k 取何值时,方程 x ? 5x ? 4 ? k ? x ? a ? 的相异实根个数总是 2,则 a 的取值范围
2

为_______. 13、 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A, B , 交其准线于点 C ( B 在 FC 之间) ,且 BC ? 2 BF , AF ?12 ,则 p 的值为 14、设 0<t< _____. .

?
2

, a 是大于 0 的常数, f (t ) ?

1 a 的最小值是 16,则 a 的值等于 ? cos t 1 ? cos t

江苏省海门市四甲中学 2008 届高三模拟试卷(一)答卷纸
一、填空题答案 1、 6、 ;2、 ;7、 ;3、 ;8、 _;4、 ;9、 _;5、 ;10、 ; ;

11、_____________________________________________________________; 12、 ;13、 ;14、 。

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 (本小题满分 12 分)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分 别是 BB1、CD 的中点. (1)求证 AE⊥D1F; (2)证明平面 AED⊥平面 A1FD1. D A F B A1 D1 B1 E C C1

16、 (本小题满分 12 分)下面的茎叶图是某班在一次测验时的 成绩,伪代码用来同时统计女生、男生及全班成绩的平均分, 试回答下列问题: ⑴ 在伪代码中, “k=0”的含义是 什么?横线①处应填什么?

S←0,T←0 For I From 1 To 32 Read k,x If k=0 Then S←S+x If k=1 Then T←T+x End For A← ① S←S/15,T←T/17 Print S,T,A

⑵ 执行伪代码,输出 S,T,A 的值分别是多少? ⑶ 请分析该班男女生的学习情况.

17、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) ,

n ? (cos ? x ? sin ? x,2sin ? x), 其中? ? 0, 若f ( x) 相邻两对称轴间的距离大于等于 . 2 (Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)在 ?ABC中, a, b, c分别是角A, B, C的对边, a ? 3, b ? c ? 3, 当?最大时, f ( A) ? 1, 求?ABC 的面积.

?

18、 (本小题满分 16 分)已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 且线段 AB 的中点在直线 l : x ? 2 y ? 0 上.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点, a 2 b2

(Ⅰ)求此椭圆的离心率; (Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x2 ? y 2 ? 4 上,求此椭圆的方程.

19、 (本小题满分 18 分) 设三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? b ? c), 在 x ? 1 处取得极值, 其图象在 x ? m 处的切线的斜率为 ?3a 。

b ? 1; a (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 在区间 [ s, t ] 上单调递增,求 | s ? t | 的取值范围; (Ⅲ)问是否存在实数 k ( k 是与 a, b, c, d 无关的常数) ,当 x ? k 时,恒有 f ' ( x) ? 3a ? 0 恒 成立?若存在,试求出 k 的最小值;若不存在,请说明理由。
(Ⅰ)求证: 0 ?

3 2 20、 (本小题满分 20 分) 设数列 ?an ? 满足:a1 ? 1 , 且当 n ? N 时,an ? an (1 ? an?1 ) ? 1 ? an?1
?

(1) 比较 an 与 an ?1 的大小,并证明你的结论;
2 ? (2) 若 bn ? (1 ? an ) 1 ,其中 n ? N ,证明: 0 ? 2 an?1 an

?b
k ?1

n

k

? 2.

第Ⅱ部分

加试内容

(满分 40 分,答卷时间 30 分钟) 一、解答题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 1、在一次数学考试中, 第 14 题和第 15 题为选做题。规定每位考生必须且只须在其中选做一 题. 设 4 名考生选做这两题的可能性均为

1 . 2

(Ⅰ)其中甲、乙 2 名学生选做同一道题的概率; (Ⅱ)设这 4 名考生中选做第 15 题的学生数为 X 个,求 X 的分布列及数学期望.

2、 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2.E、F 分别是线段 D1 C1 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. (1)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值; (2)求二面角 C-DE-C1 的平面角的正切值. D A E B F A1 B1 C

二、解答题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. ?1? 3、已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换 ?1? 将点 (?1, 2) 变换成 (?2, 4) 。 (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值,及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间的关系。 (3)求直线 l : x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ' 的方程.

4、在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于不同的 A, B 两点. (Ⅰ)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 OA ? OB 的值; (Ⅱ)如果 OA ? OB ? ?4, 证明直线 l 必过一定点,并求出该定点.

参考答案 必做部分 1、 (?2,1) 8、①④


2、 9、

2 2 2 2

3、

2 3

4、2.6

5、 ?

2 3

6、640+80π

7、 ( ,3]

8 3

10、 2

11、“ ?x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 13、6 14、9

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 ” 2

12、 1 ? a ? 4

15、 (1)取 AB 的中点 G,则易证得 A1G∥D1F. 又正方形 A1ABB1 中,E、G 分别是相应边的中点, ∴A1G⊥AE, ∴D1F⊥AE. (2)由正方体可知:A1 D1⊥面 A1ABB1,∴A1D1⊥AE . 又由(1)已证:D1F⊥AE. ∵A1D1∩D1F= D1, ∴AE⊥平面 A1FD1 . 又 AE ? 平面 AED, ∴平面 AED⊥平面 A1FD1 . 16、⑴ 全班 32 名学生中,有 15 名女生,17 名男生.在伪代码中,根据“S←S/15,T←T/17” 可以推知, “k=1”和“k=0”分别代表男生和女生;S,T,A 分别代表女生、男生及全班 成绩的平均分;横线①处应填“ (S+T)/32” . ⑵女生、男生及全班成绩的平均分分别为 S=78,T=77,A≈77.47 . ⑶ 15 名女生成绩的平均分为 78, 17 名男生成绩的平均分为 77. 从中可以看出女生成绩比 较集中,整体水平稍高于男生;男生中的高分段比女生高,低分段比女生多,相比较男生 两极分化比较严重.

17、 (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3cos ? x ? sin ? x ? cos 2? x ? 3sin 2? x

? 2? ? T ? ? ? ? 2sin(2? x ? ) 。? ? ? 0 ,?函数f ( x)的周期T ? ? , 由题意可知 ? ,即 ? , 6 2? ? 2 2 2? 2 解得 0 ? ? ? 1,即?的取值范围是{? | 0 ? ? ? 1} 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,? f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)。

? ? 1 ? ? 13 ? 5 f ( A) ? 1 ,?sin(2 A ? ) ? 。 而 ? 2 A ? ? ? ,? 2 A ? ? ? ? A ? 3 6 2 6 6 6 6 6
由余弦定理知 cos A ?

?b ? 2 ?b ? 1 b2 ? c2 ? a 2 , ?b2 ? c 2 ? bc ? 3. 又b ? c ? 3 ,联立解得 ? 或? 2bc ?c ? 1 ?c ? 2

? S ?ABC ?

1 3 。 bc sin A ? 2 2

? y ? ? x ? 1, ? 18、 (1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ).则由 ? x 2 y 2 得 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

(a2 ? b2 ) x2 ? 2a2 x ? a2 ? a2b2 ? 0 , 根据韦达定理,得
x1 ? x2 ? 2a 2 2b 2 , y ? y ? ? ( x ? x ) ? 2 ? , 1 2 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

∴线段 AB 的中点坐标为(

a2 b2 , ). a 2 ? b2 a 2 ? b2

由已知得

a2 2b2 ? ? 0,? a 2 ? 2b2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ? a 2 ? 2c 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

2 2 (2)由(1)知 b ? c, 从而椭圆的右焦点坐标为 F (b,0), 设 F (b,0) 关于直线 l : x ? 2 y ? 0 的
故椭圆的离心率为 e ? 对 称 点 为 ( x0 , y0 ), 则

y0 ? 0 1 x ?b y 3 4 ? ? ?1且 0 ? 2 ? 0 ? 0, 解 得 x0 ? b且y0 ? b 。 由 已 知 得 x0 ? b 2 2 2 5 5

x2 y2 3 4 2 2 ?1 . x0 ? y0 ? 4,?( b)2 ? ( b)2 ? 4,?b2 ? 4 ,故所求的椭圆方程为 ? 8 4 5 5

19、解:(Ⅰ)方法一、 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c .由题设,得 f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ①
' 2 '

f ' (m) ? 3am2 ? 2bm ? c ? ?3a ②
∵ a ? b ? c ,∴ 6a ? 3a ? 2b ? c ? 6c ,∴ a ? 0, c ? 0 。

由①代入②得 3am2 ? 2bm ? 2b ? 0 ,∴ ? ? 4b2 ? 24ab ? 0 , 得( ) ?
2

b a

6b b b ? 0, ∴ ? ?6 或 ? 0 ③ a a a

将 c ? ?3a ? 2b 代入 a ? b ? c 中,得 ?1 ? 由③、④得 0 ?

b ?1 ④ a

b ? 1; a 1) ?3a ? 2b ? c ? 0     ( 方法二、同上可得: ? 2 将(1)变为: 3a ? -2b-c 代入(2) ? 3m a ? 2bm ? 3a ? c ? 0 (2) ?m2c ?m 2c b ? ? 0 ,所以 a ? b ? 0 ,则 0 ? ? 1 可得: 2b ? 2 a m ? m ? 1 (m ? 1 ) 2 ? 3 2 4 1) ?3a ? 2b ? c ? 0     ( 方法三:同上可得: ? 2 将(1)变为: c ? ?3a ? 2b 代入(2) ? 3m a ? 2bm ? 3a ? c ? 0 (2) b 3m2 可得: 3am2 ? 2b(m ?1) ? 0 ,显然 m ? 1 ,所以 ? a 1? m ' 2 因为 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 图象的开口向下,且有一根为 x1=1 c c ? 0 ? x1 由韦达定理得 x1 ? x2 ? ,? x2 ? 3a 3a c b b 3m2 ? m ? 1 m ? ( ,1) ? 0 ,由 a ? b ? c 得: ? 1 f (m) ? ?3a ? 0 ,所以 ,即 ,则 ? 3a a a 1? m b 所以: 0 ? ? 1 a 方法四:由 f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 得: f ?(0) ? c ? 0 且 f ?(1) ? 0 ,由此可知
(Ⅱ)由(1)知, f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的判别式 Δ = 4b2 ?12ac ? 0, ∴方程 f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 ,

2b ? 1, x2 ? 0 ? x1 , 3a ' ' ∴当 x ? x2 或 x ? x1 时, f ( x) ? 0 ,当 x2 ? x ? x1 时, f ( x) ? 0 , 2b b ∴ 函 数 y ? f ( x) 的 单 调 增 区 间 是 [ x1 , x2 ] , ∴ | x1 ? x2 |? 2 ? ,由 0 ? ?1 知 3a a 8 2 ?| x1 ? x2 |? 。 3 8 ∵函数 y ? f ( x) 在区间 [ s, t ] 上单调递增, ∴ [s, t ] ? [ x1 , x2 ] , ∴ 2 ?| s ? t |? , 即| s ? t | 3 8 的取值范围是 (0, ) ; 3
' 又 f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ,∴ x1 ? 1, x2 ? ?

? ( Ⅲ ) 由 f ' ( x) ? 3a ? 0 , 即 3a x ? 2 b x
2

2 c ?3 a ?0 , ∵ a ? 0,? x ?

2b 2b ?x? ?0 , 3a 3a

2 ? b ? 7 ?1 7 ?1 ?3 x ? 2 x ? 2 ? 0 0 ? ?1 , ∴ ? 2 , ∴ x? 或 x? 。由题意,得 a 3 3 ?x ? 0 ?

[k , ??) ? (??,

? 7 ?1 7 ?1 7 ?1 ,∴存在实数 k 满足条件,即 k 的最 ] [ , ??) ,∴ k ? 3 3 3

小值为

7 ?1 。 3

3 2 20、解: (1)由于 an ? an (1 ? an?1 ) ? 1 ? an?1 ,则 an?1 ?

3 2 an ? an ?1 , 2 1 ? an 1 2 3 3 2 2 an ? an ?1 an ? an ? 1 (an ? 2 ) ? 4 ? an ? ? ? 0 ,∴ an?1 ? an ∴ an ?1 ? an ? 2 2 2 1 ? an 1 ? an 1 ? an
2 2 2 (2)由于 bn ? (1 ? an ) 1 ,由(1) an?1 ? an ,则 an ? 1 , 1 ? an ? 0 , 2 2 2 an an an ?1 an ?1 ?1

而 an?1 ? an

? a1 ? 1 ? 0 ,则 bn ? 0 ,∴ ? bk ? b1 ? b2 ?
k ?1

n

? bn ? 0.

2 2 2 又 bn ? (1 ? an ) 1 ? an?1 ? an ? (an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? 2an?1 (an?1 ? an ) 2 2 2 2 an an an an an an an ?1 an ?1 ?1 ?1

∴ bn ? 2(an?1 ? an ) , bn ? 2( 1 ? 1 ) an an?1 an an?1

? ? bk ? 2[(
k ?1

n

1 1 1 1 ? )?( ? )? a1 a2 a2 a3

?(

1 1 ? )] an an?1



?b
k ?1

n

k

? b1 ? b2 ?

? bn ? 2(

1 1 ? ) ,而 an?1 ? an ,且 a1 ? 1 ,故 an?1 ? 0 a1 an?1



?b
k ?1

n

k

?

n n 2 ,因此 ? bk ? 2 ,从而 0 ? ? bk ? 2. a1 k ?1 k ?1

选做部分 1、解: (Ⅰ)设事件 A 表示“甲选做 14 题”,事件 B 表示“乙选做 14 题”,则甲、乙 2 名学生 选做同一道题的事件为“ AB ? AB ”,且事件 A 、 B 相互独立

1 1 1 1 1 P( AB ? AB) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) = ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 2 2 2 2 1 (Ⅱ)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3,4.且 ? B (4, ) . 2 1 k 1 k k 1 4 P(? ? k ) ? C4 ( ) (1 ? ) 4? k ? C4 ( ) (k ? 0,1, 2,3, 4) ∴ 2 2 2 所以变量 ? 的分布列为


?
P

0

1

2

3

4

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

E? ? 0 ?

1 1 3 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 或 E? ? np ? 4 ? ? 2 16 4 8 4 16 2

2、解:以 A 为原点, AB, AD, AA1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系 A-xyz, 则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2). 于是, DE ? (3, ?3,0), EC1 ? (1,3,2) , FD1 ? (?4,2,2) . ( 1 ) 设 EC1 与 FD1 所 成 角 为 ? , 则

cos ? ?|

EC1 FD1 1? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 21 . |?| |? 14 | EC1 | ? | FD1 | 12 ? 32 ? 22 ? (?4)2 ? 22 ? 22

(2)设向量 n ? ( x, y, z ) 与平面 C1DE 垂直,则有

n ? DE ? ? 1 ? 3x ? 3 y ? 0 ?? ?? x ? y ? ? z . 2 n ? EC1 ? ? x ? 3 y ? 2 z ? 0?
∴ n ? (? , ? , z) ? (?1, ?1,2), 其中 z>0. 取 n0=(-1,-1,2),则 n0 是一个与平面 C1DE 垂直的向量. ∵向量 AA1 =(0,0,2)与平面 CDE 垂直, ∴n0 与 AA1 所成的角 θ 为二面角 C-DE-C1 的平面角. ∵ cos ? ?

z 2

z 2

z 2

n0 AA1 | n0 | ? | AA1 |

?

2 ?1? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 2 6 ,∴ tan ? ? . ? 2 3 1?1? 4 ? 0 ? 0 ? 4

?a 3、 (1)设 M= ? ?c

b? ?a b ? ,则 ? ? ? d? ?c d ?

?a ? b ? 8, ?1? ?1? ?8 ? ?1? =8 ?1? = ?8 ? ,故 ?c ? d ? 8. ? ? ? ? ? ? ?

??a ? 2b ? ?2, ? a b ? ? ?1? ? ?2 ? ? c d ? ? 2 ? = ? 4 ? ,故 ??c ? 2d ? 4. ? ? ? ? ? ? ?

?6 2? 联立以上两方程组解得 a=6,b=2,c=4,d=4,故 M= ? ?. ?4 4?
(2)由(1)知,矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ? (? ? 6)(? ? 4) ? 8 ? ? 2 ? 10? ? 16 ,故其另一

?x? ?6 x ? 2 y ? ? x? 个特征值为 ? ? 2 。设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2 ? ? ? ,则 M e2= ? ? 2? ? , ? ? y? ?4 x ? 4 y ? ? y?

解得 2 x ? y ? 0 。 (3)设点 ( x, y ) 是直线 l 上的任一点,其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 ( x' , y ' ) ,则

? 6 2 ? ? x ? ? x' ? 1 ' 1 ' 1 ' 3 ' ,代入直线 l 的方程后并化简得 ? 4 4 ? ? y ? = ? ' ? , 即 x ? x ? y, y? ? x ? y 4 8 4 8 ? ? ? ? ?y ? x' ? y ' ? 2 ? 0 , 即x? y?2?0。
4、 (Ⅰ)由题意:抛物线焦点为(1,0) 设 l : x ? ty ? 1代入抛物线 y 2 ? 4x, 消去 x 得

y 2 ? 4ty ? 4 ? 0, 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则 y1 ? y 2 ? 4t , y1 y 2 ? ?4 ,

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty2 ? 1)(ty2 ? 1) ? y1 y2 ? t 2 y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1 ? y1 y2
= ? 4t ? 4t ? 1 ? 4 ? ?3
2 2

(Ⅱ)设 l : x ? ty ? b代入抛物线 y 2 ? 4x 消去 x,得

y 2 ? 4ty ? 4b ? 0, 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1+y2=4t ,y1y2=-4b。

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? b)(ty2 ? b) ? y1 y2 ? t 2 y1 y2 ? bt ( y1 ? y2 ) ? b2 ? y1 y2
= ? 4bt ? 4bt ? b ? 4b ? b ? 4b 。
2 2 2 2

令 b ? 4b ? ?4,? b ? 4b ? 4 ? 0 ? b ? 2 ,∴直线 l 过定点(2,0) 。
2 2


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