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2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第1课时 正、余弦函数的周期性与

2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第1课时 正、余弦函数的周期性与

第 1 课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性

A 级 基础巩固

一、选择题

1.下列函数中,周期为π 的函数是( )

A.y=2sin x

B.y=cos x

C.y=sin???12x+π3 ???

D.y=cos???π3 -2x???

解析:根据公式 T=|2ωπ|可知函数 y=cos???π3 -2x???的最小正周期是 T=|2-π2|=π .
答案:D

2.若函数 f(x)=sin

x+φ 3



∈[0,2π

])是偶函数,则 φ

=(

)

A.π2

B.2π3

C.32π

D.53π

解析:因为 f(x)是偶函数,

所以0+3φ =π2 +kπ (k∈Z),

所以 φ =32π +3kπ (k∈Z),

3 又 φ ∈[0,2π ],所以 φ =2π .

答案:C

3.(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( )

A.y= x

B.y=|sin x|

C.y=cos x

D.y=ex-e-x

解析:对于 D,f(x)=ex-e-x 的定义域为 R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故 y=ex-e-x 为

奇函数.

而 y= x的定义域为{x|x≥0},不具有对称性,故 y= x为非奇非偶函数.y=|sin x|和

y=cos x 为偶函数.

答案:D

4.函数 y=sin???3π2 -x???是(

)

A.周期为π 的奇函数

B.周期为π 的偶函数

1

C.周期为 2π 的奇函数

D.周期为 2π 的偶函数

解析:由诱导公式得,y=sin???3π2 -x???=-cos x,所以该函数为周期为 2π 的偶函数.

答案:D

5.若函数 f(x)=asin x+2x+3,且 f(-1)=7,则 f(1)=( )

A.4 B.-4 C.1 D.-1

解析:函数 f(x)=asin x+2x+3,令 g(x)=asin x+2x,

则 g(-x)=-asin x-2x=-g(x),

所以 g(x)=asin x+2x 是奇函数,

f(-1)=g(-1)+3=7, g(-1)=4,g(1)=-4,f(1)=g(1)+3=-4+3=-1.故选 D.

答案:D

二、填空题

6.函数 f(x)= 2cos 2x+1 的图象关于________对称(填“原点”或“y 轴”).

解析:函数的定义域为 R,f(-x)= 2cos 2(-x)+1= 2cos(-2x)+1= 2cos 2x+1

=f(x).

故 f(x)为偶函数,所以图象关于 y 轴对称. 答案:y 轴

7.已知函数 f(x)的周期为 1.5,且 f(1)=20,则 f(10)的值是_______.

解析:f(10)=f(6×1.5+1)=f(1)=20.

答案:20

8.若函数 f(x)=2cos(ω x+π3 )的最小正周期为 T,且 T∈(1,3),则 ω 的最大正整数值

是_______.

解析:ω =2πT ,因为 T∈(1,3),

所以23π <ω <2π .

所以 ω 的最大正整数值为 6. 答案:6

三、解答题

9.判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x);

(2)f(x)=sin???34x+32π ???.

2

解:(1)因为 1+sin2x>sin2x,所以 1+sin2x>|sin x|≥-sin x,

所以 sin x+ 1+sin2x>0, 所以函数 f(x)的定义域为 R.

f(-x)=lg[sin(-x)+ 1+sin2(-x)]= lg(-sin x+ 1+sin2x)=lg???sin x+ 11+sin2x???= -lg(sin x+ 1+sin2x)=-f(x), 所以 f(x)为奇函数. (2)f(x)=sin???34x+32π ???=-cos 34x,x∈R. 又 f(-x)=-cos???-34x???=-cos 34x=f(x),所以函数 f(x)=sin???34x+32π ???是偶函数. 10.函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(1x).求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.

证明:因为 f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x1+2)=f(x), 所以 f(x)是周期函数,且 4 是它的一个周期.
[B 级 能力提升]

1.设

f(x)是定义域为

R,最小正周期为3π2 的函数,若

??cos f(x)=?
??sin

x???-π2 ≤x≤0???, 则 x(0≤x≤π ),

f???-154π ???的值等于(

)

2

2

A.1 B. 2 C.0 D.- 2

解析:f???-154π

???=f???32π

×(-3)+34π

???=f???3π4

???=sin

3π 4



2 2.

答案:B

2.已知定义在 R 上的函数 f(x)是以 2 为周期的奇函数,则方程 f(x)=0 在[-2,2]上至

少有________个实数根.

解析:因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,

所以 f(0)=0,又因为函数 f(x)以 2 为周期,

所以 f(2)=f(-2)=f(0)=0,

且?????ff((- -11) )= =f-(f(1)1) ,, 解得 f(-1)=f(1)=0,故方程 f(x)=0 在[-2,2]上至少有 5 个实数根.

3

答案:5

3.已知函数 f(x)=cos???2x+π3 ???,若函数 g(x)的最小正周期是π ,且当 x∈???-π2 ,π2 ???时, g(x)=f???x2???,求关于 x 的方程 g(x)= 23的解集.

解:当 x∈???-π2 ,π2 ???时, g(x)=f???x2???=cos???x+π3 ???. 因为 x+π3 ∈???-π6 ,5π6 ???,

所以由 g(x)= 23解得 x+π3 =-π6 或π6 ,即 x=-π2 或-π6 . 又因为 g(x)的最小正周期为π .

所以

g(x)=

3 2 的解集为

???x???x=kπ

-π2

或x=kπ

-π6

,k∈Z??.
?

4


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