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数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式

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数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式·教案

证明:(1)当 n=1 时,左=2,右=2,则等式成立. (2)假设 n=k 时(k∈N,k≥1),等式成立,即 2+4+6+…+2k=k(k+1). 当 n=k+1 时,

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2+4+6+…+2k+(k+1)

所以 n=k+1 时,等式也成立. 根据(1)(2)可知,对于任意自然数 n,原等式都能成立. 生甲:证明过程正确. 生乙:证明方法不是数学归纳法,因为第二步证明时,没有应用归纳假设. 师:从形式上看此种证明方法是数学归纳法,但实质在要证明 n=k+1 正确时,未用到归 纳假设,直接采用等差数列求和公式,违背了数学归纳法的本质特点递推性,所以不能 称之为数学归纳法.因此告诫我们在运用数学归纳法证明时,不能机械套用两个步骤, 在证明 n=k+1 命题成立时,一定要利用归纳假设. (课堂上讲评作业,指出学生作业中不妥之处,有利于巩固旧知识,为新知识的学习扫 清障碍,使学生引以为戒,所谓温故而知新) (二)讲授新课 师:在明确数学归纳法本质的基础上,我们来共同研究它在不等式证明中的应用. (板书)例 1 已知 x>-1,且 x≠0,n∈N,n≥2.求证:(1+x)n>1+nx. 师:首先验证 n=2 时的情况. (板书)证:(1)当 n=2 时,左边=(1+x)2=1+2x+x2,右边=1+2x,因 x2>0,则原 不等式成立. (在这里,一定要强调之所以左边>右边,关键在于 x2>0 是由已知条件 x≠0 获得, 为下面证明做铺垫)

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