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2013~2014学年第二学期《线性代数(经)》期末考试试卷A

2013~2014学年第二学期《线性代数(经)》期末考试试卷A

一、选择题 (每题 4 分,共 24 分) 1. 下列乘积中, ( A. a33a11a22a44
a b c

)是四阶行列式中前面取负号的项。 B. a12a23a34a43
2a 2b

C. a33a11a22 a34
2c

D. a12a21a33a44 ( ) 。

2 2 ? 2. 设行列式 1 1 1 ? 3 ,则 2 x y z 2x 2 y 2z

A.

6

B.

18

C.

8
T

D.

24

3. 设 A , B 为 n 阶可逆方阵,则关系式 ? AB? ? A.
AB

( D.
BT AT

) 。

B.

BA

C.

AT BT

? a11 a12 ? ? a12 ? ? B ? 4. 设 A ? ? , ?a ? ?a a ? 21 22 ? ? 22

a11 ? ?0 1? ?1 0 ? ? ? ? ? , , P ? P ? 1 2 ? 1 0? ?1 1 ? ? ,则( a21 ? ? ? ? ? ?

) 。

A.

AP 1 ? B

B.

P 1A ? B

C.

AP 2 ? B

D.

P2 A ? B

5. 设非齐次线性方程 Ax ? b 的导出组为 Ax ? 0 ,如果 Ax ? 0 仅有零解,则
Ax ? b

( C. 必定无解

) 。

A. 必有无穷多解 B. 必有唯一解
Ax ? 0 的解。

D. 以上选项均不对 )是

6. 若 ?1 , ? 2 为非齐次线性方程组 Ax ? b ( b ? 0 )的两个解,则(
1 ?3?1 ? 2? 2 ? D. 3

A.

?1 ? ? 2

B.

?1 ? ? 2

C.

1 ??1 ? 2 ? 2 ? 2

二、判断题: (每小题 2 分,共 12 分,分别判断下列命题是否正确,正确的在其后面 括号内填上“√” ,不正确的在其后面括号内填上“×” ,填错或未填均无分) 1. 若行列式 D 中两行(列)对应元素成比例,则 D ? 0 。 2. 若 A ? ? AT ,则 A 为对称矩阵。 3. 初等矩阵是可逆矩阵。 4. 设 A 为 n 阶方阵,如果 A 为满秩矩阵,则 A 为可逆矩阵。 5. 若向量组 B 能有向量组 A 线性表示,则 r ( B) ? r ( A) 。 6. 包含零向量的向量组一定线性相关。 三、填空题: (每题 3 分,共 24 分) 1. 按自然数从小到大为标准次序,则排列 654321 的逆序数为
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( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )



2. 已知 4 阶矩阵 A 的第三列元素依次为 1 , 3 , ? 2 , 2 ,它们的余子式值分别 为 3 , ? 2 , 1 , 1 ,则 A ? 。

?1 2 ? ?1 2? ?1 3. 设 B ? ? ?1 0 ? ? ,C ? ? ?3 4? ? ,且有 ABC ? E ,则 A ? ? ? ? ?
4. 设 A 为四阶方阵,且 A ? ?3 ,则 2 A ?
?5 0 0? ? ? ?1 5. 设矩阵 A ? ? 0 3 0 ? ,则 ? A ? 2I ? ? ?0 0 4? ? ? ?5 1 3 4? ? ? ~ ~ 6. 若线性方程组 Ax ? b 的增广矩阵 A 经初等行变换为 A ? ? 0 0 2 3 ? , ?0 0 a 9? ? ?
则当常数 a ?







时,此方程组有无穷多解。

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四、计算题(每题 10 分,共 20 分)
? 1 0 1? ? ? 1. 设 A , B 均为 3 阶矩阵,且满足 AB ? E ? A ? B ,若矩阵 A ? ? 0 2 0 ? , ? ?1 0 1? ? ?
2

求矩阵 B 。

? x1 ? x2 ? 2 x3 ? 3 x4 ? 1 ? 2. 已知线性方程组 ? x1 ? 3x2 ? 6 x3 ? x4 ? 3 , ? x ? 5 x ? 10x ? 9 x ? a 2 3 4 ? 1

⑴ a 为何值时方程组有解? ⑵ 当方程组有解时求出它的全部解(用解的结构表示) 。

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五、证明题: (本题 8 分) 向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关,设 ?1 ? ?1 ? ? 2 , ?2 ? ? 2 ? ?3 , ?3 ? ?3 ? ?1 , 试证:向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关。

六、解答题: (本题 12 分) 设向量组 ?1 ? ?2,1,4,3? , ?2 ? ?? 1,1,?6,6? , ?3 ? ?? 1,?2,2,?9? , ?4 ? ?1,1,?2,7? ,
T T

T

T

?5 ? (2,4,4,9)T ,
⑴ 求向量组的秩;⑵ 判别向量组的线性相关性;⑶ 求此向量组的一个极大 无关组;⑷ 将其余向量用极大无关组线性表示。

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