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南大复变函数与积分变换课件(PPT版)8.3 傅立叶变换的性质_图文

南大复变函数与积分变换课件(PPT版)8.3 傅立叶变换的性质_图文

§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 §8.3 傅立叶变换的性质 章 一、基本性质 傅 里 二、卷积与卷积定理 叶 变 *三、利用 Matlab 实现 Fourier 变换 换 1 §8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 在下面给出的基本性质中,所涉及到的函数的 Fourier 傅 变换均存在,且 F (? ) ? [ f (t) ], G(? ) ? [ g(t ) ]. 里 叶 对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 变 换 的次序交换问题,均不另作说明。 直接进入基本 1. 线性性质 性质汇总? 性质 设 a , b 为常数,则 证明 (略) 2 §8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 2. 位移性质 傅 性质 设 t0 , ?0 为实常数,则 里 叶 (1) [ f (t ? t0 ) ] ? e? j? t0 F (? ); (时移性质) 变 换 (2) ?1[F (? ? ?0 )] ? e j? 0t f (t) . (频移性质) 证明 (1) [ f (t ? t0 ) ] ? ?? ??? f (t ? t0 )e? j? td t ? 令 x ? t ? t0 ?? f ( x)e? j? x ? e? j? t0d x ?? ? e? j? t0 F (? ); (2) 同理,可得到频移性质。 3 §8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 2. 位移性质 傅 性质 设 t0 , ?0 为实常数,则 里 叶 (1) [ f (t ? t0 ) ] ? e? j? t0 F (? ); (时移性质) 变 换 (2) ?1[F (? ? ?0 )] ? e j? 0t f (t) . (频移性质) 时移性质表明:当一个信号沿时间轴移动后,各频率成份 的大小不发生改变,但相位发生变化; 频移性质则被用来进行频谱搬移,这一技术在通信系统中 得到了广泛应用。 4 §8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 证明 (1) 当 a ? 0 时, 变 换 [ f (at ) ] ? ?? ??? f (a t ) e? j? td t 令 x ?at 1 a ??? f ( x ) ? e j ? a ?? x dx ? 1 a F ?? ? ? a ?? ? ; (2) 当 a ? 0 时, 同理可得 [ f (at)] ? ? 1 a F ?? ? ? a ?? . ? 5 §8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 相似性质表明, 若信号被压缩 (a ? 1), 则其频谱被扩展; 变 换 若信号被扩展 (a ? 1), 则其频谱被压缩。 事实上,在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§8.1)已知, 脉冲越窄,则其频谱(主瓣)越宽; 脉冲越宽,则其频谱(主瓣)越窄。 相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。 6 §8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 在电信通讯中, 变 换 为了迅速地传递信号,希望信号的脉冲宽度要小; 为了有效地利用信道,希望信号的频带宽度要窄。 相似性质表明这两者是矛盾的,因为同时压缩脉冲宽度和 频带宽度是不可能的。 7 §8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 里 性质 若 lim f (t) ? 0 , 则 |t |??? [ f ?(t)] ? j?F(?). 叶 证明 由 lim f (t ) ? 0 , 有 lim f (t)e? j? t ? 0 , 变 |t |??? |t |??? 换 [ f ?(t ) ] ? ?? ??? f ?(t ) e? j? td t ? ? f (t )e? j? t ?? ? j? ?? f (t )e? j? td t ?? ?? ? j?F (? ) . 8 §8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 里 性质 若 lim f (t) ? 0 , 则 |t |??? [ f ?(t)] ? j?F(?). 叶 一般地,若 lim f (k)(t ) ? 0 , (k ? 0,1, 2,? , n ? 1) , 变 |t |??? 换 则 [ f (n)(t ) ] ? ( j? )n F (? ) . 记忆 由 f (t ) ? ???F ?? (? )e j? td? , ? f ?(t ) ? ?? ??? j? F (? ) e j? td? ; ? f (n)(t) ? ?? ??? ( j? )n F (? ) e j? td? . 9 §8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 同理,可得到像函数的导数公式 里 叶 变 换 上式可用来求 t n f (t) 的 Fourier 变换. 记忆 由 F (? ) ? ?? ??? f (t) e? j? td t , ? F ?(?) ?? ?? ?? (? jt) f (t ) e? j? td t ; ? F (n) (? ) ? ?? ??? (? jt)n f (t) e? j? td t . 10 §8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 5. 积分性质 傅 性质 里 叶 变 证明 令 g(t ) ? t ???

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