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给学生---【家教资料】高中数学必修一

给学生---【家教资料】高中数学必修一


基本初等函数

〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次 方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为 偶数时, a ? 0 . ③根式的性质:( n a )n ? a ; 当 n 为奇数时,n an ? a ; 当 n 为偶数时,
n

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a ? n a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① a ?a ? a
r s r r ?s
? m n

m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的负分数指 a a

(a ? 0, r, s ? R)

② (a ) ? a (a ? 0, r, s ? R)
r s rs

③ (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
r r

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基本初等函数 【2.1.2】指数函数及其性质
(4)指数函数 函数 名称 定义 指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax
y

y

y ? ax

图象

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况

1

x 0
R

O

1

x 0

(0, ??)
图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变
化对 图 在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低. 象的影响

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基本初等函数

〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

(2)几个重要的对数恒等式

loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , loga ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 loge N (其中 e ? 2.71828 …) .

(4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ②减法: log a M ? log a N ? log a

M N

③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R) ④a
log a N

?N
n

⑤ log ab M ?

n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑥换底公式: log a N ?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

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基本初等函数 【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

图象

O

1

(1, 0)

0

x

O

(1, 0) 1 0

x

定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况 在 (0, ??) 上是增函数

(0, ??)
R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变
化 影响 (6)反函数的概念 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) .如果对于 对 图象的 在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

y 在 C 中的任何一个值, 通过式子 x ? ? ( y ) ,x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 x ? ? ( y ) 表
?1 ?1 示 x 是 y 的函数, 函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数, 记作 x ? f ( y) , 习惯上改写成 y ? f ( x) .

(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;
?1 ②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ( y) ;

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基本初等函数
③将 x ? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称. ②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. ③若 P (a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上. ④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.

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基本初等函数

〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数. (2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布 在第一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇 非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数 的图象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q

q (其中 p, q p
q

互质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x p 是 偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x 是非奇非偶函数.
? ⑤图象特征: 幂函数 y ? x , x ? (0, ??) , 当 ? ? 1 时, 若 0 ? x ? 1, 其图象在直线 y ? x 下方, 若 x ?1,
q p

其图象在直线 y ? x 上方, 当 ? ? 1 时, 若 0 ? x ? 1, 其图象在直线 y ? x 上方, 若 x ?1, 其图象在直线 y ? x 下方.
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基本初等函数

〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ③两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x ) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?
2

②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0)

b , 顶点坐标是 2a

b 4ac ? b2 (? , ). 2a 4a
②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

b b b ] 上递减,在 [? , ??) 上递增,当 x ? ? 时, 2a 2a 2a

f min ( x) ?

b b 4ac ? b2 ] 上递增,在 [? , ??) 上递减, ;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? 2a 2a 4a

当x??

b 4ac ? b2 时, f max ( x) ? . 2a 4a
2

2 ③二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
2

? . |a|

(4)一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够 系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面 结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax ? bx ? c ,从以下
2 2

四个方面来分析此类问题: ①开口方向:a ②对称轴位置:x ? ?

b ③判别式:? ④端点函数值符号. 2a

①k<x1≤x2

?

? ? ?

△=b -4ac≥0 af(k)>0 b - >k 2a

2

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基本初等函数
y
f (k ) ? 0
?

y
a?0

x??

b 2a

O

k x1
x??

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

②x1≤x2<k

?
y

b -4ac≥0 ?△= af(k)>0 ? b ?-2a<k

2

y
f (k ) ? 0
?

a?0
O

x??
O

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?
y

af(k)<0

y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

④k1<x1≤x2<k2

?

? ? ? ? ?

△=b -4ac≥0 a>0 f(k1)>0 f(k2)>0 b k1<- <k2 2a

2

? ? 或? ? ?

△=b -4ac≥0 a< 0 f(k1)<0 f(k2)<0 b k1<- <k2 2a

2

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基本初等函数
y
? ?

a?0

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合

?

f(k1)f(k2) ? 0,并同时考虑 f(k1)=0

y
?

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2

?

a>0 ? ?f(k )>0 ?f(k )<0 f(p )<0 ? ?f(p )>0
1 2 1 2

a<0 ? ?f(k )<0 或?f(k )>0 f(p )>0 ? ?f(p )<0
1 2 1 2

此结论可直接由⑤推出.

(5)二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值
2

设 f ( x ) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0 ? (Ⅰ)当 a ? 0 时(开口向上)

1 ( p ? q) . 2

最小值
① 若?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a
a?0

②若 p ? ?

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

f (q)
O
f (? b ) 2a

p

q

x

f
b f ((p) ? ) 2a

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基本初等函数
③若 ?

b ? q ,则 m ? f (q) 2a

a?0

y

x??

f (p) p (q)
O

b 2a

q
x
b ) 2a

f f (?

最大值
① 若?

b ? x0 ,则 M ? f (q) 2a
a?0

②?

b ? x0 ,则 M ? f ( p) 2a
a?0

yx ? ? b f
O

y

2a

x??

f q
x

b 2a

x(q) 0 p ?
f

(p) x0 ? p (q)

q
O

x
b ) 2a

b f ((p) ? ) 2a

f f (?

(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下)

最大值
①若 ?

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a

②若 p ? ?

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a

a?0

f (?

yb
2a

)

a?0

f (?

yb
2a

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

q p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

x

f

f

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基本初等函数
③若 ?

b ? q ,则 M ? f (q) 2a

a?0

f (?

yb f 2a )

(q) p
O

q
x?? b 2a

x

f (p)

最小值
①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0

f (?

yb
2a

)

f (?

f (p)

yb f 2a )

(q)

x0 ? O p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p ?
f (p)

O

q
x?? b 2a

x

f

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