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2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.4.2.1正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课时作业新人教A版

2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.4.2.1正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课时作业新人教A版

5.4.2.1 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

一、选择题

1.函数 y=-5cos(3x+1)的最小正周期为( )

A.π3 B.3π

C.2π3 D.32π

解析:该函数的最小正周期

T=2π ω

=23π

.

答案:C

2.函数 f(x)= 2sin 2x 的奇偶性为( )

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

解析:因为 f(x)的定义域是 R,且 f(-x)= 2sin 2(-x)=- 2sin 2x=-f(x),

所以函数 f(x)为奇函数.

答案:A

3.函数 f(x)=sin???2

011 2π

-2

010x???是(

)

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

解析:f(x)=sin???2

011 2π

-2

010x???

=sin??????π2 -2 010x???+1 005π ???

=-sin???π2 -2 010x???=-cos 2 010x, f(x)定义域为 R,

且 f(-x)=-cos(-2 010x)=-cos 2010x=f(x),

所以函数 f(x)为偶函数.

答案:B

4.函数 f(x)=xsin???π2 -x???(

)

A.是奇函数 B.是非奇非偶函数

C.是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

解析:由题,得函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,又 f(x)=xsin???π2 -x???=xcos x,所以 f(-x)=(-x)·cos(-x)=-xcos x=-f(x),所以函数 f(x)为奇函数.

答案:A

二、填空题

5.f(x)=sin xcos x 是________(填“奇”或“偶”)函数.

解析:x∈R 时,f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),即 f(x)是奇函

数.

答案:奇

6.函数 y=cos?1-2x?π 的最小正周期是________.

解析:∵y=cos???-π2

x+π2

???,∴T=2ππ

=2π

2 ×π

=4.

2

答案:4

7.函数 f(x)是以 2 为周期的函数,且 f(2)=3,则 f(8)=________.

解析:∵f(x)的周期为 2,

∴f(x+2)=f(x),

∴f(8)=f(2+3×2)=f(2)=3.

答案:3

三、解答题

8.求下列函数的最小正周期:

(1)y=cos???-2x+π6 ???;(2)y=|sinx2|.

解析:(1)利用公式 T=|2ωπ|,可得函数

y=cos???-2x+π6 ???的最小正周期为 T=|2-π2|=π .

(2)易知函数 y=sinx2的最小正周期为 T=21π =4π ,而函数 y=???sinx2???的图象是由函数
2

y=sinx2的图象将在 x 轴下方部分翻折到上方后得到的,此时函数周期减半,即 y=???sinx2???的

最小正周期为 2π .

9.判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)= 3cos 2x;

(2)f(x)=sin???34x+32π ???; (3)f(x)=x·cos x. 解析:(1)因为 x∈R, f(-x)= 3cos(-2x)= 3cos 2x=f(x), 所以 f(x)= 3cos 2x 是偶函数. (2)因为 x∈R,f(x)=sin???34x+3π2 ???=-cos34x,所以 f(-x)=-cos3?-4 x?=-cos34x= f(x),所以函数 f(x)=sin???34x+32π ???是偶函数. (3)因为 x∈R,f(-x)=-x·cos(-x)=-x·cos x=-f(x), 所以 f(x)=xcos x 是奇函数.
[尖子生题库]
10.已知函数 y=12cos x+12|cos x|. (1)画出函数的图象; (2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期. 解析:(1)y=12cos x+12|cos x|
??cos x,x∈???2kπ -π2 ,2kπ +π2 ????k∈Z?,

???0,x∈???2kπ +π2 ,2kπ +32π ????k∈Z?,
函数图象如图所示.
(2)由图象知这个函数是周期函数,且最小正周期是 2π .


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