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广东省梅州市2015届高三5月总复习质检(二模)数学(文)试卷扫描版含答案_图文

广东省梅州市2015届高三5月总复习质检(二模)数学(文)试卷扫描版含答案_图文

梅州市高三总复习质检试卷(2015.05)

数学(文科)参考答案与评分意见

一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. CABDB,CAACA
二、 填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)

11.7

12.

85(3分),

8 5

(2分)

13. -4

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14.1

15. 2 3 .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分 12 分)

解:(1)由 A ? B ? C ? ? ,2B ? A ? C,得B ? ? . 3

由 a ? b ,得 1 ? 3 ,得sin A ? 1 .

sin A sin B sin A 3

2

2



又0 ? A ? B,? A ? ? ,?C ? ? ? ? ? ? ? ? .

6

36 2

?sin C ? 1.

(2)证明 : 依题意得,b2 ? ac. 又b2 ? a 2 ? c 2 ? ac.

得a 2 ? c2 ? ac ? ac, 得(a ? c)2 ? 0,? a ? c.

? A ? C,又A ? C ? 2? ,? A ? C ? B ? ? .

3

3

所以△ ABC 是等边三角形.

………………………2 分 ………………………4
………………………6 分 ………………………8 分 ………………………10 分 ………………………12 分

17.(本小题满分 12 分)

解:表格填空如下:

喜爱打篮球

男生

20

女生

10

合计

30

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

………………………2 分

(2)∵ K 2 ? 50? (20?15 ?10? 5)2 ? 8.333 ? 7.879 . 30? 20? 25? 25

………………………4 分

∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

………………………6 分

(3)从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的 8 位女生中各选 1 名,其一切可能 的结果组成的基本事件如下:

( A1, B1, C1), ( A1, B1, C2 ), ( A1, B2, C1), ( A1, B2, C2 ), ( A1, B3, C1), ( A1, B3, C2 ), ( A2 , B1, C1), ( A2 , B1, C2 ), ( A2 , B2 , C1), ( A2, B2, C2 ), ( A2, B3, C1), ( A2, B3, C2 ), ( A3, B1, C1), ( A3, B1, C2 ), ( A3, B2, C1), ( A3, B2, C2 ), ( A3, B3, C1), ( A3, B3, C2 ),
………………………8 分

基本事件的总数为 18,用 M 表示“ B1 , C1 不全被选中”这一事件,

则其对立事件 M 表示“ B1 , C1 全被选中”这一事件,

由于

M



( A1,

B1, C1), ( A2 ,

B1, C1), ( A3,

B1, C1)

,3

个基本事件组成, …………10



所以 P(M ) ? 3 ? 1 . 18 6

………………………11 分

由对立事件的概率公式得 P(M ) ?1? P(M ) ?1? 1 ? 5 . 6 6 ………………………12
分 18.(本小题满分 14 分)
(1)证明: ∵CP:PB=CF:FA,
∴FP∥BE. …………1 分
∵BE ? 平面 A1EB , ……2 分
FP ? 平面 A1EB , ………3 分
∴FP∥平面 A1EB. ………4 分 解:不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 . (2) 在图 1 中,取 BE 的中点 D,连结 DF.
∵AE : EB=CF : FA=1 : 2,

∴AF=AD=2.

…………5 分

而∠A= 60? ,∴△ADF 是正三角形.

又 AE=DE=1,∴EF⊥AD.

在图 2 中,A1E⊥EF,BE⊥EF,

∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角.

由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE.

又 BE、EF ? 平面 BEF, BE∩EF=E,

∴A1E⊥平面 BEF,即 A1E⊥平面 BEP.

(3)在图 2 中,∵A1E⊥平面 BEP, ∴A1E⊥BP,

设 A1E 在平面 A1BP 内的射影为 A1Q,且 A1Q 交 BP 于点 Q,

则可得 BP⊥平面 A1EQ, ∴ BP⊥A1Q.

则∠EA1Q 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角,

在△EBP 中,∵BE=BP=2,∠EBP= 60? ,

∴△EBP 是等边三角形,∴BE=EP.

…………6 分 …………7 分 …………8 分
…………………10 分

又 A1E⊥平面 BEP,∴A1B=A1P,∴Q 为 BP 的中点,且 EQ= 3 . …………………12 分

又 A1E=1,在 Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q= EQ ? 3 , A1 E
所以直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 60? .

∴∠EA1Q= 60? .
…………………14 分

19.(本小题满分 14 分)
解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?3.



n

?

2

时,an

?

Sn

?

Sn?1

?

?3n2

?

???3(n

?1)2 ??

?

?6n

?3
.

当 n ? 1 时,也满足 an ? ?6n ? 3 .

? an ? ?6n ? 3 .

? ? 因为 bn 是等比数列,所以 b1b3 ? b22 ,
则 b1b2b3 ? b23 ? 512 ,解得 b2 ? 8 .



a1

?

b1

?

a3

?

b3

,?

?3

?

8 q

?

?15

?

8q



解得 q ? 2 或 q ? ? 1 (舍去). 2
? bn ? b2qn?2 ? 2n?1 .
(2)由(1)可得

cn

?

(2n?1

2n?1 ? 2)(2n?1

?1)

?

(2n

2n ?1)(2n?1

?1)

?

1? 2n ?1

2n

1
?1

?

1

,

…………1 分 …………2 分 …………3 分 …………4 分
…………5 分 …………6 分 …………7 分 …………8 分
…………10 分

? Tn ? c1 ? c2 ? c3 ?

?

1

?

1 2n?1

?1

?

1

.

?

cn

?

(1 2 ?1

?

1

22

?

) 1

?

1 (22 ?1

?

1

23

) ?1

?

1

1

(

2n

?1

?

2n?1

) ?1

…………12 分

显然数列?Tn? 是递增数列,所以Tn

?

T1

?

2 3

.



2 3

?

Tn

?1
.

…………14 分

20.(本小题满分 14 分)
解: (1) ? e ? 3 ,即 c ? 3 . 3 a3
又2c ? 2,解得a ? 3, c ? 1.
得b ? a 2 ? c 2 ? 2.

………………………1 分 ………………………2 分 ………………………3 分

? 椭圆的标准方程为 x2 ? y 2 ? 1. 32

………………………4 分


(2)

? ? ? ??

x a y

2 2

?

y2 b2

? 1,

? ?x ?1,

消去y得(a2 ? b2 ) ? x2 ? 2a2 x ? a2 ? (1? b2 ) ? 0,

…………………5 分

由? ? (?2a2 )2 ? 4a2 (a2 ? b2 )(1? b2 ) ? 0, 整理得a2 ? b2 ? 1.

………………6 分

设A( x1 ,

y1, ), B(x2 ,

y2 ),则x1

?

x2

?

2a2 a2 ? b2

,

x1x2

?

a2 (1? b2 ) .
a2 ? b2

………7 分

? y1 y2 ? (?x1 ? 1)(?x2 ? 1) ? x1x2 ? (x1 ? x2 ) ? 1.
…………………8 分
OA ? OB(其中O为坐标原点),? x1x2 ? y1 y2 ? 0, 即2x1x2 ? (x1 ? x2 ) ?1 ? 0.
………………………9 分

? 2a 2 (1 ? b2 ) ? 2a 2 ? 1 ? 0.整理得a 2 ? b2 ? 2a 2b2 ? 0.

a2 ? b2

a2 ? b2

………………10 分

? b2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2e2 , 代入上式得2a 2 ? 1 ? 1 , 1? e2

? a 2 ? 1 (1 ? 1 ). 2 1? e2

………………………11 分

? e ?[1 , 2 ],? 7 ? 1 ? 1 ? 3,

22 3

1? e2

? 7 ? a 2 ? 3 .满足条件a 2 ? b2 ? 1.

6

2

………………………12 分 ………………………13 分

由此得 42 ? a ? 6 .

6

2

? 42 ? 2a ? 6,故长轴长的最大值为 6. 3

………………………14 分

21.(本小题满分 14 分) 解:(1)由题意可得: f1(x) ? cos x, x ?[0,? ] ,

f2 (x) ? 1, x ?[0,? ] .

(2)

f1 ( x)

?

?x2 , x ?[?1, 0) ? ?0, x ?[0, 4]

.

?1, x ?[?1,1)

f

2

(

x)

?

? ?

x

2

,

x

?

[1,

4]

.

?1 ? x2 , x ?[?1, 0)

f2 (x) ? f1(x) ? ??1, x ?[0,1)

? ?

x2

,

x

?

[1,

4]

.

当 x ?[?1,0) 时,1 ? x2 ? k(x ? 1) ,?k ? 1 ? x , k ? 2 ;



x

? [0,1)

时,1 ?

k(x

? 1)

,? k

?

x

1 ?1

?k ,

?1

;



x ?[1, 4]

时,

x2

?

k(x

? 1)

,? k

?

x2 x ?1

?k ,

?

16 5

.

综上所述,?k ? 16 . 5
即存在 k ? 4 ,使得 f (x) 是 [?1, 4] 上的 4 阶收缩函数.

…………1 分 …………2 分 …………3 分 …………4 分 …………5 分
…………6 分 …………7 分

(3) f ?(x) ? ?3x2 ? 6x ? ?3x ? x ? 2? ,令 f '(x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 . 函数 f ? x? 的变化情况如下:

令 f (x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 3. ⅰ) b ? 2 时, f (x) 在[0,b] 上单调递增,
因此, f2 (x) ? f ? x? ? ?x3 ? 3x2 , f1(x) ? f ?0? ? 0 .

…………8 分

因为 f (x) ? ?x3 ? 3x2 是 [0,b] 上的 2 阶收缩函数,

所以,① f2 (x) ? f1 ? x? ? 2? x ? 0? 对 x ?[0,b] 恒成立; ②存在 x ??0,b? ,使得 f2 (x) ? f1 ? x? ? ? x ? 0? 成立.

……………9 分

①即: ?x3 ? 3x2 ? 2x 对 x ?[0,b] 恒成立, 由 ?x3 ? 3x2 ? 2x ,解得: 0 ? x ? 1或 x ? 2 , 要使 ?x3 ? 3x2 ? 2x 对 x ?[0,b] 恒成立,需且只需 0 ? b ? 1 .

…………10 分

? ? ②即:存在 x ?[0,b] ,使得 x x2 ? 3x ? 1 ? 0 成立.

? ? 由 x x2 ? 3x ? 1 ? 0 得: x ? 0 或 3 ? 5 ? x ? 3 ? 5 ,

2

2

所以,需且只需 b ? 3 ? 5 . 2

综合①②可得:3 ? 5 ? b ? 1 . 2

…………11 分

ⅱ)当 b ? 2 时,显然有 3 ?[0,b] ,由于 f (x) 在[0, 2] 上单调递增,根据定义可得: 2

3 f2 ( 2)

?

27 8



3 f1( 2)

?

0,

可得

f

2

(

3 2

)

?

f1

? ??

3? 2 ??

?

27 8

?

2?

3 2

?

3,

此时, f2 (x) ? f1 ? x? ? 2? x ? 0? 不成立.

…………… 13 分

综合ⅰ)ⅱ)可得: 3 ? 5 ? b ? 1 . 2

……………14 分

注:在ⅱ)中只要取区间(1,2)内的一个数来构造反例均可,这里用 3 只是因为 2

简单而已.


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