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2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程讲义 北师大版选修2-1_图文

2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程讲义 北师大版选修2-1_图文

章 圆锥曲线与方程
§3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程

1.问题导航 (1)双曲线的定义是什么? (2)双曲线的标准方程有哪两种?xa22-by22=1 中 a 一定大于 b 吗? (3)双曲线与椭圆的定义、标准方程有哪些区别?

2.例题导读 P39 例 1.通过本例学习,掌握待定系数法求双曲线的标准 方程. P40 例 2.通过本例学习,掌握求双曲线方程的实际应用 问题. 试一试:教材 P40 练习 T1、T2 你会吗?

1.双曲线的定义 平面内到两定点 F1,F2 的___距__离__之__差______的绝对值等于常数 (__大__于__零__且__小__于__|F__1F__2|_____)的点的集合叫作双曲线.
定点 F1,F2 叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双 曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程 焦点在x轴上

标准方程

_xa_22-__yb_22_=__1_(_a_>_0_,__b_>_0_)

焦点在y轴上 _ya_22-__xb_22_=__1_(_a_>_0_,__b_>_0_)

焦点坐标 (_-__c_,__0_)_,__(c_,__0_)_(_c_>_0_) _(0_,__-__c_)_,__(_0_,__c)_(_c_>_0_)

a,b,c 关系

c2=___a_2+__b_2______(a>0,b>0,c>0)

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是
双曲线.( × ) (2)平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|) 的点的轨迹是双曲线.( × ) (3)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为yb22-ax22=1(a>0,
b>0).( × ) (4)在双曲线方程xa22-by22=1(a>0,b>0)中,a2=b2+c2.( × )

2.已知 F1(-8,3),F2(2,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=10,

则 P 点的轨迹是( D )

A.双曲线

B.双曲线的一支

C.直线

D.一条射线

解析:|F1F2|=10,则 P 点的轨迹表示以 F2 为端点的一条射

线.

3.双曲线3x62-6y42 =1 的焦点坐标是( B ) A.(0,-10),(0,10) B.(-10,0),(10,0) C.(-2 7,0),(2 7,0) D.(0,-2 7),(0,2 7) 解析:因为 a=6,b=8,所以 c= a2+b2=10, 所以该双曲线的焦点坐标为(-10,0),(10,0).

4.双曲线1x02-y22=1 的焦距为( D )

A.3 2

B.4 2

C.2 3

D.4 3

解析:a2=10,b2=2,c2=a2+b2=12,c=2 3,2c=4 3.

1.对双曲线定义的五点说明 (1)在此定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|”这一限制条件十 分重要,不可忽略. (2)如果定义中常数改为等于|F1F2|,此时动点轨迹是以 F1、 F2 为端点的两条射线(包括端点). (3)如果定义中常数改为大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在. (4)如果定义中常数改为等于 0,此时动点轨迹为线段 F1F2 的 垂直平分线.
(5)如果定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,动 点的轨迹成为双曲线的一支.

2.两类双曲线标准方程的统一表示 方程 Ax2+By2=1(AB<0)包含双曲线的焦点在 x 轴上或在 y 轴上两种情况,方程可变形为x12+y12=1(AB<0).
AB
(1)当A1<0 时,表示双曲线的焦点在 y 轴上; (2)当B1<0 时,表示双曲线的焦点在 x 轴上.

3.双曲线与椭圆之间的区别 椭圆

双曲线

定义

平面内到两个定点 F1,F2的距离的和 等于常数(大于 |F1F2|)的点的集合 叫作椭圆

平面内到两定点F1, F2的距离的差的绝对 值等于常数(大于零且 小于|F1F2|)的点的集 合叫作双曲线

标准 方程

xa22+yb22=1;ya22+xb22=1 (a>b>0)

xa22-yb22=1;ya22-xb22=1 (a>0,b>0)

椭圆

a、b、c 的关系

a>b>0,b2=a2-c2

双曲线
a>0,b>0,a不一定大 于b,b2=c2-a2

焦点位置 通过比较x2项,y2项系

的判定

数的大小进行判定

比较x2项与y2项系数的 正负,哪项系数为正,
焦点就在哪条轴上

图形特征

封闭的连续曲线

分两支,不封闭,不 连续

求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在 y 轴,经过点(3,-4 2)和(94,5); (2)与双曲线1x62-y42=1 共焦点,且过点(3 2,2). (链接教材 P39 例 1)

[解] (1)由已知可设所求双曲线的标准方程为ay22-xb22=1(a>0,

??? b>0),则

32aa2522--b19862=1b21=,1,解得?????ab22==19,6,

所以双曲线的标准方程为1y62 -x92=1.

(2)法一:设双曲线的标准方程为xa22-by22=1(a>0,b>0).

由题意易求得 c=2 5.

又双曲线过点(3 2,2),

所以(3 a22)2-b42=1.

又因为 a2+b2=(2 5)2,所以 a2=12,b2=8. 故所求双曲线的标准方程为1x22 -y82=1. 法二:设所求双曲线的标准方程为16x-2 λ-4+y2 λ=1(-4<λ<16),

因为双曲线过点(3 2,2),

所以161-8 λ-4+4 λ=1?λ =4 或 λ=-14(舍去).

所以所求双曲线的标准方程为 x2 -y2= 12 8

1.

若本例(1)中,去掉“焦点在 y 轴”这一条件,如何求解. 解:设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0), 因为(3,-4 2)和(94,5)在双曲线上,
? ??9m+32n=1, m=-19, ?? 所以???8116m+25n=1 ? n=116,
所以双曲线的标准方程为1y62 -x92=1.

[方法归纳]

求双曲线标准方程的注意点:

(1)一般用待定系数法,按“先定型,再定量”的原则求解.

(2)若焦点所在坐标轴不能确定,可分类讨论求解.

(3)与ax22-yb22=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为a2x-2

- λ

b2y+2 λ=1(-b2<λ <a2).

1.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a=4,c=5,焦点在 x 轴上; (解2):a=(14), 设双经曲过线点的A(标1,准4方31程0)为.ax22-yb22=1(a>0,b>0).因为 a
=4,c=5, 所以 b2=c2-a2=25-16=9. 所以双曲线的标准方程为1x62 -y92=1.

(2)若所求的双曲线标准方程为ax22-yb22=1(a>0,b>0), 则将 a=4 代入得1x62-yb22=1.
因为点 A(1,4 310)在此双曲线上,
所以116-196b02 =1, 由此得 b2<0,应舍去. 若所求的双曲线标准方程为ay22-xb22=1(a>0,b>0),同理解得 b2=9. 所以双曲线的标准方程为1y62 -x92=1.

双曲线定义的应用
若 F1,F2 是双曲线x92-1y62 =1 的两个焦点. (1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16,求点 M 到另一个焦点的距离; (2)若 P 是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2 的面积. [解] 双曲线的标准方程为x92-1y62 =1,
故 a=3,b=4,c= a2+b2=5.

(1)由双曲线的定义,得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一 点 M 到它的一个焦点的距离等于 16,假设点 M 到另一个焦 点的距离等于 x,则|16-x|=6,解得 x=10 或 x=22.故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22. (2)将||PF2|-|PF1||=2a=6,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2- 2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|= 36+2×32=100. 在△F1PF2 中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2=|PF1|22+|PF|P1F|·2|2|- PF|F2| 1F2|2 =2|P10F01-|·1|P00F2|=0,所以∠F1PF2=90°,
所以 S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=12×32=16.

[方法归纳] (1)双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的左、右焦点为 F1、F2,若 P 点在左支上?|PF2|-|PF1|=2a;若 P 点在右支上?|PF1|- |PF2|=2a. (2)涉及双曲线上一点与两焦点的距离问题,依据||PF1|-|PF2|| =2a 求解,注意不要忽略绝对值号. (3)双曲线上的点 P 与其两个焦点 F1,F2 连接而成的△PF1F2 称为焦点三角形.对于双曲线的焦点三角形问题常利用双曲 线定义结合三角形有关知识(正、余弦定理、面积公式)求解, 要注意把握整体思想的应用.

2.(1)双曲线1x62-y92=1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 15,则

点 P 到点(-5,0)的距离是( D ) A.7

B.23

C.11 或 19

D.7 或 23

(2)设双曲线 x2-y82=1 的两个焦点分别为 F1,F2,P 是双曲

线上的一点,且|PF1|∶|PF2|=3∶4,则△PF1F2 的面积等于

( C) A.10 3

B.8 3

C.8 5

D.16 5

解析:(1)设此双曲线左、右焦点分别为 F1、F2, 因为 a=4,b=3,所以 c= a2+b2=5, 所以(-5,0),(5,0)为双曲线的左、右焦点坐标,不妨设|PF2| =15,则||PF1|-|PF2||=||PF1|-15|=2a=8,所以|PF1|=23 或 7. (2)设|PF1|=3t,则|PF2|=4t,|PF2|-|PF1|=t=2a=2,所以 t =2,所以|PF1|=6,|PF2|=8,|F1F2|=2c=2 a2+b2=6= |PF1|, 所以 F1 到 PF2 的距离为 62-42=2 5, 所以 S△PF1F2=12×8×2 5=8 5.

与双曲线有关的轨迹问题
(1)如图,在△ABC 中,已知|AB|= 4 2,且三内角 A,B,C 满足 2sin A+sin C= 2sin B,建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹 方程. (2)某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧 道,挖出的土只能沿道路 AP,BP 运到 P 处(如图),|AP|=100 m, |BP|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.

[解] (1)以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB 的 垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系如 图所示,则 A(-2 2,0),B(2 2,0). 由正弦定理,得 sin A=2aR,sin B=2bR,sin C=2cR(R 为△ABC 的外接圆半径). 因为 2sin A+sin C=2sin B, 所以 2a+c=2b,即 b-a=2c,

从而有|CA|-|CB|=12|AB|=2 2<|AB|. 由双曲线的定义知,点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的交点). 因为 a= 2,c=2 2,所以 b2=c2-a2=6, 即所求轨迹方程为x22-y62=1(x>0 且 x≠ 2).

(2)如图,以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴建

立平面直角坐标系,设 M 是分界线上的点,

则|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-

|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50,这说明分

界线是以 A,B 为焦点的双曲线的右支.在

△APB 中,|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|·|PB|cos

60°=17 500,从而 a=25,c2=(|A2B|)2=4 375,b2=3 750,

故所求分界线的方程为 x2 - 625 3

y7250=1(x>0),即在运土时,将

此分界线左侧的土沿道路 AP 运到 P 处,右侧的土沿道路 BP

运到 P 处最省工.

[方法归纳] 求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1) 列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,若符合双 曲线的定义,从而得出对应的方程. 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在 的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两 支.

3.(1)在相距 1 400 m 的 A、B 两个观察哨所测得炮弹爆炸声的 时差为 3 s,已知当时声音的速度为 340 m/s,求炮弹爆炸点所在 曲线的方程. (2)如图所示,已知定圆 F1:(x+5)2+y2=1, 定圆 F2:(x-5)2+y2=42,动圆 M 与定圆 F1,F2 都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

解:(1)以 A、B 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴建立坐 标系,由题意设爆炸点为 P,||PA|-|PB||=3×340=1 020<|AB| =1 400,所以曲线为双曲线,a=510,c=700,b2=c2-a2= 229 900, 所以曲线方程为260x2100-229y2900=1.

(2)圆 F1:(x+5)2+y2=1,圆心 F1(-5,0),半径 r1=1;圆 F2: (x-5)2+y2=42,圆心 F2(5,0),半径 r2=4.设动圆 M 的半径为 R, 则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, 所以|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
所以点 M 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线的左支,且 a=32,c
=5,于是 b2=c2-a2=941. 所以动圆圆心 M 的轨迹方程为x92-9y12 =1(x<0).
44

易错警示

忽略双曲线定义中的限制条件致误

方程2-x2m+|my|-2 3=1 表示双曲线,那么 m 的取值

范围是___{m__|_-__3_<_m_<_2_或__m__>_3_}_________.

[解析]

依题意有???2-m>0,或???2-m<0, ??|m|-3<0 ??|m|-3>0,

解得-3<m<2 或 m>3.

所以 m 的取值范围是{m|-3<m<2 或 m>3}.

[错因与防范] (1)本例易误认为焦点在 x 轴上而忽略焦点在 y 轴上的情况; (2)对于xm2+yn2=1,当 m,n>0 且 m≠n 时表示椭圆,当 mn<0 时,表示双曲线.

4.若 k∈R,则“k>3”是“方程k-x23-k+y2 3=1 表示双曲线” 的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:方程k-x23-k+y2 3=1 表示双曲线的充要条件是(k-3)(k
+3)>0,即 k<-3 或 k>3,故选 A.

1.双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( C )

A.( 22,0)

B.( 25,0)

C.( 26,0) 解析:将双曲线方程化为标准方程为

D.( 3,0) x2-y12=1,

2

所以 a2=1,b2=12,所以 c= a2+b2= 26,

故右焦点的坐标为( 26,0).

2.已知点 F1(-10,0)、F2(10,0),P 是双曲线3x62-6y42 =1 上

的一点,则|PF1|-|PF2|=( C )

A.12

B.-12

C.-12 或 12

D.16 或 12

解析:因为||PF1|-|PF2||=2a=12,所以|PF1|-|PF2|=±12. 3.设 m 为常数,若点 F(5,0)是双曲线x92-ym2=1 的一个焦点,

则 m=__1_6_____.

解析:焦点在 x 轴上,c=5,25=9+m,所以 m=16.


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