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辽宁省大连育明高级中学人教版高中数学必修四教案:平面向量的数量积 人教课标版(精汇教案)

辽宁省大连育明高级中学人教版高中数学必修四教案:平面向量的数量积 人教课标版(精汇教案)

授课名称 授课人单位 教学目标
教学重点 教学难点 教学方法 教学过程

平面向量的数量积

大连育明高中

授课人 廖尔华

1、 知识与技能目标:

(1) 理解向量夹角与向量在轴上射影的概念; (2) 掌握向量的数量积的定义及性质;

2、 过程与方法目标: (1) 通过物理学中力做功这一物理背景,让学生体会从特殊到一般的

思维方法;感受知识的产生和发展的迁移过程,训练学生的逻辑

思维能力;

(2) 通过对数量积定义的理解与学习,培养学生观察、举一反三的能 力。

3、 情感目标:

通过本节学习,培养学生知识的迁移,发现、提出、解决数学问题的能力,

初步尝试数学研究的过程,发展学生的创新意识。

向量的数量积的定义及性质

对向量数量积定义及性质的理解和应用

利用力做功这一物理学背景,启发引导学生去研究向量数量积相关知识,在

学生学习本节知识中,要常运用几何直观去引导学生理解定义的实质,揭示

其几何意义。

教学 环节 新课 引入

教学内容

师生互动 设计意图

问题 物理学中力做功的定义及计算公式分别 是什么?
力做功计算公式:W ? f ? s ? cos?

学生回 答,老师 板书

让学生了解本节大致 的内容,说明这个物理 问题可通过向量解决, 激发学生的学习兴趣

概念 形成

1、 向量夹角的定义
已 知 两 个 非 零 向 量 a,b , 作 向 量

OA ? a,OB ? b ,则 ?AOB称作向量 a 与向量

b 的夹角,记作 ?a,b? 。当 ?a,b? ? 900 时称两

向量垂直,在讨论垂直问题时,规定零向量与 任意向量垂直。
在这个定义中要强调三点:()两向量的起
点要在一起;()夹角的范围是 ?0,? ?;()零向
量与其它向量没有夹角的概念。 练习()求下列两个向量的夹角:

老师提问 学生回答

通过练习,让学生初步 理解向量夹角的定义, 特别是要强化定义中 强调的三点

①1200 ② 2250

教学 环节

教学内容
()判断:两向量垂直,则两向量夹角是 900
2、 向量在轴上的正射影

师生互动 设计意图

教师提问 学生回答

让学生在学生在学习 向量知识的过程中特 别注意零向量的特殊 性

已知 a 和轴 l (如图),过点,分别作轴 l 的

垂线,垂足分别是,,则向量 O1 A1 叫向量 a 在轴 l 上的正射影(简称射影);该射影在
轴上的坐标,叫做 a 在轴上的数量或在轴的
方向上的数量。

加强几何直观,有利 于学生理解与记忆
l

问题 ()类比力做功问题, a 在轴上的正
射影是什么?正射影的数量又是什么? ()类比向量在轴上的正射影概念,向
量 a 在向量 b 上正射影的数量是多少?

教师提问 启发学生 回答,教 师点评

强调知识的迁移,培 养学生观察、类比的 能力
强化学生对定义的理 解与记忆

练习:已知轴 l :向量 | OA |? 5, OA 的方向与轴 l 的正方向所成角为 600 ,求 OA 在轴 l 上的正射
影的数量;
讨论:

学生回答 老师点评 结正射影 数量符号 的特点

向量在轴上的正射影 定义的理解是个难点, 因为向量数量积的几 何意义跟它直接相关, 通过这组练习及后面 的组织讨论,进一步深 化对它的理解

() 把练习()中所成角改为 1200 ,结果又是

多少?
()把练习()中的问题改成求 OA 在轴 l 上
的正射影,应如何去算?还须知道哪个量?

学生讨论 老师启发 后让学生 回答

教学 环节

教学内容 3、 向量数量积定义:

师生互动 设计意图

| a || b | cos?a, b? 叫做向量 a 和 b 的数量积,记

做 a ? b ,即: a ? b | a || b | cos?a, b? 。

问题 ()数量积的结果与向量加、减、数乘和

结果有何区别?

老师提问 通过这四个问题,让

()力做功问题中功实际在数学中可看 学生回答 学生掌握数量积定义

成是什么?

在学生回 的内容,并自己总结

答过程中 出数量积的几何意
()定义中两个向量 a, b 的数量积可怎 老师要配 义;把问题都放给学

样文字叙述?

以图形 生,让学生体会知识

()定义中出现 ?a,b? ,说明定义中 a, b

的迁移过程,提高学 生抽象、概括能力,

应满足什么条件?

训练学生的逻辑思

维。

概念

学生回答 通过这道练习,让学

深化 练习:已知| a |? 5,| b |? 4 ,当 a 与 b 的夹角分

生体会数量积结果跟

别是: 00 ,60 0 ,90 0 ,120 0 ,180 0 时,求 a ? b 。

哪些量有关,强化定 义的记忆,并由此得

问题 请同学们分析所得的数量积的结果,你 老师提问 到数量积的个重要的

能得到哪些结论?

组织学生 性质,培养学生独立

讨论
、a, b 均为非零向量,e 是单位向量,则有下面

分析解决问题的能力

数量的性质:

() a ?e ? e?a ?| a | cos?a,e? ; () a ? b ? a ? b ? 0 , a ? b ? 0 ? a ? b

这些性质的证明让学 生自己课下完成

() a ? a ?| a |2 或| a |? a ? a

() cos?a, b? ? a ? b | a || b |

()| a ? b |?| a || b |

应用 例题 判断正误:

强化学生对数量积定

举例

义的理解,注意数量

()若 a ? 0 ,则任一向量 b ,都有 a ? b ? 0 ; 学生回答 积运算不同于数的运

()若 a ? 0 ,且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;

老师点评 算方法,也不是前面 所学过的向量加、减、

数乘,它是结果是数。

教学 教学内容

师生互动 设计意图

环节

例题 有一等边三角形 ABC ,边长是,设

学生回答 通过本题,强化学生

老师点评 对数量积的定义及几
BC ? a,CA ? b, AB ? c ,求 a ? b ? b ? c ? c ? a 启发学生 何意义的理解和应

的值。

用多种方 用,体验创造的激情,

法解出本 激发学生的学习兴



趣。

课堂 课本练习,练习 练习

学生独立 让学生及时巩固所学

完成

的知识和方法

归纳 小结
布置 作业 课后 思考

(1) 向量夹角的定义,注意定义中强调的三 点;
(2) 向量在轴上的正射影及其数量; (3) 数量积定义及性质。 课本页,习题()、、 ()
如图,已知 ?ABC边上的高上,在边上,过和
直线上有任一点,如 AB ? BC ? ?3,求 BP ? BC
的值。

学生归纳 总结老师 引导共同 完成 学生独立 完成

帮助学生总结知识方 法,便于学生系统掌 握。
进一步巩固所学知识 和方法。 培养学生独立思考问 题的能力,强化学生 对数量积定义的理 解,特别是数量积几 何意义的应用

几点说明:()该课主要是围绕力做功这一学生所熟知的物理学背景来设计授课的,强调学生的 知识迁移能力;()由于新老教材的区别,该课新教材只给了一个课时,因此我把重点放在了 对数量积定义理解又特别是对数量积是“数”及几何意义的应用上;()本节教案中我较突出 了对正射影的教学,因为它与数量的定义的理解特别是揭示数量积的几何意义直接相关,而 且平时教学中我也发现学生对这一概念的理解和应用比较困难,但本节课的重点应是数量积 的定义,因此只能把关于正射影方面的练习放在课下让学生强化;()教材对零向量与任一向 量的数量积并没有给出定义,但介于力做功时如物体没有位移则功为零的事实,我在教案中 强调了零向量的特殊性。
生活不是等待风暴过去,而是学会在雨中翩翩起舞,不要去考虑自己能够走多快,只要知道自己在不断努力向前就行,路对了,成功就不远了。放弃了,就不该后悔。失去了,就不该回忆。放下该

放下,退出那没结局的剧。我们需要一点点的眼泪去洗掉眼中的迷雾,一点点的拥抱去疗愈受伤的心,一点点的休息去继续前行,少壮不努力,老大徒伤悲,每个人的人生都是不一样的,处同样的位 置,也是有人哭,有人笑,有人沉默。穷人缺什么:表面缺资金,本质缺野心,脑子缺观念,机会缺了解,骨子缺勇气,改变缺行动,事业缺毅力世界上最聪明的人是借用别人撞的头破血流的经 验作为自己的经验,世界上最愚蠢的人是非用自己撞得头破血流的经验才叫经验,不要抱着过去不放,拒绝新的观念和挑战,每个人都有退休的一天,但并不是每个人都能拥有退休后的保障。觉得为 时已晚的时候,恰恰是最早的时候,勿将今日之事拖到明日,学习时的苦痛是暂时的,未学到的痛苦是终生的,学习这件事,不是缺乏时间,而是缺乏努力,幸福或许不排名次,学习并不是人生的全部。 但既然连人生的一部分——学习也无法征服,还能做什么呢.


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