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清华大学电路原理课件-4_图文

清华大学电路原理课件-4_图文

第4章 电路的若干定理
本章重点 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 叠加定理 替代定理 戴维南定理和诺顿定理 特勒根定理 互易定理 对偶电路与对偶原理

本章重点 本章重点
熟练掌握叠加定理、 ? 熟练掌握叠加定理、戴维南和诺顿定理 ? 掌握替代定理、特勒根定理和互易定理 掌握替代定理、 ? 了解对偶原理

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4.1 叠 加 定 理 ( Superposition Theorem ) 叠加定理
在线性电路中,任一支路电流(或电压) 在线性电路中,任一支路电流(或电压)都是电路 中各个独立电源单独作用时,在该支路产生的电流( 中各个独立电源单独作用时,在该支路产生的电流(或 电压)的代数和。 电压)的代数和。

i1 如图电路,计算各支路电流。 如图电路,计算各支路电流。 用回路法 (R1+R2)ia-R2ib=uS1-uS2 -R2ia+(R2+R3)ib=uS2-uS3 R11ia+R12ib=uS11 R21ia+R22ib=uS22 其中 R11=R1+R2, R12= -R2, uS11=uS1-uS2 R21= -R2, R22=R2+R3, uS22=uS2-uS3 R1 + uS1 – ia i2 R2 ib + uS2 –

i3 R3 + uS3 –

i1 用行列式法解 R1 ia + uS1 – R22 ? R12 uS11 + uS22 = ? ?
R12 + R22 uS2 + R12

i3 i2 R2 ib + uS2 – R3 + uS3 –

us11 us22 ia = R11 R21 = R22

R12 R22 R12 R22 uS1 ?

?

?

?

uS3
? R11

ib =

R11 R21

us11 us22

?

=

? R21

?

uS1 +

R11 + R21

?

uS2 +

?

uS3

其中

R11 ?= R21

R12 = R11 R22 ? R12 R21 R22

则各支路电流为
i1 = ia =

R22

?

uS1 ?

R12 + R22

?

uS2 +

R12

?

′ ′ ′ uS3 = i1 + i1′ + i1′′
uS2 + R11 + R12

i2 = ia ? ib =

R21 + R22

′ ′′ ′′′ = i2 + i 2 + i 2

?

uS1 ?

R11 + R12 + R21 + R22

?

?

uS3

i3 = ib =

? R21

?

us1 +

R11 + R21

?

uS2 +

? R11

?

′ ′′ ′′′ uS3 = i3 + i3 + i3

由上式可见 各支路电流均为各电压源电压的一次函数, 各支路电流均为各电压源电压的一次函数,所以各支路 电流( 可看成各电压源单独作用时产生的电流( 电流(如i1)可看成各电压源单独作用时产生的电流(如i1′ , i1″ ,i1 ″′ )之和。 之和。

当一个电源单独作用时,其余电源不作用, 当一个电源单独作用时,其余电源不作用,不作用的电源 就意味着取零值。即对电压源看作短路,而对电流源看作开路。 就意味着取零值。即对电压源看作短路,而对电流源看作开路。
i1 R1 + uS1 – i1 ″ R1 i2 ″ R2 + uS2 – i2 ia R2 + uS2 – ib i3 R3 + uS3 – i3 ″ R3 R1 R1 i1′ i2 ′ R2 i3 ′ R3

=

+ uS1 –

+
us1单独作用
i1 ″′ i2 ″′ R2 i3 ″′

三个电源共同作用

=

+

+ +
us3单独作用

R3 + uS3 –

us2单独作用

因此

′ ′ ′ i1 = i1 + i1′ + i1′′ ′ ′ ′ i2 = i2 + i2′ + i2′′ ′ ′ ′ i3 = i3 + i3′ + i3′′

上述以一个具体例子来说明叠加的概念, 上述以一个具体例子来说明叠加的概念,这个方法也 可推广到一般的多电源的电路中去。 可推广到一般的多电源的电路中去。 同样可以证明: 同样 可以证明:线性电阻电路中任意支路的电压 可以证明 等于各电源在此支路产生的电压的代数和。 等于各电源在此支路产生的电压的代数和。 电源既可是电压源, 也可是电流源。 电源既可是电压源 , 也可是电流源 。

6? 例1 求图示电路中电压 。 求图示电路中电压u。 + 10V – + 4? u – 4A

解 (1) 10V电压源单独作用, (2) 4A电流源单独作用, 电压源单独作用, ) ) 电流源单独作用, 4A电流源开路 6? + 10V – + 4? u′ – u ′ =4V 10V电压源短路 6? + 4? u″ – u ″ = -4×2.4= -9.6V × 4A

共同作用 u=u ′ +u ″ = 4+(- 9.6)= - 5.6V -

例2 求图示电路中电压 S 。 求图示电路中电压U + 10V – 解 (1) 10V电压源单独作用 ) I1' 6? ? + 10V – 10 I1' + – + 4? U1' ? – US' = -10 I1' +U1' + US' –

I1 6? ? 4? ?

+

10 I1

– + 4A

US –

(2) 4A电流源单独作用 ) 电流源单独作用 I1″ 6? ? 10 I1″ + – + + 4? U1″ US″ ? – – US″ = -10I1″ +U1″ 4A

I1 ′ + 10V –

6? ? 4? ?

10 I1′ + – + U1′ – + US′ –

I1 ″ 6? ?

+

10 I1 ″ – 4A

+ + 4? U1 ″ US ″ ? – –

10 ′ I1 = = 1A 6+ 4 US' = -10 I1' +U1'
= -10 I1' +4I1' = -10×1+4×1= -6V × ×

4× 4 = ?1.6 A 4+6 4× 6 ′ U 1′ = × 4 = 9.6V 4+6 US″ = -10I1″ +U1″ ′ I 1′ = ?
= -10 ×(-1.6)+9.6=25.6V -

共同作用: 共同作用: US= US' +US″ = -6+25.6=19.6V

小结 1. 叠加定理只适用于线性电路。 叠加定理只适用于线性电路。 电压源为零—短路。 电压源为零 短路。 短路 2. 一个电源作用,其余电源为零 一个电源作用, 电流源为零—开路。 电流源为零 开路。 开路

3. 功率不能叠加(功率为电压或电流的二次函数)。 功率不能叠加(功率为电压或电流的二次函数)。 4. 叠加时要注意各分量的方向。 叠加时要注意各分量的方向。 5. 含受控源(线性)电路亦可用叠加,但叠加只 适用 含受控源(线性)电路亦可用叠加, 于独立源,受控源应始终保留。 于独立源,受控源应始终保留。

齐性原理( 齐性原理(homogeneity property) )
线性电路中,所有激励(独立源)都增大(或减小) 线性电路中,所有激励(独立源)都增大(或减小) 同样的比例,则电路中响应(电压或电流)也增大( 同样的比例,则电路中响应(电压或电流)也增大(或减 同样的比例。 小)同样的比例。 当电路中只有一个激励时,则响应与激励成正比。 当电路中只有一个激励时,则响应与激励成正比。 例 R1 21A R1 8A R1 3A i i ′=1A – 已知图中 + + 8V – + 3V – 21V + RL=2? R1=1 ? + + ? R2 2 RL 2V R2 5A R2 R2=1 ? us=51V us uS′=34V 13A A – – – 求电流 i 。 解 采用倒推法: 采用倒推法:设 i'=1A。 。 则

i uS = ′ i ′ uS

uS 51 i′ = 即 i= × 1 = 1.5 A ′ uS 34
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4.2

替代定理( Theorem) 替代定理(Substitution Theorem)

定理内容 任意一个线性电路,其中第k条支路电压为 条支路电压为u 电流为i 任意一个线性电路,其中第 条支路电压为 k、电流为 k,那 么这条支路就可以用一个电压等于u 的独立电压源, 么这条支路就可以用一个电压等于 k的独立电压源,或者用一个 电流等于i 的独立电流源来替代, 电流等于 k的独立电流源来替代,替代后电路中电压和电流均保 持原有值。 持原有值。 ik

A
支 路 k

+ –

A

+ uk –

uk

A

ik

ik

A
证明: 证明

+ uk –

支 路 k

A

+ –

uk

A

ik

替代前后KCL、 KVL关系相同 , 其余支路的 , 、 关系相同, 替代前后 关系相同 其余支路的u i关系不变。 关系不变。 关系不变

替代后, 其余支路电压不变( 用 uk 替代后 , 其余支路电压不变 ( KVL) , 其余 ) 支路电流也不变,故第k条支路 也不变( 条支路i 支路电流也不变,故第 条支路 k也不变(KCL)。 ) 替代后, 其余支路电流不变( 用 ik 替代后 , 其余支路电流不变 ( KCL) , 其余支 ) 路电压不变,故第k条支路 也不变( 条支路u 路电压不变,故第 条支路 k也不变(KVL)。 )

又证: 又证:

ik

A

+ uk –

支 路 k

ik + uk – – uk +
支 路 k

A

+ uk – – uk +

A

+ – uk

证毕! 证毕!

注意: 注意: 1. 替代定理既适用于线性电路,也适用于非线性电路。 替代定理既适用于线性电路,也适用于非线性电路。 2. 替代后电路必须有唯一解。 替代后电路必须有唯一解。 3. 被替代的支路与电路其它部分应无耦合关系。 被替代的支路与电路其它部分应无耦合关系。 4. 未被替代支路的相互连接及参数不能改变。 未被替代支路的相互连接及参数不能改变。



电路如图所示。 电路如图所示。 1 若要使 I x = I , 8 试求Rx。 试求

3? ? + 10V –

1? ? 0.5? ?

Rx – U

Ix +

0.5? ? 0.5? ?

I


1? ? I 0.5? ?

用替代
1 I 8 –
0.5? ?

用叠加
1? ? I 0.5? ?

=
U

+ U1 – – U'

+ U2 – +

0.5? 1? ? ?

1 I 8

0.5? ?

+

0.5? ?

+
0.5?0.5? ? ?



U'' +

0.5? ?

U ′ = U1 ? U 2 =

1 1.5 I ×1 ? I × 0.5 = 0.1 I = 0.8 I x 2.5 2.5

U ′′ = ?

1. 5 1 × I = ?0.075 I = ?0.6 I x 2. 5 8

U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2? ?

(或U=(0.1-0.075)I=0.025I ( ) U 0.025I R = = = 0.2 ) I 0.125I
x X

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4.3
1. 几个名词

戴维南定理和诺顿定理 Thevenin(Thevenin-Norton Theorem )

(1) 端口( port ) 端口( i a

A
b i

端口指电路引出的一对端钮, 端口指电路引出的一对端钮,其中 从一个端钮( 从一个端钮 ( 如 a ) 流入的电流一定等 于从另一端钮( 流出的电流。 于从另一端钮(如b)流出的电流。

(2) 一端口网络 (network) ) 网络与外部电路只有一对端钮(或一个端口)联接。 网络与外部电路只有一对端钮(或一个端口)联接。

2. 戴维南定理 任何一个线性含有独立电源、 任何一个线性含有独立电源 、 线性电阻和线性受控 源的一端口,对外电路来说,可以用一个电压源( 源的一端口,对外电路来说,可以用一个电压源(Uoc) 和电阻( Ri ) 的串联组合来等效替代; 此电压源的电压 和电阻( 的串联组合来等效替代 ; 外电路断开时端口处的开路电压, 等于 外电路断开时端口处的开路电压,而电阻等于一端 全部独立电源置零后的端口等效电阻。 口中 全部独立电源置零后的端口等效电阻。 i a i Ri Uoc+ a + u – b

A

+ u – b

证明: 证明:

i a Ri +

i

a

+ + (a) u N′ A u N′ (b) Uoc – – – b b (对a) 利用替代定理,将外部电路用电流源替代,此时 、 ) 利用替代定理,将外部电路用电流源替代,此时u、 i值不变。计算 u 值。(用叠加定理) 值不变。 用叠加定理) 值不变 a a a + + P u'' i + u' + A u i= A Ri – – – b b b 电流源i为零 网络A中独立源全部置零 电流源 为零 网络 中独立源全部置零 根据叠加定理, 根据叠加定理,可得 u′ = Uoc ′ u″= - Ri i 间开路电压) (外电路开路时a 、b间开路电压) 外电路开路时 间开路电压 此关系式恰与图( )电路相同。 此关系式恰与图(b)电路相同。

则 u = u' + u ″ = Uoc - Ri i

小结: 小结: (1)戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时端口处 ) 的开路电压U 电压源方向与所求开路电压方向相同。 的开路电压 oc,电压源方向与所求开路电压方向相同。 (2)串联电阻为将一端口内部独立电源全部置零(电压 源短 )串联电阻为将一端口内部独立电源全部置零( 电流源开路) 所得一端口网络的等效电阻。 路,电流源开路)后,所得一端口网络的等效电阻。 等效电阻的计算方法: 等效电阻的计算方法: a. 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法 计算; 计算; b. 端口加电压求电流法或加电流求电压法(内部独立电 端口加电压求电流法或加电流求电压法( 源置零)。 源置零)。 c. 等效电阻等于端口的开路电压与短路电流的比(内部 独 等效电阻等于端口的开路电压与短路电流的比( 立电源保留)。 立电源保留)。 (3)当一端口内部含有受控源时,控制支路与受控源 支路 )当一端口内部含有受控源时, 必须包含在被化简的同一部分电路中。 必须包含在被化简的同一部分电路中。

例1

4? a ? Rx 6? ? + I b 10V

6? ? 4? ?

电路如图所示。 电路如图所示。 (1) 计算 x分别为 ?、5.2?时的 ; ) 计算R 分别为1.2? ?时的I; (2) Rx为何值时,其上获最大功率 ) 为何值时,其上获最大功率?





保留Rx支路,将其余一端口化为戴维南等效电路: 保留 支路,将其余一端口化为戴维南等效电路: a I a + Rx I – U1 Ri + U2 – 10V + – + b Uoc – b

Rx

(1)求开路电压 ) + – U1 + U2 – 10V + – (2) 求等效电阻 i ) 求等效电阻R a Ri b Ri=4//6+6//4=4.8? ? +

a Uoc b Ri

Uoc = U1 + U2 = -10×4/(4+6)+10 × 6/(4+6) × = -4+6=2V a

+ Uoc –

I

Rx

b (3) Rx =1.2?时,I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333A ? I= Rx =5.2?时, Uoc /(Ri + Rx) =0.2A ? Rx = Ri =4.8?时,其上获最大功率。 其上获最大功率。 ?

含受控源电路戴维南定理的应用 例2 电路如图所示。求电压 电路如图所示。求电压UR 。 6? ? + 9V – 解 (1) 求开路电压 oc。 ) 求开路电压U 6? ? + 9V – 3? ? b 3? ? – 6I + a I + 3? ? UR – Ri + Uoc – b 3? ? a + UR -

– 6I + a + I Uoc – b

Uoc=6I+3I I=9/9=1A

Uoc=9V

(2) 求等效电阻 i ) 求等效电阻R 方法1 端口加压求流(内部独立电压源短路) 端口加压求流(内部独立电压源短路) 方法 U0=6I+3I=9I 6I + I0 6? ? – a I=I0×6/(6+3)=(2/3)I0 + I U0 =9 × (2/3)I0=6I0 U0 3? ? – Ri = U0 /I0=6 ? b 方法2 开路电压、 方法 开路电压、短路电流 6? ? – 6I + a I1 + 9V – b 3? ? I Isc (Uoc=9V) ) 6 I1 +3I=9 I=0 I=-6I/3=-2I Isc=I1=9/6=1.5A Ri = Uoc / Isc =9/1.5=6 ?

(3) 等效电路 ) Ri + Uoc 9V – 6? ?

a + UR b

3? ?

3 UR = × 9 = 3V 6+ 3

下图电路经戴维南等效变换后将难于继续进行计算。 下图电路经戴维南等效变换后将难于继续进行计算。 6? ? + 9V – b 3? ? – 6I + a I + 3? ? UR – + 3V 3? ? 控制量呢? – 控制量呢? b 2? – 6I + a ? + UR –

3. 诺顿定理 任何一个含独立电源, 任何一个含独立电源,线性电阻和线性受控源的一端 对外电路来说, 可以用一个电流源和电阻( 电导) 口 , 对外电路来说 , 可以用一个电流源和电阻 ( 电导 ) 的并联组合来等效置换; 的并联组合来等效置换 ; 电流源的电流等于该一端口的 短路电流, 而电阻( 电导) 短路电流 , 而电阻 ( 电导 ) 等于把该一端口的全部独立 电源置零后的输入电阻(电导) 电源置零后的输入电阻(电导) 。 a a Isc b Ri b

A

诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效 变换得到。但须指出,诺顿等效电路可独立进行证明。 变换得到。但须指出,诺顿等效电路可独立进行证明。 证明过程从略。 证明过程从略。

例 电路如图所示,求电流I 。 电路如图所示,求电流 a 10? ? – 4? ? I b + 2? ? + 12V – 24V I

a 4? ? b Ri Isc

解(1)求端口的短路电流 sc )求端口的短路电流I a 10? ? I1=12/2=6A Isc b + 2? ? – I1 I2 12V – 24V + I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A

电压源短路,用电阻串并联。 (2) 求Ri:电压源短路,用电阻串并联。 ) a Ri b (3) 诺顿等效电路 ) 诺顿等效电路: a I 4? ? 1.67 ? -9.6A 2? ? 10? ? Ri =10×2/(10+2)=1.67 ? ×

I = - Isc×1.67/(4+1.67) =9.6×1.67/5.67 × =2.83A

解毕! 解毕!
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b

4.4

特勒根定理(Tellegen s Theorem) 特勒根定理(Tellegen’s Theorem)

1.具有相同拓扑结构(特征)的电路 1.具有相同拓扑结构(特征) 具有相同拓扑结构 两个电路,支路数和节点数都相同, 两个电路 , 支路数和节点数都相同 , 而且对应支路 与节点的联接关系也相同。 与节点的联接关系也相同。 R4 R2 R1 R6 3 + 2 R5 R3 us1 – R4' 2 R5' R6' + us6 R3' – is2 3 ' R1

1

4

1

4

N

N

R4 R2 R1 R6

2

R5 R3

1

3 +

4 –

1

uS1

R4' 2 R5' R6' + uS6 R3' – iS2 3 R1'

4

N
4 1 2

2 5 6 3 3 4 1

N
4

2 5 6 4 3 3

2

1

1

例 4 1 2

2 5 6 3 3 4 1 2 4

2 5 6 3 3 4
? 求∑ ( u k i k )
k =1 6



1 1 N 6 ? ? ? ? ? ? ? ( uk ik ) =u1 i1 + u2 i2 + u3 i3 + u4 i4 + u5 i5 + u6 i6 ∑ k =1 ? ? ? = ( un 4 ? un1 )i1 + ( un1 ? un 3 )i2 + ( un 3 ? un 4 )i3 ? ? ? + ( u ? u ) i + ( u ? u )i + ( u ? u ) i
n1 n2 4 n2 n4 5 n2 n3

N

6

? ? ? ? ? ? = un1 ( ? i1 + i2 + i4 ) + un 2 ( ? i4 + i5 + i6 ) ? ? ? ? ? ? + u (? i + i ? i ) + u (i ? i ? i ) =0
n3 2 3 6 n4 1 3 5

2. 特勒根定理 ? 两个具有相同拓扑结构 的电路 N和 N。电路 N ( N )的所有 支路中的每一支路的电 压 uk ( u k )与电路 N ( N )中对应的支路 中的电流 i k ( i k )的乘积之和为零 , 即
∧ ∧ ∧ ∧

∑ u i?
k =1

b

k k

=0

b



? ∑u i
k =1

k k

=0

( 似功率平衡关系 )

注意:各支路电压、电流均取关联的参考方向 注意:各支路电压、 证明: 证明: + uk ik – +
? uk



α

β

α

? ik

β

? ? ? ? ? ? uk ik = ( unα ? unβ )iαβ = unα iαβ ? unβ iαβ = u i + u i nα αβ nβ βα

? ? ? 其中: 其中:uk = unα ? unβ , ik = iαβ = ? iβα

+

um
γ

uk ik



+

? uk


– β

α

im

β

? um
γ

? im

α

ik

? ? ? ? uk ik = ( unα ? unβ )iαβ = unα iαβ + unβ iβα
若节点α接有另一支路 ,同理可得: 若节点α接有另一支路m,同理可得:

? ? ? ? um im = ( unα ? unγ )iαγ = unα iαγ + unγ iγα

? ( uk ik ) ∑
k =1

b

对节点α可得: 对节点α可得: unα ( iαβ
b

? + i + L) = 0 ? αγ

? ( uk ik ) = 0 证毕! 证毕! 对其他节点, 结果, 对其他节点,有同样的 结果,故:∑
b k =1

同理可证: 同理可证:

? ∑ (u i
k =1

k k

)=0

3. 功率平衡定理 在任一瞬间, 在任一瞬间 , 任一电路中的所有支路所吸收的瞬时 功率的代数和为零, 功率的代数和为零,即

k =1

∑ pk = ∑ uk i k = 0
k =1

b

b

将特勒根定理用于同一电路中各支路电流、电压即可 将特勒根定理用于同一电路中各支路电流、 ? ? 证得上述关系。 证得上述关系。 亦可视为 N , N为同一电路 , 则uk = uk , ik = i?k ) ( 此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。 此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。 注意 特勒根定理适用于一切集总参数电路。 特勒根定理适用于一切集总参数电路。只要各支路 u、i满足 满足KCL、KVL即可。 即可。 、 满足 、 即可

例1 图 示 两 个 电 路 中 方 框 内 为 同 一 个 电 阻 网 络 , 各 物 ? 理量的值如图示。求U 。
1





I1 + US –

I1

I2

P

+ U2 I2 –

? U 1 2? –




+

P

+ ∧

US


US=10V, I1=5A,I2=1A , , 解 由特勒根定理
∧ ∧ b

U 2 = 10V

? U S I 1 + U 2 (? I 2 ) + ∑ U k I k = 0
k =3 b

? U 1 (? I1 ) + U S I 2 + ∑ U k I k = 0





U1 = 2I1





k =3

方框内为同一网络
b

∑U
k=3 ∧

k

? ? ? ? I k = ∑ I k Rk I k = ∑ I k U k = ∑ U k I k
k =3 ∧


b

b

b

k =3

得 U S I 1 + U 2 (? I 2 ) = U 1 (? I1 ) + U S I 2
∧ ∧ U1 ? US × + 0 × (? I 2 ) = U 1 (? I1 ) + U S I 2 2
∧ U1 10 × + 0 = U 1 × ( ?5) + 10 × 1 2 ∧



k =3



U 1 = 1V



例2 + US –

I1 R 1 + 无源 电阻 U1 网络 – P

I2 R2

已知图中 (1) 当 R1=R2=2?, US=8V时 , ? 时 + I1=2A,U2 =2V; , ; U2 (2) 当R1=1.4 ?,R2=0.8?, ? – US ' =9V, I1 ' =3A。 , 。 求U2'。

解 由(1)得:U1=4V, I1=2A, U2=2V, U2/R2=1A ) , , , 由(2)得 : U 1 = 4.8V, I 1 = 3 A, I 2 = U 2 /R2 = (5/4) U 2 根据特勒根定理
? U1 (? I 1 ) + U 2 I 2 + ∑ U k I k = 0
3 ∧ ∧ b
b











? U 1 (? I1 ) + U 2 I 2 + ∑ U k I k = 0
3





b

∑U
k =3

k

? ? Ik = ∑ Uk Ik
k =3

b

U 1 (? I 1 ) + U 2 I 2 = U 1 (? I1 ) + U 2 I 2









? 4 × 3 + 2 × 1.25 U 2 = ?4.8 × 2 + U 2 × 1 U 2 = 2.4 / 1.5 = 1.6V
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互易定理( Theorem) 4.5 互易定理(Reciprocity Theorem)
第一种形式: 第一种形式 激励( 激励(excitation)为电压源,响应(response)为电流。 )为电压源,响应( )为电流。 给定任一仅由线性电阻构成的网络(见下图) 给定任一仅由线性电阻构成的网络(见下图),设支路 j中有唯一电压源 j,其在支路k中产生的电流为 kj(图a); 中有唯一电压源u 其在支路 中产生的电流为i ) 中有唯一电压源 中产生的电流为 若支路k中有唯一电压源 k , 其在支路 中产生的电流为 jk 中产生的电流为i 若支路 中有唯一电压源u 其在支路j中产生的电流为 中有唯一电压源 (图b)。 ) a uj + – b
线性 电阻 网络 N

c ikj d ijk

a

线性 电阻 网络 N

c + uk – d

(a)

b

(b)

a uj + – b

线性 电阻 网络 N

c ikj d ijk

a

线性 电阻 网络 N

c + uk – d

(a)

b

(b)

则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:

i kj uj

=

i jk uk



uk i kj = u j i jk

当 uk = uj 时,ikj = ijk 。

a uj + – b

线性 电阻 网络 N

c ikj d ijk

a

线性 电阻 网络 N

c + uk – d

证明: 证明: 支路为支路1, 支路为支路 支路为支路2,其余支路为3~b。图 设a-b支路为支路 ,c-d支路为支路 ,其余支路为 支路为支路 。 (a)与图(b)有相同拓扑特征,(a)中用 k 、ik表示支路电 )与图( )有相同拓扑特征, )中用u 压和电流, 压和电流,(b)中用 ) 方向) 方向)。 由特勒根定理: 由特勒根定理: 支路电压和电流( ? ? u k , i k 表示 支路电压和电流(均取关联

(a)

b

(b)

∑ u i?
k =1

b

k k

=0

b



? ∑u i
k =1

k k

=0



? ? ? ? uk ik = u1i1 + u2 i2 + ∑ uk ik ∑
k =1 k =3 b

b

b

? ? ? = u1i1 + u2 i2 + ∑ Rk ik ik = 0
k =3 b

? ∑u i
k =1

k k

? ? ? = u1i1 + u2 i2 + ∑ uk ik
k =3 b

b

? ? ? = u1 i1 + u2 i2 + ∑ Rk ik ik = 0
两式相减, 两式相减,得
k =3

? ? ? ? u1 i1 + u2 i2 = u1 i1 + u2 i2

a uj + – b

线性 电阻 网络 N

c ikj d ijk

a

线性 电阻 网络 N

c + uk – d

(a) )

b

(b) )

? ? ? ? u1 i1 + u2 i2 = u1 i1 + u2 i2
将图(a)与图(b)中支路 ,2的条件代入,即 的条件代入, 将图( )与图( )中支路1, 的条件代入

? ? ? u1 = u j , u2 = 0 , i2 = ikj ; u1 = 0, u2 = uk , i1 = i jk
? u j i jk + 0 × i2 = 0 × i1 + uk ikj 即:

uk i kj = u j i jk



i kj uj

=

i jk uk

当 uk = uj 时,ikj = ijk 。

证毕! 证毕!

第二种形式: 激励是电流源,响应是电压。 第二种形式 激励是电流源,响应是电压。 在任一线性电阻网络的一对节点 j 和 j? 间接入唯一电 产生电压u 见图a) 流源 ij ,它在另一对节点 k 和 k? 产生电压 kj (见图 ); 若改在节点 k 和 k? 间接入唯一电流源 ik ,它在节点 j 和 j? 间产生电压 ujk(图b),则上述电压、电流有如下关系: ) 则上述电压、电流有如下关系:

ukj ij
j

=

u jk ik
k k? + ukj –



ukj i k = u jk i j
j j? k k?

当 ik = jj 时,ukj = ujk 。

ij

j?

+ ujk –

ik

(a) ) 由同学自己证明。 由同学自己证明。

(b) )

例 电路如图所示,求电流I 。 电路如图所示,求电流

4? ? a 1? ?

8V + –

2? ? b 2? ?

2? ? c I d



利用互易定理, 利用互易定理,可得下图 4? ? a 1? ? I1 I2 I 2? ? b 2? ? I' 2? ? c + 8V – d

8 8 I' = = = 2A 2 + 4 // 2 + 1 // 2 4

I1 = I '×2/(4+2)=2/3A I2 = I '×2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = -0.667A 解毕! 解毕!

应用互易定理时应注意: 应用互易定理时应注意: (1)互易定理适用于线性网络在单一电源激励下,两个支 )互易定理适用于线性网络在单一电源激励下, 路电压电流关系。 路电压电流关系。 (2) 激励为电压源时,响应为电流。激励为电流源时, ) 激励为电压源时,响应为电流。激励为电流源时, 响应为电压。 响应为电压。 (3)电压源激励,互易时原电压源处短路,电压源串 入另 )电压源激励,互易时原电压源处短路, 一支路; 一支路; 电流源激励,互易时原电流源处开路, 电流源激励,互易时原电流源处开路, 电流源并入另 一支路的两个节点间。 一支路的两个节点间。 电流)的方向 (4)互易要注意电源与电压 电流 的方向。 )互易要注意电源与电压(电流 的方向。 (5)含有受控源的网络,互易定理一般不成立。 )含有受控源的网络,互易定理一般不成立。
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对偶电路与对偶原理( Principle) 4.6 对偶电路与对偶原理(Dual Principle)
对偶电路( 一、 对偶电路(dual circuit) ) R1 R2 例1 il + uS – un G1 G2

iS 节点电压方程 (G1 + G2 )un = iS

网孔电流方程 (R1 + R2)il = uS 若R1=G1,R2 =G2,uS=iS

则两方程完全相同, 数值也相同。 则两方程完全相同,解答 il、un 数值也相同。

例2 i 1 R1 + uS1 – 网孔方程 (1) il1

R3 + R2 il2 – rm i 1 iS1

un1 G2 un2 + u1 G1 – G3 gm u1

(R1+R2) il1- R2 il2 = uS1 - R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1 i1 = il1

节点方程 (G1+G2)un1? G2 un2 = iS1 (2) -G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1 u1 =un1

若R1=G1, R2 =G2, R3 =G3, uS1=iS1, rm = gm ,则两 个方程组相同,其解答也相同, 个方程组相同,其解答也相同,即un1= il1 ,un2= il2 。 上述每例中的两个电路称为对偶电路。 上述每例中的两个电路称为对偶电路。 将方程(1)中所有元素用其对偶元素替换得方程(2)。 将方程( )中所有元素用其对偶元素替换得方程( )。

对偶元素(见书) 二、 对偶元素(见书) 节点 网孔 节点电压 串联 网孔电流 并联 R G L C us CCVS KCL is VCCS KVL

… …

三、 对偶原理 两个对偶电路N, 如果对电路N有命题 或陈述) 有命题( 两个对偶电路 ,N 如果对电路 有命题(或陈述)S 成 则将S中所有元素 分别以其对应的对偶元素替换, 中所有元素, 立,则将S中所有元素,分别以其对应的对偶元素替换,所得 命题(或陈述) 成立。 命题(或陈述)S 对电路N 成立。 注意: 只有平面电路才有对偶电路。 注意: 只有平面电路才有对偶电路。 四、 如何求一个电路的对偶电路 打点法:网孔对应节点(外网孔对应参考节点)。 打点法:网孔对应节点(外网孔对应参考节点)。

例1

R1 il + uS –

R2 un

G1 G2

iS

例2 i1 R1 + uS1 – il1 R2 R3 + rm i 1 il2 – iS1 un1 G2 un2 + u1 G1 – G3 gm u1

注意: 注意:
(1)每一网孔对应一节点,外网孔对应参考节点。 )每一网孔对应一节点,外网孔对应参考节点。 参考方向: 参考方向: 按惯例网孔电流取顺时针方向, 节点电压方向由独 按惯例网孔电流取顺时针方向 , 立节点指向参考节点。 立节点指向参考节点。 (2) 各对偶元素进行替换。数值相同,量纲不同。 ) 各对偶元素进行替换。数值相同,量纲不同。

(3) 电源方向(在按惯例选取网孔电流和节点电压 方向的前 ) 电源方向( 提下) 提下) 原网孔中所包含的电压源如果沿顺时针方向电压升高, 原网孔中所包含的电压源如果沿顺时针方向电压升高, 电压源如果沿顺时针方向电压升高 则在对偶电路中电流源的电流方向应指向该网孔对应的独 则在对偶电路中电流源的电流方向应指向该网孔对应的独 电流源的电流方向应指向 立节点。 节点。 I1 + us Is un1 un2 un2

I2

un1

原回路中所包含的电流源的电流方向如果和网孔电流方 原回路中所包含的电流源的电流方向如果和网孔电流方 电流源 向一致,则在对偶电路中电压源的正极落在该网孔对应的独 向一致,则在对偶电路中电压源的正极落在该网孔对应的独 电压源 立节点上。 节点上

Is I1 un1 I2 un2 un1

-

us

+ un2

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谢谢观看! 谢谢观看!


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