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特殊化思维方法在数学中的应用四

特殊化思维方法在数学中的应用四


设 M (x , y ), 由题设

| MM 1 | =m, 得 | MM 2 |

[ x ? ( x0 + t cos θ)]2 + ( y ? t sin θ)2
= m { x ? [ x0 + (t + 2a)cos θ]}2 + [ y ? (t + 2 a)sin θ]2 ,

特殊化思维方法 在数学中的应用 (四 )
福建宁德师专 刘卓雄

化简整理,得 (1 ? m2 ) x2 + (1 ? m2 ) y 2 ? 2x[(1 ? m2 ) x0 + (1 ? m2 )t cos θ ? 2am2 cos θ] ? 2 y[(1 ? m2 )t ?2am 2 ]sin θ + (1 ? m 2 ) x02 + 2 x0 t (1 ? m 2 )cos θ +(1 ? m2 ) t 2 ? 4 m2 a( xo cos θ + t + a) = 0 , ∵ m ≠ 1 ,∴方程可化为: 2am 2 [ x ? ( xo + t cos θ ? cos θ)]2 + 1 ? m2 4a 2 m2 2am 2 . [ y ? (t ? )sin θ]2 = 2 1? m (1 ? m 2 ) 2 M M t 2aλ ∵ 0 1 = λ, ∴ = λ, t = 1? λ M0M2 t + 2a 代入上式得 M 点的轨迹方程为 2 am2 C 2 aλ [x + ( ? cos θ + cos θ)]2 A 1? λ 1 ? m2 2am 2 2aλ +[ y + ( ? )sin θ]2 1 ? m2 1 ? λ 4a 2 m2 = . (1 ? m 2 ) 2 参考习题
1. (高二数学新教材 78 页例 5)已知一曲线是与两个 定点 O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1/2 的点的轨迹, 求此曲线的方程,并画出曲线. 2. (高二数学新教材 88 页 18 题)已知点 P(2,0)与 Q(8,0), 且点 M 到点 P 的距离是它到点 Q 的距离 的 1/5,求点 M 的轨迹方程. 3. (高二数学新教材 88 页 19 题)点 M(x,y)到两个定 点 M1 、 M 2 距离的比是一个正数 m,求点 M 的 轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

本文讲通过对特例的观察、 归纳可发现一 般规律. 1 通过特例枚举归纳出一般规律 1 1 1 例 1 求积 Sn = (1 ? )(1 ? ) L(1 ? 2 ) = ? 4 9 n 解 我们很难一下子就求出 S n 的公式,不 妨取特例试算一下: 1 3 S2 = 1 ? = , 4 4 1 1 2 S3 = (1 ? )(1 ? ) = , 4 9 3 1 1 1 5 S 4 = (1 ? )(1? )(1? ) = , 4 9 16 8 1 1 1 1 3 S5 = (1 ? )(1 ? )(1 ? )(1 ? ) = . 4 9 16 25 5 将上述结果列成表: n Sn 2 3 4 3 2 3 4 5 8 5 3 5 L L

上表从表面上看不出什么规律 ,如果我们稍 稍加工一下,将 得到下表: n Sn 2 4 3 6 改写为 ,将 改写为 ,将 3 6 5 10 3 4 6 4 5 8 5 6 10 L L n +1 .用数学 2n

2 3 4

从上表我们容易作出猜想 : S n =

归纳可以证明这个猜想确实是对的. 例 2 在平面上有 n 条直线,任何两条都不 平行 ,并且任何三条都不交于同一点 ,问这些 直线把平面分成几部分? ?25?

解 设满足题设的 n 条直线分平面为 f ( n) 个部分 ,对任意 n ,我们一下子难予给出 问题的答案. 先考察几个特例 ,看看有没有什 么规律.

2+n 1 ( n ? 1) = ( n2 + n + 2) . 2 2 即题设的 n 条直线把平面分为 (n 2 + n +2 ) / 2 个部分. f ( n) = 2 + 2 通过特例直觉归纳一般规律 例 3 假定我们已学过反函数概念 ,现在 要研究 y = f ( x ) 与其反函数 y = f ?1 ( x) 的图 象间有什么关系? 一下子难以说出 y = f ( x ) 与 y = f ?1 ( x) 的 图象间有什么关系 , 怎么办?从特例考察开 始. x +1 特例 y = 2 x ? 1 与 y = ; y = x3 与 y = 2 x 都互为反函数.分别作出这两对互为反函 数的函数图象.
3

把上述各特例的结果列成下表: n L 1 2 3 4 f ( n) 2 4 7 11 L 从上图可以看出 , y = 2 x ? 1 与 y = x +1 2

仔细观察上表 ,你能看出有什么规律吗?一 下子难看出 ,如果对上表作如下的加工 ,即计 算 f ( n + 1) ? f ( n) : n L 1 2 3 4 5
f (n ) f ( n + 1) ? f ( n)
2 4 2 7 3 11 4 16 5

L

的图象以及 y = x3 与 y = 3 x 的图象都是关于 直线 y = x 为对称.于是,通过特例的直观考察 , 我们直觉猜想有下面的定理. 定 理 函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函 数 y = f ?1 ( x) 的 图 象 关 于 直 线 y = x 为 对 称.(证略). 例 4 有一道例题 ,设 a, b 为正实数 ,求证 5 a + b 5 ≥ a 3b 2 + a 2b 3 .在证完这个不等式后,许 多同学都直觉地猜想:对任意正实数 a, b 及非 负实数 x, y 是否有: a x + y + bx + y ≥ a x b y + a y b x ? 例 5 有一个同学在解方程 x4 ? 14 x2 + 9 = 0 时得四个根 x1 = 2 + 5, x2 = 2 ? 5, x3 = ? 2 + 5, x4 = ? 2 ? 5 .他感到惊喜, 这四根似乎很有规律性 ,他马上凭直觉猜想 : 对任意一个有理系数的一元 n 次方程,如果无 理数 a + b 是该方程的根,那么 a ? b ,

你将明显地观察到如下的规律: f ( n + 1) ? f ( n) = n + 1 , (n = 1,2,L) . 对任意 n ,这个猜想对不对?我们可以借 助下图说明这个规律是对的. 于是 f (2) ? f (1) = 2 f (3) ? f (2) = 3 f (4) ? f (3) = 4 L L f ( n) ? f ( n ? 1) = n 上面各式相加得: f ( n) ? f (1) = 2 + 3 + L + n = ?26? 2+n ( n ? 1) , 2

? a + b ,? a ? b 是 否 也 是 这 个 方 程 的 根? 3 通过特例类比归纳一般规律

例 6 由二次不等式 x2 + y2 ≥ 2 xy ,产生类 比联想是否有 x3 + y3 + z3 ≥ 3 xyz ?可以证明: 当 x, y , z 均为非负实数时,这个不等式成立;由 上述二次、三次不等式 ,又进一步联想是否 有: x4 + y 4 + z 4 + w 4 ≥ 4 xyzw ?可以证明当 x,y, z,w 均为非负实数时,这个不等式成立. 在以上特例的基础上,进一步类比 ,产生一 般性猜想 : 若 x1 , x2 ,L , xn 均为非负实数 ,是否 有 x1n + x2 n + L + xn n ≥ nx1 x2 L xn ?如果令 x1n = A1, x2 n = A2 ,L , x n n = An ,由上式又可得出如下 基本不等式猜想 : A1 , A2 , L, An 均为非负实数 , 是否有: A1 + A2 + L + An n ≥ A1 A2 L An , n 可以证明这个猜想是对的. 4 利用特例发现一般规律并非易事 有时利用特例发现一般规律并不是很容 易. 首先 ,要有敏锐的观察力,才能从特例中归 纳总结出一般规律 ;另外有时特例是现成的 , 有时特例却需要我们自己去构造. 例 7 (探索海伦面积公式推广的条件).我 们知道,若已知△ ABC 的三边 a 、 b 、 c ,应用 海伦公式: S = p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) (I) 可以很容易求出其面积 S ,其中 1 p = ( a + b + c) . 2 现在试图把海伦公式的“构造”类比推 广到四边形中去. 这就是要探讨: 在什么条件 下,四边形的面积,可用下式: S = ( p ? a )( p ? b )( p ? c)( p ? d ) (II) 1 来表示.其中 p = (a + b + c + d ) , a 、 b 、 c 、 2 d 为四边形的四条边长. 怎么来找我们所要的条件呢?一下子难

以说清 ,让我们举一些特殊的四边形来考察 一下. (A) 正方形 此时, a = b = c = d , p = 2 a . 由于 ( p ? a )( p ? b)( p ? c)( p ? d ) = a2 , 所以对正方形来说公式(II)成立. (B) 矩形 此时 a = c, b = d , p = a + b . 由于 ( p ? a )( p ? b)( p ? c)( p? d) = ( a + b ? a)( a + b ? b)( a + b ? a)( a + b ? b) = ab ,所以对矩形来说公式(II)也成立. (C) 等腰梯形 此时 c = d , p = ( a + b + 2c) / 2 ( a 、 b 为上 下底, c 、 d 为腰),通过计算、化简,可算得 ( p ? a )( p ? b)( p ? c)( p ? d ) = ( a + b) h / 2 , 其 中 h 为等腰梯形的高 ,所以对等腰梯形来说, 公式(II)也成立. (D)平行四边形 此时 a = c, b = d , S = ab sin α .如果 a 、b 、 c 、 d 保持不变,让夹角 α 变化,则平行四边形 的面积 S 将起变化 .这说明公式 (II) 对平行四 边形来说不可能成立. 从上面特例看出,在(A)、(B)、(C)三种情 况下,四边形面积公式(II)成立,在(D)情况下不 成立.现在我们要找特例(A)、(B)、(C)有什么 共同特点,而这个特点是(D)所不具备.(发现这 个特点并不容易). 通过仔细观察思考,(A)、(B)、(C)的共同 特点不就是对角互补吗?而这个特点正好(D) 不具备.因此我们得到如下猜想. 猜想 若四边形对角互补,则其面积为 S = ( p ? a )( p ? b )( p ? c)( p ? d ) 其中 p = ( a + b + c + d ) / 2 , a 、 b 、 c 、 d 为四边形四条边长. 可以证明这个猜想是对的.   ?27?



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