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高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第3篇 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第3篇 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数


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第1讲
[考纲]

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.了解任意角的概念;了解弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知 识 梳 理
1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形. ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)分类? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S ={β|β=α+k· 360° ,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.弧度记作 rad. (2)公式: 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 三角函数 定义 各 象 限 符 号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 正弦 余弦 正切 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 y y 叫做 α 的正弦,记作 x 叫做 α 的余弦,记作 x叫做 α 的正切,记作 tan α sin α cos α + + + + - - - - + -
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l |α|=r(弧长用 l 表示) π ①1° =180rad ?180? ②1 rad=? π ?° ? ?

弧长 l=|α|r 1 1 S=2lr=2|α|r2





宜宾市优学堂培训学校 口诀 Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦 续表

三角函数线

有向线段 MP 为正弦线

有向线段 OM 为余弦线

有向线段 AT 为正切线

辨 析 感 悟
1.对角的概念的认识 (1)小于 90° 的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.( ) (3)将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是 30° .( ) (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( ) 2.任意角的三角函数定义的理解 (5)(教材练习改编)已知角 α 的终边经过点 P(-1,2),则 sin α= ( ) (6)(2013· 济南模拟改编)点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第二象 限. ( ) (7)(2011· 新课标全国卷改编)已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重 5 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos θ= 5 . ( ) 2 2 5 2 2= 5 ?-1? +2

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宜宾市优学堂培训学校 [感悟· 提升] 1.一个区别 “小于 90° 的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下:

π? π? ? ? 小于 90° 的角的范围:?-∞,2?,锐角的范围:?0,2?,第一象限角的范围: ? ? ? ? π? ? ?2kπ,2kπ+2?(k∈Z).所以说小于 90° 的角不一定是锐角,锐角是第一象限角, ? ? 反之不成立.如(1)、(2). 2.三个防范 一是注意角的正负,特别是表的指针所成的角,如(3);二是防止

角度制与弧度制在同一式子中出现;三是如果角 α 的终边落在直线上时,所求三 角函数值有可能有两解,如(7).

考点一

象限角与三角函数值的符号判断 ).

cos α 【例 1】 (1)若 sin α· tan α<0,且 tan α <0,则角 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 (2)sin 2· cos 3· tan 4 的值( A.小于 0 C.等于 0 ). B.大于 0 D.不存在 B.第二象限角 D.第四象限角

规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键,对于已知三角 函数式符号判断角所在象限, 可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符 号,再判断角所在象限. θ? θ θ ? 【训练 1】 设 θ 是第三象限角,且?cos 2?=-cos 2,则2是 ? ? ( A.第一象限 C.第三象限 考点二 B.第二象限 D.第四象限 三角函数定义的应用 ).

2 【例 2】 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 4 m,试判断角 θ
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宜宾市优学堂培训学校 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值.

规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终 边上任意一个异于原点的点的横坐标 x、纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目 中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在 象限不同). 3 【训练 2】 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α+cos α的值.

考点三

扇形弧长、面积公式的应用

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α(α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

规律方法 (1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. (2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于 α 的不 等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.

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【训练 3】 (1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,那 么扇形的圆心角是多少弧度?扇形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20 cm;当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时,这个扇形的面积 最大?

1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位 圆的交点.|OP|=r 一定是正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点, 在理解的基础上可借助口诀:一全正,二 正弦,三正切,四余弦. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

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以任意角为背景的应用问题 【典例】 (2012· 山东卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初 始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动,当圆滚 → 动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为________.

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[反思感悟] (1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化, 结合弧长公式、 解 三角形等知识来解决. (2)常见实际应用问题有:表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等. 【自主体验】 π 已知圆 O:x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 M,点 M 沿圆 O 顺时针运动2弧长 到达点 N,以 ON 为终边的角记为 α,则 tan α=( A.-1 B.1 ). D.2

C.-2

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基础巩固题组 一、选择题 1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 限角 2.(2014· 汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆 心角的弧度数为( π A. 3 2π B. 3 ). C. 3 D. 2 ). C.第三象限角 D.第四象

B.第二象限角

2π 3.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 按逆时针方向运动 3 弧长到达 Q 点, 则 Q 的坐标为( ? 1 3? A.?- , ? ? 2 2? ). ? 3 1? B.?- ,- ? 2? ? 2 ? 1 3? C.?- ,- ? 2? ? 2 ? 3 1? D.?- , ? ? 2 2? ).

3π 3π? ? 4. 已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上, 且 θ∈[0,2π), 则 θ 的值为( ? ? π A.4 3π B. 4 5π C. 4 7π D. 4

5.有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若 sin α>0,则 α 是第一、二象限的角; ④若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos α= 其中正确的命题的个数是( A.1 二、填空题 6.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边 2 5 上一点,且 sin θ=- 5 ,则 y=______. 7.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的
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-x . x2+y2

). C .3 D.4

B.2

宜宾市优学堂培训学校 4 纵坐标为5,则 cos α=____.

8.函数 y= 2cos x-1的定义域为________. 三、解答题 9 . (1) 写 出 与 下 列 各 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 S , 并 把 S 中 适 合 不 等 式 - 360° ≤α<720° 的元素 α 写出来: ①60° ;②-21° . (2) 试写出终边在直线 y =- 3 x 上的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式- 180° ≤α<180° 的元素 α 写出来.

10.(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB.

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宜宾市优学堂培训学校 能力提升题组 一、选择题 1.(2014· 杭州模拟)已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0, 则实数 a 的取值范围是( A.(-2,3] B.(-2,3) ).

C.[-2,3) D.[-2,3] 2.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所在半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 二、填空题 1-cos2α sin α 3.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 + =________. cos α 1-sin2 α 三、解答题 4.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求2终边所在的象限; α α α (3)试判断 tan 2sin 2cos2的符号. D.4 ).

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