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山东师大第三学期《数学分析》期末试题及答案

山东师大第三学期《数学分析》期末试题及答案


第三学期《数学分析》期末试题
一、 选择题: (15 分,每小题 3 分) 1、累次极限存在是重极限存在的( ) A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 2、

D 无关条件

?f ( x, y) |( x0 , y0 ) ? ( ?x



A lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x, y 0 ? ?y ) ? f ( x0 , y 0 ) ?x



B lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x, y 0 ) ; ?x

C lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x, y 0 ? ?y) ? f ( x0 ? ?x, y 0 ) f ( x0 ? ?x, y 0 ) ? f ( x0 , y 0 ) ; D lim 。 ?x ?0 ?x ?x

3、函数 f(x,y)在(x0,,y0)可偏导,则( D ) A f(x,y)在(x0,,y0)可微 ; B f(x,y)在(x0,,y0)连续; C f(x,y)在(x0,,y0)在任何方向的方向导数均存在 ; D 以上全不对。 4、 f ( x, y ) ? A、0,0,0;
x y

x2 y2 的二重极限和二次极限各为( B x 2 y 2 ? ( x ? y) 2



B、不存在,0,0, ; C、0,不存在,0; D、0,0,不存在。

5、设 z ? e ,则 x

?z ?z ?y ?( ?x ?y

A



A、0; B、1; C、-1; D、2。 二、计算题(50 分,每小题 10 分)

xy ? ? 2 1、 证明函数 f ( x, y ) ? ? x ? y 2 ? 0 ?
可微;
x x

x2 ? y2 ? 0 x ?y ?0
2 2

在(0,0)点连续且可偏导,但它在该点不

f ( x) ?
2、 设

??e
0 t

?? 2

d?dt, 求f ?( x), f ( x)


?x y? ?z ?z F? , ??0 3、 设有隐函数 ? z z ? ,其中 F 的偏导数连续,求 ?x 、 ?y ;
4、 计算 ?
C

e x (cos ydx ? sin ydy )
zdS

,其中 C 是任一条以为 A(0,0) 起点、 B(a, b) 为终点的光滑曲线;

5、

?? 计算

?

2 2 ,其中 ? 为 z ? x ? y 在

z?

1 4 的部分;

三、验证或解答(满分 24 分,每小题 8 分) 1、验证曲线积分

? ( y ? z )dx ? ( z ? x)dy ? ( x ? y)dz 与路线无关,并求被积表达式的原函数;
L

2、说明对任意

? ? 0, ? e ? (? ? x ) sin tdx关于t ? (0,??)
2

??

0

均一致收敛;

3、验证函数

? 2 xy , x2 ? y2 ? 0 ? 2 2 f ( x, y ) ? ? x ? y 2 2 ? ? 0 ,x ? y ? 0
在原点(0,0)分别对每个自变数 x或y (另一个看作常数)都连续,但是二元函数在原点(0,0)却不连续.

? x? y?z ?0 ? 3 x ? y 3 ? z 3 ? 10 四、 (11 分) 求由方程组 ? 确定的隐函数 y ? y( x), z ? z ( x)在点P(1,1,?2) 处的一阶导数。

部分题目参考答案:
二、1、证明: 0 ?|

xy x ?y
2 2

|? | xy | (4 分)

( x , y ) ?( 0 , 0 )

lim

xy x ? y2
2

=0 所以函数在(0,0)点连续, (3

分)又 lim

?x?y 0 (4 分)但 不存在,故函数在 lim ? 0 , f x (0,0), f y (0,0) 存在切等于 0, ( ?x , ?y ) ?( 0 , 0 ) ?x 2 ? ?y 2 ?x ?0 ?x

(0,0)点不可微(3 分)

二、2、解

由 于
x

f ( x) ? ? ( ? e ?? d? )dt, f ?( x) ?? ? ( ? e ?? d? )'x dt ? 0 ? 0 ? ? e ? x dt ? xe? x
2 2 2

x

x

x

x

x

2

, 所 以

0

t

0

t

0

2 1 1 2 f ( x) ? ? te dt ? ? ? e ? t d (?t 2 ) ? ? e ? t 20 2 0

?t

2

x

x

0

1 2 1 ? ? e? x ? . 2 2

二、3、

[解法 1] 由隐函数、复合函数求导法
?z ?? ?x zF1' ? x? y ? xF1' ? yF2' '? '? F1 ? ? 2 ? ? F2 ? ? 2 ? ? z ? ? z ? F1' ? 1 z

?z ?? ?y

F2' ?

? x? ? y? F1' ? ? 2 ? ? F2' ? ? 2 ? ? z ? ? z ?

1 z

?

zF2' xF1' ? yF2'

[解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得
?x? ? y? F1' d ? ? ? F2' d ? ? ? 0 F1' ? zdx ? xdz ? F2' ? zdy ? ydz ? 0 ?z? ?z? z2 z2 ,

dz ?

zF1' dx ? zF2' dy xF1' ? yF2' ,故

zF1' ?z ? ?x xF1' ? yF2'

zF2' ?z ? ?y xF1' ? yF2' .

由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.

二、4、 解

?Y ?X x 令 X = e cos y , Y = ?e sin y , 则 ?x = ?y = ?e sin y , 故 被 积 表 达 式
x

x

e x (cos ydx ? sin xdy ) 一定有原函数,注意到 d (e x cos y ) = e x (cos ydx ? sin xdy ) ,知
u( x, y) = e x cos y 是 e x (cos ydx ? sin xdy ) 的一个原函数,故由定理 21.13,有

?

C

e x (cos ydx ? sin ydy )

=

a ,b ) e x cos y |((0,0)

a = e cos b ? 1.

二、5、解

2 ? ? ? ?1? ? 2 2 Dxy ? ?( x, y ) x ? y ? ? ? ? ?2? ? ? ? ,而 ? 曲 面 ? 在 x0 y 平 面 上 的 投 影 区 域

?z ?z ? 2x , ? 2 y ?x ?y ,于是曲面的面积微元
? dS ? 1 ? ? z? 1 ? 4 x 2 ? 4 y 2 d? x ? ? ? z y ? d? ?
2 2

所以

??

?

zdS ? ?? ( x 2 ? y 2 ) 1 ? 4 x2 ? 4 y 2 d? ?
Dxy

?

2?

0

d? ? 2 r 2 1 ? 4 x 2 rdr
0

1

1 1 ? 2? ? 4 t 1 ? 4t 0 2 (在极坐标系下计算)

(r 2 ? t )

?

?

8?

2

1

(u 4 ? u 2 )du ?

1? 2 ? 60

(u ? 1 ? 4t ) .

三、 1、解

由于 P ? y ? z, Q ? z ? x, R ? x ? y,

?P ?Q ?Q ?R ?R ?P ? ? ? ? ? ? 1, 所以曲线积 ?y ?x ?z ?y ?x ?z

分与路线无关. 现在求 u( x, y, z) ?

??

M0M

( y ? z)dx ? ( z ? x)dy ? ( x ? y)dz. 取 M 0 M 为沿平行于 x 轴的

直线到 M 1 ( x, y 0 , z 0 ) ,再沿平行于 y 轴的直线到 M 2 ( x, y, z 0 ) ,最后沿平行于 z 轴的直线到 M ( x, y, z ) . 于是

u ( x, y, z ) ? ? ( y 0 ? z 0 )ds ? ? ( z 0 ? x)dt ? ? ( x ? y )dr
x0 y0 z0

x

y

z

? ( y 0 ? z 0 ) x ? ( y 0 ? z 0 ) x 0 ? ( z 0 ? x) y ? ( z 0 ? x) y 0 ? ( x ? y ) z ? ( x ? y ) z 0 ? xy ? yz ? xz ? c
其中 c ? ? x 0 y 0 ? x 0 z 0 ? y 0 z 0 是一个常数,若取 M 0 为原点,则得 u( x, y, z ) ? xy ? xz ? yz.
??

x ? 1时,e ? (? ? x ) sin t ? e ? (? ? x ) ? e ??
2 2

1 ex
2

? e? x

三、2、解 当
?? ? (? ? x ) sin tdt ?e
2

1 1 , 又 ? 2 dx 2 x 1 x 收敛,所以

1

关于 t ? (0,??) 一致收敛.而积分 0
??

?e

1

? (? ? x 2 )

sin tdt
是定积分,所以

?e
0

? (? ? x 2 )

sin tdx关于t ? (0,??)
一致收敛.

?y ? R, ?x ? R, 分别有lim f ( x, y ) ? lim
三、3、证明
x ?0

2 xy ? 0 ? f (0, y ) x ?0 x ? y 2 ,与
2

lim f ( x, y ) ? lim
y ?0

2 xy ? 0 ? f ( x,0) y ?0 x ? y 2 ,即 f ( x, y ) 在原点(0,0)分别对 x或y 都连续
2

当 x ? y 时,却有 y ? 0

lim f ( x, y ) ? lim
x ?0

2 xy 2x2 ? lim ? 1 ? 0 ? f (0,0) x ?0 x 2 ? y 2 x ?0 2 x 2 y ?0

,即 f ( x, y ) 在原点(0,0)

不连续(其实 f ( x, y ) 在原点(0,0)并不存在极限,当然不连续). 四、解 方程两边对 x 求导有

1 ? y ?( x) ? z ?( x) ? 0 ?? (1) ? ? 2 2 2 ?3x ? 3 y y ?( x) ? 3 z z ?( x) ? 0 ?? (2) (1) ? 3 z 2 ? (2)有 : y ?( x) ? ?

x2 ? y2 z2 ? x2 ? z ( x ) ? z 2 ? y 2 ,代入(1)有: z 2 ? y 2 ,所以 y ?(1) ? ?1 ,z ?(1) ? 0 .



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