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概率中几种数学计算

概率中几种数学计算


概率中几种数学计算
一、等可能事件概率计算 此类问题常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际 问题的能力. 例1 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛. (1)求所选3人中恰有1名女生的概率; (2)求所选3人中至少有1名女生的概率.
1 2 解:(1)所选3人中恰有1名女生的基本事件数为 C2 C4 个,而从6人中选3人的基

3 本事件总数为 C6 个,故由等可能事件概率的计算公式得所选3人中恰有1名女生的概率为

1 2 C2 C4 3 ? . 3 C6 5

1 2 2 1 (2)所选3人中至少有1名女生的基本事件数为 (C2 C4 ? C2 C4 ) 个,而从6人中选3

3 人的基本事件总数为 C6 个,故所选3人中至少有1名女生的概率为

1 2 2 1 C2 C4 ? C2 C4 4 ? . 3 C6 5

二、相互独立事件同时发生概率计算 此类问题常结合电路的串联与并联等问题考查相互独立事件同时发生的概率的计算方 法和运用概率知识解决实际问题的能力. 例2 如图,用A,B,C三类不同的元件连接成两个系 统 N1 , N 2 ,当元件 A,B,C 都正常工作时,系统 N1 正常工作; 当元件A正常工作且元件B, C至少有一个正常工作时, 系统 N 2 正常工作.已知元件 A, B, C 正常工作的概率依次为 0.80 , 0.90,0.90,分别求系统 N1 , N 2 正常工作的概率 P1 , P2 . 解:分别记元件 A, B, C 正常工作为事件 A,B,C ,且 P( A) ? 0.80 , P (B )? P (C )? 0.90 .

∵事件 A,B,C 是相互独立, 故系统 N1 正常工作的概率为
P ·B · C ) ? P( A) P( B) P(C ) ? 0.80 ? 0.90 ? 0.90 ? 0.648 . 1 ? P( A

故系统 N 2 正常工作的概率为 P2 ? P[ A · ( B ? C )] ? P( A· ) P( B ? C ) ? P( A· ) [ P( B) ? P(C ) ? P( B· ) P(C )] ? 0.80 ? (0.90 ? 0.90 ? 0.90 ? 0.90) ? 0.792 . 三、独立重复试验概率计算 此类问题常结合实际应用问题考查 n 次重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率的计算方 法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用. 例 3 (2002 年新课程卷高考题)某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网 的概率都是 0.5(互相独立). (1)求至少 3 人同时上网的概率; (2)求至少几人同时上网的概率小于 0.3.

解:(1)至少 3 人同时上网的概率等于 3 人同时上网,4 人同时上网,5 人同时上网, 21 3 4 5 6 6 人同时上网的概率的和,即 P ? C6 0.56 ? C6 0.56 ? C6 0.56 ? C6 0.56 ? . 32
4 5 6 (2)至少 4 人同时上网的概率为 (C6 ? C6 ? C6 )0.56 ?

11 ? 0.3 ; 32

5 6 至少 5 人同时上网的概率为 (C6 ? C6 )(0.5)6 ?

7 ? 0.3 ; 64

故至少5人同时上网的概率小于 0.3. 四、随机变量概率分布与期望计算 解决此类问题时, 首先应明确随机变量可能取哪些值, 然后按照相互独立事件同时发生 概率的乘法公式去计算这些可能取值的概率值即可得到分布列, 最后根据分布列和期望、 方 差公式去获解.以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际 问题的能力. 例4 一接待中心有 A,B,C,D 四部热线电话,已知某一时刻电话 A,B 占线的概率 均为 0.5,电话 C, D 占线的概率均为 0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻 有 ? 部电话占线,试求随机变量 ? 的概率分布和它的期望.
1 1 解: P(? ? 0) ? 0.52 ? 0.62 ? 0.09 ; P(? ? 1) ? C2 0.52 ? 0.62 ? C2 0.52 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3 ;

2 1 1 2 P(? ? 2) ? C2 0.52 ? 0.62 ? C2 C2 0.52 ? 0.4 ? 0.6 ? C2 0.52 ? 0.42 ? 0.37 ;

2 1 1 2 P(? ? 3) ? C2 C2 0.52 ? 0.4 ? 0.6 ? C2 C2 0.52 ? 0.42 ? 0.2 ;

P(? ? 4) ? 0.52 ? 0.42 ? 0.04 .

于是得到随机变量 ? 的概率分布列为:

?

0

1

2

3

4

2

0.09 0.3 0.37 0.2 0.04 所以 E? ? 0 ? 0.09 ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.37 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.04 ? 1.8 .

P



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