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线性代数(文)期末复习题

线性代数(文)期末复习题


线性代数(文) 期末复习题
一、填空题
0 0 1、行列式 3 0 1 2 3 4 0 2 0 0 5 6 ? 7 8

.

1 2、设 A 是 3 阶方阵, A ? 为 A 的伴随矩阵,且 | A | ? 4 ,则 | ( A) ?1 ? A? | ? 2

.

?x ? a y ? a2z ? 0 ? 3、若齐次方程组 ?a x ? a 2 y ? z ? 0 仅有零解,则 a 的值为 ? 2 ?a x ? y ? a z ? 0

.

4、设 ? 1 ? (?1 , 3 , 1) , ? 2 ? (2 , 1 , 0) , ? 3 ? (1 , 4 , 1) ,则 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性

关。 .

5、设向量组 ?1 ? (a, 2, 1)T , ? 2 ? (2, a, 0)T , ? 3 ? (1, ? 1, 1)T 线性相关, 则 a 的值为
? 0 1? ? a b ? ? 0 1? ? ? 6、 ? ? 1 0? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? c d ? ? 1 0?
10 11

?

.

?a b? ? 7、设矩阵 A ? ? ?c d? ?, 则 A ? ? ?

.
?1

? O A? 8、设 A,B 均为可逆矩阵,则分块矩阵 ? ? B O? ? ? ?

?

.

? 0 0 2? ? 1? 9、设 A ? ? 1 3 0 ? ,则 A ?1 ? 2? ? ? 2 5 0?
??1 1 ? 0 ? 2 10、设矩阵 A ? ? 3 ?2 ? ? 1 ?1 ? 0 5 ? ? 4 1 ? , 8 6 ? ? 0 ? 5? ?

.

则 r ( A) ?

.

二、单项选择题
a11 a12 a 22 a 32 a13 2a11 a12 a 22 a 32 a11 ? 2a13 a 21 ? 2a 23 ? a 31 ? 2a 33

1、设 D ? a 21 a 31 (A) 8 D

a 23 , 则 2a 21 a 33 2a 31

(

)

(B) ? 8 D

(C) ? 4 D
1

(D) 4 D

2、向量组 ? 1 , ? 2 ,?, ? s ( s ? 2) 线性无关的充分必要条件是( (A) 任一个向量均不可由其余向量线性表示 (B) 至少有一个向量不可以由其余向量线性表示 (C) 任意两个向量的分量不成比例 (D) 都不是零向量 3、设 A,B 均为 n 阶方阵, 下列各式成立的是 ( (A) ( A ? B) 2 ? A2 ? 2 AB ? B 2 (B) ( AB )T ? AT B T (C) AB ? O ? A ? O 或 B ? O (D) | A ? AB | ? 0 ? | A | ? 0 或 | B ? E | ? 0 )

)

4、设 A 是 n 阶方阵,则下列矩阵中( )不一定是对称矩阵。 T T (A) AA (B) A A (C) A ? AT (D) A ? AT
? 1 ? 1 2 1 0? ? ? ? 2 ? 2 4 ? 2 0? 5、设 A ? ? ,则 r ( A) ? ( 3 0 6 ? 1 1? ? ? ? 0 3 0 0 1? ? ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

)

6、若向量组 ? 1 , ? 2 ,?, ? s 线性相关,则一定有 ( (A) ? 1 , ? 2 , ?, ? s ?1 线性相关 (C) ? 1 , ? 2 , ?, ? s ?1 线性无关

)

(B) ? 1 , ? 2 , ?, ? s ?1 线性相关 (D) ? 1 , ? 2 , ?, ? s ?1 线性无关 ) (B) 当 r ? s 时,向量组Ⅱ必线性相关 (D) 当 r ? s 时,向量组Ⅰ必线性相关 )

7、设向量组Ⅰ: ? 1 , ? 2 , ?, ? r 可由向量组Ⅱ: ? 1 , ? 2 , ?, ? s 线性表示,则 ( (A) 当 r ? s 时,向量组Ⅱ必线性相关 (C) 当 r ? s 时,向量组Ⅰ必线性相关

?k x ? z ? 0 ? 8、设齐次线性方程组 ? 2 x ? k y ? z ? 0 有非零解,则 k 的值为( ?k x ? 2 y ? z ? 0 ? (A) 2 (B) 0 (C) -1 (D) -2

三、计算题
1 2 1 2 1、计算行列式 D ? 1 ?1 6 7 3 4 2 2 . 1 ?1 8 9

3 0 4 2 2 2 2、设行列式 D ? 0 ?7 0 5 3 ?2

0 2 ,求第四行各元素余子式之和的值。 0 2
2

? 1 2 ? 1? ? ? ?2 1 3、设 A ? ? ? 2 1 0 ? , B ? ? ?3 ?1 ? ? 1 0 3 ? ? ? ?1 ? 0 1 0 ? ? ? ? 4、设矩阵 A ? ? ? 1 1 1 ? , B ? ? 2 ?3 ? ? 1 0 ? 1? ? ? ?

? 5 2? ? ? 2? T C ? 3 1 ? , ? ? ,求 AB ? C 。 4? ? ? 1 4? ? ? ? 1? ? 2 ? , 且 P ? AP ? B , 求矩阵 P。 ? 3? ?

? 0 1 0? ? 1 ? 1? ? ? ? ? 5、求解矩阵方程 AX ? B ? X ,其中 A ? ? ? 1 1 1 ? , B ? ? 2 0 ? 。 ? ? 1 0 ? 1? ? 5 ? 3? ? ? ? ? 6、用高斯消元法求解下列线性方程组 ? 2 x1 ? x 2 ? 5 x 3 ? x 4 ? 8 ? ? 6 x4 ? 9 ? x1 ? 3 x 2 ? 2 x 2 ? x 3 ? 2 x 4 ? ?5 ? ? ? x1 ? 4 x 2 ? 7 x 3 ? 6 x 4 ? 0

7、确定 a, b 的值,使下列线性方程组有解并求解
? x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ? 1 ? ?3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? x 4 ? 3 x 5 ? a ? ? x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 6 x5 ? 3 ? ?5 x 1 ? 4 x 2 ? 3 x 3 ? 3 x 4 ? x 5 ? b

8、给定向量组 ? 1 ? (1, 1, 1, 1)T , ? 2 ? (1, ? 1, 1, ? 1)T , ? 3 ? (2, 1, 2, 1)T , ? 4 ? (1, ? 1, ? 1, 1)T , 求该向量组的秩, 求出它的一个极大线性无关组, 并将其余向量用此极大线性无关组线性 表示。

四、证明题
1、设向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,证明: ? 1 ? ? 2 , ? 1 ? 3? 3 , ? 2 ? 7? 3 也线性无关。 2、设向量 ? 可由向量组 ? 1 , ? 2 , ?, ? r 线性表示,但不能由向量组 ? 1 , ? 2 , ?, ? r ?1 线性 表示,证明: ? r 不能由向量组 ? 1 , ? 2 , ?, ? r ?1 线性表示。

3

参考答案
一、填空题 1、 ? 72 2、 54 3、 a ? 1
B ?1 ? ? O ? ?

4、相关

5、3 或-2

? b a? 6、 ? ?d c? ? ? ?
10、3

? d ? b? 7、 ? ?? c a ? ? ? ?
二、单项选择题 1、C 三、计算题 1、 D ? 3 2 2、 0 ?1
T

? O 8、 ? ? A ?1 ?

? 0 ? 10 6 ? ? ? 9、 ? 0 4 ? 2? ?1 0 0 ? ? ?

2、 A

3、 D

4、 C

5、 A

6、B

7、 D

8、 A

?20 0

4 2 2 ?7 0 1 ?1

0 3 4 0 3 4 0 2 3 4 ?7 2 2 2 ? 14 1 1 1 ? 28 ? ?28 0 1 1 ?1 ?1 1 0 0 2 1

? 1 2 ? 1? ? 2 3 ? ? 2 ? 3 ? ? ? 3 ? 5? ? ?? ? ? ? ? ? T 3、 AB ? ? ? 2 1 0 ? ? 1 ? 1 ? = ? ? 3 ? 7 ? , AB ? C ? ? ? 6 ? 8 ? . ? 1 0 3 ? ? 2 4 ? ? 8 15 ? ? 7 11 ? ? ?? ? ? ? ? ?
4、由 P ? AP ? B 得 ?1 ? ( E ? A , B) ? ? 1 ?1 ?
( E ? A) P ? B , E ? A 可逆, P ? ( E ? A) ?1 B , ? 1 0 1 ? 1? ? 1 ? 1 0 1 ? 1? ? ? ? 0 ?1 2 2 ? ? ?0 1 ? 1 1 3 ? ?0 1 0 2 3 ? 3? 2 2 ? 2? ? ? ?

? 1 ? 1 0 1 ? 1? ?1 0 0 7 / 3 1/ 3 ? ? ? ? ? ? ?0 1 ? 1 1 3 ? ? ?0 1 0 4/ 3 4/ 3 ? , ?0 0 ? 0 0 1 1 / 3 ? 5 / 3? 3 1 ? 5? ? ? ? ? ?7 1 ? ? 1? 所以 P ? ? 4 4 ? . 3? ? ? 1 ? 5?

5、 ( E ? A) X ? B , ( E ? A)

?1

2 1? ? 1 ? 0 ?? 1? X ? ? ? 3 2 1? ? 2 3? ?? ? 0 ? 1 1? ? 5

? 0 1? ? ?? 3 3? ? 0 ? 1? ?3 ? ? 0 ??? 2 ? ? 3? ? ?1

1? ? 2 1? , ? 1 1? ? 2 ? 1? ? 0 ? ? 1? ?

4

?1 ? 1 0 1 ? 1? ? 1 ? 1 0 1 ? ? ? 或解: ( E ? A, B ) ? ? 1 0 ? 1 2 0 ? ? ? 0 1 ? 1 1 ?1 0 ? 2 5 ? 3? 2 4 ? ? ?0 1 ? 1 ? 1 0 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 0 1 ? 1? ?1 ? ? ? ? ? ? ?0 1 ? 1 1 1 ? ? ?0 1 ?1 1 1 ? ? ?0 ?0 0 ? ?0 3 3 ? 3? 1 1 ? 1? ? ? ?0 0 ? ? ? 3 ? 1? ? ? 所以 X ? ? 2 0 ? ? 1 ? 1? ? ?
8 ? 9 ? ?2 1 ? 5 1 ?1 ? 3 0 ? 6 ? ? ? ? ?1 ? 3 0 ? 6 9 ? ? 0 7 ? 5 13 ? 10? ?? 6、 A ? ? 0 2 ? 1 2 ? 5? 0 2 ?1 2 ?5 ? ? ? ? ? ?1 4 ? 7 6 ? 0 7 ? 7 12 ? 9 ? 0 ? ? ? ? ?

? 1? ? 1 ? ? 2? ? 0 0 3 ? 1? ? 1 0 2 0 ?, 0 1 1 ? 1? ?

?6 9 ? ?6 9 ? ?1 ? 3 0 ?1 ? 3 0 ? ? ? ? 7 5 ? 7 5 ? ?0 1 ? 2 ?0 1 ? 2 ?? ?? , 0 0 3 ? 12 ? 15? 0 0 1 ? 13 ? 14 ? ? ? ? ? ?0 0 ? 2 ?1 ? ?0 0 ? 1 0 ? 27 ? 27 ? ? ? ?

方程组有唯一解 x1 ? 3, x2 ? ?4, x3 ? ?1, x4 ? 1

?1 ? ?3 7、 A ? ? 0 ? ?5 ?

1? 1 1 1 1 ? ?1 1 ? ? ? a? ? 0 ? 1 ? 2 ? 2 ? 6 a ? 3? ?? 3? 0 1 2 2 6 3 ? ? ? ? ? 0 ? 1 ? 2 ? 2 ? 6 b ? 5? b? ? ? ? 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 1 1? ?1 1 ? ? ? ? ? a?3 ? ? 0 1 2 2 6 3? ?0 ?1 ? 2 ? 2 ? 6 ?? ? , ? ? 0 0 0 0 0 0? 0 0 0 0 0 a ? ? ? ? ? 0 0 0 0 0 0? ?0 0 0 0 0 b ? a ? 2? ? ? ? ? a ? 0, b ? 2 时有解, x1 ? ?2 ? x 3 ? x 4 ? 5 x 5 , x2 ? 3 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 6 x5 , x 3 , x 4 , x 5 为自由未知量。 1 2 1 4 1 1 2 3 1 1 1 ?3 2 6 3 ?1 2 1? 2 1 ? ?1 ?1 1 ? ? ? ? 1 ? 1? ? 0 ? 2 ? 1 ? 2? ? 0 ?? ? 2 ? 1? 0 0 0 ? 2? ? 0 ? ? ? ? ?0 ? 2 ? 1 0 ? ?0 1 1? ? ? ? ? 1 2 0 0 2 1 0 0 1? ? 2? , 1? ? 0? ?

?1 1 ? ?1 ? 1 8、 A ? (? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ? ? 1 1 ? ?1 ? 1 ?

所以向量组的秩是 3, ? 1 , ? 2 , ? 4 是一个极大无关组,

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

1 2 0 0

1 2 1 0

2? ? 1? , 0? ? 0? ?

? 3 ? ? 1 ? ? 2 ? 0? 4 .

3 2

1 2

5

四、证明题 1、设 k1 (? 1 ? ? 2 ) ? k 2 (? 1 ? 3? 3 ) ? k 3 (? 2 ? 7? 3 ) ? 0 , 即 (k1 ? k 2 )?1 ? (k1 ? k 3 )? 2 ? (3k 2 ? 7k 3 )? 3 ? 0 , 由于向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,

1 1 0 ?k1 ? k 2 ? 0 ? 所以 ?k1 ? k 3 ? 0 ,而 1 0 1 ? ?10 ? 0 ,所以 k1 ? k 2 ? k 3 ? 0 , ? 3k ? 7 k ? 0 0 3 7 3 ? 2
所以 ? 1 ? ? 2 , ? 1 ? 3? 3 , ? 2 ? 7? 3 也线性无关。 2、用反证法。若 (1) ? r ? k1? 1 ? k 2? 2 ? ? ? k r ?1? r ?1 , 又已知 (2) ? ? l1? 1 ? l 2? 2 ? ? ? l r ?1? r ?1 ? l r ? r , 将(2)代入(1),整理得 ?? (l1 ? k1 l r )? 1 ? ? ? (l r ?1 ? k r ?1 l r ) r ? r ?1 , 。 这与 ? 不能由向量组 ? 1 , ? 2 , ?, ? r ?1 线性表示的假设矛盾,所以得证 ? r 不能由向量组 ? 1 , ? 2 , ?, ? r ?1 线性表示。

6



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