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2012全国名校解析几何100题经典大题汇编

2012全国名校解析几何100题经典大题汇编


2012 届数学二轮复习

解析几何解答题100题精选
y x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点, P 为双曲线 C 在第一象限内的一点, M 为左准线上 a2 b2 M P 一点, O 为坐标原点, MP ? OF , PF ? ? OF .
C:
(Ⅰ)推导双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ)当 ? ? 1 时, 经过点 (1,0) 且斜率为 ? a 的 直线交双曲线于 A, B 两点, 交 y 轴于点 D , 且 【山东省滕州二中 2012 届高三上学期期中理】22: (本小题满分 14 分)如图, F 为双曲线

O

F

x

DA ? ( 3 ? 2) DB ,求双曲线的方程.
【答案】22: 解:(Ⅰ)? MP ? OF , ? OFPM 为平行四边形. 设 l 是双曲 线的右准线,且与 PM 交于 N 点, OF ? c ,

? PF ? e PN , PF ? ? OF , OF ? PM , ? ? OF ? e PN ? e( PM ? MN ).
2a 2 ). ? e 2 ? ?e ? 2 ? 0. ………………6 分 c (Ⅱ)当 ? ? 1 时,得 e ? 2,? c ? 2a, b ? 3a.
即 ? ? c ? e( c ?

x2 y2 ? ? 1 ,…8 分 a 2 3a 2 设 直 线 AB 的 方 程 是 y ? ? a ( x ? 1), 与 双 曲 线 方 程 联 立 2 2 2 2 得: (3 ? a ) x ? 2a x ? 4a ? 0. 4 2 2 由 ? ? 4a ? 16a (3 ? a ) ? 0 得 0 ? a ? 2 .
所以可设双曲线的方程是

2a 2 4a 2 , x x ? . ①[来源:学科网 ZXXK] 1 2 a2 ? 3 a2 ? 3 由已知, D (0, a ) ,因为 DA ? ( 3 ? 2) DB ,
设A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则x1 ? x 2 ?
所以可得 x1 ? ( 3 ? 2) x 2 . ②…………10 分 由①②得 ( 3 ? 1) x 2 ?

2a 2 4a 2 2 ? x ? , , ( 3 2 ) 2 a2 ? 3 a2 ? 3 2 消去 x 2 得 a ? 2, 符合 ? ? 0 ,
x2 y2 ? ? 1 ………………14 分 2 6
2 2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 1 ? , 直线 l 与 y 轴交于点 P 2 2
1

所以双曲线的方程是

【山东济南市 2012 界高三下学期二月月考理】已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在

y 轴上,离心率 e ?

2012 届数学二轮复习 (0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP ? 3PB . (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. 【答案】21. 解:(1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0),设 c>0,c =a -b ,由条件知 a-c=

y2 x2 a b

2

2

2

2 , 2

c 2 = , a 2
∴a=1,b=c= 2 2
2

…………………3 分

故 C 的方程为:y + =1 1 2 (2)当直线斜率不存在时: m ? ?

x2

…………4 分

1 2

…………5 分

当直线斜率存在时:设 l 与椭圆 C 交点为 A(x 1,y1),B(x2,y2)

? y ? kx ? m 2 2 2 ?? 2 得(k +2)x +2kmx+(m -1)=0………6 分 2 ?2 x ? y ? 1
? Δ= (2km)2-4(k2+2)(m2-1) =4(k2-2m2+2)>0 (*)
x1+x2=
-2km m -1 , x 1x 2 = 2 k +2 k2+2
2

…7 分

………8 分

∵ AP =3 ∴-x1=3x2 ∴ ?
2

? x1 ? x2 ? ?2 x2
2 ? x1 x2 ? ?3x2
2

-2km 2 m -1 消去 x2,得 3(x1+x2) +4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0………9 分 k +2 k +2 整理得 4k m +2m -k -2=0
2 2 2 2

m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2=
2

1 4

1 4

2-2m , 2 4m -1

2

………10 分

2-2m 1 1 2 ? 0,∴ ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 ∴k = 2 4m -1 2 2 把k=
2

2-2m 1 1 代入(*)得 ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 2 4m -1 2 2

2

∴ ?1 ? m ? ?

1 1 或 ? m ?1 2 2
2

…………11 分

2012 届数学二轮复习 综上 m 的取值范围为 ? 1 ? m ? ?

1 1 或 ? m ? 1 ………………12 分 2 2

【山东省济南一中 2012 届高三上学期期末理】21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E 的长轴 的一个端点是抛物线 y ? 4 5 x 的焦点,离心率是
2

6 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 C(—1,0),斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点,请问 x 轴上是否存 在点 M,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 【 答 案 】 21. 解 : ( 1 ) 根 据 条 件 可 知 椭 圆 的 焦 点 在

x 轴 , 且

a ? 5, 又c ? ea ?

6 30 ? 5? , 故b ? a 2 ? c 2 3 3
………………3 分

10 5 x2 y2 ? 5? ? , 故所求方程为 ? ? 1, 即 x 2 ? 3 y 2 ? 5 5 5 3 3 3
2

(2)假设存在点 M 符合题意,设 AB: y ? k ( x ? 1), 代入 E : x ? 3 y ? 5 得:
2

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0

………………4 分

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), M (m,0) 则 x1 ? x 2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 x x , ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

………6 分

???? ???? 1 6m ? 14 MA ? MB ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x1 ) ? k 2 ? m2 ? m 2 ? 2m ? ? ……10 分 3 3(3k 2 ? 1)
要使上式与 K 无关,则有 6m ? 14 ? 0, ,解得 m ? ?

7 7 ,存在点 M ( ? ,0) 满足题意。12 分 3 3

【山东省济宁市金乡二中 2012 届高三 11 月月考理】 23、 (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 上的动点 P 到点 F (2,0) 的距离比它到直线 x ? ?1 的距离大 1 . (I)求曲线 C 的方程; (II)过点 F ( 2,0) 且倾斜角为 ? (0 ? ? ?

) 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的 2 垂直平分线 m 交 x 轴于点 P ,证明: | FP | ? | FP | ? cos 2? 为定值,并求出此定值. 【答案】23、解:(I)设动点 P ( x, y ) ,动点 P 到点 F ( 2,0) 的距离比它到直线 x ? ?1 的
距离 多 1 。即动点 P 到点 F ( 2,0) 的距离等于它到直线 x ? ?2 的距离 则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ?| x ? 2 |
3

?

2012 届数学二轮复习 两边平方 ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2)
2 2 2

化简可得: y ? 8 x (II)如图,作 AC ? l , BD ? l
2

设 A , B 的横坐标分别为 x A , xB 则 | FA |?| AC |? x A ?

y
C A

p 2

?
B F

D p p ?| FA | cos ? ? ? B 2 2 ?| FA | cos ? ? 4 4 解得 | FA |? 1 ? cos ? 同理 | FB |? 4? | FB | cos ? 4 解得 | FB |? 1 ? cos ? 记 m 与 AB 的交点为 E 1 1 4 4 | FE |?| FA | ? | AE | ?| FA | ? | AB | ? ( ) ? 2 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? 4 cos ? ? sin 2 ? | FE | 4 ?| FP |? ? cos ? sin 2 ? 4 故 | FP | ? | FP | ? cos 2? ? (1 ? cos 2? ) ? 8 sin 2 ? 【山东省苍山县 2012 届高三上学期期末检测理】22.(本题满分 14 分) 如图,斜率为 1 的直线 l 过抛物线 ? : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,与抛物线交于两点 A, B。 (1)若|AB|=8,求抛物线 ? 的方程; (2)设 P 是抛物线 ? 上异于 A,B 的任意一点,直线 PA,PB 分别交抛物线的准线于 M, N 两点,证明 M,N 两点的纵坐标之积为定值(仅与 p 有关)。
2

P m

x

【答案】22.解:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), (1)由条件知直线 l : y ? x ?

p . .……1 分 2

p ? p2 ?y ? x ? , 2 由? ? 0. …………2 分 2 消去 y,得 x ? 3 px ? 4 ? y 2 ? 2 px ?
4

2012 届数学二轮复习

p2 ? 0. (不写,不扣分) 4 p2 . .……………………………3 分 由韦达定理, x1 ? x 2 ? 3 p, x1 x 2 ? 4 p p 由抛物线的定义, | AB |? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? 3 p ? p ? 4 p. 2 2 2 从而 4 p ? 8,2 p ? 4. 所求抛物的方程为 y ? 4 x. .…………………6 分 2 (2),易得 y1 y 2 ? ? p , y1 ? y 2 ? 2 p. .……………………………7 分
由题意,判别式 ? ? ( ?3 p ) ? 4 ?
2

设 P ( x0 , y 0 ) 。将 x0 ? 得 PA : y ? y 0 ?

2 y ? y0 y0 y2 ( x ? x0 ), , x1 ? 1 代入直线 PA 的方程 y ? y 0 ? 1 x1 ? x0 2p 2p

2p ( x ? x0 ). .……………………………9 分[来源:学科网 ZXXK] y1 ? y 0 2p 同理直线 PB 的方程为 y ? y 0 ? ( x ? x0 ) .……………… 10 分 y2 ? y0 p 将 x ? ? 代入直线 PA,P B 的方程得 2 y y ? p2 y y ? p2 yM ? 0 1 , yN ? 0 2 . .……………………………12 分 y1 ? y 0 y2 ? y0
【山东省淄博市第一中学2012届高三第一学期期中理】22、(满分14分) 已知点 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P 为椭圆上任意 a2 b2

一点, P 到焦点 F2 的距离的最大值为 2 ? 1 ,且 ?PF1 F2 的最大面积为 1 (1)求椭圆 C 的方程。 (2)点 M 的坐标为 ( ,0) ,过点 F2 且斜率为 k 的直线 L 与椭圆 C 相交于 A, B 两点。对 于任意的 k ? R, MA ? MB 是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由。 1 2 2 2 【答案】22.解:⑴由题意可知:a+c= 2 +1 , ×2c×b=1,有∵a =b +c 2 2 2 2 ∴a =2, b =1, c =1 ∴所求椭圆的方程为:

5 4

x2 ? y2 ? 1 2

5 ⑵设直线 l 的方程为:y=k(x-1)A(x1,y1) ,B(x2,y2),M( ,0) 4
5

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?x 2 ? ? y ?1 1 ? 2k 2)x 2 - 4k 2 x ? 2k 2 - 2 ? 0 联立 ? 2 消去y得:( ? y=k ? x-1? ?
2

? 4k 2 ? ? x x ? 1 2 1 ? 2k 2 ? 2k 2 ? 2 ? 则 ? x1 x2 ? 1 ? 2k 2 ? ?? ? 0 ? ?


???? ???? ???? ???? 5 5 5 5 ( x2 ? ) ? y1 y2 MA ? ( x1 ? , y1 ) MB ? ( x2 ? , y2 ) ? MA ? MB ? ( x1 ? ) 4 4 4 4 5 25 = - ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 + +y1 y2 4 16 7 =16 ???? ???? 7 ? 对任意x ? R, 有MA ? MB =- 为定值. 16
【山东省青州市2012届高三2月月考理】21.(本小题满分12分)已知点 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P 为椭圆上 任意一点, P 到焦点 F2 的距离的 a2 b2 最大值为 2 ? 1 ,且 ?PF1 F2 的最大面积为 1 . C:
(I)求椭圆 C 的方程。 (II)点 M 的坐标为 ( ,0) ,过点 F2 且斜率为 k 的直线 L 与椭圆 C 相交于 A, B 两点。对

5 4 于任意的 k ? R, MA ? MB 是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由。

1 2 2 2 【答案】21. 解:(I)由题意可知:a+c= 2 +1 , ×2c×b=1,有∵a =b +c 2 2 2 2 ∴a =2, b =1, c =1 ∴所求椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

…………….4 分

5 (II)设直线 l 的方程为:y=k(x-1)A(x1,y1) ,B(x2,y2),M( ,0) 4

? x2 2 ? ? y ?1 1 ? 2k 2)x 2 - 4k 2 x ? 2k 2 - 2 ? 0 联立 ? 2 消去y得:( ? y=k ? x-1? ?
6

2012 届数学二轮复习

? 4k ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 ? 2 则 ? x x ? 2k ? 2 ? 1 2 1 ? 2k 2 ? ?? ? 0 ? ? ???? ???? ???? ???? 5 5 5 5 MA ? ( x1 ? , y1 ) MB ? ( x2 ? , y2 ) ? MA ? MB ? ( x1 ? ) ( x2 ? ) ? y1 y2 4 4 4 4 5 25 = - ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 + +y1 y2 4 16 7 =16 ???? ???? 7 ? 对任意x ? R, 有MA ? MB =- 为定值................12分 16 【山东省青岛市 2012 届高三期末检测 理】17. (本小题满分 12 分)
2

已知函数 y ? ax ? 2ax ? 1 的定义域为 R ,解关于 x 的不等式 x ? x ? a ? a ? 0 . 【答案】17. (本小题满分 12 分)
2
2 2

解:因为函数 y ?

ax 2 ? 2ax ? 1 的定义域为 R ,
…………………………………………3 分

所以 ax 2 ? 2 ax ? 1 ? 0 恒成立 ? ?? …………………………………………………2 分 当 a ? 0 时,为满足 ? ?? 必有 a ? 0 且 ? ? 4a 2 ? 4a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 , 原不等式可化为 ? x ? a ? ? ? x ? ?1 ? a ? ? ??0 当 a ? 0 时, 1 ? 0 恒成立,满足题意,

综上可知: a 的取值范围是 0 ? a ? 1 ……………………………………………6 分

1 时,不等式的解为: x ? a ,或 x ? 1 ? a ……………………………8 分 2 1 1 …………………………………………9 分 当 a ? 时, 不等式的解为: x ? 2 2 1 当 ? a ? 1 时,不等式的解为: x ? 1 ? a ,或 x ? a …………………………11 分 2 1 综上,当 0 ? a ? 时,不等式的解集为: {x x ? a 或 x ? 1 ? a} 2 1 1 当 a ? 时, 不等式的解集为: {x x ? } 2 2 1 当 ? a ? 1 时,不等式的解集为: {x x ? 1 ? a 或 x ? a} ………………………12 分 2
当0 ? a ? 【山东省莱芜市 2012 届高 三上学期期末检测 理】本小题满分 12 分)

y2 x2 设椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上焦点是 F1 ,过点 P(3,4)和 F1 作直线 P F1 交椭 a b
7

2012 届数学二轮复习 圆于 A、B 两点,已知 A( ,

1 4 ). 3 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设点 C 是椭圆 E 上到直线 P F1 距离最远的点,求 C 点的坐标。 【答案】解:(1)由 A( ,

1 4 )和 P(3,4)可求直线 PF1 的方程为:y=x+1……………1 3 3
……………2 分

分 令 x=0,得 y=1,即 c=1 椭圆 E 的焦点为 F1 (0,1) 、 F2 (0,?1) ,由椭圆的定义可知

1 4 1 4 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? ( ) 2 ? ( ? 1) 2 ? ( ) 2 ? ( ? 1) 2 ? 2 2 3 3 3 3 ∴ a ? 2, b ? 1
椭圆 E 的方程为

…………………4 分 ……………5 分 …………6 分 …………………7 分 …………… 8 分

B.设与直线 PF1 平行的直线 l : y ? x ? m

y2 ? x2 ? 1 2

? y2 ? ? x2 ? 1 2 2 ,消去 y 得 3x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 ?2 ?y ? x ? m ?
? ? ( 2m) 2 ? 4 ? 3 ? ( m 2 ? 2) ? 0 ,即 m 2 ? 3, m ? ? 3

…………9 分

要使点 C 到直线 PF1 的距离最远,则直线 L 要在直线 PF1 的下方,所以 m ? ? 3 …10 分 此时直线 l 与椭圆 E 的切点坐标为 (
2

3 2 3 3 2 3 ,? ) ,故 C( ( ,? ) 为所求。 ……12 分 3 3 3 3

【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末检测 理】(本小题满分 14 分) 已知抛物线 y ? ?2 px ( p ? 0) 的焦点为 F,过 F 的直线交 y 轴正半轴于点P,交抛物线于 A, B 两点,其中 A 在第二象限。 (1)求证:以线段 FA 为直径为圆与 Y 轴相切; (2)若 FA ? ?1 AP, BF ? ?2 FA ,求 ?2 ? ?1 的值. 【答案】解:(1)由已知 F( ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

p ,0 ),设 A( x1 , y1 ),则 2 2 x ? p y1 p ? 2 x1 圆心坐标为 ( 1 . , ) ,圆心到 y 轴的距离为 4 2 4 p ? 2 x1 | FA | 1 p , ? ( ? x1 ) ? 2 2 2 4

…………………… 2

分 圆的半径为 ……………………4 分

∴以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切。 …………………… 5 分 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3)设 P(0, y0 ),B( x2 , y2 ),由 FA ? ?1 AP, BF ? ?2 FA ,得 ?1 ? 0, ?2 ? 0 .
8

2012 届数学二轮复习

( x1 ?


p , y1 ) ? ?1 ( ? x1 , y0 ? y1 ), 2

……………………6

p p ? x2 ,? y2 ) ? ?2 ( x1 ? , y1 ) . 2 2 p ∴ x1 ? ? ??1 x1 ① 2 p p ? ? x2 ? ?2 ( x1 ? ) ② 2 2 ? y2 ? ?2 y1 ③ (?
∵ y2 ? ?2 px2 , y1 ? ?2 px1 . 将③变形为 y2 ? ?2 y1 ,∴ x2 ? ?2 x1 . 将 x2 ? ?2 x1 代入②,整理得 x1 ? ? 代入①得 ?
2 2 2 2 2 2 2

……………… 7 分

…………………10 分

………………11 分 ………………12 分 ………………13 分 ………………14 分

p 2?2

1

?2 即 ?2 ? ?1 ? 1 .

?1 ?

?1 . ?2

【山东省烟台市 2012 届高三期末检测理】22.(本不题满分 14 分) 已知在平面直角坐标系 xoy 中,向量 j ? (0,1) ,△OFP 的面积为 2 3 ,且 OF ? FP ? t ,

3 OP ? j 。 3 (1)设 4 ? t ? 4 3 ,求向量 OF与FP 的夹角 ? 的取值范围; OM ?
(2)设以原点 O 为中心,对称轴在坐标轴上,以 F 为右焦点的椭圆经过点 M,且 OF ? c, t ? ( 3 ? 1)c 2 , 当 OP 取最小值时,求椭圆的方程。 【答案】22.解:(1)由 2 3 ?

1 4 3 OF ? FP sin ? , 得 OF ? FP ? , 2 sin ?

又 cos ? ?

OF OF

?

FP FP

?

t sin ? 4 3 , 得 tan ? ? , ????3分 t 4 3

因为 4 ? t ? 4 3 , 所以1 ? tan ? ?

3,

因为? ? ?0, ? ?, 所以夹角?的取值范围是( , ) ????6分 [来源:学,科, 4 3
网] (2)设 P ( x0 , y0 ), 则FP ? ( x0 ? c, y0 ), OF ? (c,0).

? ?

9

2012 届数学二轮复习

所以OF ? FP ? ( x0 ? c )c ? t ? ( 3 ? 1)c 2 , 所以x0 ? 3c, S ? OFP ? 4 3 1 OF ? y0 ? 2 3 , 所以y0 ? ? ????8分 c 2
2 2

所以 OP ? x0 ? y0 ? ( 3c) 2 ? ( 3c ?

4 3 2 4 3 ? 2 6 ,当 ) ? 2 3c ? c c

4 3 OP ? (2 3 ,?2 3 ), 所以 , 即c ? 2时,OP 取最小值2 6, 此时, c 3 OM ? (2 3 ,2 3 ) ? (0,1) ? (2,3)或 3 3 OM ? ?????12分 (2 3 ,?2 3 ) ? (0,1) ? (2,?1), 3 椭圆长轴2a ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 8, 所以a ? 4, b 2 ? 12, 或2a ? (2 ? 2) 2 ? (?1 ? 0) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (?1 ? 0) 2 ? 1 ? 17 , 1 ? 17 2 1 ? 17 , ,b ? 2 2 x2 y2 x2 y2 故所求椭圆方程为 ? ? 1或 ? ? 1.??????14分 16 12 9 ? 17 9 ? 17 1 2 2 所以a ?
【山东省潍坊市重点中学 2012 届高三 2 月月考理】(本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半径为 a 2 ? b 2 的圆是椭 a2 b2 圆C 的 “准圆” 。 若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2 ,0) , 其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程. (Ⅱ) 点 P 是椭圆 C 的 “准圆” 上的一个动点, 过动点 P 作直线 l1 , l 2 使得 l1 , l 2 与椭圆 C 都只有一个交点,且 l1 , l 2 分别交其“准圆”于点 M , N ; (1)当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1 , l 2 的方程. (2)求证: MN 为定值.
给定椭圆 C : 【答案】21.解:(Ⅰ)? c ? 准圆方程为 x ? y ? 4 。
2 2

2 , a ? 3 ,? b ? 1 ,? 椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ……2 分 3

…………3 分
2

(Ⅱ)(1)因为准圆 x ? y ? 4 与 y 轴正半轴的交点为 P (0,2) ,
2

设过点 P (0,2) 且与椭圆有一个公共点的直线为 y ? kx ? 2 ,

10

2012 届数学二轮复习

? y ? kx ? 2 ? 2 2 所以由 ? x 2 消去 y ,得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?3 因为椭圆与 y ? kx ? 2 只有一个公共点, 2 2 …………………………5 分 所以 ? ? 144 k ? 4 ? 9(1 ? 3k ) ? 0 ,解得 k ? ?1。 …………………………6 分 所以 l1 , l 2 方程为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2 . (2)①当 l1 , l 2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率,
因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 x ? ? 3 , 当 l1 方程为 x ? 此时经过点

3 ,?1 )且与椭圆只有一个公共点的直线是 y ? 1 (或 y ? ?1 ), 即 l 2 为 y ? 1 (或 y ? ?1 ),显然直线 l1 , l 2 垂直;
同理可证 l1 方程为 x ? ? 3 时,直线 l1 , l 2 垂直.
2 2

? 3,1?(或 ?

3 时,此时 l1 与准圆交于点

?

? 3,1?, ?

3 , ?1 ,

?

…………………………7 分

②当 l1 , l 2 都有斜率时,设点 P ( x0 , y 0 ) ,其中 x0 ? y 0 ? 4 . 设经过点 P ( x0 , y 0 ) 与椭圆只有一个公共点的直线为 y ? t ( x ? x 0 ) ? y 0 ,

? y ? tx ? ( y 0 ? tx0 ) ? 消去 y ,得 则 ? x2 (1 ? 3t 2 ) x 2 ? 6t ( y 0 ? tx 0 ) x ? 3( y 0 ? tx 0 ) 2 ? 3 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?3

(3 ? x0 )t ? 2 x0 y 0 t ? 1 ? y 0 ? 0 .…………………………8 分 由 ? ? 0 化简整理得:
2

2

2

(3 ? x0 )t ? 2 x0 y 0 t ? ( x0 ? 3) ? 0 . 因为 x0 ? y 0 ? 4 ,所以有
2

2

2

2

2

设 l1 , l 2 的斜率分别为 t1 , t 2 ,因为 l1 , l 2 与椭圆只有一个公共点,

(3 ? x0 )t ? 2 x0 y 0 t ? ( x0 ? 3) ? 0 , 所以 t1 , t 2 满足上述方程
2

2

2

所以 t1 ? t 2 ? ?1 ,即 l1 , l 2 垂直. 线段 MN 为准圆 x ? y ? 4 的直径,所以 MN =4.
2 2

…………………………10 分 ………………………12 分

综合①②知:因为 l1 , l 2 经过点 P ( x0 , y 0 ) ,又分别交其准圆于点 M , N ,且 l1 , l 2 垂直,所以

【山东省潍坊市三县 2012 届高三 12 月联考理】19. 如图,椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 焦点在 x 轴 2 a2

上,左、右顶点分别为 A1、A,上顶点为 B.抛物线 C1、C:分别以 A、B 为焦点,其顶点均为 坐标原点 O,C1 与 C2 相交于直线 y ? ⑴求椭圆 C 及抛物线 C1、C2 的方程; ⑵若动直线 l 与直线 OP 垂直, 且与椭圆 C 交于不同两点 M、 N, 已知点 Q (? 的最小值.

2 x 上一点 P.

2, 0) , 求 QM ? QN

11

2012 届数学二轮复习

0) , B (0, 2 ) , 故抛物线 C1 的方程可设为 y ? 4ax , 【答案】 19. 解: (Ⅰ) 由题意, A (a,
2

C2 的方程为 x 2 ? 4 2 y ………… 1 分

? y 2 ? 4ax ? ? 2 由 ?x ? 4 2 y ? ? ? y ? 2x
所以椭圆 C:

得 a ? 4, P (8,8 2 ) ………… 3 分

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线 C1: y 2 ? 16 x, 抛物线 C2: x 2 ? 4 2 y ………5 分 16 2
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 OP 的斜率为 2 ,所以直线 l 的斜率为 ? 设直线 l 方程为 y ? ?

2 x?b 2

? x2 y2 ? ?1 ? ? 16 2 2 2 ,整理得 5 x ? 8 2bx ? (8b ? 16) ? 0 ………… 6 分 由? ?y ? ? 2 x ? b ? 2 ?
因为动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点,所以 ? ? 128b ? 20(8b ? 16) ? 0
2 2

解得 ? 10 ? b ? 10

………… 7 分

设 M( x1 , y1 )、N( x 2 , y 2 ),则 x1 ? x 2 ?

8 2 8b 2 ? 16 b, x1 x 2 ? 5 5

y1 y 2 ? (?

b2 ? 8 2 2 1 2b ……8 分 x1 ? b)( ? x 2 ? b) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? b 2 ? 2 2 2 2 5

[来源:Z|xx|k.Com] 因为 QM ? ( x1 ?

2 , y1 ), QN ? ( x 2 ? 2 , y 2 )
12

2012 届数学二轮复习 所以 QM ? QN ? ( x1 ?

2 , y1 )( x 2 ? 2 , y 2 ) ? x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? y1 y 2 ? 2

?

9b 2 ? 16b ? 14 ………… 10 分 5
8 时, QM ? QN 取得最小值 9

因为 ? 10 ? b ? 10 ,所以当 b ? ? 其最小值等于

9 8 16 8 14 38 ? (? ) 2 ? (? ) ? ? ? ………… 12 分 5 9 5 9 5 9

【山东省潍坊市三县2012届高三12月联考理】21. 一条斜率为1的直线 l 与离心率e=

2 的椭 2

圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交 于 P 、 Q 两 点 , 直 线 l 与 y 轴 交 于 点 R , 且 a2 b2

OPOQ ? ?3, PR ? 3RQ ,求直线 l 和椭圆C的方程;
【答案】21. ∵e=
2 2

2 c 2 2 x y 2 ,∴ = ,a =2b ,则椭圆方程为 2+ 2=1,设 l 方程为:y=x+ 2b b 2 a 2 m,P(x1,y1),Q(x2,y2),

2

2

x y ? ? 2+ 2=1 2 联立? b b ? ?y=x+m
2

消去 y 得 3x +4mx+2m -2b =0,
2 2 2 2

2

2

2

故有Δ=16m -4×3(2m -2b )=8(-m +3b )>0 2 2 ∴3b >m (*) 4 x1+x2=- m(1) 3 2 x1x2= (m2-b2)(2) 3 又·=-3 得 x1x2+y1y2=-3, 2 而 y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m , 4 2 4 2 2 2 2 2 2 所以 2x1x2+m(x1+x2)+m =-3? (m -b )- m +m =-3,∴3m -4b =-9(3) 3 3 又 R(0,m),=3,(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m) 从而-x1=3x2(4) 2 2 由(1)(2)(4)得 3m =b (5) 2 由(3)(5)解得 b =3,m=±1 适合(*), ∴所求直线 l 方程为 y=x+1 或 y=x-1;椭圆 C 的方程为 + =1. 6 3

x2 y2

x2 y2 【山东省阳信一中 2012 届高三上学期期末理】19.(16 分)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
13

2012 届数学二轮复习 的左、右焦点分别是 F1 ( ?c,0) , F2 (c,0) ,过 F1 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,

B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列. (1)求证: b ? c ; (2)设点 P(0,?1) 在线段 AB的垂直平分线上,求椭圆 C 的方程.
【答案】19.解:(1)由题设,得 2 AB ? AF2 ? BF2 , 由椭圆定义 AB ? AF2 ? BF2 ? 4a ,

4 a .………………………………………………………………………3 分 3 设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , F1 (?c,0) , l : x ? y ? c ,代入椭圆 C 的方程,整理得
所以, AB ?

(a 2 ? b 2 ) y 2 ? 2b 2 cy ? b 4 ? 0 ,(*)…………………………2 分
则 AB
2

? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ]

?? 2b 2 c ? 2 4b 4 ? 2 8b 4 4 2 2 2 ? ? ? 2?? ? ? 4 b c ? a ? b ? ? 2a 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 ? a2 ? b2 ? a ?b ? (a ? b ) ? ? ?? ? (a ? b ) 4 4b 2 ……………………………………………………4 分 于是有 a ? 2 ?a, 3 a ? b2 化简,得 a ? 2b ,故, b ? c . ……………………………………………………1 分 2 2 ………………1 分 (2)由(1)有 b ? c ,方程(*)可化为 3 y ? 2by ? b ? 0 1 b 设 AB 中点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则 y 0 ? ( y1 ? y 2 ) ? , 2 3 2b 又 M ? l ,于是 x 0 ? y 0 ? c ? ? . ………………………………………………2 分 3 由 PA ? PB 知 PM 为 AB 的中垂线, k PM ? ?1 ,

?

?

b ?1 3 2 ,解得 b ? 3 , a ? 18 , 由 P (0,?1) ,得 ? 1 ? 2b ? 3
学科网 ZXXK]

…………………………2 分[来源:

x2 y2 ? ? 1 .…………………………………………………1 分 故,椭圆 C 的方程为 18 9
【山东省枣庄市 2012 届高三上学期期末理】22.(本题满分 14 分)

y2 x2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a >b> 0 ? 的离心率为 , 且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 a b 2 2 2 .斜率为 k ?k ? 0 ? 的直线 l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平
分线与 y 轴相交于点 M(0,m). (1)求椭圆的标准方程; (2)求 m 的取值范围.
14

2012 届数学二轮复习 (3)试用 m 表示△MPQ 的面积 S,并求面积 S 的最大值. 【答案】22.解:(1)依题意可得 ?
2 2 2 2

? ?a ? c ? 2 ? 1, 解得 a ? 2 , c ? 1. ? a ? c ? 2 ? 1 , ? y2 ? x 2 ? 1. …………………4 分 2

从而 a ? 2, b ? a ? c ? 1. 所求椭圆方程为 (2)直线 l 的方程为 y ? kx ? 1.

? y ? kx ? 1, ? 2 2 由 ? y2 可得 k ? 2 x ? 2kx ? 1 ? 0. 2 ? ? x ? 1, ?2 2 2 2 该方程的判别式△= 4k ? 4 2 ? k ? 8 ? 8k >0 恒成立. 1 ? 2k 设 P? x1 , y1 ?, Q? x2 , y2 ?, 则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? ? 2 . ………………5 分 k ?2 k ?2 4 可得 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 . k ?2 2 ? ? ?k 设线段 PQ 中点为 N,则点 N 的 坐标为 ? 2 , 2 ?. ………………6 分 ?k ?2 k ?2? k ? 2 1? 线段 PQ 的垂直平分线方程为 y ? 2 ? ?x? 2 ?. k ?2 k ? k ?2? 1 令 x ? 0 ,由题意 m ? 2 . ………………………………………………7 分 k ?2 1 又 k ? 0 ,所以 0< m < . …………………………………………………8 分 2 m ?1 1? m (3)点 M ?0, m ? 到直线 l : y ? kx ? 1 的距离 d ? ? 2 1? k 1? k 2

?

?

?

?

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?
2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
2

4 ? ? 2k ? ? 1? k ? ? 2 ? ? 2 ?k ?2? k ?2

1? k 2 ?
于是 S ?MPQ?

8k 2 ? 8 k2 ? 2

1 1 1? m 8k 2 ? 8 ? d ? PQ ? ? ? 1? k 2 ? 2 2 2 1? k 2 k ?2 ?

1 ? m 8k 2 ? 8 . ? 2 2 k ?2 1 1 3 由m ? 2 , 可得 k 2 ? ? 2. 代入上式,得 S ?MPQ ? 2m?1 ? m ? , m k ?2
15

2012 届数学二轮复习

1? 3 2m?1 ? m ? ?0 < m < ? .…………………………………………11 分 2? 3 2 设 f ?m ? ? m?1 ? m ? , 则 f ??m ? ? ?1 ? m ? ?1 ? 4 m ?. [来源:学§科§网] 1 1 1 而 f ??m? >0 ? 0<m< , f ??m ? <0 ? <m< , 4 2 4 ? 1? ?1 1? 所以 f ?m? 在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减. ? 4? ?4 2? 1 ? 1 ? 27 所以当 m ? 时, f ?m? 有最大值 f ? ? ? . ……………………13 分 4 ? 4 ? 256
即S ? 所以当 m ?

3 6 1 时,△MPQ 的面积 S 有最大值 . …………………14 分 16 4

6 .( 江 苏 省 淮 阴 中 学 、 海 门 中 学 、 天 一 中 学 2012 届 高 三 联 考 ) 已 知 B 为 双 曲 线
??? ? ??? ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左准线与 x 轴的交点,点 A(0, b) ,若满足 AP ? 2 AB 的点 P 在双 2 a b 曲线上,则该双曲线的离心率为 .

.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学 2012 届高三联考)在平面直角坐标系 xoy 中,抛 MO 2 的最大值为 . 物线 y ? 2 x 的焦点为 F 设 M 是抛物线上的动点,则 MF 【解析】焦点 F ? 等于 d ,则

14

1 ?1 ? , 0 ? ,设 M ? m, n ? ,则 n 2 ? 2m , m ? 0 ,设 M 到准线 x ? ? 的距离 2 ?2 ?
= = = = =

=

=

.令 m-

1 1 =t , t> ,则 4 4
=

[来源:学科网]

=

=



(当且仅当 t=

3 时,等号成立). 4



的最大值为

16

2012 届数学二轮复习

的轨迹也是一抛物线,记为 L1 .对 L1 重 复以上过程,又得一抛物线 L2 ,以此类推.设如此 得到抛物线的序列为 L1 , L2 , ? , Ln ,若抛物线 L 的方程为 y ? 6 x ,经专家计算得,
2

13.(江苏省泰州中学 2012 年 3 月高三第一次学情调研)已知点 F 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,过原点的直线交椭圆于点 A、P,PF 垂直于 x 轴,直线 a 2 b2
AF 交椭圆于点 B, PB ? PA ,则该椭圆的离心率 e =___▲___.

2 2

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

17

2012 届数学二轮复习

直线 PM 的方程为 y=

y0-1 x+1, x0

① ② ………………………… 8 分

直线 QN 的方程为 y=

y0-2 x+2. - x0

x0 3y0-4 x0 3y0-4 证法一 联立①②解得 x= ,y = ,即 T( , ).……… 11 分 2y0-3 2y0-3 2y0-3 2y0-3


x0 2 y0 2
8 + 2

=1 可 得 x0 =8-4y0 .
2 2

2

2

1 x0 2 1 3y0-4 2 x0 +4(3y0-4) 因为 ( )+ ( )= 2 8 2y0-3 8(2y0-3) 2 2y0-3
2 2 2



8-4y0 +4(3y0-4) 32y0 -96y0+72 8(2y0-3) = = 2 2 2=1, 8(2y0-3) 8(2y0-3) 8(2y0-3)

2

18

2012 届数学二轮复习

?c 2 ? ? ?a ? 2 ? ?a 【解析】 ?1? 由题设: ? 2 2 ,? ? ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , ? c 1 a ? ? ? ?2 ? ? c x2 ? y2 ? 1 ? 椭圆 C 的方程为: 2



19

2012 届数学二轮复习

∴ x0 2 ? y0 2 =2,? 点 P 在定圆 x 2 ? y 2 =2 上. 22.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学 2012 届高三联考)(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1,1) ,P 是动点,且三角形 POA 的三边所 在直线的 斜 率满足 kOP+ kOA=kPA.
[来源:学*科*网]

20

2012 届数学二轮复习

联 立①②,得 x ? ? 由 S?PQA

由 PO ? 2OM ,得 x1 ? 1 ,∴ P 的坐标为 (1,1) . ∴存在点 P 满足 S?PQA ? 2S?PSM , P 的坐标为 (1,1) . 10 分

??? ?

1 1 ,∴点 M 的横坐标为定值 ? . …………8 分 2 2 ? 2 S?PAM ,得到 QA ? 2 AM ,因为 PQ //OA ,所以 OP ? 2OM ,

???? ?

[来源:学*科*网]

21

2012 届数学二轮复习

22

2012 届数学二轮复习

18. (江苏省泰州中学 2012 年 3 月高三第一次学情调研)(本小题满分 16 分) 已 知 点 (2, 2 3) 在 双 曲 线 M :

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 上 , 圆 m2 n2

C :

23

2012 届数学二轮复习

( x ? a) ? ( y ? b) ? r (a ? 0, b ? R, r ? 0) 与双曲线 M 的一条渐近线相切于点(1,2),且
2 2 2

圆 C 被 x 轴截得的弦长为 4.(Ⅰ)求双曲线 M 的方程;(Ⅱ)求圆 C 的方程 ;(Ⅲ) 过圆 C 内一定点 Q(s,t)(不同于点 C)任作一条直线与圆 C 相交于点 A、B ,以 A、B 为切点分别 作圆 C 的切线 PA、PB,求证:点 P 在定直线 l 上, 并求出直线 l 的方程. 18. (Ⅰ) x ?
2

y2 2 2 (Ⅱ)( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 5 , (Ⅲ)( s ? 3) x ? (t ? 1) y ? 3s ? t ? 5 ? 0 ? 1, 4

[ 来

源:Z&xx&k.Com

5. (浙江省宁波市鄞州区 2012 年 3 月高考适应性考试文科)已知实数 4, m ,9 构成一个

等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为( m
24



2012 届数学二轮复习

A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

5 D. 或7 6

1 0.(浙江省台州中学 2012 届高三下学期第二次统练文科)设双曲线 C:

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

( b ? a ? 0 )的左、右焦点分别为 F1,F2.若在双曲线的右支上存在一点 P,使得 |PF1| =3|PF2|,则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为 (A) (1,2] (1,2) (B) ( 2, 2] (C) ( 2, 2) (D)

A. 6 D.

B. 3

C



2

3 3
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线 a 2 b2

9. (浙江省杭州十四中 2012 年 2 月高三月考文科)若双曲线 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相切,则该双曲线的离心率为
25

2012 届数学二轮复习

2 3 3 【答案】D
(A)

(B)

4 3

(C)

2

(D) 2

1 4.(浙江省温州市 2012 年 2 月高三第一次适应性测试文)已知双曲线

x y ? 2 ? 1(b ? 0) 的 4 b

2

2

离心率为 2,则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为 。2 3 (16) (浙江省 2012 年 2 月三校联考高三文科) 已知直线 l1:4x?3y+6=0 和直线 l2:x= ?1, 2 则抛物线 y =4x 上的动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 2 ; 17. (浙江省宁波市鄞州区 2012 年 3 月高考适应性考试文科)在直角坐标系中, ?ABC 的两个 顶点 A, B 坐标分别为 A(?1,0), B (1,0) ,平面内两点 G、M 同时满足下列条件:

(1)GA ? GB ? GC ? 0

(2) MA ? MB ? MC

(3)GM // AB

则 ?ABC 的另一个顶点 C 的轨迹方程为

26

2012 届数学二轮复习

(16) (浙江省台州中学 2012 届高三下学期第一次统练理科)若点 P 在曲线 C1 :

x2

16

?

y2

9

? 1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5) +y =1 上,点 R 在曲线 C3:(x+5) +y =1 上,
2 2 2 2

则 | PQ |-| PR | 的最大值是

10



三、解答题: 21.(浙江省部分重点中学 2012 年 3 月高三第二学期联考理科) (本小题满分 15 分).

2 1.(本小题满分 15 分) (Ⅰ)由 C 2 : x ? 4 y 知 F1 (0,1),设 M ( x0, y 0 )( x0 ? 0) ,因 M 在 抛物线 C 2 上,故
2
学|科|网 Z|X|X|K] [来源:

27

2012 届数学二轮复习
2 x0 ? 4 y0 ①

又 MF1 ?

5 5 ,则 y 0 ? 1 ? ②, 3 3
………………4 分

由①②解得 x0 ? ?

2 6 2 , y0 ? 3 3

y2 x2 椭圆 C1 的方程为: ? ? 1。 4 3 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), Q ( x, y ) ,
? ?

……………7 分
[来源:Zxxk.Com]

由 AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x 2 ? 1, y 2 ? 3) , 即?

? x1 ? ?x 2 ? 1 ? ? ? y1 ? ?y 2 ? 3(1 ? ? )
……………10 分

即 x ? 3 y ? 3 ,所以点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上
28

所以 x1 ? y1 ? 3 , x 2 ? y 2 ? 3
2 2 2 2

………………15 分

2012 届数学二轮复习 21.(浙江省台州中学 2012 届高三下学期第二次统练文科)(本题满分 15 分)设椭圆 C1: x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的一个顶点与抛物线 C2: x 2 ? 4 3 y 的焦点重合,F1,F2 分别 a2 b 2 1 是 椭圆的左、右焦点,离心率 e ? ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 2

21.(本题满分 15 分)椭圆的顶点为 (0, 3) ,即 b ? 3

c b2 1 x2 y 2 ? 1 ? 2 ? ,解得 a ? 2 , ?椭圆的标准方程为 ? ? 1 …… 3 分 4 3 a a 2 (2)由题可知,直线 l 与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意. e?

|

48(1 ? k ) 2 | AB | 3(1 ? k ) 4k 2 ? 4 AB|= 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4 ,∴ ? 3?2 2 | MN | 12( k ? 1) 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2

2

为定值

… 15 分

21.(浙江省温州市 2012 年 2 月高三第一次适应性测试理)(本题满分 15 分)如图,在
29

2012 届数学二轮复习 矩形 ABCD 中, AB ? 8, BC ? 4, E , F , G , H 分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设 uuu r uuu r uuu r uuu r y OP ? ? OF , CQ ? ? CF (? ? 0) . (Ⅰ)求直线 EP 与 GQ 的交点 M 的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ)过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 2) 上一点 N 作圆的切线与轨迹 ? 交于 S , T 两点, uur uuu r 若 NS ? NT ? r 2 ? 0 ,试求出 r 的值.
H A o E
(第 21 题)

D

G M P

C Q F B x

(II)方法一:由已知得 NS NT ? ON ,又 ON ? ST ,则 OS ? OT ,……8 分

2

x2 y2 设直线 ST : y ? kx ? m(m ? ?2) 代入 ? ? 1 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 16 ? 0 , 16 4

方法二:设 N ( x0 , y0 ) ,则 x0 2 ? y0 2 ? r 2 ,且可得直线 ST 的方程为 x0 x ? y0 y ? r
30

2
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

2012 届数学二轮复习 代入

x y ? ? 1得 16 4 ( y0 2 ? 4 x0 2 ) x 2 ? 8r 2 x0 x ? 4r 4 ? 16 y0 2 ? 0 ,
2

2

2

y D H A
[来源:Z+xx+k.Com]

x2 2 由 NS NT ? ON 得 (1 ? 0 2 )( x2 ? x0 )( x0 ? x1 ) ? r , y0
即 x0 ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? r ,
2

G S o

N T

C F x



8r 2 x0 2 ? 4r 4 ? 16 y0 2 4 5 ? r 2 ,故 r ? ? (0, 2) . 2 2 y0 ? 4 x0 5

E

B

(ⅱ) 设存在直线 m : x ? a 满足题意,则圆心 M ?

? x1 ? 4 y1 ? , ? ,过 M 作直线 x ? a 的垂线, 2? ? 2
…………10 分

垂足为 E ,设直线 m 与圆 M 的一个交点为 G .可得:

EG ? MG ? ME ,
即 EG
2

2

2

2

…………11 分
2

? MA ? ME =

2

?x1 ? 4?2 ? y1 2
4

?x ?4 ? ?? 1 ? a? ? 2 ?

2

31

2012 届数学二轮复习

(1)证明: k1 ? k 2 ? 0 (2)当 a ? 2 时,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? ,被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值? 若存在,请求出直线 l ? 的方程;若不存在,请说 明理由.

y

A

Q

O B

P

x

[来源:Z&xx&k.Com]

与抛物线方程 联立可得:y ? 2amy ? 8a ? 0 , 解: (1) 设直线 l 方程为 x ? my ? 4 (m ? R) ,
2

再设点 A(

y1 y , y1 ) , B ( 2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? ?8a 2a 2a

2

2

32

2012 届数学二轮复习

记作 l ? : x ? t. 若要满足题意,只需 r ? d (O ?, l ?) 为常数即可。--------(10 分)
2
2 2 故 r ? d (O ?, l ?) = (

2

y1 ? 16 y y ? 16 2 t 3 2 ? 4) 2 ? 1 ? (t ? 1 ) ? ( ? ) y1 ? t 2 ? 4t 8 4 8 4 4

2

2

2

所以

t 3 ? ,t ? 3 时,能保证为常数,故存在这样的直线 l ? : x ? 3 满足题意。-----(15 分) 4 4
y l'

A O' Q O B P x

x=t

33

2012 届数学二轮复习

[来源:学科网 ZXXK]

因 为 S ?BMC ? 2 S ?AMB ,所以 d C =2 d A ,

34

2012 届数学二轮复习 所以

y 3 ? ( y 2 ? 2) y 3 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2

2

?2

y1 2 ? ( y 2 ? 2) y1 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2

……14 分

得 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,即 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,所以 y 2 ? 4 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ……15 分

2 ? ? x ? (t ? 1) 同理 ? 2 ,设点 A 到直线 MB 的距离为 d A ,点 C 到直线 MB 的距离为 d C , ? ? y 2 ? 2t ? 2 因为 S ?BMC ? 2S ?AMB , 所以 d C =2 d A ,

所以

2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2

?2

2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2

……14 分

化简得 2t ? 4 ? 2 2t ,即 t ? 2 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ……15 分 (21) (浙江省台州中学 2012 届高三下学期第一次统练理科) (本题满分 15 分) 如图,椭圆 2 2 2 C: x +3 y =3b (b>0). (Ⅰ) 求椭圆 C 的离心率;

35

2012 届数学二轮复习

(Ⅱ)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),△ABO 的面积为 S. 如果 AB⊥x 轴,由对称性不妨记 A 的 坐标为(

3 3 1 3 3 , ),此时 S= ? ? 3= ; 2 2 2 2 4

即 (1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,又Δ=36k2m2-4(1+3k2) (3m2-3)>0, 6km 3m 2 ? 3 , x x = , 所以 x1+x2=- 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

结合①,②得 m2=(1+3k2)-

(1 ? 3k 2 ) 2 |m| .又原点 O 到直线 AB 的距离为 , 2 4(1 ? k ) 1? k2

36

2012 届数学二轮复习 1. 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )是椭圆

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的两点, x2 b2 x y x y 3 满足 ( 1 , 1 ) ? ( 2 , 2 ) ? 0 ,椭圆的离心率 e ? , 短轴长为 2,0 为坐标原点. b a b a 2
(1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c),(c 为半焦距),求直线 AB 的斜率 k 的值; (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 解析:本例(1)通过 e ?

3 , 2b ? 2 ,及 a, b, c 之间的关系可得椭圆的方程;(2) 2

从方程入手,通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理;(3)要注意特殊 与一般的关系,分直线的斜率存 在与不存在讨论。 答案:(1) 2b ? 2.b ? 1, e ?

c a 2 ? b2 3 ? ? ? a ? 2.e ? 3 a a 2

y2 ? x2 ? 1 椭圆的方程为 4 (2)设 AB 的方程为 y ? kx ? 3
? y ? kx ? 3 ? 2 3k ?1 ? 由 ? y2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ? 2 2 k ?4 k ?4 ? ? x ?1 4 ?
由已知

0?

x1 x 2 y1 y 2 1 3k 3 k2 ( 3 )( 3 ) ( 1 ) x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? ? ? x x ? kx ? kx ? ? ? 1 2 1 2 2 2 4 4 4 4 b a 2 1 3k ? 2 3k 3 k ?4 (? 2 )? ? ? 2 ? , 解得k ? ? 2 4 4 k ?4 k ?4 4
? y ? kx ? b ? 2kb ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 4 ? 0得到x1 ? x 2 ? 2 ?y 2 k ?4 ? ? x ?1 ?4 b2 ? 4 x1 x 2 ? 2 k ?4 y y (kx ? b)(kx 2 ? b) x1 x 2 ? 1 2 ? 0 ? x1 x 2 ? 1 ? 0代入整理得 : 4 4 2b 2 ? k 2 ? 4

(3)当 A 为顶点时,B 必为顶点.S△AOB=1 当 A,B 不为顶点时,设 AB 的方程为 y=kx+b

1 1 | b | 4k 2 ? 4b 2 ? 16 2 S ? ? | b || x1 ? x 2 |? | b | ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 |? 2 2 k2 ? 4
37

2012 届数学二轮复习

?

4k 2 ?1 2|b|

所以三角形的面积为定值. 点评:本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质,二次方程的根与系数的关系、解析几何 的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 2. 在直角坐标平面中,△ABC 的两个顶点为 A(0,-1),B(0, 1)平面内两点 G、M 同 时满足① GA ? GB ? GC ? 0 ,

??? ? ??? ? ????

?

② | MA | = | MB | = | MC | ③ GM ∥ AB

????

????

???? ?

???? ?

??? ?

(1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程 (2)设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ,定点 F 的坐标为( 2 , 0) ,已知 PF ∥ FQ ,

??? ?

??? ?

??? ? ? ??? ? ???? ??? RF ∥ FN 且 PF · RF = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.
解析:本例(1)要熟悉用向量的方式表达点特征;(2)要把握好直线与椭圆的位置 关系,弦长公式,灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 答案:(1)设 C ( x , y ), ? GA ? GB ? 2GO ,由①知 GC ? ?2GO , △ABC 的重心 ,

??? ? ??? ?

????

????

????

?G为

?

G(

x y , ) 3 3

由②知 M 是△ABC 的外心,? M 在 x 轴上

由③知 M(

x ,0), 3
????
得 ( ) ?1 ?
2

由 | MC | ? | MA |

???? ?

x 3

x ( x ? )2 ? y 2 3

化简整理得:

x2 ? y 2 ? 1 (x≠0)。 3 x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 3 2 ,则直线 PQ 的方程为 y = k ( x - 2 ) 2

(2)F( 2 , 0 )恰为

设 PQ 的斜率为 k≠0 且 k≠±

由?

? y ? k ( x ? 2) ? ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6 2k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0 2 2 ? ?x ? 3y ? 3 ? 0
则 x1 + x2 =

设 P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 ) 则| PQ | = 1 ? k
2

6 2k 2 , 3k 2 ? 1

x1·x2 =

6k 2 ? 3 3k 2 ? 1

·

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
38

2012 届数学二轮复习 =

1? k 2 · (

6 2k 2 2 6k 2 ? 3 ? ? ) 4 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

2 3(k 2 ? 1) = 3k 2 ? 1 1 2 3(k 2 ? 1) ? RN⊥PQ,把 k 换成 ? 得 | RN | = k 3? k2 ?S =
=

1 | PQ | · | RN | 2
6(k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1)(k 2 ? 3)
=2?

8 ) 1 2 3(k ? 2 ) ? 10 k

? 3(k 2 ?

1 8 ) ? 10 ? 2 k 2?S

?k2 ?

1 8 ≥2 , ? ≥16 2 2?S k

3 ? ≤ S < 2 , (当 k = ±1 时取等号) 2
又当 k 不存在或 k = 0 时 S = 2 综上可得

3 ≤ S ≤ 2 2 3 2

? Smax = 2 , Smin =

点评:本题考查了向量的有关知识,椭圆与直线的基本关系,二次方程的根与系数的关系 及不等式,转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 考点二 圆锥曲线的几何性质 3. 如图,F 为双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 P 为双曲线 C 右支上一点, a 2 b2
已知四边形 OFPM 为平行四边形,

且位于 x 轴上方,M 为左准线上一点, O 为坐标原点

PF ? ? OF

[来源:学科网 ZXXK]
M

y
P

(Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A、

o
39

F

x

2012 届数学二轮复习 B 点,若 AB ? 12 ,求此时的双曲线方程 分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。 ,∴ | OF |?| PM |? c ,作双曲线的右准线交 PM 于 H,则

解:∵四边形 OFPM 是

| PM |?| PH | ?2

a2 | PF | ? | OF | ?c ?c2 ? e2 ,又 e ? ? ? ? ? , a2 a 2 c 2 ? 2a 2 e 2 ? 2 | PH | c c?2 c?2 c c

e2 ? ? e ? 2 ? 0
(Ⅱ)当 ? ? 1 时, e ? 2 , c ? 2a , b ? 3a ,双曲线为
2 2

x2 y2 ? ? 1 四边形 OFPM 4a 2 3a 2 3( x ? 2a) ,代入到双曲线方

是菱形,所以直线 OP 的斜率为 3 ,则直线 AB 的方程为 y ? 程得: 9 x ? 48ax ? 60a ? 0 ,
2 2

又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k 得a ?
2

2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得: 12 ? 2 (

48a 2 60a 2 ,解 ) ?4 9 9

x2 y2 9 27 2 ,则 b ? ,所以 ? ? 1 为所求 4 4 9 27 4 x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且 a 2 b2

点评:本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。 4. 设 A, B 分别为椭圆

x ? 4 为它的右准线
(Ⅰ)、求椭圆的方程; (Ⅱ)、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点, 若直线 AP, BP 分别与椭圆相交 于异于 A, B 的点 M 、N ,证明:点 B 在以 MN 为直径的圆内 分析:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学 知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解:(Ⅰ)依题意得 a=2c,

a2 =4,解得 a=2,c=1,从而 b= 3 c
y
40
A M P

o
N

B

(4,0)

x

2012 届数学二轮复习 故椭圆的方程为

x y2 ? ?1 4 3

2

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0),B(2,0) 设 M(x0,y0) ∵M 点在椭圆上,∴y0=

3 2 (4-x0 ) 4

1 ○

又点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2,由 P、A、M 三点共线可以得 P(4,

6 y0 ) x0 ? 2

从而 BM =(x0-2,y0),

???? ?

??? ? 6 y0 BP =(2, ) x0 ? 2
∴ BM · BP =2x0-4+

???? ?

??? ?

6 y0 2 2 2 = (x0 -4+3y0 ) x0 ? 2 x0 ? 2
??? ?

2

2 ○

将○ 1 代入○ 2 ,化简得 BM · BP =

???? ?

5 (2-x0) 2

∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠M BP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0),B(2,0) 则-2<x1<2, -2<x2<2, 又 MN 的中点 Q 的坐标为 ( 依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差 设 M(x1,y1),N(x2,y2),

???? ?

??? ?

x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ) , [来源:Zxxk.Com] 2 2

BQ -

2

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 2 2 2 -2) +( 1 ) - [(x1-x2) +(y1-y2) ] MN =( 1 2 2 4 4
=(x1- 2) (x2-2)+y1y1
41

3 ○

2012 届数学二轮复习 又直线 AP 的方程为 y=

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上, ∴

6 y1 6 y2 ( 3 x 2 ? 2) y1 ? ,即 y2 = x1 ? 2 x 2 ? 2 x1 ? 2

4 ○

又点 M 在椭圆上,则

x1 y 3 2 2 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 3 4
2

2

2

5 ○

于是将○ 4 、○ 5 代入○ 3 ,化简后可得 BQ - 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内

1 5 2 MN = (2-x1 )( x 2 ? 2) ? 0 4 4

点评:本题关键是联系直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,运用数学知识进行 推理运算的能力和解决问题的能力 考点三 直线与圆锥曲线位置关系问题[来源:学科网]
2

5. 已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 上任意一点到焦点 F 的距离比到 y 轴的距离大 1。 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若过焦点 F 的直线交抛物线于 M、N 两点,M 在第一象限,且|MF|=2|NF|,求直线 MN 的方程; (3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新 问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,求该正四棱锥的体积”.求 出体积 1 6 后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 4,体积为 1 6 ,求
3 3

侧棱长”;也可以是“若正四棱锥的体积为 1 6 ,求所有侧面面积之和的最小值”.[来
3

源:Z_xx_k.Com] 现有正确命题:过点 A(?

p , 0) 的直线交抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 于 P、Q 两点,设点 2

P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过焦点 F。 试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题。 解析:
42

2012 届数学二轮复习 答案:解:(1) y ? 4 x
2

(2)设 N (

t2 , ?t ) (t>0),则 M (t 2 , 2t ) ,F(1,0)。 4 因为 M、F、N 共线,则有 k FM ? k NF , 2t ?t 所以 ,解得 t ? 2 , ? 2 1 2 1 t ? t ?1 4 2 2 ?2 2, 所以 k ? 2 ?1 因而,直线 MN 的方程是 y ? 2 2( x ? 1) 。
(3)“逆向问题”一: ①已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,
2

设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(? 证明:设过 F 的直线为 y=k(x ?

p , 0) 。 2

p ), P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,则 R ( x1 , ? y1 ) 2
2 2



? y2 ? 4x ? ? p ? y ? k(x ? ) 2 ?



1 k x ? ( pk ? 4) x ? p 2 k 2 ? 0 4
2







p2 x1 x2 ? 4



k RA

p p p p k ( x1 ? ) k ( x2 ? ) k ( x1 x2 ? x1 ) k ( x1 ? ) ? y1 2 , k ? 2 ? 2 2 =k , ? ?? ?? QA RA p p p p p x1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1 x1 ? 2 2 2 2 2
所以直线 RQ 必过焦点 A。 ②过点 A ( ? p , 0 ) 的直 线交抛物线 C 于 P、Q 两点,FP 与抛物线交于另一点 R,则 RQ 垂
2

直于 x 轴。 ③已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) ,过点 B(m,0 )(m>0)的直线交抛物线 C 于 P、Q 两 点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(-m,0)。 x2 y2 “逆向问题”二:已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 的焦点为 F1(-c,0),F2( c,0),过 F2 的直线交椭 a b
2

圆 C 于 P、Q 两点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A (
a b

a2 , 0) 。 c

2 2 “逆向问题”三:已知双曲线 C: x ? y ? 1 的焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),过 F2 的直线交 2 2

双曲线 C 于 P、Q 两点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(

a2 , 0) 。 c

考点四 圆锥曲线的应用[来源:学科网] (1).圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。[来源:学#科#网]
43

2012 届数学二轮复习 6. (2004 年全国高考天津理科 22 题)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于 焦点 F(C,0)(C>0)的准线 L 与 X 轴相交于点 A, OF ? 2 FA ,过点 A 的直线与椭 圆相交于 P、Q 两点。[来源:学科网 ZXXK] (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP·O Q = 0,求直线 PQ 的方程; (3)设 A P = ? AQ( ? >1),过点 P 且平行与准线 L 的直线与椭圆相交于另一点 M, 证明 FM = - ? FQ 。 分析:(1)要求椭圆的方程及离心率,很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准 方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐 标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。 解:(1)根据已知条件“椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(C,0) (C>0)的准线 L 与 X 轴相交于点 A。” 可设椭圆的方程为 从而有 a ? c ?
2 2

a ? 2 ? ;又因 OF ? 2 FA , 可以有 c ? ( 2 c
2

x2 y2 ? ? 1 (a> 2 ), 2 a2
,联系以上这两个关于 a、 ? c)

2

6 x2 y2 c 的方程组并解得 a= 6 ,c=2,所以椭圆的方程为 ? ? 1 ,离心率 e= 。 2 6 2 (2)根据已知条件 “O P·O Q = 0” ,我们可设 P ? x1 , y1 ? ,Q ? x 2 , y 2 ? ,把两个向量
的数量积的形式转化为坐标表示的形式,再根据直线 PQ 经过 A(3,0),只须求出直线 PQ 的斜率 K 即可求出直线 PQ 的方程。而 P、Q 两点又在椭圆上,因此,我们容易想到通过直线 y=k ( x-3 ) 与 椭 圆

x2 y2 ? ?1 , 联 系 方 程 组 消 去 一 个 未 知 数 y ( 或 x ) 得 6 2 ?3k 2 ? 1?x 2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 , 并 利 用 一 元 二 次 方 程 的 根 与 系 数 关 系 结 合
x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 及 y1 y 2 ? k 2 ? x1 ? 3?? x 2 ? 3? 不难求出 k= ?

保证 ? >0 成立,否则无法保证直线 PQ 与椭圆有两个交点。[来源:学科网] (3)要证 F M =- ? F Q ,我们容易想到通过式中两个向量 FM、FQ 的坐标之间关系来 谋求证题的方法。为此我们可根据题意“过点 P 且平行为准线 L 的直线与椭圆相交于另一点 M” , 求得点 M 坐标为 ? x1 ,? y1 ? 。 又因 AP= ? AQ, 易知 FM、 FQ 的两个纵坐标已经满足 y1 ? ??y 2 , 事实 所以现在要考虑的问题是如何证明 FM、 FQ 的两个横坐标应该满足 x1 ? 2 ? ?? ? x 2 ? 2 ? , 上,

5 ,这里应特别注意 K 的值要 5

AP ? ? x1 ? 3, y1 ?, AQ ? ? x 2 ? 3, y 2 ? 5? ? 1 ⑤ 注意到 ? >1,解得 x 2 ? 2? 因 F(2,0),M ? x1 ,? y1 ? ,故 FM= ? x1 ? 2,? y1 ? = ?? ? x 2 ? 3? ? 1,? y 2 ? 。 ?1? ? ? ? ? ?1 ? ,? y1 ? = ? ? ? ,? y 2 ? =? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ?1 又 FQ= ? x 2 ? 2, y 2 ? ? ? , y 2 ? ,因此 FM=- ? FQ。 ? ? 2?
44

2012 届数学二轮复习 点评:本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念,直线方程、平面向量的坐 标表示和向量的数量积,多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析 几何的基础思想方法,以及分析问题和综合解题能力。 把两个向量之间的关系,转化为两个向量坐标之间的关系,再通过代数运算的方法来解决有 关向量的问题是一种常用的解题手段。 7. (江苏卷)已知 F1 (?2,0), F2 (2,0), 点P 满足 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,记点 P 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的 方程; (2)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P、Q 两点. (i)无论直线 l 绕点 F 2 怎样转动,在 x 轴上总存在定点 M ( m,0) ,使 MP ? MQ 恒 成立,求实数 m 的值. 1 (ii)过 P、Q 作直线 x ? 的垂线 PA、OB,垂足分别为 A、B,记 ? ? | PA | ? | QB | , 2 | AB | 求λ的取值范围. 解析: 答案:解:(1)由 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ?| F1 F2 | 知,点 P 的轨迹 E 是以 F1、F2 为焦点的双曲

y2 ? 1( x ? 1). 3 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2), P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,与双曲 2 2 2 2 线方程联立消 y 得 ( k ? 3) x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 ,
线右支,由 c ? 2, 2a ? 2, ? b ? 3 ,故轨迹 E 的方程为 x ?
2 2

?k 2 ? 3 ? 0 ? ?? ? 0 2 ? ? ? x1 ? x 2 ? 4k ? 0 k2 ?3 ? ? 4k 2 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 2 ?0 k ?3 ?
解得 k >3 (i)? MP ? MQ ? ( x1 ? m)( x 2 ? m) ? y1 y 2
2

? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 4k 2 (k 2 ? 1)(4k 2 ? 3) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? m 2 ? 4k 2 k2 ?3 k2 ?3 3 ? (4m ? 5)k 2 ? ? m2 . 2 k ?3 ? MP ? MQ,? MP ? MQ ? 0 , ?
故得 3(1 ? m ) ? k ( m ? 4m ? 5) ? 0 对任意的
2 2 2

k 2 ? 3 恒成立,[来源:Zxxk.Com]
45

2012 届数学二轮复习

? ?1 ? m ? 0 ?? 2 , 解得m ? ?1. ? ?m ? 4 m ? 5 ? 0
2

∴当 m =-1 时,MP⊥MQ. 当直线 l 的斜率不存在时,由 P ( 2,3), Q ( 2,?3)及M ( ?1,0) 知结论也成立, 综上,当 m =-1 时,MP⊥MQ. (ii)? a ? 1, c ? 2,? 直线 x ?

1 是双曲线的右准线, 2 1 1 1 由双曲线定义得: | PA |? | PF2 |? | PF2 |, | QB |? | QF2 | , 2 2 e

1 ? k 2 | x 2 ? x1 | | PQ | ? 方法一:? ? ? 2 | AB | 2 | y2 ? y1|
?
? k 2 ? 3,? 0 ?

1 ? k 2 | x 2 ? x1 | 1? k 2 1 1 ? ? 1? 2 . 2 | k ( x 2 ? x1 ) | 2|k | 2 k

1 3 1 1 ? ,故 ? ? ? , 2 3 2 3 k 1 , 2

注意到直线的斜率不存在时, | PQ |?| AB |, 此时? ? 综上, ? ? ? ,

?1

3? ?. ? ?2 3 ?

方法二:设直线 PQ 的倾斜角为θ,由于直线 PQ 与双曲线右支有二个交点,

?

2? ,过 Q 作 QC⊥PA,垂足为 C,则 3 3 | PQ | | PQ | 1 1 ? ?PQC ?| ? ? |,? ? ? ? ? ? . ? 2 2 | AB | 2 | CQ | 2 sin ? 2 cos( ? ? ) 2 2? 3 ? ,得 ? sin ? ? 1, 由 ?? ? 3 3 2 ?1 3 ? ?. 故: ? ? ? , ? 2 3 ? ?
?? ?

?

[来源:学_科_网]

(2)。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 10.(2004 年全国高考福建理科 22 题)如图,P 是抛物线 C: y ?
46

1 2 x 上一点,直线 L 2

2012 届数学二轮复习 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q。 (Ⅰ)若直线 L 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 不过原点且与 X 轴交于 S,与 Y 轴交于点 T,试求 分析:(1)要求线段 PQ 的中点 M 的 轨迹方程,我们常把 M 的坐标转化为线段 PQ 的两 个端点坐标之间的关系。而 P、Q 两点又是直线 L 与抛物线的交点,容易想到直线 L 的方程 与抛物线 C 的方程相联立消去 y(或 x),转化为一元二次方程根与系数的关系问题。另外, 求过抛物线 P 的切线的斜率问题,我们自然会想到求出数 y ?
'

解:(1)事实上 y ? x ,这样过 P ? x1 , y1 ? 的斜率为 x1 ,由于直线 L 与过点 P 的切线垂

1 2 x 的导数。 2

1 2 1 1 ( x1 ≠0) , 所以可设直线 L 的方程为 y ? x1 ? ? ( x ? x1 ) , 2 x1 x1 2 1 2 2 结合 y ? x ,消去 y 并化简得 x ? x ? x12 ? 2 ? 0 。 x1 2 若设 Q ? x 2 , y 2 ? ,M ? x 0 , y 0 ? ,因 M 为 PQ 的中点,故有
直, 因此直线 L 的斜率为 ?

y ? y2 1 1 1 消 去 x1 得 M 的 轨 迹 方 程 为 ? ? x1 ? x 2 ?, y 0 ? ? x12 ? 2 ? 1 x1 2 2 2 1 2 y 0 ? x0 ? 2 ? 1( x0 ? 0) 。 2 x0 1 2 即 M 的轨迹方程为 y ? x ? ? 1? x ? 0? 。 2x 2 ST ST (2)根据式子 的特点,我们很自然想到平面直角坐标系中的两点间的距离 ? SP SQ x0 ? ?

?

?

公式。于是可先求 S、T 两点的坐标,易知:

1 ? ? S x1 ? x12 ,0 , T ? 0,1 ? x12 ? ,从而有 2 ? ? ? 1 ? ST ? ?1 ? x12 ? x12 ? 1, SP ? y1 x12 ? 1, SQ ? y 2 ? 2 ? ST ST ? 1 2 ?? 1 1 ? ? ? = ?1 ? x1 ?? ∴ ? ? y y SP SQ ? 2 ?? 2 ? ? 1
1 2 1 2 1 ?1 2 ? 2 又因 y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ? ? ? x1 ? 1? 2 2 4 ? ?2 ST ST 1 ? 1 2? ≥ ?1 ? x1 ? · ≥2 ∴ ? y1 y 2 SP SQ ? 2 ? ∵ y1 、 y 2 可取一切不相等的正数。 ST ST ? ∴ 的取值范围是(2, ? ? )。 SP SQ
47
2

?

?

x12 ? 1

2012 届数学二轮复习 20. (广东省六校 2012 年 2 月高三第三次联考理) (本小题满分 l4 分) 如图,P 是抛物线 C :

y ?

1 2 直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 处的切线垂直, 直线 l x 上横坐标大于零的一点, 2

与抛物线 C 相交于另一点 Q . (1)当点 P 的横坐标为 2 时,求直线 l 的方程; ??? ? ???? (2)若 O P ? O Q ? 0 ,求过点 P , Q , O 的圆的方程. 20 解:(Ⅰ)把 x ? 2 代入 y ?

1 2 x ,得 y ? 2, 2

∴点坐 P 标为(2,2). ……………………1 分 由 y?

1 2 x , ① 2

得 y? ? x



∴过点 P 的切线的斜率 k 切 ? 2,……………………2 分 直线 l 的斜率 k1 ? ?

1 1 ?? , k切 2

……………………3 分

[来源:学#科#网]

∴直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? (Ⅱ)设 P ( x0 , y0 ), 则 y0 ?

1 ( x ? 2) , 2 1 2 x0 . 2

即 x ? 2 y ? 6 ? 0 ……………………4 分

∵ 过点 P 的切线斜率 k 切 ? x0 ,因为 x 0 ? 0 . ∴ 直线 l 的斜率 k1 ? ? 直线 l 的方程为 y ?

1 1 ?? , x0 k切
②……………………5 分

1 2 1 x0 ? ? ( x ? x0 ). x0 2

设 Q ( x1 , y1 ) ,且 M ( x , y ) 为 PQ 的中点, 因为 O P O Q ? 0 ,所以过点 P , Q , O 的圆的圆心为 M ( x , y ) 半径为 r ? P M ,……………………6 分

??? ? ? ???

且 x 0 x1 ? y 0 y 1 ? x 0 x1 ?

1 x 0 2 x 1 2 ? 0 ,……………………8 分 4
[来源:学科网]

所以 x 0 x 1 ? 0 (舍去)或 x 0 x 1 ? ? 4 ……………………9 分
48

2012 届数学二轮复习 联立①②消去 y ,得 x
2

2 ? x?xo2 ?2?0 x0

由题意知 x 0 , x 1 为方程的两根, 所以 x 0 ?

所以 x 0 x 1 ? ? x 0 2 ? 2 ? ? 4 , 又因为 x 0 ? 0 , 所以 x 1 ? ? 2

2 ,y 0 ? 1 ;

2 , y 1 ? 4 ……………………11 分

? 2 x ? ? , ? ? 2 ……………………12 分 ∵ M 是 PQ 的中点,∴ ? ?y ? 5 . ? ? 2

r 2 ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ?

27 4

……………………13 分

所以过点 P, Q, O 的圆的方程的方程为

(x ?

2 2 5 27 ……………………14 分 ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

[来源:学科网 ZXXK]

20. (广东省六校 2012 年 2 月高三第三次联考文科)(本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 2 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 其中 a ? [1,3] 。 过 F 作圆 x ? y ? a 2 a b 的切线(如图),切点为 T ,交双曲线于 A, B 两点, M 为 BF 的中点, O 为原点,,若 | OM | ? | MT |? 1 。 (Ⅰ)求证:直线 AB 与双曲线过一、三象限的渐近线垂直; (Ⅱ)求弦长 AB 的取值范围。
已知双曲线 20.(本小题满分 14 分) 解:(1)双曲线

b x2 y 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) ,过一、三象限的渐近线为 y ? x ,………1 2 a b a

分 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ? k ( x ? c) , 由 于 与 圆

x 2 ? y 2 ? a 2 相切, ? | kc |

[来源:Z,xx,k.Com]

a2 ,………3 分 b2 k 2 ?1 b a 直线 AB 的斜率 k ? ? ,所以 k ? ?1 。 a b ? a ,即 k 2 ? ? y ? k ( x ? c) ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 2 b2 ?a
49

………

4分 ( 2 ) 由 得

2012 届数学二轮复习

(b ? a k ) x ? 2a k cx ? a 2 k 2c 2 ? a 2b 2 ? 0 ,………6 分
2 2 2 2 2 2

? ?2a 2 k 2 c ? ? x x ? ? 1 2 b2 ? a 2 k 2 ,………7 分 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 ? 2 2 2 2 2 ? x x ? ?a k c ? a b 1 2 ? b2 ? a 2k 2 ? 2ab(1 ? k 2 ) 2ab 2 2 ? 2 所以 | AB |? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 2 ,………9 分 2 2 | b ? a k | b ? a2 | BF1 | 2 2 2 ,因为 OT ? AB , | OF | ?| OT | ? | FT | , 又设双曲线左焦点为 F1 ,则 | MO |? 2 | BF | | FO |? c,| OT |? a ,所以, | TF |? b , | MT |? ?b, 2 | BF1 | | BF | 又 | OM | ? | MT |? ? ? b ? b ? a ? 1 ,即 b ? a ? 1 。 2 2 2ab 2a (a ? 1) 2a 2 ? 2a ? ? ,………12 分 | AB |? 2 2a ? 1 b ? a 2 (a ? 1) 2 ? a 2

1 t 2 ?1 1 令 t ? 2a ? 1, t ? [3, 7] ,则 | AB |? ? (t ? ) , 2t 2 t 1 1 f ?(t ) ? (1 ? 2 ) ? 0 ,为增函数, 2 t 4 24 ∴ ………14 分 ?| AB |? 3 7
⒛( 广东省江门市 2012 年普通高中高三第一次模拟文科)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,长轴在 x 轴上,经过点 A(0 , 1) ,离心率 e ? ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设直线 l n : y ?

2 . 2

1 ( n ? N * )与椭圆 C 在第一象限内相交于点 An ( x n , y n ) ,记 n ?1

1 2 1 a n ? x n ,试证明:对 ?n ? N * , a1 ? a 2 ? ? ? a n ? . 2 2 x2 y2 ⒛⑴依题意,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )……1 分,则 a b

?1 ?1 2 ? ?b ? ?e ? c ? ? a ?

a2 ? b2 2 ? a 2

… …3 分,解得 b ? 1 , a ?

2 ……5 分,

50

2012 届数学二轮复习 椭圆 C 的方程为

x ? y 2 ? 1 … …6 分. 2

2

? x2 ? y2 ? 1 ? 2n(n ? 2) 1 2 n(n ? 2) ?2 2 ⑵解 ? ……7 分,得 x n ? ……8 分, a n ? x n ? ……9 2 2 2 n ( ? 1 ) ( n ? 1 ) 1 ?y ? ? n ?1 ?
分,所以 a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

n(n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 ? 2 ? 2 ??? ……10 分 2 2 3 4 (n ? 1) 2 ?
[来源:Zxxk.Com]

?

1 ? (n ? 2) ……13 分, 2(n ? 1)
2

1 ……14 分 2

21.(本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C :

3 x y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆 2 2 a b 2 2 2 2 心作圆 T : ( x ? 2) ? y ? r ( r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N . (1)求椭圆 C 的方程; ???? ??? ? (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; 且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R, S , (3) 设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点, O 为坐标原点,求证: OR ? OS 为定值.
[来源:Z_xx_k.Com] [来源:学§科§网][来源:Z|xx|k.Com]

y

c 3 , 解:(1)依题意,得 a ? 2 , e ? ? a 2 ? c ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 ;

M

P

R T x S O x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………………………3 分 N 4 (2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 .

故椭圆 C 的方程为

[来

源:学&科&网]

x (*)……………………………4 分 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 1 ? 1 . 4 由已知 T (?2, 0) ,则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,
2

2

? TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y1
2

2

x1 5 2 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 4 4 5 8 2 1 1 ? ( x1 ? ) ? ? ? . ………………………………………………………6 分 4 5 5 5 ???? ??? ? 1 8 由于 ? 2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 ? ( x1 ? 2) 2 ? (1 ?
51

2012 届数学二轮复习

8 3 13 3 2 ,故 M (? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 5 5 25 5 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? . …………………………………………8 分 25 方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M (2 cos ? ,sin ? ) , N (2 cos ? , ? sin ? ) , 由已知 T (?2, 0) ,则 ?1 ? cos ? ? 1 ,
由(*)式, y1 ?

TM ? TN ? (2 cos ? ? 2, sin ? ) ? (2 cos ? ? 2, ? sin ? )

? (2 cos ? ? 2) 2 ? sin 2 ? ? 5 cos 2 ? ? 8 cos ? ? 3 4 1 1 ? 5(cos ? ? ) 2 ? ? ? . …………… ………………………… ……………6 分 5 5 5 ???? ??? ? 4 1 8 3 故当 cos ? ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? ,此时 M (? , ) , 5 5 5 5 13 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 25 13 2 2 . …………………………………………8 分 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? 25

[来源:学科网]

方法二:设 M (2 cos ? ,sin ? ) , N (2 cos ? , ? sin ? ) , P ( 2 cos ? , sin ? ) , 其 中 cos ? ? cos ? , sin ? ? ? sin ? . 则直线 MP 的方程为: y ? sin ? ?

sin ? ? sin ? ( x ? 2 cos ? ) , 2 cos ? ? 2 cos ?
52

2012 届数学二轮复习

2(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) , sin ? ? sin ? 2(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) 同理: x S ? , ………………………………………12 分 sin ? ? sin ? 4(sin 2 ? cos 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? ) 4(sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? ?4. 故 xR ? xS ? sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? 所以 OR ? OS ? x R ? x S ? x R ? x S ? 4 为定值. …………………………………14 分
令 y ? 0 ,得 x R ? 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆 的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直 线方程等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数 形结合思想、化归与转化思想. 19.(广东省佛山市 2012 年普通高中高三教学质量检测一文科)(本题满分 14 分 ) 已知 圆 C1 : ( x ? 4) ? y ? 1 ,圆 C2 : x ? ( y ? 2) ? 1 ,圆 C1 , C2 关于直线 l 对称.
2 2 2 2

(1)求直线 l 的方程; (2)直线 l 上是否存在点 Q ,使 Q 点到 A( ?2 2, 0) 点的距离减去 Q 点到 B (2 2, 0) 点的 距离的差为 4 ,如果存在求出 Q 点坐标,如果不存在说明理由. 19.(本题满分 14 分) 解:(1)因为圆 C1 , C2 关于直线 l 对称, 圆 C1 的圆心 C1 坐标为 (4, 0) ,圆 C2 的圆心 C2 坐标为 (0, 2) , 显然直 线 l 是线段 C1C2 的中垂线, ……………………3 分 ……………………2 分
[来源:学科网 ZXXK]

线段 C1C2 中点坐标是 ( 2,1 ) , C1C2 的斜率是 k ? 所以直线 l 的方程是 y ? 1 ? ? (2)假设这样的 Q 点存在,

y1 ? y2 0 ? 2 1 ? ? ? ,………5 分 x1 ? x2 4 ? 0 2
…………………6 分

1 ( x ? 2) ,即 y ? 2 x ? 3 . k

因为 Q 点到 A( ?2 2, 0) 点的距离减去 Q 点到 B (2 2, 0) 点的距离的差为 4 , 所以 Q 点在以 A( ?2 2, 0) 和 B (2 2, 0) 为焦点,实轴长为 4 的双曲线的右支上, 即 Q 点在曲线

x2 y2 ? ? 1 ( x ? 2 ) 上, 4 4

…………………10 分

? y ? 2x ? 3 ? 又 Q 点在直线 l 上, Q 点的坐标是方程组 ? x 2 y 2 的解,……………12 分 1 ? ? ? ?4 4
53

2012 届数学二轮复习 消元得 3x ? 12 x ? 13 ? 0 , ? ? 12 ? 4 ? 3 ?13 ? 0 ,方程组无解,
2 2

所以点 P 的轨迹上是不存在满足条件的点 Q .

………………… 14 分

20. (广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012 届高中毕业班第一次模拟理科)(本小题满分 14 分) 已知圆 C 与两圆 x ? ( y ? 4) ? 1 , x ? ( y ? 2) ? 1 外切,圆 C 的圆心轨迹方程为 L,设 L
2 2 2 2

上的点与点 M ( x, y ) 的距离的最小值为 m ,点 F (0,1) 与点 M ( x, y ) 的距离为 n . (Ⅰ)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (Ⅱ)求满足条件 m ? n 的点 M 的轨迹 Q 的方程; (Ⅲ)试探究轨迹 Q 上是否存在点 B ( x1 , y1 ) ,使得过点 B 的切线与两坐标轴围成的三角形的 面积等于

1 。若存在,请求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理 由. 2 20 解析: (Ⅰ)两圆半径都为 1,两圆心分 别为 C1 (0, ?4) 、C2 (0, 2) ,由题意得 CC1 ? CC2 ,
于零,故圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线方程为 y ? ?1 ,即圆 C 的圆心轨迹 L 的方 程为 y ? ?1 。(4 分)

可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线, C1C2 的中点为 (0, ?1) ,直线 C1C2 的斜率等

(Ⅱ)因为 m ? n ,所以 M ( x, y ) 到直线 y ? ?1 的距离与到点 F (0,1) 的距离相等,故点 M 的轨迹 Q 是以 y ? ?1 为准线,点 F (0,1) 为焦点,顶点在原点的抛物线 , 所以,轨迹 Q 的方程是 x ? 4 y
2

p ? 1 ,即 p ? 2 , 2

(8 分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)得 y ?

1 2 1 1 x , y? ? x ,所以过点 B 的切线的斜率为 k ? x1 ,切线方程为 4 2 2

y ? y1 ?

2y 1 1 x1 ( x ? x1 ) ,令 x ? 0 得 y ? ? x12 ? y1 ,令 y ? 0 得 x ? ? 1 ? x1 , 2 2 x1
2

因为点 B 在 x ? 4 y 上,所以 y1 ? 故y??

1 2 x1 4

1 2 1 x1 , x ? x1 4 2

54

2012 届数学二轮复习

x2 y 2 1. (2011 北京朝阳区期末) 设椭圆 C : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , a b uuuu r uuu r 上顶点为 A , 过点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q , 且 2 F1 F2 + F2Q = 0 , 若过 A , Q ,F2 三点的圆恰好与直线 l :x ? 3 y ? 3 ? 0 相切. 过定点 M (0, 2) 的直线 l1 与椭圆 C 交 于 G , H 两点(点 G 在点 M , H 之间). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l1 的斜率 k > 0 ,在 x 轴上是否存在点 y P(m, 0) ,使得以 PG , PH 为邻边的平行四 A 边形是菱形. 如果存在,求出 m 的取值范围,
???? ? ???? ? uuuu r uuu r · 解:(Ⅰ)因为 2 F1 F2 + F2Q = 0 ,所以 F1 为 F2Q 中点.设 Q 的坐标为 Q (?3c, 0) ,
(Ⅲ)若实数 λ 满足 MG ? ? MH ,求 ? 的取值范围.
2 2 2

如果不存在,请说明理由;

F1 O

·

因为 AQ ? AF2 ,所以 b ? 3c ? c ? 3c , a ? 4c ? c ? 4c ,且过 A, Q, F2 三点的圆的圆
2

F2

x

心为 F1 ( ?c, 0) ,半径为 2c . 解得 c = 1 ,所以 a ? 2 , b =

…… 2 分因为该圆与直线 l 相切,所以

| ?c ? 3 | ? 2c . 2

x2 y2 ? ? 1 .…… 4 分 4 3 ì y = kx + 2, ? ? ? (Ⅱ)设 l1 的方程为 y ? kx ? 2 ( k ? 0 ), 由 í x 2 得 y2 ? + =1 ? ? 3 ? ? 4 2 2 (3 ? 4k ) x ? 16kx ? 4 ? 0 . 16k . ……5 分 设 G ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 uuu r uuu r 所以 PG + PH = ( x1 - m, y1 ) + ( x2 - m, y2 ) = ( x1 + x2 - 2m, y1 + y2 ) . ???? = ( x1 + x2 - 2m, k ( x1 + x2 ) + 4 ) GH ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1 , k ( x2 ? x1 )) . , ??? ? ???? ???? 由于菱形对角线互相垂直,则 ( PG ? PH ) ? GH ? 0 . …6 分 3 .故所求椭圆方程为
55

2012 届数学二轮复习 所以 ( x2 - x1 )[( x1 + x2 ) - 2m] + k ( x2 - x1 )[ k ( x1 + x2 ) + 4] = 0 . 故 ( x2 - x1 )[( x1 + x2 ) - 2m + k ( x1 + x2 ) + 4k ] = 0 . 因为 k ? 0 ,所以 x2 - x1 ? 0 .
2 2

所以 ( x1 + x2 ) - 2m + k ( x1 + x2 ) + 4k = 0
2

2

16k ) + 4k - 2m = 0 2 3 + 4k 2k 2 3 解得 m ? ? . 即m ? ? .因为 k ? 0 ,所以 ? ≤ m ? 0. 2 3 6 3 ? 4k ? 4k k 3 , 0) . ……… 8 分 故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 [? 6 x2 y2 ? ?1 (Ⅲ)①当直线 l1 斜率存在时,设直线 l1 方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程 4 3 1 2 2 2 得 (3 ? 4k ) x ? 16kx ? 4 ? 0 .由 ? ? 0 ,得 k ? .…… 9 分 4 16k 4 , x1 x2 ? . 设 G ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 2 2 3 ? 4 k 3 ? 4 k ???? ? ???? ? 又 MG ? ? MH ,所以 ( x1 , y1 - 2) = λ( x2 , y2 - 2) . 所以 x1 = λx2 . …… 10 分 x1 + x2 2 xx 2 2 ) = x2 = 1 2 . 所以 所以 x1 + x2 = (1 + λ) x2 , x1 x2 = λx2 .所以 ( 1+ λ λ 2 ?16k 2 4 64 64 (1 ? ? ) ( ) 1 ?6 4? ? 2 2 2 3 11 分因为 k ? , 所以 . 3 ? 4k 3 ? 4k . 整理得 3 ? ? ?4 ?4 4 2 2 2 (1 ? ? ) ? k k 2 1 (1 ? ? ) 即. 4 ? ? 16 所以. 4 ? ? ? ? 2 ? 16 解得 7 ? 4 3 ? ? ? 7 ? 4 3 . 又 0 ? ? ? 1 , ?
即 (1 + k )( x1 + x2 ) + 4k - 2m = 0 .所以 (1 + k )(-

?

所以 7 ? 4 3 ? ? ? 1 .……… 13 分 ②又当直线 l1 斜率不存在时,直线 l1 的方程为 x ? 0 ,此时 G (0,

3) , H (0, ? 3) ,

???? ? ???? ? 2 ? 3 ???? ? 3 ? 2) , MH ? (0, ? 3 ? 2) , MG ? MH ,所以 ? ? 7 ? 4 3 .所以 2? 3 7 ? 4 3 ≤ ? ? 1 ,即所求 ? 的取值范围是 [7 ? 4 3, 1) .…… 14 分 2. (2011 北京丰台区期末)已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M ( ?2, 0) 的直线 l 与圆 ??? ? ???? 1 x 2 ? y 2 ? 1 交于 P、Q 两点.(Ⅰ)若 OP ? OQ ? ? ,求直线 l 的方程;(Ⅱ)若 ?OMP 与 2 ?OPQ 的面积相等,求直线 l 的斜率. 因为 直线 l 过点 M ( ?2, 0) , 可设直线 l :y ? k ( x ? 2) . 解: (Ⅰ) 依题意, 直线 l 的斜率存在, ??? ? ???? ??? ? ???? 1 因为 P、Q 两点在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,所以 OP ? OQ ? 1 ,因为 OP ? OQ ? ? ,所以 2
56

???? ? MG ? (0,

2012 届数学二轮复习

??? ? ???? ??? ? ???? 1 所以 O 到直线 l 的距 OP ? OQ ? OP ? OQ ? cos ?POQ ? ? 所以 ?POQ ? 120? 2 1 | 2k | 1 15 离等于 .所以 ,所以 直线 l 的方程为 x ? 15 y ? 2 ? 0 或 ? , 得k ? ? 2 15 k 2 ?1 2
x ? 15 y ? 2 ? 0 .
(Ⅱ)因为 ?OMP 与 ?OPQ 的面积相等,所以 MQ ? 2 MP , 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,所以 MQ ? ( x2 ? 2, y2 ) , MP ? ( x1 ? 2, y1 ) . 所以 ? 因为

???? ?

????

???? ?

????

? x2 ? 2 ? 2( x1 ? 2) ? y2 ? 2 y1

即?

? x2 ? 2( x1 ? 1) ? y2 ? 2 y1

(*);

P ,Q 两点在圆上,所以

2 2 ? x12 ? y12 ? 1 ? ? x1 ? y1 ? 1 ? 把(*) 代入,得 ? , ? 2 2 2 2 ? ? ?4( x1 ? 1) ? 4 y1 ? 1 ? x2 ? y2 ? 1

7 ? x1 ? ? , ? 8 15 15 ? 所以 ? 所以 直线 l 的斜率 k ? k MP ? ? , 即k ? ? . 9 9 15 ?y ? ? . 1 ? 8 ? x2 y2 3 (2011 北京西城区期末)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心 a b 3 率为 e .(Ⅰ)若 e ? ,求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, 2 M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且 2 3 ,求 k 的取值范围. ?e? 2 2 ?c ? 3 ? 2 2 2 2 解:(Ⅰ)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 . …2 分结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , ? ? 2 ?a 2 b ? 3 .…3 分 x2 y2 所以,椭圆的方程为 ? ? 1 …4 分 12 3 ? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 2 2 得 (b ? a k ) x ? a b ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) .所以 (Ⅱ)由 ? a 2 b 2 ? y ? kx, ? ?a 2b 2 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 2 ,……6 分依题意, OM ? ON ,易知,四边形 OMF2 N 为平 b ? a2k 2
行四边形, 所以 AF2 ? BF2 ,…7 分因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) , F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) ,
57

???? ?

???? ?

???? ? ???? ? 2 所以 F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1 ? k ) x1 x2 ? 9 ? 0 . …8 分


2012 届数学二轮复习

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ? 9 ? 0 ,…9 分将其整理为 a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)

k2 ?

a 4 ? 18a 2 ? 812 81 .10 分 ? ?1 ? 4 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2 1 2 3 2 2 因为 ,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 12 ? a ? 18 .11 分所以 k ? ,即 ?e? 8 2 2 2 2 k ? (??, ? ]? ( , ??] . 4 4
x2 y 2 ? ? 1 (m ? 0) .(Ⅰ)若不论 k 9 m2

4((2011 巢湖一检)已知直线 l:y ? kx ? 1 ,椭圆 E:

取何值,直线 l 与椭圆 E 恒有公共点,试求出 m 的取值范围及椭圆离心率 e 关于 m 的函数式; uuur uuu r 10 时,直线 l 与椭圆 E 相交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 M,若 AM ? 2MB ,求 (Ⅱ)当 k ? 3 椭圆 E 方程. 解:(Ⅰ )∵ 直线 l 恒过定点 M(0,1),且直线 l 与椭圆 E 恒有公共点,∴ 点 M(0,1)在椭圆 E 上 或其内部,得
02 12 ? ? 1? m ? 0 ? ,解得 m ? 1,且m ? 3 .(联立方程组,用判别式法也可)当 9 m2

e? 1 ? m ? 3 时, 椭圆的焦点在 x 轴上,
? 9 ? m2 ? ?1 ? m ? 3?, ? 3 ∴e ? ? ? m2 ? 9 ? m ? 3? . ? m ?

9 ? m2 e? ; 当 m ? 3 时, 椭圆的焦点在 y 轴上, 3

m2 ? 9 . m

? 10 x ?1 ?y ? ? )由 ? 2 3 2 ,消去 y 得 (m 2 ? 10) x 2 ? 6 10 x ? 9(1 ? m 2 ) ? 0 . (Ⅱ x y ? ? ?1 ? ? 9 m2

设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?
???? ? ????

6 10 9(1 ? m 2 ) ① , x1 x2 ? 2 ② . 2 m ? 10 m ? 10 x2 ? 6 10 ④ . m 2 ? 10

∵M(0,1),∴由 AM ? 2MB 得 x1 ? ?2 x2 ③ . 由① ③ 得
2

? 6 10 ? 9(1 ? m 2 ) ? ④ 代入② 得, ?2 ? ,解得 m 2 ? 6 ( m 2 ? ?15 不合题意,舍去). 将③ ? 2 ? m 2 ? 10 ? ? m 10 ? ? x2 y 2 ? 1. ∴椭圆 E 的方程为 ? 9 6

5 (2011 承德期末)椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?( 1 a ? b ? 0) ,斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C a 2 b2
58

2012 届数学二轮复习 交于 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 两点.Ⅰ)若椭圆的离心率 e ?

3 ,直线 l 过点 M (b,0) ,且 2

12 ,求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)直线 l 过椭圆的右焦点 F,设向量 5 OP ? ? (OA ? OB )(? ? 0) ,若点 P 在椭圆 C 上,求 ? 的取值范围. OA ? OB ? ?
解:(Ⅰ)∵ e

?

3 , 2

∴a

? y ? x?b ? 2b, c ? 3b . ? 2 2 2 ? x ? 4 y ? 4b



A(

8b 3b , ), B (0,?b) . 5 5 3b 2 12 ∴? ?? b 2 ? 4 a 2 ? 16 . 5 5 2 2 x y ? ? 1 . …… 5 分 ∴椭圆 C 的方程为 16 4 y? x?c ? 2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ) ? 2 2 得 ?b ? a ?x ? 2a cx ? a ?c ? b ? ? 0 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b 2a 2 c ? 2b 2 c , y1 ? y 2 ? 2 . x1 ? x2 ? 2 a ? b2 a ? b2

12 ∵ OA ? OB ? ? 5

2 2 ? 2? a c ? 2? b c ? OP ? ?. ? 2 2 2 2 2 ?a ?b a ?b ? a2 ? b2 2 . ∵点 P 在椭圆 C 上 ,将点 P 坐标代入椭圆方程中得 ? ? 4c 2 c 2 2 2 0 ? e ? ? 1, ∵b ? c ? a a 2 2 2 1 2a ? c 2 1 1 1 a ?b 2 ∴? ? ? ? 2 ? ? , ? ? . …………… 12 分 2 2 4c 4c 2e 4 4 2

OA ? OB =(

2 a 2c a 2 ? b



? 2b 2c a 2 ? b2

),

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,以原点为圆 2 a b 3 心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, A, B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆 C 上的动点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明: k1 k2 为定值;(Ⅲ) M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的
6.(2011 佛山一检)已知椭圆 C : 点,若

OP ? ? ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. OM
59

2012 届数学二轮复习 解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为 x ? y ? b ,
2 2 2

c 3 2 ? b ,即 b ? 2 , 又 e ? ? ,即 a ? 3c , a 3 2 x2 y 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 3 , c ? 1 , 所以椭圆方程为 ? ? 1. 3 2 x2 y 2 2 2 2 (Ⅱ)设 P ( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) , A(? 3, 0) , B ( 3, 0) ,则 0 ? 0 ? 1 ,即 y0 ? 2 ? x0 , 3 2 3 2 2 2 2 2 ? x0 (3 ? x0 ) 2 y0 y0 y0 2 则 k1 ? , k2 ? ,即 k1 ? k2 ? 2 ? 23 ? 3 2 ?? , x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 3 3 x0 ? 3 x0 ? 3 2 ∴ k1 k2 为定值 ? . 3 (Ⅲ)设 M ( x, y ) ,其中 x ? [? 3, 3] . 2 2 x2 ? 2 ? x2 2 OP 2 3 ? x ? 6 ? ?2 , C 由已知 ? ? 及点 P 在椭圆 上可得 2 x2 ? y 2 3( x 2 ? y 2 ) OM
∵直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆相切,∴ d ? 整理得 (3? ? 1) x ? 3? y ? 6 ,其中 x ? [? 3, 3] .
2 2 2 2

①当 ? ?

3 2 时,化简得 y ? 6 ,所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 6( ? 3 ? x ? 3) ,轨迹 3 是两条平行于 x 轴的线段; x2 y2 3 时,方程变形为 ? ? 1 ,其中 x ? [? 3, 3] , ②当 ? ? 6 6 3 3? 2 ? 1 3? 2 3 时, 点 M 的轨迹为中心在原点、 实轴在 y 轴上的双曲线满足 ? 3 ? x ? 3 的 当0 ? ? ? 3
部分; 当

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 3 ? x ? 3 的部 3

分; 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆. 7.(2011 福州期末) 如图,ADB 为半圆, AB 为半圆直径, O 为半圆圆心, 且 OD ? AB , Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB| 的值不变。 (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程;(Ⅱ)过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M、 N 两点, 与 OD 所在直线交于 E 点, 若 EM ? ?1 MB, EN ? ?2 NB, 求证 : ?1 ? ?2 为定值。 解:(Ⅰ )以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,
60

???? ?

???? ????

??? ?

2012 届数学二轮复习

O 为原点,建立平面直角坐标系,∵动点 P 在曲线 C 上运动 且保持|PA|+|PB|的值不变.且点 Q 在曲线 C 上,
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4.∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为 焦点的椭圆设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1.∴曲线

x2 2 +y =1 5 (Ⅱ)证法 1:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) ,

C 的方程为

又易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相 交.∵ EM ? ?1 MB ,∴ ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) .∴ x1 ? 分 将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (

???? ?

????

y0 2?1 , y1 ? . 7 1 ? ?1 1 ? ?1

?1 2 ? 10?1 ? 5 ? 5 y 0 2


y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1 ,去分母整理,得 5 1 ? ?1 1 ? ?1 ???? ??? ? 2 2 ? 0 . 10 分同理,由 EN ? ?2 NB 可得: ? 2 ? 10? 2 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 .

?1 , ?2 是方程 x 2 ? 10 x ? 5 ? 5 y 0 2 ? 0 的两个根,∴ ?1 ? ?2 ? ?10 . 12 分 (Ⅱ)证法 2:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) ,又易知 B 点的坐标
为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交.显然直线 l 的斜率存在,设 直线 l 的斜率为 k , 则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) . 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,

20k 2 消去 y 并整理得 (1 ? 5k ) x ? 20k x ? 20k ? 5 ? 0 . 8 分∴ x1 ? x 2 ? , 1 ? 5k 2 ???? ? ???? x1 20k 2 ? 5 .又 ∵ EM ? ? ,同 x1 x 2 ? 1 MB ,则 ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) .∴ ?1 ? 2 2 ? x1 1 ? 5k ???? ??? ? x2 理,由 EN ? ?2 NB ,∴ ? 2 ? 10 分 2 ? x2 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 x1 x ∴ ?1 ? ?2 ? ? 2 ? ? ? ? ?10 . 12 分 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 8 ( 2011 广东广雅中学期末) 已知椭圆的中心为坐标原点 O, 椭圆短半轴长为 1, 动点 M (2, t )
2 2 2 2

a2 (a为长半轴,c为半焦距) 上。(1)求椭圆的标准方程(2)求以 c OM 为直径且被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程;(3)设 F 是椭圆的右焦点, (t ? 0) 在直线 x ?
过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值,并求出这个定 值。

a2 a2 (a为长半轴,c为半焦距) 上,得 ?2 c c x2 1 ? c2 ? 2 ,? c ? 1 从而 a ? 2 …2 分所以椭圆方程为 ? y 2 ? 1 或 故 2 c
【解析】(1)又由点 M 在 x ? 4分
61

y2 ? x2 ? 1 2

2012 届数学二轮复习 (2)以 OM 为直径的圆的方程为 x( x ? 2) ? y ( y ? t ) ? 0 即 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2 2

t 2

t2 ?1 4

t2 ? 1 ……6 分因为以 OM 为直径的圆被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得 4 t 2 的弦长为 2 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ? r ? 1 ? …8 分所以 2 3 ? 2t ? 5 t ? ,解得 t ? 4 所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 …10 分 5 2 2 t 2 (3) 方法一: 由平几知:ON ? OK OM 直线 OM:y ? x , 直线 FN:y ? ? ( x ? 1) … t 2 t ? y? x ? 4 ? 2 12 分由 ? 得 xK ? 2 t ?4 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? t ?
其圆心为 (1, ) ,半径 r ?

t 2

? ON ? (1 ? ? (1 ?

2

t2 t2 ) xK ? (1 ? ) xM 4 4

t2 4 ?2 ? 2 )? 2 4 t ?4

???? ???? ? FN ? ( x0 ? 1, y0 ), OM ? (2, t ) ???? ? ???? MN ? ( x0 ? 2, y0 ? t ), ON ? ( x0 , y0 ) ???? ???? ? ? FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0,? 2 x0 ? ty0 ? 2 ………12 分 ???? ? ???? 2 又? MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0,? x0 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ???? 2 2 所以, ON ? x0 ? y0 ? 2 为定值 …14 分
9(2011 哈尔滨期末)椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,该椭圆经过点 P?1, ? 且 离心率为

所以线段 ON 的长为定值 2 。……14 分 方法二、设 N ( x0 , y0 ) ,则

? 3? ? 2?

1 .(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交 A, B 两 2 点( A, B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,

并求出该定点的坐标. 解:(1)椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 4 3

62

2012 届数学二轮复习

? y ? kx ? m ? 2 2 (2)设 A? x1 , y1 ?, B ? x 2 , y2 ? , ? x 2 得: 3 ? 4k x 2 ? 8kmx ? 4 m ? 3 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?4 8mk 4 m2 ? 3 2 2 ? ? ? 0,? 3 ? 4k ? m ? 0 , x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 m 2 ? 4k 2 ? y1 y2 ? ? 以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,? k AD ? k BD ? ?1 , 3 ? 4k 2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 ,? 7 m 2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 2 ? m1 ? ?2k , m2 ? ? ,且均满足 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 , 7 当 m1 ? ?2k 时, l 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ,则直线过定点 ?2,0 ? 与已知矛盾 2? 2 ? ?2 ? 当 m1 ? ? k 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,则直线过定点 ? ,0 ? 7 7? ? ?7 ? ?2 ? ? 直线 l 过定点,定点坐标为 ? ,0 ? ?7 ? 2 2 10.(2011 湖北八校一联) 已知双曲线 x ? y ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2,动直线

?

?

?

?

?

?

?

?

l : y ? kx ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ). (I)求 k 的取值范围,并求 x2 ? x1 的最小值; (II) 记直线 P 1A 1的斜率为k1 , 直线P 2 A2的斜率为k 2 , 那么k1 ? k 2 是定值吗?证明你的结
论。

解: (Ⅰ)? l 与圆相切,?1 ? 由?

m 1? k
2

? m2 ? 1 ? k 2

………… ①

? y ? kx ? m 2 2 2 , 得 (1 ? k ) x ? 2mkx ? (m ? 1) ? 0 , 2 2 ?x ? y ? 1

63

2012 届数学二轮复习

? ? 1? k 2 ? 0 ? ? ? ?? ? 4m 2 k 2 ? 4(1 ? k 2 ) (m 2 ? 1) ? 4(m 2 ? 1 ? k 2 ) ? 8 ? 0 , ? 2 ? x1 ? x2 ? m2 ? 1 ? 0 ? k ?1 ? 2 ? k ? 1, ??1 ? k ? 1 ,故 k 的取值范围为 (?1,1) .
由于 x1 ? x2 ?

2mk 2 2 2 2 ? x2 ? x1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? , 2 2 1? k 1? k 2 1? k ? 当 k 2 ? 0 时, x2 ? x1 取最小值 2 2 .
6分

?0 ? k2 ? 1

(Ⅱ)由已知可得 A1 , A2 的坐标分别为 ( ?1, 0), (1, 0) ,

y1 y , k2 ? 2 , x1 ? 1 x2 ? 1 y1 y2 (kx ? m)(kx2 ? m) ? 1 ? k1 ? k2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k1 ?
m2 ? 1 2mk ? mk ? 2 ? m2 2 k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m k ? 1 k ? 1 ? ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 m2 ? 1 2 2 ? ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 m 2 k 2 ? k 2 ? 2m 2 k 2 ? m 2 k 2 ? m 2 k 2 ? m2 ? ? , m2 ? 1 ? 2 2 ? k 2 ? 1 m2 ? k 2 ? 2 ? 2 2 ?1 2 2 由①,得 m ? k ? 1 , ? k1 ? k2 ? ? ?(3 ? 2 2) 为定值. 3? 2 2
2 2

k2 ?

12 分

11. (2011· 湖北重点中学二联) (本小题满分 12 分) 已知点 P( x0 , y0 ) 是椭圆 E : 上任意一点 x0 y0 ? 1 ,直线 l 的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

x0 x ? y0 y ? 1 (I)判断直线 l 与椭圆 E 交点的个数; 2 (II)直线 l0 过 P 点与直线 l 垂直,点 M(-1,0)关于直线 l0 的对称点为 N,直线 PN 恒过一
定点 G,求点 G 的坐标。

? x2 ? y2 ? 1 ? x0 2 ? 2 y0 2 2 ?2 解:(1)由 ? x ? x0 x ? 1 ? y0 2 ? 0 ……2 分 消去 y 并整理得 4 ? x0 x ? y y ? 1 0 ? ? 2 2 2 ? x0 2 x ? 0 ? y0 2 ? 1 ,? y0 2 ? ? x 2 ? 2 x0 x ? x0 2 ? 0 …………4 分 2 2
64

2012 届数学二轮复习

?? ? 4 x0 ? 4 x0 ? 0 故直线 l 与椭圆 E 只有一个交点…………5 分
2 2

(2)直线 l0 的方程为 x0 ( y ? y0 ) ? 2 y0 ( x ? x0 ) 即 2 y0 x ? x0 y ? x0 y0 ? 0 ………………6 分 设 M ( ?1,0) 关于直线 l0 的对称点 N 的坐标为 N ( m, n)

? 2 x03 ? 3x0 2 ? 4 x0 ? 4 ?m ? x0 2 ? 4 ? 解得 ? ……8 分 4 3 2 x ? x ? x ? x 2 4 4 8 ?n ? 0 0 0 0 2 ? y ? x 2 (4 ) 0 0 ? 4 3 2 n ? y0 x0 ? 4 x0 ? 2 x0 ? 8 x0 ? 8 ? ? 直线 PN 的斜率为 k ? m ? x0 2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4)

x ? n ?? 0 ? 2 y0 ? m ?1 则? ?2 y ? m ? 1 ? x0 n ? x y ? 0 0 0 0 ? ? 2 2

从而直线 PN 的方程为 y ? y0 ? 即x?

x0 4 ? 4 x03 ? 2 x0 2 ? 8 x0 ? 8 ( x ? x0 ) 2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4)

2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4) y ? 1 从而直线 PN 恒过定点 G (1, 0) …………12 分 x0 4 ? 4 x03 ? 2 x0 2 ? 8 x0 ? 8 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 a2 b2

12. ( 2011·惠州三调)(本题满分 14 分)已知椭圆 C : 为

3 1 ,过坐标原点 O 且斜率为 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B ,| AB |? 2 10 .⑴求 a 、b 2 2 2 2 的值;⑵若动圆 ( x ? m) ? y ? 1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点,试求 m 的取值范围. x 解:⑴依题意, l : y ? ……1 分,不妨设设 A( 2t , t ) 、 B ( ?2t , ? t ) ( t ? 0 ) 2 2 ?8 ? 2 ?1 2 ? b ?a 由 | AB |? 2 10 得 20t 2 ? 40 , t ? 2 ……3 分,所以 ? ……5 分, 2 2 ? c a b 3 ? ? ? ? a 2 ?a 解得 a ? 4 , b ? 2 ……6 分. ? x2 y2 ?1 ? ? ⑵由 ? 16 消去 y 得 3 x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 12 ? 0 ……7 分, 动圆与椭圆没有公 4 ?( x ? m) 2 ? y 2 ? 1 ?
共点,当且仅当 ? ? (?8m) ? 4 ? 3 ? (4m ? 12) ? 16m ? 144 ? 0 或 | m |? 5 ……9 分,解
2 2 2

得 | m |? 3 或 | m |? 5 ……10 分。动圆 ( x ? m) ? y ? 1 与直线 y ?
2 2

x 没有公共点当且仅当 2

|m|

?| m |? 3 ?| m |? 5 或? ……13 分,得 m 的取值范围 ? 1 ,即 | m |? 5 ……12 分。解 ? | m | ? 5 | m | ? 5 5 ? ?
65

为 m | 5 ? m ? 3或m ? 5或 ? 3 ? m ? ? 5或m ? ?5 ……14 分.………………14 分 13、(2011·锦州期末)(本小题 12 分) 如图所示,已知圆

?

2012 届数学二轮复习

?

C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点,点 P
在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足

AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0, 点N 的轨迹为曲线 E . (I)求
曲线 E 的方程; (II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G , H (点 G 在点 F , H 之间),且满足

FG ? ? FH ,求 ? 的取值范围.
【解】(Ⅰ)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. ∴NP 为 AM 的垂直 平分线,∴|NA|=|NM|.……2 分 又?| CN | ? | NM |? 2 2 ,?| CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2.

? a ? 2 , c ? 1, b 2 ? 1. ……………5 分

x2 ∴曲线 E 的方程为 ? y 2 ? 1. ………6 分 2
(Ⅱ)当直线 GH 斜率存在时,设直线 GH 方程为 y ? kx ? 2, 代入椭圆方程 得(

x2 ? y 2 ? 1, 2

3 ? 4k ……………8 分 , x1 x 2 ? 1 1 2 2 ?k ?k 2 2 又 ? FG ? ? FH , ? ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x 2 , y 2 ? 2) x ? x2 2 xx 2 2 ? x1 ? ?x 2 , ? x1 ? x 2 ? (1 ? ? ) x 2 , x1 x 2 ? ?x 2 . ?( 1 ) ? x2 ? 1 2, 1? ? ? ? 4k 2 3 ( ) 1 1 ? k2 ? k2 16 (1 ? ? ) 2 2 2 ? ? 整理得 ………10 分 , ? 1 ? ? (1 ? ? ) 2 3( 2 ? 1) 2k 3 16 16 1 16 1 ? k 2 ? ,? 4 ? ? . ? 4 ? ? ? ? 2 ? .解得 ? ? ? 3. 3 2 3 ? 3 3 ?3 2 2k 1 1 1 方程为 x ? 0, FG ? FH , ? ? . 又 ? 0 ? ? ? 1, ? ? ? ? 1. 又当直线 GH 斜率不存在, 3 3 3 1 1 ? ? ? ? 1, 即所求?的取值范围是[ ,1) … 3 3
设 G ( x1 , y1 ), H ( x 2 , y 2 ), 则x1 ? x 2 ?
66

1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 3 ? 0. 2

由? ? 0得k 2 ?

3 . 2

2012 届数学二轮复习

? 1( a ? b ? 0) 的两个焦 a 2 b2 ? 点分别为 F1 ( ?1, 0), F2 (1, 0) ,点 P 在椭圆上,且满足 PF1 ? 2 PF2 , ?PF1 F2 ? 30 ,直线
14.(2011·金华十二校一联)(本题满分 15 分)已知椭圆 相切,与椭圆相交于 A, B 两点.(I)求椭圆的方程; (II) 5 证明 ?AOB 为定值( O 为坐标原点). ? 解:(I)由题意, PF1 ? 2 PF2 , ?PF1 F2 ? 30 , F1 F2 ? 2 ,

x2

?

y2

y ? kx ? m 与圆 x 2 ? y 2 ?

6

4 3 ,由椭圆定义得 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 3 , 3 x2 y 2 ? ? 1 (6 分) 从而 a ? 3, 又 c ? 1 ,则 b ? 2 ,所以椭圆的方程为 3 2 ? y ? kx ? m ? 消去 y 得 (II)设交点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,联立 ? x 2 y 2 ? ? 1 ? ?3 2
解三角形得 PF1 ? 2 PF2 ?

(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 6 ? 0
由韦达定理得 x1 ? x2 ?
x ?y ?
2 2

?6km 3m2 ? 6 , x x ? 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

(9 分)又直线 y ? kx ? m 与圆

6 5

相切,

则有

m 1? k
2

?

6 5

? 5m 2 ? 6 ? 6k 2 (11 分)
2 2

从而 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (k ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m

3m 2 ? 6 ?6km m 2 (5m 2 ? 6k 2 ? 6) 2 ? (k 2 ? 1) ? km ? m ? ?0 2 2 2 2 ? 3 k 2 ? 3 k 2 ? 3 k ??? ? ??? ? ? (15 分) 所以 OA OB ? 0 ,即 ?AOB ? 90 为定值.

(14 分)

15.(2011·九江七校二月联考)(本小题满分 13 分)已知抛物线 C : x 2 ? 4 y 的焦点为 F , 过点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A 、 B 两点;椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 F 是它 3 .(1)求椭圆 E 的方程;(2)经过 A 、 B 两点分别作抛物 的一个顶点,且其离心率 e ? 2 线 C 的切线 l1 、 l2 ,切线 l1 与 l2 相交于点 M .证明: AB ? MF ;(3) 椭圆 E 上是否存在一 点 M ? ,经过点 M ? 作抛物线 C 的两条切线 M ?A? 、 M ?B? ( A? 、 B ? 为切点),使得直线 A?B? 过 点 F ?若存在,求出抛物线 C 与切线 M ?A? 、 M ?B? 所围成图形的面积;若不存在,试说明理 由. 解:(1)设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,半焦距为 c .由已知条件,得 F (0,1) , a 2 b2

67

2012 届数学二轮复习

AB ? MF . (3)假设存在点 M ? 满足题意,由(2)知点 M ? 必在直线 y ? ?1 上,又直线 y ? ?1 与椭圆 E 有唯一交点,故 M ? 的坐标为 M ?(0,?1) ,设过点 M ? 且与抛物线 C 相切的切线方程为: 1 1 2 1 y ? y 0 ? x 0 ( x ? x 0 ) ,其中点 ( x0 , y 0 ) 为切点.令 x ? 0, y ? ?1 得, ? 1 ? x 0 ? x 0 (0 ? x 0 ) , 2 4 2 解得 x0 ? 2 或 x 0 ? ?2 ……10 分 故不妨取 A ?( ?2,1), B ?( 2,1) , 即直线 A?B ? 过点 F . 综上所

?b ? 1 ? x2 3 ?c ∴? ? 解得 a ? 2, b ? 1 .所以椭圆 E 的方程为: ? y 2 ? 1 .…… 4 分 2 4 ?a 2 2 2 ?a ? b ? c ? (2)显然直线 l 的斜率存在,否则直线 l 与抛物线 C 只有一个交点,不合题意, 故可设直线 ? y ? kx ? 1 l 的方程为 y ? kx ? 1 , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) , 由 ? 2 消去 y 并整理得 ?x ? 4 y 1 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , ∴ x1 x 2 ? ?4 .… 5 分∵抛物线 C 的方程为 y ? x 2 ,求导得 4 1 1 y? ? x ,∴过抛物线 C 上 A 、 B 两点的切线方程分别是 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) , 2 2 1 1 1 2 1 1 2 y ? y 2 ? x 2 ( x ? x 2 ) ,即 y ? x1 x ? x1 , y ? x 2 x ? x 2 ,解得两条切线 l1 、l 2 2 2 4 2 4 x1 ? x 2 x1 x 2 x1 ? x 2 的交点 M 的坐标为 ( , ) ,即 M ( ,?1) , 2 4 2 ???? ? ??? ? x ? x2 1 2 1 2 1 2 ∴ FM ? AB ? ( 1 , ?2) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? ( x 2 ? x12 ) ? 2( x 2 ? x1 ) ? 0 ∴ 2 2 4 4

A? 、M ?B ? 经过点 M ? 作抛物线 C 的两条切线 M ? 述, 椭圆 E 上存在一点 M ?(0, ?1) ,
B? 为切点),能使直线 A?B ? 过点 F .
……11 分
2 0

( A? 、

此时,两切线的方程分别为 y ? ? x ? 1 和 y ? x ? 1 .

A? 、 M ?B ? 所围成图形的面积为 抛物线 C 与切线 M ?
2 ?1 1 1 ? S ? 2 ? ? x 2 ? ( x ? 1) ? dx ? 2( x 3 ? x 2 ? x ) 0 4 12 2 ? ?

?

4 3

.

x2 y 2 16. (2011·南昌期末)(本小题满分 13 分)从椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 2 a b
???? ? ??? ? (2)若过右焦点 F2 且不与坐标轴垂直的直线 l 交 MN ? ? OP(? ? 0) .(1)求该椭圆的离心率; 椭圆 C 于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 A1 ,直线 A 1 B 与 x 轴交于点 R (4, 0) ,求 椭圆 C 的方程.
轴作垂线,垂足恰好为椭圆的左焦点 F1 , M 是椭圆的右顶点, N 是椭圆的上顶点,且

68

2012 届数学二轮复习

b2 b2 ,所以点 P 的坐标为 ( ?c, ) ,……2 分 a a 2 b ???? ? ??? ? 2 b, …4 分所以 b ? c, a 2 ? 2c 2 , 即离心率 e ? ………5 由 MN ? ? OP ? ? ? 0 ? 得到: a ? 2 c a
解:(1)令 x ? ?c ,得 y ? 分 (2)设直线 l 的方程为: x ? my ? c ? m ? 0 ? ,与椭圆方程

x2 y 2 ? ?1 2c 2 c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 联立得到: m y ? 2mcy ? c ? 2 y ? 2c 即: m ? 2 y ? 2mcy ? c ? 0 …6 分

?

?

?

?

?2mc ?c 2 …7 分 ? y y , 1 2 m2 ? 2 m2 ? 2 由 A 关于 x 轴的对称点为 A1 ,得 A1 ( x1 , ? y1 ) , y ? y1 x ? x1 ? ,过点 R ? 4, 0 ? 得到: 则直线 A1 B 的方程是: y2 ? y1 x2 ? x1
(x1 , y1) (x2 , y2) ,B ,则 y1 ? y2 ? 记A
y1 ? my2 ? my1 ? ? 4 ? y2 ? y1 ? ? ? my1 ? c ?? y2 ? y1 ? ……9 分

?2mc 2 ?2mc ………11 分 ? ?4 ? c? 2 2 m ?2 m ?2 x2 y2 得到: c ? 4 ? c ,所以: c ? 2, ……12 分所以所求椭圆方程为: ? ? 1 ……13 分 8 4 x2 y2 17、(2011· 三明三校二月联考) (本题满分 14 分) 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 2 的左、右焦点分别为 F1、F2,其中 F2 也是抛物线 C 2 : y ? 4 x 的焦点,M 是 C1 与 C2 在第一象 5 限的交点,且 | MF2 |? . (I)求椭圆 C1 的方程; (II)已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭 3 圆 C1 上,顶点 B、D 在直线 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上,求直线 AC 的方程。 5 5 2 解:(I)设 M ( x1 , y1 ),? F2 (1,0), | MF2 |? . 由抛物线定义, x1 ? 1 ? ,? x1 ? , 3 3 3 2 2 6 2 6 ? y12 ? 4 x1 ,? y1 ? . …………3 分, ? M ( , ),?M 点 C1 上, 3 3 3 1 4 8 ? 2 ? 2 ? 1, 又b 2 ? a 2 ? 1 ? 9a 4 ? 37 a 2 ? 4 ? 0, ? a 2 ? 4或a 2 ? ? c 2 舍去. 9 9a 3b
即: 2 my1 y2 ? ? 4 ? c ?? y1 ? y2 ? 所以:
69

2012 届数学二轮复习

x2 y2 ? ? 1. …………6 分 4 3 (II)? 直线BD的方程7 x ? 7 y ? 1 ? 0, ABCD 为菱形,? AC ? BD ,设直线 AC 的方程 ? y ? ?x ? m ? 为 y ? ?x ? m ? x 2 ? 7 x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 12 ? 0, ? A, C 在椭圆 C1 上, y2 ?1 ? ? 3 ?4 8m ? ? ? 0,? m 2 ? 7,? ? 7 ? m ? 7 . 设 A( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? . ………… 7

? a 2 ? 4, b 2 ? 3 ? 椭圆 C1 的方程为

10 分

y1 ? y 2 ? (? x1 ? m) ? (? x 2 ? m) ? ?( x1 ? x 2 ) ? 2m ? ?
点坐标为 (

8m 6m ? 2m ? . ? AC 的中 7 7

4m 3m 4m 3m , ) ,由 ABCD 为菱形可知,点 ( , ) 在直线 BD: 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上, 7 7 7 7 4m 3m ?7? ? 1 ? 0, m ? ?1, ? m ? ?1 ? ( ? 7 , 7 ), ?7 ? 7 7 ∴直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 1,即x ? y ? 1 ? 0. …………14 分
18. (2011·泰安高三期末)(本小题满分 12 分) 离心率为 e= 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

3 1 ,且过点( 3, )(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线 l:y=kx+m(k≠0, 2 2

m>0)与椭圆交于 P,Q 两点,且以 PQ 为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ 面 积的最大值及此时直线 l 的方程. .解:(Ⅰ)∵e= 故所求椭圆为:

3 2

∴c=

3 a 2

∴b =a -c =

2

2

2

x2 4 y2 1 ? 2 ? 1 又椭圆过点( 3, ) 2 a a 2

1 2 a 4 3 1 ∴ 2 ? 2 ?1 a a

∴a =4. b =1

2

2



x2 ? y2 ? 1 4
(Ⅱ)设 P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ 的中点为(x0,y0)

x2 ? y 2 ? 1 联立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0 4 ? ? 16(4k 2 ? 1 ? m 2 ) ? 0,即4k 2 ? 1 ? m 2 ① ?4km x ? x2 y ? y2 m x0 = 1 ? ? , y0 ? 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 y0 ? 0 1 又点[-1,0)不在椭圆 OE 上,依题意有 ? ? , 整理得 3km=4k2+1 ②… x0 ? ( ?1) k
将直线 y=kx+m 与 由①②可得 k >
2



1 5 ,∵m>0, ∴k>0,∴k> …分)设 O 到直线 l 的距离为 d,则 5 5
70

2012 届数学二轮复习 S△OPQ =

1 ? k 2 16(4k 2 ? 1 ? m 2 ) m 1 1 d ? PQ ? ? ? 2 2 1? k2 1 ? 4k 2

=

2 (4k 2 ? 1)(5k 2 ? 1) 2 1 1 ? 20 ? 2 ? 4 …分) 2 9k 9 k k
∴直线方程为

1 1 3 2 ? 时, ?OPQ 的 面 积 取 最 大 值 1 , 此 时 k= 2, m ? , 2 k 2 2 3 2 y= 2 x ? 2
当 19. (2011 苏北四市二调)(本小题满分 16 分)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 过点 a 2 b2

M

3 1 P (1, ) ,其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? , 2 2 ????? ???? ? MN 是椭圆右准线上的两个动点,且 F1M ? F2 N ? 0 .
(1)求椭圆的方程;(2)求 MN 的最小值; (3)以 MN 为直径的圆 C 是否过定点?请证明你的结论.
F1

y

O

F2

x

N

(第 18 题) 9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1, ? ? c 1 3 ? a ? 2, ? 椭圆方程为 解得 ? 解:(1)? e ? ? ,且过点 P (1, ) ,? ? a ? 2c, 2 a 2 ? b 3, ? 2 2 2 ? ?a ?b ?c , ? ? 2 2 x y ? ? 1。 4 3 ????? ???? ? ????? ???? ? (2) 设点 M (4, y1 ), N (4, y2 ) 则 F1M ? (5, y1 ), F2 N ? (3, y2 ), F1M ? F2 N ? 15 ? y1 y2 ? 0 ,

? y1 y2 ? ?15 ,
为 2 15 .

15 15 + y1 ≥ 2 15 , 又? MN ? y2 ? y1 ? - ? y1 ? y1 y1

? MN 的最小值

y ? y1 y1 ? y2 ) ,半径 r ? 2 .圆 C 的方程为 2 2 y ? y2 2 ( y2 ? y1 ) 2 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 1 ) ? , 2 4 整理得: x 2 ? y 2 ? 8 x ? ( y1 ? y2 ) y ? 16 ? y1 y2 ? 0 . ? y1 y2 ? ?15 ,
(3) 圆心 C 的坐标为 (4,
? x 2 ? y 2 ? 8 x ? ( y1 ? y2 ) y ? 1 ? 0
令 y ? 0 ,得 x 2 ? 8 x ? 1 ? 0 ,? x ? 4 ? 15 . ? 圆 C 过定点 (4 ? 15,0) .…
71

2012 届数学二轮复习

1 20 (2011 苏北四市二调)(本小题满分 10 分)已知动圆 P 过点 F (0, ) 4 1 且与直线 y ? ? 相切.(1)求点 P 的轨迹 C 的方程;(2)过点 F 作一 4 条直线交轨迹 C 于 A, B 两点,轨迹 C 在 A, B 两点处的切线相交于点 N , M 为线段 AB 的中点,求证: MN ? x 轴.
解:(1)根据抛物线的定义,可得动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程为 x ? y
2 2 (2) 证明:设 A( x1 , x12 ), B( x2 , x2 ) , ∵ y ? x 2 , ∴ y? ? 2 x ,∴

y

F· P ·

O

x

AN , BN 的斜率分别为 2 x1 , 2 x2 ,故 AN 的方程为
2 y ? x12 ? 2 x1 ( x ? x1 ) , BN 的方程为 y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 ) 即

第 22 题

2 ? x ? x2 x ? x2 ? y ? 2 x1 x ? x1 ,两式相减,得 xN ? 1 ,又 xM ? 1 , ? 2 2 2 ? ? y ? 2 x2 x ? x2 ∴ M , N 的横坐标相等,于是 MN ? x

1. (山东省济南市 2010 年 3 月高三一模试题理科) (本小题满分 12 分)已知定点 F (0,1) 和 直线 l1 : y ? ?1 , 过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为点 C。 (1) 求动点 C 的轨迹方程; (2) 过点 F 在直线 l2 交轨迹于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求 RP ? RQ 的最小值。 解:(1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离,∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点, l1 为准 线的抛物线 ∴所求轨迹的方程为 x ? 4 y
2

??? ? ??? ?

………………4 分

(2)由题意直线 l2 的方程为 y ? kx ? 1 ,与抛物线方程联立消去

y得x 2 ? 4kx ? 4 ? 0. 记 P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4.

……6 分

因为直线 PQ 的斜率 k ? 0 ,易得点 R 的坐标为 (?

??? ? ??? ? 2 2 RP ? RQ ? ( x1 ? , y1 ? 1) ? ( x2 ? , y2 ? 1) k k 2 2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ……8 分 k k 2 4 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? 2k )( x1 ? x2 ) ? 2 ? 4 k k 2 4 1 ? ?4(1 ? k 2 ) ? 4k ( ? 2k ) ? 2 ? 4 ? 4(k 2 ? 2 ) ? 8, k k k 1 ? k 2 ? 2 ? 2 ,当且仅当 k 2 ? 1 时取到等号。…11 分 k ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? RP ? RQ ? 4 ? 2 ? 8 ? 16,即RP ? RQ 的最小值为 16 ……12 分
2.(山东省济南市 2010 年 3 月高三一模试题文科)(本小题满分 12 分)已知椭圆
72

2 , ?1) k

2012 届数学二轮复习

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4。 (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的 2 a b 圆与直线 y ? x ? 2 相切,求椭圆焦点坐标; C:
(2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,记直线 PM,PN 的斜率分别为 k PM , k PN ,当 k PM ? k PN ? ? 解:(1)由 b ?

2

2

1 时,求椭圆的方程。 4
……4 分

2

1?1 2 2 2 c ? a ? b ? 2,? 两个焦点坐标为( 2 ,0),(- 2 ,0) ………………6 分

得b ? 2 ……2 分? 又2a ? 4, a ? 2, a 2 ? 4, b 2 ? 2

(2)由于过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 交于坐标原点对称 不妨设: M ( x0 , y0 ), N (? x0 , ? y0 ), P ( x, y ) M,N,P 在椭圆上,则它们满足椭圆方程,即有
2 2 2 x0 y0 y 2 ? y0 x2 y 2 b2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 两式相减得: 2 ? ? ? . ……8 分 2 x ? x0 a a 2 b2 a b y ? y0 y ? y0 由题意它们的斜率存在,则 k PM ? , k PN ? …………10 分 x ? x0 x ? x0

k PM ? k PN ?

2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 1 b2 b2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ,由a ? 2得b ? 1 则 2 2 2 4 x ? x0 x ? x0 x ? x0 a a

故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

………………12 分

3. (山东省青岛市 2010 届高三一模理科)(本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右两焦点分别为 F1 , F2 , P 是椭圆 C 上的一点,且 a2 b2

H 是 PF1 上一点, ??? , ? 若 PF2 ? F1 F2 ? 0, OH ? PF1 ? 0, OH ? ? OF1 , 在 x 轴的上方, 3 2
(其中 O 为坐标原点) .(Ⅰ)求椭圆 C 离心率 e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率 e 取(Ⅰ)中求得的最大 值, 已知 b ? 2 ,点 M( ? 1, 0) ,设 Q 是椭圆 C 上的一点,过 Q 、 M 两点的直线 l 交 y 轴
2

?1 1 ? ? ?

于点 N ,若 NQ ? 2QM , 求直线 l 的方程. 解 :( Ⅰ ) 由 题 意 知 PF2 ? F1 F2 , OH ? PF1 则 有 ?F1OH 与 ?F1 PF2 相 似 所 以

????

???? ?

OH OF1

?

PF2 F1 P

? ? …2 分
2

c2 y b2 设 F1 ( ?c,0), F2 (c,0), c ? 0 , P (c, y1 ) 则有 2 ? 12 ? 1 ,解得 y1 ? a a b
73

2012 届数学二轮复习 所 以 PF2 ? y1 ?

b b2 根 据 椭 圆 的 定 义 得 : F1 P ? 2a ? PF 2 ? 2a ? … 4 分 a a

2

?? ?
2

b2 b2 c2 b2 2 2? 2 e ,即 所以 ? ? 1 ? ? ? 1 ……6 分 ? 2 2 2 2 2 1? ? 1? ? 2a ? b a a a

显然 e ?

2 1 1 1 1 ? 1 在 [ , ] 上是单调减函数当 ? ? 时, e 2 取最大值 1? ? 3 2 3 2 2 …8 分 2

所以椭圆 C 离心率 e 的最大值是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 e ?
2

c2 b2 2 1 ? ? ? 1 ? 2 ? ,解得 a 2 ? 4 1 2 2 2 a a a x2 y2 ? ? 1 ……10 分由题意知直线 l 的斜率存在,故设其斜率为 4 2

所以此时椭圆 C 的方程为

k,
则 其 方 程 为 y ? k ( x ? 1), N (0, k ) 设 Q ( x1 , y1 ) , 由 于 NQ ? 2QM , 所 以 有

k 2 ( x1 , y1 ? k ) ? 2(?1 ? x1 ,? y1 ) ? x1 ? ? , y1 ? … … 12 分 又 Q 是 椭 圆 C 上 的 一 点 , 则 3 3

2 k (? ) 2 ( ) 2 3 ? 3 ? 1 解得 k ? ?4 所以直线 l 的方程为 4 x ? y ? 4 ? 0 或 4 x ? y ? 4 ? 0 ……14 4 2
分 4 . ( 山 东 省 青 岛 市 2010 届 高 三 一 模 文 科 ) ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 椭 圆

C:

x2 y2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 e ? ,若点 P (0, ) 到椭圆 C 上的点的最远距离为 2 2 2 a b

7 .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)过椭圆 C 的左焦点 F1 作直线 l 交椭圆 C 于点 A 、 B ,且 AB 等
于椭圆的短轴长,求直线 l 的方程.

c b2 3 ,解得 a ? 2b ……2 分 解:(Ⅰ)因为 e ? ? 1 ? 2 ? a 2 a
则椭圆 C 的方 程化为 x ? 4 y ? a 设 Q( x0 , y 0 ) 是椭圆 C 上的一点,则有 x 0 ? a ? 4 y 0 ,
2 2 2
2 2 2

74

2012 届数学二轮复习

?

a a 3 3 1 2 2 2 ? y0 ? 所以 PQ ? x0 ? ( y0 ? ) 2 ? a 2 ? 4 y0 ? ( y 0 ? ) 2 ? ?3( y 0 ? ) 2 ? 3 ? a 2 … 2 2 2 2 2

4分 当?

a 3 a 1 a ? ? 且 a ? 0 即 0 ? a ? 1 时,则当 y0 ? ? 时, PQ 取最大值 ? ? 7 , 2 2 2 2 2 1 a 1 ? ? 即 a ? 1 时 , 则 当 y0 ? ? 2 2 2

解 得 a ? ?3 ? 2 7 , 显 然 均 不 符 合 题 意 , 应 舍 去 ; 当 ? 时, PQ 取最大值 3 ? a ?
2
2

7,

x2 ? y 2 ? 1 ……6 分 解得 a ? 4 ,符合题意;所以椭圆 C 的方程为 4
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 F1 ( ? 3 ,0) 当 直 线 l 垂直于 x 轴时 ,此 时 直 线 l 的方程 为 x ? ? 3 把 它 代入

x2 1 1 1 ? y 2 ? 1 解 得 y ? ? 不 妨 设 A(? 3 , ), B (? 3 ,? ) , 则 AB ? 1 ? 2 , 显 然不 满 足 题 4 2 2 2
意…7 分 当直线 l 不垂直于 x 轴时,此时可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3 ) 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 由? 4 得: (1 ? 4 k ) x ? 8 3 k x ? 12 k ? 4 ? 0 …………9 分 ? y ? k ( x ? 3) ?


x1 ? x 2 ? ?
2

8 3k 2 12k 2 ? 4 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2





4(k 2 ? 1) 2 AB ? (1 ? k ) ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? 2 解得 k ? ? …11 分综上,直线 l 的 方 2 2 1 ? 4k
2

?

?

程为 x ?

2 y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 3 ? 0 ……12 分

5.(山东省济宁市 2010 年 3 月高三一模试题理科)(本小题满分 14 分)已知椭圆 C1 的中 心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 e ?

3 ,P 为椭圆上一动点。F1、F2 分别为椭圆 2

的左、右焦点,且 ?PF1 F2 面积的最大值为 3. (1)求椭圆 C1 的方程;(2)设椭圆短轴的 上端点为 A,M 为动点,且

1 1 | F2 A | 2 , F2 M ? AM , AF1 ? OM 成等差数列,求动点 M 的轨迹 5 2
75

2012 届数学二轮复习 C2 的方程;(3)作 C2 的切线 l 交 C1 于 O、R 两点,求证: OO ? OR ? 0. 解:(1)设椭圆 C1 的方程为

c 3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? e ? ? ,? a ? 2b. 2 a 2 a b 由椭圆的几何笥质知,当点 P 为椭圆的短轴端点时, ?PF1 F2 的面积最大。 ?a ? 2b ? 1 ? | F1 F2 | b ? bc ? 3 ,? 由 ?bc ? 3 解得 a ? 2, b ? 1 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 x 故椭圆 C1 的方程为 ? y 2 ? 1. 5分 4 (2)由(1)知 A(0,1), F1( ? 3 ,0), F2 ( 3 ,0) ,
设 M ( x, y ) 则 F2 A ? (? 3 ,1), F2 M ? ( x ? 3 , y ), AM ? ( x, y ? 1)

2分

AF1 ? (? 3 ,?1)

7 分? F2 M ? AM ?

2 1 | F2 A | ? AF1 ? OM , 5

? x( x ? 3 ) ? y ( y ? 1) ?


4 4 ? 3 x ? y, 整理得 M 的轨迹 C2 的方程为 x 2 ? y 2 ? 5 5

10

(3)①当切线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? m ,代入椭圆方程得:

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4m 2 ? 4 ? 0 , ? ? (8mk ) 2 ? 16(m 2 ? 1)(1 ? 4k 2 ) ? 0.
设 Q ( x1 , y1 ), R( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

8mk 4m 2 ? 4 x x ? , . 11 分 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y 2 ? k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ? m 2 ) ,则
OQ ? OR ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2

(1 ? k 2 )(4m 2 ? 4) 8m 2 k 2 5m 2 ? 4k 2 ? 4 2 ? ? ?m ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 |m| 2 5 2 2 又 l 与 C2 相切,? 即 5m ? 4k ? 4 ? 0 ,故 OQ ? OR ? 0 13 分 ? 2 5 1? k 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 . ? Q( , ), R( ,? )或 5 5 5 5 5 2 5 2 5 2 5 2 5 4 4 Q(? , ), R(? ,? ) 此时 OQ ? OR ? ? ? 0. 综合①②得, OQ ? OR ? 0 5 5 5 5 5 5
②当切线 l 的斜率不存在时,直线 l : x ? ? 14 分 6.(山东省济宁市 2010 年 3 月高三一模试题文科)(本小题满分 14 分)设椭圆 C1 和抛物 线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点,从每条曲线上各取两点,将其坐标 记录于下表中: 3 -2 4 x 2
76

2012 届数学二轮复习

y

?2 3

0

-4

2 2

C2 的标准方程; (2) 设直线 l 与椭圆 C1 交于不同两点 M、 N, 且 OM ? ON ? 0 。 (1) 求曲线 C1, l l 请问是否存在直线 过抛物线 C2 的焦点 F?若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理 由。 解:(1)由题意(-2,0)一定在椭圆 C1 上。 设 C1 方 程 为

x2 y2 ? ? 1 ,则 a ? 2 a2 b2

2分

? 椭圆 C1 上任何点的横坐标 | x |? 2. 所以 ( 2 , ? C1 的方程为

2 ) 也在 C1 上,从而 b 2 ? 1 2

x2 ? y 2 ? 1 4 分从而 (3,?2 3 ) ,(4,-4)一定在 C2 上,设 C2 的方程为 4

y 2 ? 2 px( p ? 0) ? p ? 2. 即 C2 的方程为 y 2 ? 4 x. 6 分 (2)假设直线 l 过 C2 的焦点 F(1,0)。 当 l 的 斜 率 不 存 在 时 , 则 3 3 M (1, ), N (1,? ). 2 2 3 1 此时 OM ? ON ? 1 ? ? ? 0 ,与已知矛盾。 8 分 4 4 当 l 的斜率存在时设为 k ,则 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 代入 C1 方程并整理得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0. 10 分设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,

8k 2 4k 2 ? 4 则 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 3k 2 1 ? 4k 2 ? OM ? ON ? 0 , ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,? k 2 ? 4 ? 0, k ? ?2 ? 存在符合条件的直线 l 且方程为 y ? ?2( x ? 1). 14 分
y1 y 2 ? k ( x1 ? 1)k ( x 2 ? 1) ? k 2 ( x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1) ?
2 2

12 分

7 .(山东省枣庄市 2010 年 3 月高三第一次模拟理科试题)(本题满分 14 分) 抛物线 D 以双曲线 C : 8 y ? 8 x ? 1 的焦点 F (0, c), (c ? 0) 为焦点.[来源:学+科+网] (1)求抛物线 D 的 标准方程; (2)过直线 l : y ? x ? 1 上的动点 P 作抛物线 D 的两条切线,切点为 A,B.求证:直线 AB 过定点 Q,并求出 Q 的坐标; (3) 在 (2) 的条件下, 若直线 PQ 交抛物线 D 于 M, N 两点, 求证: |PM|· |QN|=|QM|· |PN| 解: (1) 由题意, c ?
2

1 1 1 1 1 2 抛物线 D 的标准方程为 x ? 2 y. …… ? ? , c ? . 所以 F (0, ) , 8 8 4 2 2
2

3分 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), P ( x0 , x0 ? 1), 由 x ? 2 y , 得y ' ? x.因此y ' | x ? x1 ? x1
77

2012 届数学二轮复习 抛物线 D 在点 A 处的切线方程为 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ),即y ? x1 x ? y1 . …………4 分 而 A 点处的切线过点 P ( x0 , x 0 ? 1), 所以x0 ? 1 ? x1 x0 ? y1 , 即 ( x1 ? 1) x0 ? 1 ? y1 ? 0. 同理, ( x 2 ? 1) x 0 ? 1 ? y 2 ? 0. 可见,点 A,B 在直线 ( x ? 1) x 0 ? 1 ? y ? 0 上. 令 x ? 1 ? 0,1 ? y ? 0, 解得x ? y ? 1 所以,直线 AB 过定点 Q(1,1)………6 分 (3)设 P ( x0 , x 0 ? 1), M ( x3 , y 3 ), N ( x 4 , y 4 ), 直线 PQ 的方程为 y ?

x ?2 ( x0 ? 1) ? 1 1 x? ( x ? 1) ? 1, 即y ? 0 . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

x0 ? 2 1 ? ?y ? x ?1 x ? x ?1 由? , 消去y, 0 0 ? x 2 ? 2 y, ? 2( x 0 ? 2 ) 2 x? ? 0. x0 ? 1 x0 ? 1 2( x 0 ? 2) 2 由韦达定理, x3 ? x 4 ? …………9 分 , x3 x 4 ? ? . x0 ? 1 x0 ? 1 | PM | | QM | ? 而 | PM | ? | QN |?| QM | ? | PN |? | PN | | QN | x ? x 1 ? x3 ? 3 0 ? ? ( x3 ? x0 )( x4 ? 1) ? ( x4 ? x0 )(1 ? x3 ) x4 ? x0 x4 ? 1 …12 分
得x ?
2

? 2 x3 x4 ? ( x3 ? x4 ) ? x0 ( x3 ? x4 ) ? 2 x0 ? 0(?) 2( x0 ? 2) 2 将 x3 ? x 4 ? 代入方程(*)的左边,得 , x3 x 4 ? ? x0 ? 1 x0 ? 1 2( x0 ? 2) 2 x0 ( x0 ? 2) 4 (*)的左边 ? ? ? ? ? 2 x0 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1
2 2 ? 4 ? 2 x0 ? 4 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? x0 ? 1

=0.因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|.…………14 分 8.(山东省枣庄市 2010 年 3 月高三第一次模拟文科试题)(本题满分 12 分) 如图,斜率为 1 的直线 l 过抛物线 ? : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,与抛物线交于两点 A,B。
2

(1) 若|AB|=8,求抛物线 ? 的方程; (2)设 C 为抛物线弧 AB 上的 动点(不包括 A,B 两点),求 ?ABC 的面积 S 的最大值; (3)设 P 是抛物线 ? 上异 于 A,B 的任意一点,直线 PA,PB 分别交抛物线的准线于 M,N 两点,证明 M,N 两点的 纵坐标之积为定值(仅与 p 有关) 解:设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ),

78

2012 届数学二轮复习

p ? p p2 ?y ? x ? , (1)由条件知直线 l : y ? x ? . 由 ? ? 0. ………1 分 2 消去 y,得 x 2 ? 3 px ? 2 4 2 ? y ? 2 px ? p2 2 ? 0. ( 不 写 , 不 扣 分 ) 由 韦 达 定 理 , 由 题 意 , 判 别 式 ? ? (?3 p ) ? 4 ? 4 p2 x1 ? x 2 ? 3 p, x1 x 2 ? . 4 p p 由抛物线 的定义, | AB |? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? 3 p ? p ? 4 p. 从而 4 p ? 8,2 p ? 4. 所求抛 2 2 2 物的方程为 y ? 4 x. ………3 分
(2)设 C (
2 y0 (3 ? 2 2 ) p (3 ? 2 2 ) p , y 0 ) 。由(1)易求得 A( , (1 ? 2 ) p, B , (1 ? 2 ) p). 2 2 2p p 则 (1 ? 2 ) p ? y 0 ? (1 ? 2 ) p. … 4 分 点 C 到 直 线 l : x ? y ? ? 0 的 距 离 2 2 y p | 0 ? y0 ? | 2p 2 d? . 2 p p p 将原点 O(0,0)的坐标代入直线 l : x ? y ? ? 0 的左边,得 x ? y ? ? ? ? 0. 2 2 2 2 y p 而点 C 与原点 O 们于直线 l 的同侧,由线性规划的知识知 0 ? y 0 ? ? 0. 2p 2 2 y p ? 0 ? y0 ? 2p 2 因 此 d ? . … … 6 分 由 ( 1 ) , |AB|=4p 。 2 y2 p ? 0 ? y0 ? 1 1 2p 2 S ? ? | AB | ?d ? ? 4 p ? 2 2 2

?

2 2 2 (? y0 [?( y0 ? p) 2 ? 2 p 2 ] ? 2 py0 ? p 2 ) ? 2 2
2 ) p ? y 0 (1 ? 2 ) p, 知当 y 0 ? p时, S max ?

由 (1 ?

2 ? 2 p 2 ? 2 p 2 …8 分 2 2 (3)由(2),易得 y1 y 2 ? ? p , y1 ? y 2 ? 2 p. 设 P ( x0 , y0 ) 。

2 y0 y ? y0 y2 , x1 ? 1 代入直线 PA 的方程 y ? y 0 ? 1 ( x ? x0 ), x1 ? x0 2p 2p 2p 2p 得 PA : y ? y 0 ? ( x ? x0 ). 同理直线 PB 的方程为 y ? y 0 ? ( x ? x0 ) y1 ? y 0 y2 ? y0

将 x0 ?

79

2012 届数学二轮复习 将x ??

y y ? p2 y y ? p2 p 代入直线 PA,PB 的方程得 y M ? 0 1 , yN ? 0 2 . 2 y1 ? y 0 y2 ? y0 y 0 y1 ? p 2 y 0 y 2 ? p 2 ? y1 ? y 0 y2 ? y0

yM yN ?

?

2 y0 y1 y 2 ? p 2 y 0 ( y1 ? y 2 ) ? p 4 2 y1 y 2 ? y 0 ( y1 ? y 2 ) ? y 0

?

2 ? p 2 y0 ? 2 p 3 y0 ? p 4 ? ? p2. 2 2 ? p ? 2 py 0 ? y 0

9.(山东省东营市 2010 届高三一轮教学质量检测数学试题理科)(本小题满分 12 分)已

? y ? 0, ? 的外接圆 C 与 x 轴交于点 A1、A2,椭圆 C1 以线段 A1A2 为长轴, 知可行域 ? x ? 3 y ? 2 ? 0, ? ? 3x ? y ? 2 3 ? 0, 2 . (1)求圆 C 及椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的右焦点为 F,点 P 为圆 C 离心率 e ? 2 上异于 A1、A2 的动点,过原点 O 作直线 PF 的垂线交直线 x ? 2 2 于点 Q,判断直线 PQ 与圆
C 的位置关系,并给出证明.
解:(1)由题意可知,可行域是以 A1 (?2, 0), A2 (2, 0) 及点 M (1, 3) 为顶点的三角形, ∵ A1M ? A2 M ,∴ ?A1 A2 M 为直角三角形,………2 分 ∴外接圆 C 以原点 O 为圆心,线段 A1A2 为直径,故其方程为 x ? y ? 4 .
2 2

∵2a=4, ∴a=2. 又e ? 分

2 x2 y2 , ∴c ? 2 , 可得 b ? 2 . ∴所求椭圆 C1 的方程是 ? ? 1. 6 2 4 2
2 2

( 2 ) 直 线 PQ 与 圆 C 相 切 . 设 P ( x0 , y0 )( x0 ? ?2) , 则 y0 ? 4 ? x0 . 当 x0 ?

2 时,

P ( 2 ,? 2 ), Q(2 2 ,0), k OP ? k PQ ? ?1 ,∴ OP ? PQ ;
当 x0 ?

2 时 , k PF ?

y0 x0 ? 2

,? k OQ ? ?

x0 ? 2 ∴ 直 线 y0

OQ

的 方 程 为

y??

x0 ? 2 x .……8 分 y0

因此,点 Q 的坐标为 (2 2 ,?

2 2 x0 ? 4 x) . y0
? x0 (2 2 ? x0 ) y 0 ( x0 ? 2 2 ) ?? x0 , …10 分 y0

?
∵ k PQ ?

2 x0 ? 4 ? y0 y0 2 2 ? x0

?

2 2 2 x0 ? 4 ? y 0

y 0 ( x0 ? 2 2 )

kOP ? ∴当 x0 ? 0 时, k PQ ? 0 , OP ? PQ ; 当 x0 ? 0 时候,

y0 , ∴ k PQ kOP ? ?1, OP ? PQ . x0

综上,当 x0 ? ?2 时候, OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 C 相切.…12 分
80

2012 届数学二轮复习 10 . ( 聊 城市 2010 年 高 考 模 拟 数 学 试 题 理 ) ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 椭 圆

2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 是坐标平面内 2 2 a b 7 3 一点,且 | OP |? , PF1 ? PF2 ? (O 为坐标原点)。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过 2 4 1 点 S (0,? ) 且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,在 y 轴上是否存在定点 M,使以 AB 3 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 M 的坐标和 ?MAB 面积的最大值;若不存在,说明理
C:
由。 解:(1)设 P( x0 , y 0 ), F1 ( ?c,0), F2 (c,0), 则由 | OP |? 得

7 7 3 2 2 得x0 ? y0 ? ; 由 PF1 ? PF2 ? 2 4 4
2分

( ?c ? x 0 , ? y 0 ) ? ( c ? x 0 , ? y 0 ) ?
又因为

3 3 2 2 , 即 x0 ? y0 ? c 2 ? . 所以 c=1 4 4

2 c x2 ? , 所以a 2 ? 2, b 2 ? 1. ……3 分因此 所求椭圆的方程为: ? y 2 ? 1. …4 分 2 2 a 1 ? y ? kx ? , ? 1 3 16 ? 3 2 2 (2)动直线 l 的方程为: y ? kx ? , 由 ? 2 得 (2k ? 1) x ? kx ? ? 0. 3 4 9 x 2 ? ? y ? 1, ? ?2 4k 16 , x1 x 2 ? ? . ……6 分 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ). 则 x1 ? x 2 ? 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1)
假设在 y 上存在定点 M(0,m),满足题设,则

MA ? ( x1 , y1 ? m), MB ? ( x 2 , y 2 ? m). MA ? MB ? x1 x 2 ? ( y1 ? m)( y 2 ? m) ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? m 2

1 1 1 1 ? x1 x 2 ? (kx2 ? )(kx2 ? ) ? m(kx1 ? ? kx2 ? ) ? m 2 3 3 3 3 1 2 1 ? (k 2 ? 1) x1 x 2 ? k ( ? m)( x1 ? x 2 ) ? m 2 ? m ? 3 3 9 2 16(k ? 1) 1 4k 2 1 ?? ? k ( ? m) ? m2 ? m ? 2 2 3 3 9 9(2k ? 1) 3(2k ? 1) ? 18(m 2 ? 1)k 2 ? (9m 2 ? 6m ? 15) 9(2k 2 ? 1)
2 ? ?m ? 1 ? 0, 解得 m=1。 2 ? m m 9 ? ? 15 ? 0 , ?

由假设得对于任意的 k ? R ? MA ? MB ? 0 恒成立,即 ?

因此, 在 y 轴上存在定点 M, 使得以 AB 为直径的圆恒过这个点, 点 M 的坐标为 (0, 1) …… 10 分
81

2012 届数学二轮复习 这时,点 M 到 AB 的距离 d ?

4 3 k ?1
2

? | AB |? (k 2 ? 1)( x1 ? x 2 ) 2 .

S ?MAB ?

1 2 2 | AB | d ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 2 3 3

2 16k 2 64 8 9k 2 ? 4 . ? ? 3 2(k 2 ? 1) 2 9(2k 2 ? 1) 9 (2k 2 ? 1) 2 t ?1 2 2 设 2k ? 1 ? t , 则 k ? , 2 1 16 8 9 1 1 1 2 8 1 81 1 9 2 得 t ? ?1,?? ?, ? ?0,1?. 所以 S ?MAB ? ( )? ( ) ? [ ?( ? ) ] ? . t t 2 9 2 t 2 t 9 2 4 9 1 16 当且仅当 ? 1 时,上式等号成立。因此, ?MAB 面积的最大值是 . ……14 分 9 t ?
11.(山东省泰安市 2010 年 3 月高三第一次模拟数学理科试题)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y ? 4 3 x 的焦点 F 重合,且椭 a b (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若过点 (1, 0) 的直线 l 与 圆短轴的两个端点与 F 构成正三角形。 ??? ? ??? ? 椭圆交于不同两点 P、Q ,试问在 x 轴上是否存在定点 E (m, 0) ,使 PE ? QE 恒为定值?若存 在,求出 E 的坐标及定值;若不存在,请说明理由。 解:(Ⅰ)由题意知抛物线的焦点 F ( 3, 0) ? c ? 3 …1 分 又? 椭圆的短轴的两个端点与 F
构成正 三角形 ? b ? 1 ? 椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ……3 分 4 (Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则 l 的方程 为: y ? k ( x ? 1) x2 ? y2 ? 1 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 , P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 4 y ? k ( x ? 1)

8k 2 4k 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 4k ? 1 ??? ? ??? ? 4k ? 1 ??? ? ??? ? 则 PE ? (m ? x1 , ? y1 ) QE ? (m ? x2 , ? y2 ) ? PE ? QE ? (m ? x1 )(m ? x2 ) ? y1 y2 ? m 2 ? m( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? m 2 ? m( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2 8k 2 4k 2 ? 4 8k 2 (4m 2 ? 8m ? 1)k 2 ? (m 2 ? 4) 2 4k ? 4 ? m ?m 2 ? ?k ( 2 ? ? 1) ? …7 4k ? 1 4k 2 ? 1 4k ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 2



1 1 17 (4m 2 ? 8m ? 1)(k 2 ? ) ? (m 2 ? 4) ? (4m 2 ? 8m ? 1) 2m ? 1 4 4 4 … ? ? (4m 2 ? 8m ? 1) ? 2 2 4k ? 1 4 4k ? 1
…9 分
82

2012 届数学二轮复习

??? ? ??? ? 17 17 33 时 PE ? QE 为 定 值 … 10 分 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 , ?0 即m? 4 8 64 3 3 P (1, ), Q(1, ? ) 2 2 ??? ? 9 ? 9 3 ??? ? ??? ? 81 3 33 17 3 ??? 由 E ( , 0) 可得 PE ? ( , ? ) QE ? ( , ) ? PE ? QE ? ? ? 8 8 2 8 2 64 4 64 ??? ? ??? ? 17 33 ………12 分 综上所述当 E ( , 0) 时, PE ? QE 为定值 8 64
当 2m ? 16 . ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 A 、 B 、 C 是 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 的坐标为 a2 b2 过 椭 圆 m 的 中 心 , 且 ( 2 3 ,0) , BC m:

AC ? BC ? 0, | BC |? 2 | AC | .(1)求椭圆 m 的方程; (2) 过点 M (0, t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,
[来

Q , 设 D 为 椭 圆 m 与 y 轴 负 半 轴 的 交 点 , 且 | DP |?| DQ | . 求 实 数 t 的 取 值 范 围. 解(1)∵ | BC |? 2 | AC | 且BC 过(0,0)则 | OC |?| AC | ∴∠OCA=90°, 即 C ( 3, 3 ) 又∵ a ? 2 3 , 设m :

又 ? AC ? BC ? 0

x2 y2 ? ?1 12 12 ? c 2
2

[来

将 C 点坐标代入得

x y2 3 3 2 2 ? ?1 ? ? 1 解得 c =8,b =4 ∴椭圆 m: 12 4 12 12 ? C 2
∵M(0,t)
2 2

(2)由条件 D(0,-2)

1°当 k=0 时,显 然-2<t<2
2 2

6分
2

?x y ?1 ? ? 2°当 k≠0 时,设 l : y ? kx ? t ? 12 4 ? y ? kx ? t ?
由△>0 则 x0 ? 由 可得

消 y 得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ? 12 ? 0

t 2 ? 4 ? 12 k 2



设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ), PQ中点H ( x0 , y 0 ) ∴ H (?

x1 ? x 2 3kt t ? , y 0 ? kx 0 ? t ? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
| DP |?| DQ | ? OH ? PQ

t 3kt , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2


即k DH ? ?

1 k

t ?2 1 1 ? 3k 2 ?? 3kt k ? ?0 2 1 ? 3k
(1,4)

化简得t ? 1 ? 3k 2 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是
[来 [*K

综上 t∈(-2,4)
83

2012 届数学二轮复习 17. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 中心为 O ,右顶点为 M ,过定点 4

D(t , 0)(t ? ?2) 作直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点.(1)若直线 l 与 x 轴垂直,求三角形 OAB 面
积的最大值; (2)若 t ?

6 o ,直线 l 的斜率为 1 ,求证:?AMB ? 90 ; (3)直线 AM 和 BM 5

的斜率的乘积是否为非零常数?请说明理由. 解:设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) .

x2 1 4 ? t2 , ? y 2 ? 1 可得: y ? ? (2 分) 2 4 1 2 (4 分) 则 S ?OAB ? OD ? AD ? ? t ? 4 ? t ? 1 ,当且仅当 t ? ? 2 时取等号 2 6 ? y ? x? ? 44 48 ? 5 2 (2)由 ? 2 得 125 x ? 240 x ? 44 ? 0 , x1 x2 ? , x1 ? x2 ? (6 分) 125 25 ? x ? y2 ? 1 ? ?4 6 ?? 6? ? x1 ? ?? x2 ? ? x1 x2 ? 6 ? x1 ? x2 ? ? 36 ? y1 y2 5 ?? 5? 5 25 ?? ? 所以 k AM k BM ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?
(1)把 x ? t 代入

44 6 48 36 ? ? ? 125 5 25 25 ? ?64 ? ?1 ? ?AMB ? 90o ? 44 48 64 ? 2? ? 4 125 5 (3)直线 AM 和 BM 的斜率的乘积是一个非零常数. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,可设直线 ? y ? k(x ? t) ? 2 2 2 2 2 消去 y 整理得 (4k ? 1) x ? 8k tx ? 4k t ? 4 ? 0 方程为: y ? k ( x ? t ) ,由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?4 ? ?? ? 0 ? ? y1 ? k ( x1 ? t ) 8k 2t ? 则 ? x1 ? x2 ? ① 又 ? ② 2 4k ? 1 ? y2 ? k ( x2 ? t ) ? ? 4k 2 t 2 ? 4 ? x x ? 1 2 4k 2 ? 1 ? y1 y2 k 2 ( x1x2 ? t (x1 ? x2 ) ? t 2 ) t ?2 所以 kAM kBM ? ? ? (常数) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4(t ? 2)

84

2012 届数学二轮复习

?x ? t 1 1 ? 2 当直线 l 与 x 轴垂直时,由 ? x 2 得两交点 A ( t , 4 ? t ), B ( t , ? 4 ? t2 ) , 2 2 2 ? ? y ?1 ?4 t ?2 显然 kAM kBM ? .所以直线 AM 和 BM 的斜率的乘积是一个非零常数. 4(t ? 2) x2 y2 18. (本小题满分 12 分) 已知: 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 过点 A(? a, 0) ,B (0, b) a b 3 ? 的直线倾斜角为 ,原点到该直线的距离为 .(1)求椭圆的方程; (2)斜率大于零的 6 2 直线过 D ( ? 1, 0) 与椭圆交于 E , F 两点,若 ED ? 2 DF ,求直线 EF 的方程;(3)是否 存在实数 k ,直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 P , Q 两点,以 PQ 为直径的圆过点 D ( ? 1, 0) ?若 存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. b 3 1 1 3 ? a 2 ? b 2 ,得 a ? 3 , b ? 1 ,所以椭圆方程是: , a ?b ? ? 解:(1)由 ? a 3 2 2 2 2 x ? y2 ? 1 3 x2 ? y 2 ? 1 ,得 (m 2 ? 3) y 2 ? 2my ? 2 ? 0 , (2)设 EF: x ? my ? 1 ( m ? 0 )代入 3 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x 2 , y 2 ) ,由 ED ? 2 DF ,得 y1 ? ?2 y 2 . 2m ?2 2 , y1 y 2 ? ?2 y 2 ? 2 由 y1 ? y 2 ? ? y 2 ? 2 m ?3 m ?3 2m 2 1 得 (? 2 ,? m ? 1 , m ? ?1 (舍去),(没舍去扣 1 分) ) ? 2 m ?3 m ?3 直线 EF 的方程为: x ? y ? 1 即 x ? y ? 1 ? 0 x2 (3)将 y ? kx ? 2 代入 ? y 2 ? 1 ,得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*) 3 记 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,PQ 为直径的圆过 D ( ? 1, 0) ,则 PD ? QD ,即 ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x 2 ? 1, y 2 ) ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? 0 ,又 y1 ? kx1 ? 2 , y 2 ? kx 2 ? 2 , ? 12k ? 14 2 得 (k ? 1) x1 x 2 ? ( 2k ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 5 ? ? 0. 3k 2 ? 1 7 7 解得 k ? ,此时(*)方程 ? ? 0 ,? 存在 k ? ,满足题设条件. 6 6
19 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P (3, 1) ,其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且 a b ???? ???? ? F1 P ? F2 P ? ?6 . (1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若 M , N 是直线 x ? 5 上的两个动点, 且 F1 M ? F2 N , 则以 MN 为直径的圆 C 是否过定点?请说明理由.
85

x2

y2

2012 届数学二轮复习

???? ???? ? 解:(1)设点 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0),(c,0)(c ? 0) ,则 F1 P ? (3 ? c,1), F2 P ? (3 ? c,1), ???? ???? ? 故 F1 P ? F2 P ? (3 ? c)(3 ? c) ? 1 ? 10 ? c 2 ? ?6 ,可得 c ? 4 ,
所以 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? (3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 6 2 , 故 a ? 3 2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 18 ? 16 ? 2 ,所以椭圆 E 的方程为 ? ? 1. 18 2 ????? ???? ? (2)设 M , N 的坐标分别为 (5, m),(5, n) ,则 F1 M ? (9, m), F2 N ? (1, n) , ????? ???? ? ????? ???? ? 又 F1M ? F2 N ,可得 F1M ? F2 N ? 9 ? mn ? 0 ,即 mn ? ?9 ,

x2

y2

|m?n| m?n ), 半径为 ,故圆 C 的方程为 2 2 m?n 2 |m?n| 2 ( x ? 5)2 ? ( y ? ) ?( ) , 2 2
又圆 C 的圆心为 (5,

即 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? mn ? 0 ,也就是 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? 9 ? 0 ,令 y ? 0 ,可得

x ? 8 或 2,故圆 C 必过定点 (8,0) 和 (2,0) .
(另法:(1)中也可以直接将点 P 坐标代入椭圆方程来进行求解;(2)中可利用圆 C 直径 的两端点直接写出圆 C 的方程)

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右顶点分别 a2 b2 B ,椭圆 C 的右焦点为 F ,过 F 作一条垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于 R 、 S ,若线段 为 A、 10 RS 的长为 。 3 (1)求椭圆 C 的方程;(2)设 Q (t , m) 是直线 x ? 9 上的点,直线 QA 、 QB 与椭圆 C 分别交 于点 M 、 N ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点,并求出此定点的坐标;(3)实际上,第
20 在平面直角坐标系中,已知焦距为 4 的椭圆 C : (2) 小题的结论可以推广到任意的椭圆、 双曲线以及抛物线, 请你对抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) y 写出一个更一般的结论,并加以证明。
25 ?4 ? ?1 5 ? ? ?a 2 ? 9 (1)依题意,椭圆过点 ( 2 , ) ,故 ? a 2 9b 2 ,解得 ? 2 。 3 ? ? a 2 ? b2 ? 4 ?b ? 5 ?

Q M

x2 y 2 ? ? 1 。(2)设 Q ( 9 , m ) , 9 5 m 直线 QA 的方程为 y ? ( x ? 3 ) , 12
椭圆 C 的方程为 代入椭圆方程,得 ( 80 ? m ) x ? 6 x ? 9m ? 720 ? 0 , 设 M ( x1 , y1 ) ,则 ? 3 x1 ?
y1 ? 9m 2 ? 720 m 2 ? 80 ? x1 ? 240 ? 3m 2 m 2 ? 80
2 2 2

A N

O

B

9



m m 240 ? 3m 2 40m 240 ? 3m 2 40m ( x1 ? 3 ) ? ( 2 ? 3) ? 2 ,故点 M 的坐标为 ( 2 , 2 )。 12 12 m ? 80 m ? 80 m ? 80 m ? 80 m 同理,直线 QB 的方程为 y ? ( x ? 3 ) ,代入椭圆方程,得 ( 20 ? m 2 ) x 2 ? 6 x ? 9m 2 ? 180 ? 0 , 6

86

2012 届数学二轮复习
设 N ( x2 , y2 ) ,则 3x2 ? 可得点 N 的坐标为 (
9m ? 180 m 2 ? 20 ,?
2

? x2 ? 20m

3m 2 ? 60 m 2 ? 20

, y2 ?

m m 3m 2 ? 60 20m ( x2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3) ? ? 2 。 6 6 m ? 20 m ? 20 ? 3m 2 ? 60 m 2 ? 20 ? m 2 ? 40 时,直线 MN 的方程为 ? 10m 40 ? m
2

3m ? 60 m 2 ? 20

2

m 2 ? 20

) 。①若

240 ? 3m 2 m 2 ? 80

x ? 1 ,与 x 轴交于 (1 , 0 ) 点;②若 m 2 ? 40 ,直线 MN 的方程为 y ? y ? 0 ,解得 x ? 1 。综上所述,直线 MN 必过 x 轴上的定点 (1 , 0 ) 。

20m m ? 20
2

(x?

3m 2 ? 60 m 2 ? 20

) ,令

(3)结论:已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 的顶点为 O , P 为直线 x ? ? q ( q ? 0 ) 上一动点,过点 P 作 x 轴的 平行线与抛物线交于点 M ,直线 OP 与抛物线交于点 N ,则直线 MN 必过定点 ( q , 0 ) 。………(14 分) 证明:设 P ( ? q , m ) ,则 M ( 直线 OP 的方程为 y ? ?

m2 , m) , 2p

m 2 pq 2 2 pq 2 pq x ,代入 y 2 ? 2 px ,得 y 2 ? ) 。…(16 分) y ? 0 ,可求得 N ( 2 , ? m m q m
m? 2 pq 2 2 m ( x ? m ) ? 2 pm ( x ? m ) , 2p 2p 2 pq 2 m 2 ? 2 pq

y

直线 MN 的方程为 y ? m ?

m2 ? 2p m2

P
?q

M O N x

m 2 m 2 ? 2 pq ? ? q ,即直线 MN 必过定点 ( q , 0 ) 。 令 y ? 0 ,得 x ? 2p 2p
2

21 (本小题满分 13 分) 如图,已知过 T ? 3, ?2 ? 的动直线 l 与抛物线 C : y ? 4 x 交于 P , Q 两 点,点 A (1, 2) . (I)证明:直线 AP 与直线 AQ 的斜率乘积恒 为 定值 ?2 ;(II)以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ 有几个? 请说明理由. 解:(I)设直线 l 的方程为 x ? m? y ? 2 ? ? 3
y P

? x ? m? y ? 2 ? ? 3 2 得 y ? 4my ? 8m ? 12 ? 0 由? 2 O ? y ? 4x 设 P ? x1 , y1 ? , Q? x 2 , y 2 ? 则 y1 ? y 2 ? 4m, y1 y 2 ? ?8m ? 12 y ? 2 y2 ? 2 16 4 4 k AP k AQ ? 1 ? ? ? ? ?2 x1 ? 1 x 2 ? 1 y1 ? 2 y 2 ? 2 y1 y 2 ? 2? y1 ? y 2 ? ? 4 ? y1 2 y 2 2 ? ? ? x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? 4 4 , y1 ? y 2 ? , (II) PQ 的中点坐标为 ? ? ,即 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ? 2 2 2 ? y ? y 2 ? ? 2 y1 y 2 y1 y ? 2 ? 1 ? 4m 2 ? 4m ? 6 , 4 4 4 2 所以 PQ 的中点坐标为 2m ? 2m ? 3,2m ,

A x T Q

? ? ?, ? ? ?

?

?

87

2012 届数学二轮复习

2m ? 2 ? ?m ,即 m 3 ? m 2 ? 2m ? 1 ? 0 . 2m ? 2m ? 3 ? 1 3 2 2 设 f ?m ? ? m ? m ? 2m ? 1 ,则 f ??m ? ? 3m ? 2m ? 2 ? 0 , f ?m ? 在 R 上是增函数,又 f ?0 ? ? ?1 , f ?1? ? 3 ,故 f ?m ? 在 ?0,1? 内有一个零点, 3 2 函数 f ?m ? 有且只有一个零点,即方程 m ? m ? 2m ? 1 ? 0 有唯一实根.
由已知得
2

所以满足条件的等腰三角形有且只有一个. 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设 F1 、 F2 分别是 椭圆

x2 y2 + = 1 的左、右焦点. 5 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)是否存在过点 A(5,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得|F2C|=|F2D|? 若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)易知 a ?

5 , b ? 2, c ? 1,? F1 ? (?1,0), F2 (1,0)
2 2

设 P(x,y),则 PF1 ? PF2 ? ( ?1 ? x,? y ) ? (1 ? x,? y ) ? x ? y ? 1

4 2 1 x ?1 ? x2 ? 3 5 5 ? x ? [? 5 , 5 ] , x2 ? 4 ? ?当x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 3;
当 x ? ? 5 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 4 (Ⅱ)假设存在满足条件的直线 l 易知点 A(5,0)在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不 存在时,直线 l 与椭圆无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5)

? x2 y2 ?1 ? ? 由方程组 ? 5 ,得(5k 2 ? 4) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0 4 ? y ? k ( x ? 5) ?
依题意 ? ? 20(16 ? 80k ) ? 0,得 ?
2

5 5 ?k? 5 5

5 5 ?k? 时,设交点 C ( x1 , y1 )、D ( x 2 , y 2 ) ,CD 的中点为 R ( x 0 , y 0 ) , 5 5 x1 ? x 2 50k 2 25k 2 , x ? ? 则 x1 ? x 2 ? 0 2 5k 2 ? 4 5k 2 ? 4
当?

? y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k (

又|F2C|=|F2D| ? F2 R ? l ? k ? k F2 R ? ?1

? 20k 25k 2 ? 5) ? 2 . 2 5k ? 4 5k ? 4

88

2012 届数学二轮复习

? k ? k F2 R
2

∴20k =20k -4,而 20k =20k -4 不成立, 所以不存在直线 l ,使得|F2C|=|F2D| 综上所述,不存在直线 l,使得|F2C|=|F2D| 2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P(1,0),且与定直线L:x=-1相切, 点C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
2 2 2

20k ) 2 20k 2 k 5 4 ? ?k? ? ? ?1 25k 2 4 ? 20k 2 1? 2 5k ? 4 0 ? (?

(2)设过点P, 且斜率为 ? 3 的直线与曲线M相交于A, B两点. (i)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由 (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 解:(1)依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y2=4x. ? (2)(i)由题意得, 直线AB的方程为 : y ? ? 3 ( x ? 1)由? y 2? ? 3 ( x ? 1) 消去 y 得 : ?y ? 4x
1 1 2 3 16 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0, 解得x1 ? , x 2 ? 3.所以A ( , ), B(3,?2 3 ),| AB |? x1 ? x 2 ? 2 ? . 3 3 3 3 假设存在点C(-1,y),使△ABC为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即 16 2 ? 2 2 ?(3 ? 1) ? ( y ? 2 3 ) ? ( 3 ) , 4 2 2 3 2 14 3 2 2 ?1 2 2 16 2 相减得 : 4 ? ( y ? 2 3 ) ? ( 3 ) ? ( y ? 3 ) , 解得y ? ? 9 (不符, 舍) 2 ) ?( ) ?( ? 1) ? ( y ? 3 3 ? 3
因此,直线l上不存在点C,使得△ABC是正三角形. (ii)解法一:设C(-1,y)使△ABC成钝角三角形, ? 由? y ? ? 3 ( x ? 1) 得 y ? 2 3 , 此时A, B, C三点共线, 故y ? 2 3. ?x ? ?1 ,

1 2 3 2 28 4 3 y 16 256 又 | AC | 2 ? (?1 ? ) 2 ? ( y ? ? ? y 2 , | AB | 2 ? ( ) 2 ? ) ? 3 3 9 3 3 9 ,

当 | BC | 2 ?| AC | 2 ? | AB | 2 , 即28 ? 4 3 y ? y 2 ?
∠CAB为钝角.

28 4 3 256 2 ? y ? y2 ? , 即y ? 3 时, 9 3 9 9

当 | AC |2 ?| BC |2 ? | AB |2 ,即

28 4 3 256 y ? y 2 ? 28 ? 4 3y ? y 2 ? ? 9 3 9

y??

10 3 时?CBA为钝角. 3

256 28 4 3 y ? ? ? y 2 ? 28 ? 4 3y ? y 2 9 9 3 2 2 4 4 3y ? ? 0, ( y ? 即 : y2 ? ) ?0 3 3 3 . 又 | AB |2 ?| AC |2 ? | BC |2 ,即
89

2012 届数学二轮复习 该不等式无解,所以∠ACB不可能为钝角. 因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是:
y?? 10 3 2 3 或y ? ( y ? 2 3) 3 9 .

解法二: 以AB为直径的圆的方程为:

5 2 8 5 2 8 (x ? )2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( ) 2圆心( ,? 3 )到直线L : x ? ?1 的距离为 3 3 3 3 3 3.
2 3 ). 3 当直线l上的C点与G重合时,∠ACB为直角,当C与G 点不重合,且A, B,C三点不共线时, ∠ACB为锐角,即△ABC中∠ACB不可能是钝角. 因此,要使△ABC为钝角三角形,只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. 2 3 3 1 2 3 过点A且与AB垂直的直线为 : y ? ? ( x ? ).令x ? ?1得y ? 3 3 3 9 . 3 10 过点B且与AB垂直的直线为 : y ? 2 3 ? ( x ? 3), 令x ? ?1得y ? ? 3 3 3 . 所以,以AB为直径的圆与直线 L相切于点G ( ?1,? ? 又由? y ? ? 3 ( x ? 1)解得y ? 2 3 , 所以, 当点C的坐标为( ?1,2 3 )时, ? x ? ?1 A,B,C三点共 线,不构成三角形. 因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是:
y?? 10 3 2 3 ( y ? 2 3 ). 或y ? 3 9

3、(江苏省启东中学高三综合测试三)(1)在双曲线 xy=1 上任取不同三点 A、B、C,证明: ⊿ABC 的垂心 H 也在该双曲线上; (2)若正三角形 ABC 的一个顶点为 C(―1,―1),另两个顶点 A、B 在双曲线 xy=1 另一支 上,求顶点 A、B 的坐标。 解:(1)略;(2)A(2+ 3 ,2- 3 ), B(2- 3 ,2+ 3 )或 A(2- 3 ,2+ 3 ), B(2+ 3 ,2 - 3) 4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量 v=(1,

1 )为方向向量的直线 l 过点(0, 2

5 2 ),抛物线 C: y ? 2 px (p>0)的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线上. 4
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设 A、B 是抛物线 C 上两个动点,过 A 作平行于 x 轴的直线 m,直线 OB 与直线 m 交于 点 N,若 OA ? OB ? p ? 0 (O 为原点,A、B 异于原点),试求点 N 的轨迹方程.
2

1 5 x? 2 4 ② 过原点垂直于 l 的直线方程为 y ? ?2 x 1 解①②得 x ? ? . 2
解:(Ⅰ)由题意可得直线 l: y ?
90



2012 届数学二轮复习 ∵抛物线的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上. ∴?

p 1 ? ? ?2, p ? 2 2 2 2 ∴抛物线 C 的方程为 y ? 4 x . (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , N ( x, y ) ,
2

由 OA ? OB ? p ? 0 ,得 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 4 ? 0 . 又 y1 ? 4 x1 , y 2 ? 4 x 2 . 解得 y1 y 2 ? ?8 直线 ON: y ? ③ ④
2 2

y2 4 x ,即 y ? x y2 x2 由③、④及 y ? y1 得, 点 N 的轨迹方程为 x ? ?2 ( y ? 0) .

斜率为 k , 5、 (安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)已知线段 AB 过 y 轴上一点 P (0, m) , 两端点 A,B 到 y 轴距离之差为 4k (k ? 0) , (1)求以 O 为顶点, y 轴为对称轴,且过 A,B 两点的抛物线方程; (2)设 Q 为抛物线准线上任意一点,过 Q 作抛物线的两条切线,切点分别为 M,N,求证: 直线 MN 过一定点; 解:(1)设抛物线方程为 x ? 2 py ( p ? 0) ,AB 的方程为 y ? kx ? m ,
2

联立消 y 整理,得 x ? 2 pkx ? 2 pm ? 0 ;∴ x1 ? x 2 ? 2 pk ,
2

又依题有 | x1 ? x 2 |? 4k ? 2 pk ,∴ p ? 2 ,∴抛物线方程为 x ? 4 y ;
2

(2)设 M ( x1 ,

x12 x2 x ) , N ( x 2 , 2 ) , Q( x0 ,?1) ,∵ k MQ ? 1 , 2 4 4 2 x x 2 ∴ MQ 的方程为 y ? 1 ? 1 ( x ? x1 ) ? x1 ? 2 x1 x ? 4 y ? 0 ; 4 2 2 2 ∵ MQ 过 Q ,∴ x1 ? 2 x1 x 0 ? 4 ? 0 ,同理 x 2 ? 2 x 2 x 0 ? 4 ? 0
∴ x1 , x 2 为方程 x ? 2 x 0 x ? 4 ? 0 的两个根;∴ x1 x 2 ? ?4 ;
2

又 k MN ? ∴y? 6 、

x 2 x ? x2 x1 ? x 2 ,∴ MN 的方程为 y ? 1 ? 1 ( x ? x1 ) 4 4 4

x1 ? x 2 x ? 1 ,显然直线 MN 过点 (0,1) 4
( 江 西
2


2





2008















)







M : ( x ? 5 ) ? y ? 36, 定点N ( 5 ,0), 点P为圆M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在
MP 上,且满足 NP ? 2 NQ, GQ ? NP ? 0 . (I)求点 G 的轨迹 C 的方程; (II) 过点 (2, 0) 作直线 l , 与曲线 C 交于 A、 B 两点, O 是坐标原点, 设 OS ? OA ? OB, 是否存在这样的直线 l ,使四边形 OASB 的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,
91

2012 届数学二轮复习 求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由. 解:(1)

∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a ? 3 ,半焦

NP ? 2 NQ ? ? ? ? Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN GQ ? PN ? 0? ? ? GQ 为 PN 的中垂线 ? |PG|=|GN|

x2 y2 距 c ? 5 ,∴短半轴长 b=2,∴点 G 的轨迹方程是 ? ? 1 ………5 分 9 4 (2)因为 OS ? OA ? OB ,所以四边形 OASB 为平行四边形
若存在 l 使得| OS |=| AB |,则四边形 OASB 为矩形? OA ? OB ? 0 ?x ? 2 ?x ? 2 ? 若 l 的斜率不存在,直线 l 的方程为 x=2,由 ? 得? ? x2 y2 2 5 ? ? 1 ? ?y ? ? 4 ?9 3 ?

16 ? 0, 与OA ? OB ? 0 矛盾,故 l 的斜率存在. ………7 分 9 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ? y ? k ( x ? 2) ? 由? x 2 y 2 ? (9k 2 ? 4) x 2 ? 36k 2 x ? 36(k 2 ? 1) ? 0 ?1 ? ? 4 ?9 36k 2 36(k 2 ? 1) , x1 x 2 ? ? x1 ? x 2 ? 2 ① 9k ? 4 9k 2 ? 4 y1 y 2 ? [k ( x1 ? 2)][k ( x 2 ? 2)] ? OA ? OB ? 20k 2 ② ……………9 分 9k 2 ? 4 3 把①、②代入 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0得k ? ? 2 ∴存在直线 l : 3 x ? 2 y ? 6 ? 0或3 x ? 2 y ? 6 ? 0 使得四边形 OASB 的对角线相等. ? k 2 [ x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4] ? ?
7、(安徽省淮南市 2008 届高三第一次模拟考试)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, 它的一个顶点恰好是抛物线 y= (1)求椭圆 C 的方程; (2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点, 交 y 轴于 M 点, 若 MA =λ1 AF ,

1 2 x 的焦点,离心率等于 2 5 . 4 5

MB =λ2 BF ,求证 λ1+λ2 为定值.
解:(I)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则由题意知 b = 1. a2 b2
92

2012 届数学二轮复习

?

a2 ? b2 2 5 1 2 5 ? .即 1 ? 2 ? . ? a 2 ? 5. 2 5 5 a a x2 ? y 2 ? 1. …………………………………………………5 分 5

∴椭圆 C 的方程为

(II)方法一:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), M (0, y 0 ). 易知 F 点的坐标为(2,0).

? MA ? ?1 AF ,? ( x1 , y1 ? y 0 ) ? ?1 (2 ? x1 ,? y1 ).
? x1 ? y 2?1 , y1 ? 0 . 1 ? ?1 1 ? ?1

??????????8分
y 1 2?1 2 ( ) ? ( 0 ) 2 ? 1. 5 1 ? ?1 1 ? ?1

将 A 点坐标代入到椭圆方程中,得

去分母整理得 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y 0 ? 0. …………………………………………10 分
2 2 2 同理,由MB ? ?2 BF可得 : ?2 2 ? 10? 2 ? 5 ? 5 y 0 ? 0. 2 ? ?1 , ? 2 是方程x 2 ? 10 x ? 5 ? 5 y 0 ? 0的两个根,

? ?1 ? ? 2 ? ?10.

…………………………………………………………12 分

方法二:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), M (0, y 0 ). 又易知 F 点的坐标 为(2,0). 显然直线 l 存在的斜率,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2). 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0. 20k 2 ? 5 20k 2 ? x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? . 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

……………………………………7 分

……………………………………8 分

又? MA ? ?1 AF , MB ? ? 2 BF , 将各点坐标代入得?1 ?
93

x1 x2 , ?2 ? . 2 ? x1 2 ? x2

2012 届数学二轮复习

? ?1 ? ? 2 ?

2( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 x1 x2 ? ? ? ? ? ?10. 2 ? x1 2 ? x 2 4 ? 2( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2

8、(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)已知点 R(- 3,0) , 点 P 在 y 轴 ??? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? 上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上 , 且满足 2 PM ? 3MQ ? 0 , RP ? PM ? 0 . (Ⅰ)⑴当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 为轨迹 C 上两点,且 x1 ? 1, y1 ? 0 , N(1,0),求实数 ? , ??? ? ???? 16 使 AB ? ? AN ,且 ? AB ?? . 3 ???? ? ???? ? ? y x 解:(Ⅰ)设点 M(x,y),由 2 PM ? 3MQ ? 0 得 P(0, ? ), Q( , 0 ). 2 3 ??? ? ???? ? y 3y 2 )= 0, 即 y ? 4 x 由 RP ? PM ? 0, 得 (3, ? )· ( x , 2 2 又点 Q 在 x 轴的正半轴上,? x ? 0 故点 M 的轨迹 C 的方程是
y 2 ? 4 x( x ? 0) . …… 6 分

(Ⅱ)解法一:由题意可知 N 为抛物线 C:y2= 4x 的焦点,且 A、B 为过焦点 N 的直 线与抛物线 C 的两个交点。 16 当直线 AB 斜率不存在时,得 A(1,2),B(1,-2) ,|AB| ? 4 ? ,不合题意;……… 7 3 分 当 直 线 AB 斜 率 存 在 且 不 为 0 时 , 设 l AB : y ? k ( x ? 1) , 代 入 y 2 ? 4 x 得
k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0

则 |AB| ? x1 ? x2 ? 2 ? 分

2(k 2 ? 2) 4 16 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? , 解得 k 2 3 k k

?3

………………… 10

1 2 代入原方程得 3 x ? 10 x ? 3 ? 0 ,由于 x1 ? 1 ,所以 x1 ? 3, x2 ? , 3 1 3? ??? ? ???? x ?x 3?4. …………………… 13 由 AB ? ? AN ,得 ? ? 2 1 ? xN ? x1 3 ? 1 3

分 解法二:由题设条件得

? ? y12 ? 4 x1 ? 2 ? y 2 ? 4 x2 ? ? x2 ? x1 ? ? (1 ? x1 ) ? y ? y ? ?? y 1 ? 2 1 16 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ? 3 ?

(1) ( 2) (3) ( 4) (5)

94

2012 届数学二轮复习
? x ? x1 ? ? (1 ? x1 ) 由(3)、(4)得? 2 ? y 2 ? (1 ? ? ) y1 代入(2)得 (1 ? ? ) 2 y12 ? 4 x1 ? 4? (1 ? x1 ) 再把( 1)代入上式并化简得 (? ? 1) x1 ? 1 (6) ?? 9分 同样把(3)、(4)代入(5)并结合( 1) 16 化简后可得 (1 ? x1 )? ? (7) ??11分 3

4 ?? ? 4 ? 4 ?? ? ? 由(6)、(7)解得 ? 3 或? 1 ,又 x1 ? 1 ,故 ? ? . 3 x1 ? ? 3 ? ? x1 ? 3 ?
9、(北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)已知椭圆 W 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离 心率为

6 ,两条准线间的距离为 6. 椭圆 W 的左焦点为 F ,过左准线与 x 轴的交点 M 任作 3 一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 W 交于不同的两点 A 、 B ,点 A 关于 x 轴的对称点为 C .
(Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)求证: CF ? ? FB ( ? ? R ); (Ⅲ)求 ?MBC 面积 S 的最大值. 解:(Ⅰ)设椭圆 W 的方程为

??? ?

??? ?

x2 y 2 ? ? 1 ,由题意可知 a 2 b2

y ? c 6 , ? A ? 3 a ? B ? 2 2 M a b ? ? c 2 , 解得 a ? 6 , c ? 2 , b ? 2 , ? O F x ? 2 a ? 2 ? ? 6, C ? c ? x2 y2 所以椭圆 W 的方程为 ? ? 1 .……………………………………………4 分 6 2 a2 ? ?3 ,所以点 M 坐标为 (?3, 0) .于是可设直线 l (Ⅱ)解法 1:因为左准线方程为 x ? ? c 的方程为 y ? k ( x ? 3) . ? y ? k ( x ? 3), ? 2 2 2 2 2 得 (1 ? 3k ) x ? 18k x ? 27 k ? 6 ? 0 . ?x y2 ?1 ? ? 2 ? 6 由直线 l 与椭圆 W 交于 A 、 B 两点,可知 2 ? ? (18k 2 ) 2 ? 4(1 ? 3k 2 )(27k 2 ? 6) ? 0 ,解得 k 2 ? . 3 设点 A , B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,

95

2012 届数学二轮复习

?18k 27 k 2 ? 6 , ? , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) . x x 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 因为 F ( ?2, 0) , C ( x1 , ? y1 ) , ??? ? ??? ? 所以 FC ? ( x1 ? 2, ? y1 ) , FB ? ( x2 ? 2, y2 ) . 又因为 ( x1 ? 2) y2 ? ( x2 ? 2)( ? y1 ) ? ( x1 ? 2)k ( x2 ? 3) ? ( x2 ? 2)k ( x1 ? 3) ? k[2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 12]
则 x1 ? x2 ?
2

54k 2 ? 12 ?90k 2 ? k[ ? ? 12] 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 k (54k 2 ? 12 ? 90k 2 ? 12 ? 36k 2 ) ? ? 0, 2 1 ? 3 k ??? ? ??? ? ……………………………………………………………10 分 所以 CF ? ? FB . a2 解法 2:因为左准线方程为 x ? ? ? ?3 ,所以点 M 坐标为 (?3, 0) . c 于是可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,点 A , B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则点 C 的坐标为 ( x1 , ? y1 ) , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) .
由椭圆的第二定义可得

| FB | x2 ? 3 | y2 | , ? ? | FC | x1 ? 3 | y1 |

所以 B , F , C 三点共线,即 CF ? ? FB .…………………………………10 分 (Ⅲ)由题意知

??? ?

??? ?

S?

1 1 | MF || y1 | ? | MF || y2 | 2 2 1 ? | MF | ? | y1 ? y2 | 2 1 ? | k ( x1 ? x2 ) ? 6k | 2 3| k | 3 3 3 , ? ? ? ? 2 1 1 ? 3k 2 ?3| k | 2 3 |k| 1 2 当且仅当 k ? 时“=”成立, 3
3 . 2
2

所以 ?MBC 面积 S 的最大值为

10、(北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)已知抛物线 C : y ? ax ,点 P(1,-1)在抛 物线 C 上, 过点 P 作斜率为 k1、 k2 的两条直线, 分别交抛物线 C 于异于点 P 的两点 A (x1, y1),B(x2,y2),且满足 k1+k2=0.
96

2012 届数学二轮复习 (I)求抛物线 C 的焦点坐标; (II)若点 M 满足 BM ? MA ,求点 M 的轨迹方程. 解:(I)将 P(1,-1)代入抛物线 C 的方程 y ? ax 得 a=-1,
2

∴抛物线 C 的方程为 y ? ? x ,即 x ? ? y.
2 2

1 ).……………………………………4 分 4 (II)设直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 1) , ? y ? 1 ? k1 ( x ? 1), 2 消去 y 得 x ? k1 x ? k1 ? 1 ? 0, 联立方程 ? 2 ? y ? ?x . 则 1 ? x1 ? ?k1 ? 1, 即x1 ? ? k1 ? 1.
焦点坐标为 F(0,- 由 ? ? k1 ? 4( ? k1 ? 1) ? ( k1 ? 2) ? 0, 得k1 ? ?2. ………………7 分
2 2

同理直线 PB 的方程为 y ? 1 ? k 2 ( x ? 1), 联立方程 ?

? y ? 1 ? k 2 ( x ? 1),
2 ? y ? ?x .

消去 y 得 x ? k 2 x ? k 2 ? 1 ? 0,
2

则 1 ? x 2 ? ? k 2 ? 1, 即x 2 ? ? k 2 ? 1.且k 2 ? ?2. 又? k1 ? k 2 ? 0,? k1 ? 2. …………………………9 分 设点 M 的坐标为(x,y),由 BM ? MA, 则x ?

x1 ? x 2 . 2

? k1 ? 1 ? k 2 ? 1 ? 2 ? ( k1 ? k 2 ) ? . 2 2 又? k1 ? k 2 ? 0,? x ? ?1. …………………………………………11 分 x?
2 ? (k1 ? 1) 2 ? (? k 2 ? 1) 2 ? (?k1 ? 1) 2 ? (k1 ? 1) 2 y1 ? y 2 ? x12 ? x 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 ? ?(k1 ? 1) ? ?1,

y?

又k1 ? ?2,? y ? ?5.
∴所求 M 的轨迹方程为: x ? ?1( y ? ?1且y ? ?5). 11、(北京市东城区 2008 年高三综合练习一)已知定圆 A : ( x ? 1) ? y ? 16, 圆心为 A,动 圆 M 过点 B(1,0)且和圆 A 相切,动圆的圆心 M 的轨迹记为 C. (I)求曲线 C 的方程; (II)若点 P ( x0 , y 0 ) 为曲线 C 上一点,求证:直线 l : 3 x 0 x ? 4 y 0 y ? 12 ? 0 与曲线 C 有
2 2

且只有一个交点. 解:(I)圆 A 的圆心为 A(?1,0), 半径r1 ? 4 , 设动圆 M 的圆心 M ( x, y ), 半径为r2 , 依题意有, r2 ?| MB | . 由|AB|=2,可知点 B 在圆 A 内,从而圆 M 内切于圆 A, 故|MA|=r1—r2,即|MA|+|MB|=4, 所以,点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,
97

2012 届数学二轮复习

x y ? 2 ? 1 ,由 2a ? 4,2c ? 2, 可得a 2 ? 4, b 2 ? 3. 2 a b x2 y2 ? ? 1. …………6 分 故曲线 C 的方程为 4 3 4 2 x0 y0 ? ? 1, 可得x0 ? ?2 , (II)当 y 0 ? 0时,由 4 3 当x 0 ? 2, y 0 ? 0时, 直线l的方程为x 0 ? 2,
设椭圆方程为

2

2

直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0). 当x 0 ? ?2, y 0 ? 0时, 直线l的方程为x0 ? ?2, 直线l与曲线C有且只有一个交点(?2,0). 12 ? 3x 0 x 当y 0 ? 0时, 直线l的方程为y ? , 4 y0 12 ? 3x0 x ? , ?y ? 4y ? 0 联立方程组 : ? 2 2 ? x ? y ? 1. ? 3 ?4 2 3 2 2 消去 y, 得( 4 y 0 ? 3 x0 ) x ? 24 x 0 x ? 48 ? 16 y 0 ? 0.
由点 P ( x 0 , y 0 ) 为曲线 C 上一点,
2 2 x0 y0 2 2 得 ? ? 1. 可得4 y 0 ? 3x0 ? 12. 4 3 2 2 于是方程①可以化简为 x ? 2 x 0 x ? x0 ? 0. 解得 x ? x 0 , 12 ? 3 x 0 x 将x ? x0 代入方程y ? 可得y ? y 0 , 4 y0



故直线l与曲线C有且有一个交点P( x0 , y 0 ),
综上,直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点,且交点为 P ( x 0 , y 0 ) . 12、(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐 a2 b2

近线方程为 y ? 3 x ,两条准线的距离为 l. (1)求双曲线的方程; (2)直线 l 过坐标原点 O 且和双曲线交于两点 M、N,点 P 为双曲线上异于 M、N 的一点, 且直线 PM,PN 的斜率均存在,求 kPM·kPN 的值.

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2012 届数学二轮复习

?b ? a ? 3, ? 2 ? 2a ? 1, ? (1)解:依题意有: ? c ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? 解得a 2 ? 1, b 2 ? 3. y2 2 ? 1. ………………………………………………6 分 可得双曲线方程为 x ? 3 (2)解:设 M ( x 0 , y 0 ),由双曲线的对称性, 可得N ( ? x 0 ,? y 0 ). 设P( x P , y P ),
则k PM ? k PN
2 0 2 2 y P ? y0 y P ? y0 y P ? y0 ? ? ? 2 . 2 x P ? x0 x P ? x0 x P ? x0

2 y0 又x ? ? 1, 3 2 2 所以y 0 ? 3x0 ? 3, 2 2 同理y P ? 3x P ? 3,

所以 k PM ? k PN ?

2 2 3x P ? 3 ? 3 x0 ?3 ? 3. 2 2 x P ? x0

已知点 A(-1, 0)、 13、 (北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)在平面直角坐标系 xOy 中, B(1, 0), 动点 C 满足条件:△ABC 的周长为 2+2 2.记动点 C 的轨迹为曲线 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q, 求 k 的取值范围; (Ⅲ)已知点 M( 2,0),N(0, 1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数 k,使得向 ? ??? ? ???? ???? 量 OP ? OQ 与 MN 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ) 设 C(x, y), ∵ AC ? BC + AB ? 2 ? 2 2 , AB ? 2 , ∴ AC ? BC ? 2 2 ? 2 , ∴ 由定义知,动点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 2 2的椭圆除去与 x 轴的两个交点. ∴ a ? 2, c =1 . ∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 .
2 ∴ W: x ? y 2 ? 1 2

( y ? 0) . …………………………………………… 2 分
2

(Ⅱ) 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程,得 x ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2

99

2012 届数学二轮复习 整理,得 ( 1 ? k 2 ) x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 . ①………………………… 5 分 2 因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于
1 2或 2. k? ? ? 8k 2 ? 4( ? k 2 ) ? 4k 2 ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? 2 2 2

∴ 满足条件的 k 的取值范围为 k ? ( ? ?, ?

2 2 )?( , ??) ………… 7 分 2 2

??? ? ???? (Ⅲ)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 OP ? OQ =(x1+x2,y1+y2),

由①得 x1 ? x2 ? ? 4 2k2 . 1 ? 2k 又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2



③ ???? ? 因为 M ( 2, 0) , N (0, 1) , 所以 MN ? (? 2, 1) .……………………… 11 分 ? ??? ? ???? ???? 所以 OP ? OQ 与 MN 共线等价于 x1 ? x2 =- 2 ( y1 ? y2 ) .

将②③代入上式,解得 k ? 2 . 2 ? ??? ? ???? ???? 所以不存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 MN 共线. 14、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)已知点 A, B 分别是射线 l1 : y ? x ? x ≥ 0 ? ,

l2 : y ? ? x ? x ≥ 0 ? 上的动点, O 为坐标原点,且 ?OAB 的面积为定值 2. (I)求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程; (II)过点 N ? 0, 2 ? 作直线 l ,与曲线 C 交于不同的两点 P, Q ,与射线 l1 , l2 分别交于
点 R, S ,若点 P, Q 恰为线段 RS 的两个三等分点,求此时直线 l 的方程. 解:(I)由题可设 A ? x1 , x1 ? , B ? x2 , ? x2 ? , M ? x, y ? ,其中 x1 ? 0, x2 ? 0 .

x ?x ? (1) x? 1 2, ? ? 2 则? ? y ? x1 ? x2 , (2) ? 2 ? ∵ ?OAB 的面积为定值 2, 1 1 2 x1 2 x2 ? x1 x2 ? 2 . ∴ S ?OAB ? OA ? OB ? 2 2 (1) 2 ? (2) 2 ,消去 x1 , x2 ,得: x 2 ? y 2 ? 2 .

1分

?

??

?

2分 4分
2 2

由于 x1 ? 0, x2 ? 0 ,∴ x ? 0 ,所以点 M 的轨迹方程为 x ? y ? 2 (x>0). 5分 (II)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 由?

? 4kx ? 6 ? 0 , ? x ? y ? 2, 设点 P 、 Q 、 R 、 S 的横坐标分别是 xP 、 xQ 、 xR 、 xP ,
2 2 2 2

? y ? kx ? 2,

消去 y 得: 1 ? k

?

?x

6分

100

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?1 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? 16k ? 24 ?1 ? k ? ? 0, ? 4k ∴由 xP , xQ ? 0 得 ? xP ? xQ ? ? 0, ? 1? k 2 ? 6 ? xP xQ ? ? 2 ? 0, ? 1? k ? 解之得: ? 3 ? k ? ?1 .
∴ xP ? xQ ? 由?

8分

? xP ? xQ ? ? 4 xP xQ ?
2

2 6 ? 2k 2 . k 2 ?1

9分

? y ? kx ? 2, 2 消去 y 得: xR ? , 1? k ? y ? x, ? y ? kx ? 2, 2 消去 y 得: xS ? , 由? ?1 ? k ? y ? ? x, 4 ∴ xR ? xS ? 2 . k ?1 由于 P, Q 为 RS 的三等分点,∴ xR ? xS ? 3 xP ? xQ .
解之得 k ? ?

10 分 11 分 12 分

5 . 3 经 检 验 , 此 时 P, Q 恰 为 RS 的 三 等 分 点 , 故 所 求 直 线 方 程 为 5 y ?? x?2. 3
15、(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)如图,椭圆的中心在 原点,其左焦点 F1 与抛物线 y ? ?4 x 的焦点重合, 过 F1 的直线 l 与
2

y

C A

椭圆交于 A、B 两点,与抛物线交于 C、D 两点.当直线 l 与 x 轴垂直 时,

CD AB

?2 2.
F1

O

F2

x

(Ⅰ)求椭圆的方程; (II)求过点 O、 F1 ,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程; (Ⅲ)求 F2 A ? F2 B 的最大值和最小值. 解:(Ⅰ)由抛物线方程,得焦点 F1 ( ?1, 0) .

B

???? ? ???? ?

D

x2 y2 设椭圆的方程: 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) . a b 2 ? y ? ?4 x 解方程组 ? 得 C(-1,2),D(1,-2). ? x ? ?1
由于抛物线、椭圆都关于 x 轴对称,
101

2012 届数学二轮复习

| F1C | | CD | 2 2 , ∴ A(1, ? ? 2 2 , | F1 A |? ) . | F1 A | | AB | 2 2 1 1 2 2 2 ∴ 2 ? 2 ? 1又 a ? b ? c ? 1 , a 2b 1 1 因此, 2 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 ? 1 并推得 a 2 ? 2 . b ? 1 2b x2 ? y2 ? 1 . 故椭圆的方程为 2 (Ⅱ)? a ? 2, b ? 1, c ? 1 , ? 圆过点 O、 F1 , 1 ? 圆心 M 在直线 x ? ? 上. 2 1 设 M ( ? , t ), 则圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切, 2 1 3 ∴ r ? ( ? ) ? ( ?2) ? . 2 2
∴ 由 OM ? r , 得 (? ) ? t ?
2 2

…………2 分

…………4 分

3 , 解得 t ? ? 2. 2 1 9 ? 所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . …………………………8 分 2 4 (Ⅲ) 由 点F1 (?1, 0), F2 (1, 0)
2 2 ), B (?1,? ), 2 2 ???? ? ? 2 ???? 2 ? F2 A ? (?2, ), F2 B ? (?2, ? ), 2 2 ???? ? ???? ? 1 7 F2 A ? F2 B ? 4 ? ? …………………………………………9 分 2 2 ②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2( k ? 1) ? 0 由? 2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0
①若 AB 垂直于 x 轴,则 A(?1,

1 2

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,? 方程有两个不等的实数根. 设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) .

4k 2 2(k 2 ? 1) x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? , ………………………………11 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? F2 A ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 B ? ( x2 ? 1, y 2 )
102

2012 届数学二轮复习

F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 1 ? k 2
2(k 2 ? 1) 4k 2 2 ? ( k ? 1 )( ? ) ?1? k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 7k 2 ? 1 7 9 ? ? = 2 2 2(1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k 1 k 2 ? 0,1 ? 2k 2 ? 1,0 ? ?1 1 ? 2k 2 7 7 ? F2 A ? F2 B ? [?1, ] ,所以当直线 l 垂于 x 轴时, F2 A ? F2 B 取得最大值 2 2 当直线 l 与 x 轴重合时, F2 A ? F2 B 取得最小值 ? 1 ? (1 ? k 2 )
16、(北京市西城区 2008 年 4 月高三抽样测试)已知定点 C ( ?1, 0) 及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,
2 2

过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 ?

1 ,求直线 AB 的方程; 2 (Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不

存在,请说明理由. (Ⅰ)解: 依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 将
2

y ? k ( x ? 1)
2 2


2



x2 ? 3 y2 ? 5







y





得 则

(3k ? 1) x ? 6k x ? 3k ? 5 ? 0. ………….. 2 分 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ), 设

?? ? 36k ? 4(3k ? 1)(3k ? 5) ? 0, (1) ? ………….. 4 分 ? 6k 2 . (2) x x ? ? ? ? 1 2 3k 2 ? 1 ? x1 ? x2 1 3k 2 1 得 ?? 2 ?? , 由线段 AB 中点的横坐标是 ? , 2 2 3k ? 1 2 3 解 得 , 适 k ?? 3 (1) . ………….. 5 分
4 2 2









线

AB









x ? 3y ?1 ? 0





x ? 3y ?1 ? 0 .
(Ⅱ)解:

………….. 6 分

假设在 x 轴上存在点 M ( m, 0) ,使 MA ? MB 为常数. ① 当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 由 (Ⅰ) 知

x1 ? x2 ? ?
103

6k 2 3k 2 ? 5 , x x ? . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

(3)

???? ???? 2 所以 MA ? MB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

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? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? m 2 .

………….. 8 分

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 将 (3) 代入,整理得 MA ? MB ? ? m2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 1 6 m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1) 7 注 意 到 MA ? MB 是 与 k 无 关 的 常 数 , 从 而 有 6m ? 14 ? 0,m ? ? , 此 时 3 ???? ???? 4 MA ? MB ? . .. 11 分 9 2 ? ? 2 ? ? ? ② 当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A,B 的坐标分别为 ? ?1, ? 、 ? ?1, ?, 3? ? 3? ? 7 当 时 , 亦 有 m?? 3 ???? ???? 4 ………….. 13 分 MA ? MB ? . 9 ? 7 ? 综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? , 0 ? ,使 MA ? MB 为常数. ? 3 ? 17、(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)已知抛物线的方程为 x 2 ? 2 py ? p ? 0 ? ,过点 P ? 0, p ? 的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作抛物线的两条切线 l1 和 l2 的斜
率之积为定值; (Ⅰ)证明:直线 l1 和 l2 的斜率之积为定值; (Ⅱ)求点 M 的轨迹方程。 解:(I)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+p

104

2012 届数学二轮复习

18、 (北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)在面积为 9 的 ?ABC

4 中, tan ?BAC ? ? ,且 CD ? 2 DB 。现建立以 A 点为坐标原 3 点,以 ?BAC 的平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系,如
图所示。 (1)求 AB、AC 所在的直线方程; (2)求以 AB、AC 所在的直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方 程; (3)过 D 分别作 AB、AC 所在直线的垂线 DF、DE(E、F 为垂 足),求 DE ? DF 的值。 解:(1)设 ?CAx ? ?
105
E

y

C

A x

D F

B

2012 届数学二轮复习 则由 tan ?BAC ? tan 2? ?

? ? 为锐角, ? tan ? ? 2 , ? AC 所在的直线方程为 y=2x
2

2 tan ? 4 ?? 2 3 1 ? tan ?

AB 所在的直线方程为 y= -2x…………………………………………….4 分 (2)设所求双曲线为 4 x ? y ? ? , ?? ? 0 ?
2

设 C ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? , ? x1 ? 0, x 2 ? 0 ? , 由 CD ? 2 DB 可得: D?
2

? x1 ? 2 x 2 2 x1 ? 4 x 2 ? , ? 3 3 ? ?
2

? x ? x 2 ? ? 2 x1 ? 4 x 2 ? ? 4? 1 ? ?? ? ??, 3 ? 3 ? ? ? 32 x1 x 2 ? ? 即 9 4 4 由 tan ?BAC ? ? ,可得 sin ?BAC ? , 3 5 又? AB ? 5 x1 , AC ? 5 x 2 , ? x1 x 2 ? 0 ?
? S ?ABC ?
即 x1 x 2 ?

1 1 4 AB AC sin ?BAC ? ? 5 ? x1 x 2 ? ? 2 x1 x 2 ? 9 , 5 2 2

9 ,代入(1)得 ? ? 16 , 2 x2 y2 ? ? 1 …………………………………………………9 分 双曲线方程为 4 16 (3)由题设可知, ? DE , DF ?? ? ? ?BAC , 3 ? cos ? DE , DF ?? cos(? ? ?BAC ) ? 5 2 2 x y 设点 D 为 ? x 0 , y 0 ? ,则 0 ? 0 ? 1 4 16
又点 D 到 AB,AC 所在直线距离

DF ?

2 x0 ? y 0 5

, DE ?

2 x0 ? y 0 5



而 DE ? DF ? DE ? DF ? cos ? DE , DF ? =

2 x0 ? y 0 5
2

?

2 x0 ? y 0 5
2

?

3 48 ? 5 25

19、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)已知椭圆

x y ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0? 的离心率为

1 ,且其焦点 F(c,0)(c>0)到相应准线 l 的距离为 3,过焦点 F 的直线与椭圆交于 A、 2
106

2012 届数学二轮复习 B 两点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)设 M 为右顶点,则直线 AM、BM 与准线 l 分别交于 P、Q 两点,(P、Q 两点不重合), 求证: FP ? FQ ? 0

? c 1 ? a?2 ?a ? 2 ? 解:(1)由题意有 ? 2 解得 ? ?c ?1 ?a ? c ? 3 ? ?c x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………5 分 ∴椭圆的标准方程为 4 3 (2)①若直线 AB 与 x 轴垂直,则直线 AB 的方程是 x ? 1 ∵该椭圆的准线方程为 x ? 4 ,
∴ P ( 4,?3) , Q( 4,3) , ∴ FP ? (3,?3) , FQ ? (3,3) ∴ FP ? FQ ? 0 ∴当直线 AB 与 x 轴垂直时,命题成立。 ②若直线 AB 与 x 轴不垂直,则设直线 AB 的斜率为 k , ∴直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1), k ? 0 又设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P ( x3 , y3 ), Q ( x4 , y4 )

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 消 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 y2 ? ? 1 ? 3 ?4 8k 2 4k 2 ? 12 ? 9k 2 2 , x1 x2 ? ∴ x1 ? x2 ? ∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 y1 2 y2 又∵A、M、P 三点共线,∴ y3 ? 同理 y4 ? x1 ? 2 x2 ? 2 2 y2 2 y1 ∴ FP ? (3, ) , FQ ? (3, ) x2 ? 2 x1 ? 2 4 y1 y2 ∴ FP ? FQ ? 9 ? ?0 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
联立 ? x 2 综上所述: FP ? FQ ? 0 20、(四川省成都市 2 0 0 8 届 高 中 毕 业 班 摸 底 测 试 ) 设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 的左、右 2

顶点分别为 A1、A2,垂直于 x 轴的直线 m 与双曲线 C 交于不同的两点 P、Q。 (Ⅰ)若直线 m 与 x 轴正半轴的交点为 T,且 A1 P ? A2 Q ? 1 ,求点 T 的坐标; (Ⅱ)求直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅲ)过点 F(1,0)作直线 l 与(Ⅱ)中的轨迹 E 交于不同的两点 A、B,设 FA ? ? FB , 若 ? ? [ ?2,?1], 求 | TA ? TB | (T 为(Ⅰ)中的点)的取值范围。
107

2012 届数学二轮复习 解: (Ⅰ)由题,得 A1 (? 2 ,0), A2 ( 2 ,0) ,设 P ( x 0 , y 0 ), Q ( x0 ,? y 0 ) 则 A1 P ? ( x0 ?

2 , y 0 ), A2 Q ? ( x0 ? 2 ,? y 0 ).
2 2 2 2

由 A1 P ? A2 Q ? 1 ? x0 ? y 0 ? 2 ? 1, 即x0 ? y 0 ? 3. 又 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线上,则 联立①、②,解得

…………①

x0 ? ?2 由题意, x 0 ? 0, ? x0 ? 2.

x 2 ? y0 ? 1. 2

2 0

…………②

∴点 T 的坐标为(2,0) …………3 分 (Ⅱ)设直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的坐标为(x,y) 由 A1、P、M 三点共线,得

( x0 ? 2 ) y ? y 0 ( x ? 2 )
由 A2、Q、M 三点共线,得

…………③ …………④

…………1 分 …………1 分

( x0 ? 2 ) y ? ? y 0 ( x ? 2 )
联立③、④,解得 x0 ?

2 , y0 ? x

2y . x

…………1 分

∵ P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线上,
2 ( )2 ∴ x ? ( 2 y ) 2 ? 1. x 2

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0, y ? 0). …………1 分 ∴轨迹 E 的方程为 2
(Ⅲ)容易验证直线 l 的斜率不为 0。 故可设直线 l 的方程为

x ? ky ? 1,代入

x2 ? y 2 ? 1 中,得 2

(k 2 ? 2) y 2 ? 4ky ? 2 ? 0. 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), y1 ? 0且y 2 ? 0
则由根与系数的关系,得 y1 ? y 2 ? ? 2k k2 ? 2 2 y1 y 2 ? ? 2 . ……⑥ …………2 分 k ?2 ∵ FA ? ? FB,∴有 y1 ? ?,且? ? 0.
y2

……⑤

将⑤式平方除以⑥式,得 y1 y 2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y2 ? k ?2 k ?2 由 ? ? [?2,?1] ? ?

…………1 分

5 1 1 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? 2
108

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1 4k 2 2 ?? 2 ? 0 ? k2 ? ? 0 ? k2 ? …………1 分 2 7 7. k ?2 ∵ TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x 2 ? 2, y 2 ),? TA ? TB ? ( x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ). ?? 2k 4(k 2 ? 1) 又 y1 ? y 2 ? ? 2 ,? x1 ? x 2 ? 4 ? k ( y1 ? y 2 ) ? 2 ? ? 2 . k ?2 k ?2 2 2 2 故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x 2 ? 4) ? ( y1 ? y 2 ) 15(k 2 ? 1) 2 4k 2 16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 ? ? (k 2 ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2 28 8 ? 16 ? 2 ? 2 k ? 2 (k ? 2) 2 2 7 1 1 7 1 1 .? 0 ? k 2 ? 令t ? 2 ∴ ? 2 ? ,即 t ? [ , ]. 7 16 k ? 2 2 16 2 k ?2 7 2 17 2 2 ∴ | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ? . 4 2 7 1 169 而 t ? [ , ] , ∴ f (t ) ? [ 4, ]. 16 2 32 13 2 ∴ | TA ? TB |? [ 2, ]. 8 ?
A2 在 x 轴上, 21、 (东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)已知中心在原点, 左、 右顶点 A1、 离心率为

2

21 的双曲线 C 经过点 P(6,6),动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G 与双曲线 C 交于 3

不同两点 M、N,Q 为线段 MN 的中点。 (1)求双曲线 C 的标准方程 (2)当直线 l 的斜率为何值时, QA2 ? PA2 ? 0 。 本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系,以及直线与双曲线的 位置关系。

x2 y2 解(1)设双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? a b 2 2 a ?b 21 7 7 ?e ? ? , ,? e 2 ? , 即 2 3 3 3 a 2 b 4 ? 2 ? , ① 3 a 36 36 ② 又 P(6,6)在双曲线 C 上,? 2 ? 2 ? 1 ② a b 2 2 由①、②解得 a ? 9, b ? 12.
所以双曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1。 9 12
109

(2)由双曲线 C 的方程可得 A1 ?? 3,0 ?, A2 ?3,0 ?, 又P?6,6 ? 所以△A1PA2 的重点 G(2,2) 设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ? 2 代入 C 的方程,整理得

2012 届数学二轮复习

又设M ? x1 , y1 ?, N ? x 2 , y 2 ?, Q? x0 , y 0 ? x ? x 2 6k ?k ? 1? 8?k ? 1? . ? ; y 0 ? k ? x0 ? 2 ? ? 2 ? 2 x0 ? 1 2 2 3k ? 4 3k ? 4 y0 8?1 ? k ? . ? 2 k PA2 ? 2, k QA2 ? x0 ? 3 3k ? 6k ? 12

?4 ? 3k ?x
2

2

? 12k ?k ? 1?x ? 12 k 2 ? 2k ? 4 ? 0

?

?

③ ③

? QA2 ? PA2 ? 0,? k PA2 ? k QA2 ? ?1,?
整理得 3k ? 10k ? 4 ? 0
2

16?1 ? k ? ? ?1 3k 2 ? 6k ? 12

解得 k ?

5 ? 13 ④ 3 ③ 2 ? k 4 ? 3 ? 0 ? 由③,可得 ? 2 ? ?? ? 48 ? 5k ? 8k ? 16 ? 0 4 6?4 4 6 ?4 2 3 解得 ? ?k? , 且k ? ? 5 5 3 5 ? 13 由④、⑤,得 k ? 3

?

?

⑤ ③

22、(东北三校 2008 年高三第一次联考)设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, a2 b2

上顶点为 A,过点 A 作垂直于 AF 的直线交椭圆 C 于另外一点 P,交 x 轴正半轴于点 Q, 且

AP ?

8 PQ 5
y
A P F O

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l:

x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.
解:⑴设 Q(x0,0),由 F(-c,0)
王新敞
奎屯 新疆

A(0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x 0 ,?b)

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?
设 P ( x1 , y1 ),由AP ?

b2 …2 分 c

8 8b 2 5 , y1 ? b ………4 分 PQ ,得 x1 ? 13c 13 5 2 8b 2 5 ( ) ( b) 2 ? 13 2 ? 1 ………6 分 因为点 P 在椭圆上,所以 13c 2 a b
110

2012 届数学二轮复习 1 2 2 2 整理得 2b =3ac,即 2(a -c )=3ac, 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e= ………8 分 2

b2 3 c 1 1 ? a; 又 ? ,得c ? a , c 2 a 2 2 3 1 于是 F(- a,0), Q ( a,0) 2 2 1 1 △AQF 的外接圆圆心为( a,0),半径 r= |FQ|=a…………10 分 2 2 1 | a?5| ? a ,解得 a=2,∴c=1,b= 3 , 所以 2 2 x2 y2 ? ?1 所求椭圆方程为 4 3 23、(东北师大附中高 2008 届第四次摸底考试)已知双曲线 C 的中心在原点,对称轴为坐标 轴,其一条渐近线方程是 x ? y ? 0 ,且双曲线 C 过点 P ( ? 2 , 1) . (1)求此双曲线 C 的方程;
⑵由⑴知 2b 2 ? 3ac,得 (2)设直线 l 过点 A(0, 1) ,其方向向量为 e ? (1, k ) (k ? 0) ,令向量 n 满足 n ? e ? 0 .双曲 线 C 的右支上是否存在唯一一点 B ,使得 n ? AB ? n . 若存在,求出对应的 k 值和 B 的坐 标;若不存在,说明理由. 解:(1)设双曲线 C 的方程为 x ? y ? ? (? ? 0) ,将点 P ( ? 2 , 1) 代入可得 ? ? 1 ,
2 2

?

双曲线 C 的方程为 x ? y ? 1 .
2 2

(2)依题意,直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 (k ? 0) .设 B ( x 0 , y 0 ) 是双曲线右支上满足

n ? AB ? n 的点,结合 n ? e ? 0 ,得 kx0 ? y 0 ? 1 ? k 2 ? 1 ,
即点 B ( x 0 , y 0 ) 到直线 l 的距离

d?

kx0 ? y 0 ? 1 k 2 ?1

?1

①若 0 ? k ? 1 ,则直线 l 与双曲线 C 的右支相交,此时双曲线 C 的右支上有两个点到直 线 l 的距离为 1,与题意矛盾; ②若 k ? 1 ,则直线 l 在双曲线 C 右支的上方,故 y 0 ? kx0 ? 1 ,从而
2 2 y 0 ? kx0 ? 1 ? k 2 ? 1 . 又因为 x0 ? y0 ? 1 ,所以

2 (k 2 ? 1) x0 ? 2k (1 ? k 2 ? 1) x0 ? k 2 ? 3 ? 2 k 2 ? 1 ? 0 .

当 k ? 1 时,方程有唯一解 x 0 ? 当 k ? 1 时,由 ? ? 0 得 k ?

2 ,则 B ( 2 , 1) ;

5 ,此时方程有唯一解 x 0 ? 5 ,则 B ( 5 , 2) 2 5 综上所述,符合条件的 k 值有两个: k ? 1 ,此时 B ( 2 , 1) ; k ? ,此时 B ( 5 , 2) . 2
111

2012 届数学二轮复习 24、(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 1 3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e= . 2 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直 平分线过定点 G ( ,0) ,求 k 的取值范围。 由题意椭圆的离心率

1 8

?e ?

c 1 ? a 2

? a ? 2c

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2

x2 y2 ? ? 1 ……2 分 4c 2 3c 2 3 ( )2 3 1 ? 2 ? 2 2 ?1 ? c2 ? 1 又点 (1, ) 在椭圆上 2 4c 3c x2 y2 ? ? 1 ……4 分 ∴椭圆的方程为 4 3 ? x2 y2 ?1 ? ? 由? 4 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) 3 ? y ? kx ? m ?
∴椭圆方程为 消去 y 并整理得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ……6 分
2 2 2

∵直线 y ? kx ? m 与椭圆有两个交点

? ? (8km) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m 2 ? 12) ? 0 ,即 m 2 ? 4k 2 ? 3 ……8 分 8km 4km 3m 又 x1 ? x2 ? ? ? MN 中点 P 的坐标为 (? , ) ……9 分 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 设 MN 的垂直平分线 l ' 方程: y ? ? ( x ? ) k 8 3m 1 4km 1 2 ? p 在 l' 上 ? ? ? (? ? ) 即 4k ? 8km ? 3 ? 0 2 2 k 3 ? 4k 3 ? 4k 8 1 ? m ? ? (4k 2 ? 3) ……11 分 8k 1 (4k 2 ? 3) 2 ? 4k 2 ? 3 ?k2 ? 将上式代入得 2 20 64k 5 5 5 5 ? k 的取值范围为 (??,? 即k ? 或k ? ? ) ? ( ,??) 10 10 10 10 25、(福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,过定 2 点 C (0,p ) 作直线与抛物线 x ? 2 py ( p ? 0 )相交于 A,B 两点. (I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值; (II)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存
112

2012 届数学二轮复习 在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. 解法 1:(Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 N (0, ? p) ,可设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,

? x 2 ? 2 py, 消 去 y 得 直 线 AB 的 方 程 为 y ? kx ? p , 与 x ? 2 py 联 立 得 ? ? y ? kx ? p. x 2 ? 2 pkx ? 2 p 2 ? 0 .
2

由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p .
2

于是 S△ ABN ? S△ BCN ? S△ ACN ? · 2 p x1 ? x2 .

1 2

y

? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? p 4 p2k 2 ? 8 p2 ? 2 p2 k 2 ? 2 ,
2

B C

A ∴当 k ? 0 时, ( S△ ABN ) min ? 2 2 p . O (Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a , x ? AC 的中点为 O , l 与 AC 为直径的圆相交于点 P , Q,PQ 的中点为 H , N ?x y ? p? 则 O?H ? PQ , Q? 点的坐标为 ? 1 , 1 ?. y 2 ? ?2 1 1 2 1 2 ∵ O?P ? AC ? x1 ? ( y1 ? p ) 2 ? y1 ? p 2 , 2 2 2 B y1 ? p 1 C O?H ? a ? ? 2a ? y1 ? p , 2 2 O? A l 1 1 2 2 2 ∴ PH ? O?P ? O?H ? ( y12 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p) 2 O 4 4 N p? ? ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a) , 2? ? ?? p? ? 2 ∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a ( p ? a) ? . 2


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