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福建省晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷(文科)含答案

福建省晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷(文科)含答案


福建省晋江市季延中学 2014-2015 学年高二上学期期中考试数学试卷 (文科)
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、命题“对任意的 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 C.存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 2、已知椭圆 距离为( A.2 )

B.存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 D.对任意的 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点 25 16

) B.3 C.5 D .7 )

3、若命题 p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 4、设 f ( x) ? sin x ? cos x ,那么( A. f ?( x) ? cos x ? sin x C. f ?( x) ? ? cos x ? sin x )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B. f ?( x) ? cos x ? sin x D. f ?( x) ? ? cos x ? sin x ) D.10 )

5、抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是(
5 A. 2 15 B. 2

C.5

6、满足方程 ( x ? 5)2 ? y 2 ? ( x ? 5)2 ? y 2 ? 8 的点 M 的轨迹方程是( A.
x2 y2 ? ?1 16 9 x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 16 9

B.

y2 x2 ? ?1 16 9 y2 x2 ? ? 1( y ? 0) 16 9

C.

D.

7、若 lim
k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? ?1 ,则 f ?( x0 ) 等于( k
-1-

)

A.-1

B.1

C.0

D.无法确定 )
y

8、如图所示:为 y ? f '( x) 的图像,则下列判断正确的是( ① f ( x) 在 ? ??,1? 上是增函数 ② x ? ?1 是 f ( x) 的极小值点 ③ f ( x) 在 ? 2, 4 ? 上是减函数,在 ? ?1, 2? 上是增函数 ④ x ? 2 是 f ( x) 的极小值点 A.①②③ B.①③④ C.③④ D.②③

-1 O 1 2

3 4 x

9、已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围 是( ) B. (? 3, 3) D. [? 3, 3]

A. (??,? 3] ? [ 3,??) C. (??,? 3) ? ( 3,??)

10、如图,一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角为 ? (0 ? ? ? 90 ) 的平面所 截,截面是一个椭圆,当 ? 为 30 时,这个椭圆的离心率为( )

A.

1 2

B.

3 2
2 3

C.

3 3

D.

( ) 11、 已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) , 且满足关系式 f ( x) ? x2 ? 3xf ?(2) ? ex , 则 f ?2

的值等于( A. ? 2

) B.
e2 ?2 2

C. ?

e2 2

D. ?

e2 ?2 2

12、 抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,M 是抛物线 C 上的点, 三角形 OFM 的 外接圆与抛物线 C 的准线相切,该圆的面积为 36 ? ,则 p 的值为( A.2 B.4 C.6 D.8 )

-2-

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、 写出命题: “若 x ? 2 且 y ? 3 , 则 x ? y ? 5 ”的逆否命题是 或“假”) 14、已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程是 x ? 2 y ? 0 ,则 该双曲线的离心率是 15、求曲线 y ? ?5e x ? 3 在点 ? 0, ?2? 处的切线方程为 16、已知点 P 是抛物线 y 2 ? 4x 上的一个动点,点 P 到点(0,3)的距离与点 P 到 该抛物线的准线的距离之和的最小值是 三、解答题(本题共 6 小题,第 17~21 题每题 12 分,第 22 题 14 分,共 74 分) 17、已知命题 p : x 2 ? 7 x ? 10 ? 0 , q : ( x ? a ? 1)(x ? a ? 1) ? 0 (其中a ? 0) . (1)若 a ? 2 ,命题“ p 且 q ”为真,求实数 x 的取值范围; (2)已知 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 命题(填 “真”

18、函数 f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? bx ? 5 的图像在 x=1 处的切线方程为 y= -12x; (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在[-3,1]上的最值.

19、已知抛物线顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上.已知该抛物线上一点 A(1,m)到焦点的距离为 3. (1)求此抛物线的方程; (2)若此抛物线方程与直线 y=kx-2 相交于不同的两点 A、B,且 AB 中点横 坐标为 2,求 k 的值.

-3-

20、 有一块边长为 6m 的正方形钢板, 将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形, 然后焊接成一个无盖的蓄水池。 (1)写出以 x 为自变量的容积 V 的函数解析式 V(x),并求函数 V(x)的定义域; (2)蓄水池的底边为多少时,蓄水池的容积最大?最大容积是多少?

x2 y 2 2 15 6 21、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴长为 . a b 3 3
(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线

y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,若点 M (? 7 ,0) ,
3

求证: MA ? MB 为定值.

22、已知函数 f ? x ? ?

ln x . x

(1)判断函数 f ?x ? 的单调性;
1 的图像总在直线 y ? a 的上方,求实数 a 的取值范围; x 1 m 2 (3)若函数 f ?x ? 与 g ? x ? ? x ? ? 的图像有公共点,且在公共点处的切线相 6 x 3 同,求实数 m 的值.

(2)若 y ? xf ? x ? +

-4-

参考答案
1~5:CDBAC 13、真 6~10:CBDDA 14、
5 2

11~12:DD 16、 10

15、 y ? ?5x ? 2

17、解: (1) p : x2 ? 7 x ? 10 ? 0 ? 2 ? x ? 5 , 若 a ? 2 , q : ( x ? a ? 1)( x ? a ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ? 3 …………………3 分

命题“ p 且 q ”为真,取交集,所以实数 x 的范围为 x ? [2,3] ;………………6 分 (2) p : x2 ? 7 x ? 10 ? 0 ? 2 ? x ? 5 ,
q : ( x ? a ? 1)( x ? a ? 1) ? 0 ? 1 ? a ? x ? 1 ? a , 若 p 是 q 的 充 分 条 件 , 则

[2,5] ? [1 ? a,1 ? a] ,………………………………………………………9 分

?1 ? a ? 2 ??1 ? a 则? ?? ? 4 ? a 。………………………………………12 分 ?5 ? 1 ? a ?4 ? a
18、解: (1) f ?( x) = 12x2+2ax+b ∵y =f(x)在 x=1 处的切线方程为 ………………………2 分 y=-12x

?k ? ?12 ? f 1 (1) ?12 ? 2a ? b ? ?12 ∴? 即? ?4 ? a ? b ? 5 ? ?12 ? f (1) ? ?12

解得:a=-3

b=-18 ………………………6 分

∴f(x)=4x3―3x2―18x+5

(2)∵ f ?( x) = 12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3) 令 f ?( x) =0 又∵f(-3)=-76, 解得:x=-1 或 x= f(-1)=16,
3 (舍) 2

………………………9 分

f(1)=-12

∴f(x)在[-3,1]上的最小值为-76,最大值为 16.………….…………12 分

-5-

19、

20、解: (1)设蓄水池的底面边长为 a,则 a=6-2x, 则蓄水池的容积为: V ( x) ? x(6 ? 2 x) 2 . ?x ? 0 由? 得函数 V(x)的定义域为 x∈(0,3). ???4 分 6 ? 2 x ? 0 ? (2)由 V ( x) ? x(6 ? 2x) 2 ? 4x 3 ? 24x 2 ? 36x 得 V ' ( x) ? 12x 2 ? 48x ? 36 . 令 V ' ( x) ? 12x 2 ? 48x ? 36 ? 0 ,得 x=1 或 x=3(舍) 由 V ' ( x) ? 12x 2 ? 48x ? 36 ? 0 ,解得 x<1 或 x>3; 由 V ' ( x) ? 12x 2 ? 48x ? 36 ? 0 ,解得 1<x<3. 故函数 V(x)的单调增区间是(0,1) ,单调减区间为(1,3). ???8 分 并求得 V(x)的极大值 V(1)=16. 即最大值 16. 故蓄水池的底边为 4m 时,蓄水池的容积最大,其最大容积是 16m 3 . ?12 分 21、解: (1)因为

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c2 , 2 a b
????????5 分

x2 y2 5 ?1 解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 ? 5 5 3 3
2 2

(2)由(1)将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y2 ? ? 1 中得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 5 5 3

? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0

x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 x x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
-6-

7 7 7 7 所以 MA ? MB ? ( x1 ? , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 3 3 3 3 7 7 7 49 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k2 3 3 3 9

? (1 ? k 2 )
=
4 9

3k 2 ? 5 7 6k 2 49 2 ? ( ? k )( ? ) ? ? k2 ; 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9
???????????12 分
1 ? ln x . x2

22、解:(1)可得 f ' ( x) ?

当 0 ? x ? e 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; 当 e ? x 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数。……………4 分 (2)依题意, 转化为不等式 a ? ln x ? 令 g ( x) ? ln x ?
1 , x 1 对于 x ? 0 恒成立 x

则 g ?( x) ?

1 1 1? 1? ? ? ?1 ? ? x x2 x ? x ?

1? 1? 当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ? ?1 ? ? ? 0 , g ( x) 是 (1, ? ?) 上的增函数, x? x?

当 x ? ?0, 1? 时, g ??x ? ? 0 , g ( x) 是 ?0, 1? 上的减函数, 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , 从而 a 的取值范围是 ?? ?, 1? (Ⅲ )转化为 ln x ? ……………9 分

1 2 2 1 2 x ? x ? m , y ? ln x 与 y ? x 2 ? x ? m 在公共点 ( x0 , y0 ) 处的 6 3 6 3

1 2 2 ? ln x0 ? x0 ? x0 ? m ? 6 3 ? 切线相同 由题意知 ? ? 1 ? 1 x0 ? 2 ? 3 ? x0 3
∴ 解得: x0 ? 1 ,或 x0 ? ?3 (舍去),代人第一式,即有 m ?
5 6

…………14 分

-7-



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