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高一数学 函数及其表示知识点及练习题+解析

高一数学   函数及其表示知识点及练习题+解析

函数及其表示
(一)知识梳理 1.映射的概念 设 A、B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的任意一个元素 x,在 集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射,记作 f(x). 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的 任意数 x,在 集合 B 中都有 唯一确定 的数 y 和它对应, 则这样的对应关系叫做从 A 到 B 的一个函数, 通常记为___y=f(x),x∈A (2)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x), x ? A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值, 对于的函数值的集合 值域。 所有的集合构成 (3)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1) .图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2) .列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 (二)考点分析 考点 1:判断两函数是否为同一个函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,称这两个函数相等。 考点 2:求函数解析式 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f ( x ) 1.2 函数及其表示练习题 一、选择题 1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( C )

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; x?3 ⑵ y1 ? x ? 1 x ? 1 , y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ;
⑴ y1 ? ⑶ f ( x ) ? x , g ( x) ?

x2 ;

⑷ f ( x) ? 3 x 4 ? x3 , F ( x) ? x 3 x ?1 ; ⑸ f1 ( x) ? ( 2x ? 5) 2 , f 2 ( x) ? 2 x ? 5 . A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸ 2. 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( C )

0 C. 0 或 1 D. 1 或 2 4 2 3. 已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? ?4, 7, a , a ? 3a? ,且 a ? N * , x ? A, y ? B
A.

1

B.

使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为( D A. 2, 3 B. 3, 4 C. 3, 5 D. 2, 5



? x ? 2( x ? ?1) ? 4. 已知 f ( x) ? ? x 2 ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( D ?2 x( x ? 2) ?
3 3 C. 1 , 或 ? 3 D. 3 2 2 解析: D ∴ f ( x) ? x2 ? 3, x ? ? 3, 而 ?1 ? x ? 2, ∴ x ? 3 ; ? x ? 2, ( x ? 10) 5. 设 f ( x) ? ? 则 f (5) 的值为( ) ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
A.



1

B.

1或

解析: B f (5) ? f ? f (11)? ? f (9) ? f ? f (15)? ? f (13) ? 11 .

二、填空题

?1 x ? 1( x ? 0), ? ?2 若f (a) ? a. 则实数 a 的取值范围是 1. 设函数 f ( x) ? ? 1 ? ( x ? 0). ? ?x 1 解析: . ? ??, ?1? 当 a ? 0时, f (a ) ? ? a, a ? ?1 ; a 1 当 a ? 0时, f (a) ? a ? 1 ? a, a ? ?2 ,这是矛盾的; 2 x?2 2. 函数 y ? 2 的定义域 . x ?4 x2 ? 4 ? 0 解析: ?x | x ? ?2, 且x ? 2?

.

3. 若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2, 0), B(4, 0) , 且函数的最大值为 9 , 则这个二次函数的表达式是 . 解 析 : y ? ?( x ? 2)( x ? 4) 设 y ? a( x ? 2)( x ? 4) , 对 称 轴 x ? 1 , 当 x ? 1 时 ,

ym a x ? ?9 a ? 9, a ? ?1
4. 函数 y ?

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域是_____________________.

? ?x ?1 ? 0 ,x ?0 ? ? ?x ?x?0 5. 函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1的最小值是_________________. 5 1 5 5 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? ? . 解析: ? 4 2 4 4
解析:

? ??,0?

三、解答题 1. 求函数 f ( x ) ?
3

x ?1 的定义域. x ?1

解:∵ x ?1 ? 0, x ?1 ? 0, x ? ?1 ,∴定义域为 ?x | x ? ?1 ? 2. 求函数 y ?

x 2 ? x ? 1 的值域.
1 2 3 3 3 3 ? ,∴ y ? ,∴值域为 [ , ??) 4 4 2 2

2 2 解: ∵ x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?

又 y ? x12 ? x22 , x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(m ?1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根, 求 y ? f (m) 的解析式及此函数的定义域. 解 : ? ? 4(m ?1)2 ? 4(m ? 1) ? 0, 得m ? 3或m ? 0 , y ? x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 3.

? 4(m ? 1)2 ? 2(m ? 1) ? 4m2 ? 10m ? 2
4.
2 ∴ f (m) ? 4m2 ?10m ? 2,(m ? 0或m ? 3) . 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 ax? 3 ? b( a? 0)

在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、 b 的值. 解:对称轴 x ? 1 , 1,3 是 f ( x ) 的递增区间,

? ?

f ( x)max ? f (3) ? 5,即3a ? b ? 3 ? 5

?3a ? b ? 2 3 1 得a ? , b ? . f ( x)min ? f (1) ? 2,即? a ? b ? 3 ? 2, ∴ ? 4 4 ??a ? b ? ?1


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