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最新《指数函数和对数函数》单元测试考核题(含参考答案)

最新《指数函数和对数函数》单元测试考核题(含参考答案)

2019 年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数 (含答案)

学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________

题号 一



三 总分

得分

请点击修改第 I 卷的文字说明 一、选择题

第 I 卷(选择题)

1.对实数

a



b

,定义新运算“

?

”:

a

?b

?

?a, a ??b, a

?b ?b

? 1, ? 1.

设函数

? ? ? ? f (x) ? x2 ? 2 ? x ? x2 , x ? R. 若函数 y ? f (x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则

实数 c 的取值范围是( )(2011 年高考天津卷理科 8)

A.

?

??,

?2?

?

? ??

?1,

3 2

? ??

B.

?

??,

?2?

?

? ??

?1,

?

3 4

? ??

C.

? ??

??,

1 4

? ??

?

? ??

1 4

,

??

? ??

D.

? ??

?1,

?

3 4

? ??

?

? ??

1 4

,

??

? ??

2.函数 f(x)与 g(x) ? (1)x 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f (4x ? x2 ) 的单调递增区间 2
为---------( ) A.(-∞,2) B.(0,2) C.(2,4) D.(2,+∞)
3.若函数 f (x) ?| 2x ?1| ,当 a ? b ? c 时,有 f (a) ? f (c) ? f (b) ,则下列各式中正确

的是( )

A. 2a ? 2c

B. 2a ? 2b

C. 2a ? 2c ? 2

D. 2?a ? 2c

n
4.设 y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列,则 ? f (2k) =( ) k ?1
A,n(2n+3) B,n(n+4) C,2n(2n+3) D,2n(2n+4) (石家庄一模)

5.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口 半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒 的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是()(07江西)

A.h2>h1>h4 A.

B.h1>h2>h3

C.h3>h2>h4

第II卷(非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

6.函数 y ? 16 ? 4x 的值域是

D.h2>h4>h1

7.若 0 ? a ? 1,b ? ?1,则函数 f (x) ? ax ? b 的图象不经过第

象限.

8.若 3x ? 3?y ? 5?x ? 5y 成立,则 x ? y _____ 0 9.某地区预计明年从年初开始的前 x 个月内,对某种某种商品的需求总量 f (x) (万件) 与月份 x 的近似关系为: f (x) ? 1 x(x ?1)(35 ? 2x), (x ? N*, x ? 12) .
150

⑴写出明年第 x 个月的需求量 g(x) (万件)与月份 x 的函数关系式,并求出哪个月份的需

求量最大,最大需求量是多少?
⑵如果将该商品每月都投放市场 p 万件(销售未完的商品都可以在以后的各月销售),要

保证每月都满足供应,则 p 至少为多少万件?

【例

3】⑴ g(x)

?

f

(x) ?

f

(x ?1)

?

1 (?x2 25

?12x) , g(x)max

?

g (6)

? 1.44

⑵ px ? f (x) ,至少投放1.44 万件

10.计算:

(log

2 3

?

log

2 9

)

?

(log

3 4

?

log83

)

=

.

11.一个幂函数 y ? f (x) 的图像过点 (3,4 2 7 ),另一个幂函数 y ? g(x) 的图像过点

(?8,? 2),

⑴求这两个幂函数的解析式;⑵判断这两个幂函数的奇偶性.

3

1

11. ⑴ f (x) ? x4 , g(x) ? x3 ;⑵ y ? f (x) 无奇偶性; y ? g(x) 是奇函数.

12.函数 y ? 2?|x?1| ? m 的图象与 x 轴有交点时, m 的取值范围是



13.已知 f(x)=ax(x∈R),部分对应值如表所示 ,则不等式 f-1(|x-1|)<0 的解集是___________

x -2

02

f(x) 0.694 1 1.44

(湖北八校)

14.设函数 f(x)=x3- x2 -2x+5.若对任意 x∈[-1,2],都有 f(x)>m,则实数 m 的 2
取值范围是___ ____.

15.定义在 R 上奇函数 f (x) ,当 x ? 0时的解析式为 f (x) ? ? ln(?x) ? x ? 2,若该函数 有一零点为 x0 ,且 x0 ? (n, n ? 1) , n 为正整数,则 n 的值为 ▲ .

16.已知函数

f (x)

?

?a x ? ?(a

(x ? 0), ? 3)x ? 4a(

x

?

0)

满足对任意

x1

?

x2 ,都有

f

(x1 ) ? x1 ?

f (x2 ) x2

?

0

成立,则 a 的取值范围是

.

17. 已知函数 y ? loga (x ?1) (a>0,且 a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则 a=

________.2

1

18. 函数 f (x) ? 3ax ? 2a ?1在[?1,1]上存在一个零点,则实数 a 19.函数 y ? x 的定义域是 ____ .
1? x

. a ? 1 或 a ? ?1 5

20.设方程

2x

?

x

?

4的根为x0 , 若x0

?

(k

?

1 2

,

k

?

1 ),则整数k 2

?

___



21.若函数 y ? ax ? b ?1(a ? 0且a ? 1) 的图象经过第二、三、四象限,则一定





22.幂函数 y ? f (x) 的图象经过点 (2, 18) ,则满足 f (x) = ?27 的 x 的值是



23.如图,设 A、B 两点在河 的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C, 测出 AC 的距离为 50m,∠ ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A、B 两点的距离 为

24.求值: sin 400(tan100 ? 3) = ▲ . 25.(2013 年高考湖南卷(理))设函数 f (x) ? ax ? bx ? cx , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.
(1)记集合 M ? ?(a,b,c) a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b? ,则
(a,b, c) ? M 所对应的 f (x) 的零点的取值集合为____. (2)若 a,b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 ______.(写出所有正确结论的
序号)

① ?x????,1?, f ? x? ? 0;

② ?x ? R,使xax ,bx , cx不能构成一个三角形的三条边长;

③若 ?ABC为钝角三角形,则?x??1,2?,使f ? x? ? 0.

26 . 已 知 函 数 f (x) ? lg x ? x ? 3 在 区 间 (k, k ?1)(k ? Z) 上 有 零 点 , 则 k ?





27. 一家饮料厂生产甲乙两种果汁饮料,甲种饮料每 3 份苹果汁加 1 份橙汁,乙种饮料每 2 份苹果汁加 2 份橙汁,该厂每天能获得的原料是苹果汁 200 升,橙汁 100 升,又厂方的 利润是每生产 1 升甲种饮料得 3 元,生产 1 升乙种饮料得 4 元,则该厂能获得的最大利润 是___________元.
28.已知幂函数 f ? x? 过点 (2, 1 ) ,则 f (x) ? ▲ .
4

29.已知函数 f (x) ? ln x ? 2x ? 6 的零点在区间 (n, n ?1)(n ? Z ) 内,则 n ?

.

30.比较大小: log2 5

log5 8

31.函数 f (x) ? log a (2x ? 1) ? 2(a ? 0且a ? 1) 必过定点

32.若关于 x 的方程 4 x ? (a ? 3)2 x ? 5 ? 0 至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数 a 的取

值范围为____▲[? 33 ,?3 ? 2 5] _______

y

4

33 . 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? { x | 2 x ? 2 x? 0, }B ? {x | y ? lg(x ?1)} , 则

(?U A) B ? . 答案{x |1 ? x ? 2}

?1 O 1

2

x

34.如图,三次函数 y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的零点为 ?1,1, 2 ,则该(函第数11的题单图调)减区间为

▲.

关键字:多项式函数;含多参;求单调区间

35.已知函数



则 ▲.

36 . 已 知 函 数

f (x) ? 1 ? x ? x 2 ? x3 ? x 4 ? ? ? x 2013



234

2013

g(x) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ? x4 ? ? ? x2013 , 设 F(x) ? f (x ? 3) ? g(x ? 3) ,且函数 F(x) 的

234

2013

零点均在区间[a,b](a ? b, a,b ? Z ) 内,则 b ? a 的最小值为

.

37.方程 x3 ? 3x ? m ? 0 在[0,1]上有实数根,则 m 的最大值是



? ? 38.设 ? ?

?2, ?1,

1 2

,

1,

2,

3

,则使 y ? x? 为奇函数且在 (0,

? ?) 上单调递减的? 值

为▲.

? ? 39.幂函数 f ? x? 的图象经过点 3, 3 ,则 f ? x? ? ▲ .
40.幂函数 f (x) 的图象经过点 (3, 3) ,则 f (x) 的解析式是 f (x) ? ▲ ;

三、解答题 41.(本小题满分16分) 国庆长假期间小明去参观画展,为了保护壁画,举办方在壁画前方用垂直于地面的透明玻 璃幕墙与观众隔开,小明在一幅壁画正前方驻足观看。如图是小明观看该壁画的纵截面示 意图,已知壁画高度AB是2米,壁画底端与地面的距离BO是1米,玻璃幕墙与壁画之间的距
离OC是1米。若小明的身高为 a 米( 0 ? a ? 3 ),他在壁画正前方 x 米处观看,问 x 为多 少时,小明观看这幅壁画上下两端所成的视角? 最大?

42.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用 1
个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的 1 ,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有 2
农药残留在蔬菜上.设用 x 单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留
有农药量之比为函数 f(x).

(1)试规定 f(0)的值,并解释其实际意义;

(2)试根据假定写出函数 f(x)应该满足的条件和具有的性质;

(3)设

f(x)=

1

1 ?x

2

,现有

a(a>0)单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均

分成 2 份后清洗两次.试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少?说明理由.

43.已知 A、B 两地相距 2R ,以 AB 为直径作一个半圆,在半圆上取一点 C,连接 AC、
BC,在三角形 ABC 内种草坪(如图),M、N 分别为弧 AC、弧 BC 的中点,在三角形
AMC、三角形 BNC 内种花,其余是空地.设花坛的面积为 S1 ,草坪的面积为 S2 ,取
?ABC ?? . (1)用? 及 R 表示 S1 和 S2 ;
(2)求 S1 的最小值. S2

44.如图,某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点 A 到两条平行河岸线 l1、l2 的距
离分别为 4m、8m,河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1m, l2 与该养殖区的最近点 B 的距离为 2m. (1)如图甲,养殖区在投食点 A 的右侧,若该小组测得 ?BAD ? 60 ,请据此算出养殖区 的面积; (2)如图乙,养殖区在投食点 A 的两侧,试在该小组未测得 ?BAD 的大小的情况下,估 算出养

殖区的最小面积.

l1

D

A

l1 D
A

C

C

B

B

l2 (图

l2 (图

甲)

乙)

45.某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根

据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每

提高 1 元,租不出去的自行车就增加 3 辆.

规定:每辆自行车的日租金不超过 20 元,每辆自行车的日租金 x 元只取整数,并要求出租

所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用 y 表示出租所有自行车的日净收入

(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得).

(1)求函数 y ? f (x) 的解析式及定义域;

(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元?

46.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f (x)在区间??0,???上是单调增函数 。
(1)求证:函数 f (x) 在区间 (??, 0] 上是单调减函数; (2)若 f (1) ? f (lg x),求x的取值范围。(本小题满分 14 分)

47.已知 lg( 7 ? 2 x

? 8) ? log

2 x ,求
10

f (x) ? log 1
2

x ? log 1
2

x 的最小值及相应 x 的值. 4

48.时值 5 月,荔枝上市.某市水果市场由历年的市场行情得知,从 5 月 10 日起的 60 天 内,荔枝的售价 S(t)(单位:元/kg)与上市时间 t(单位:天)的关系大致可用如图 1 所示 的折线 ABCD 表示,每天的销售量 M(t)(单位:吨)与上市时间 t(单位:天)的关系大致可用 如图 2 所示的抛物线段 OEF 表示,其中 O 为坐标原点,E 是抛物线的顶点. (1)请分别写出 S(t),M(t)关于 t 的函数关系式; (2)在这 60 天内,该水果市场哪天的销售额最大?

S(元)

10 A B

D

6

C

5

图1

O 10 20 40 60 t(天)

M(吨) 10

E F

图2 2

O 10

40 60 t(天)

49.如图,周长为 16 米的篱笆借助一个墙角围成一个矩形 ABCD,在矩形内的一点 P 处是 一棵树,树距离两墙分别为 a、4 米(0<a<12);若将此数围进去,又使围成的面积最大,如何 围法,并求最大面积。

A

D

aP

x

4

B

C

50. f (t) ? 1? t , g(x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , 17? ).

1? t

12

(Ⅰ)将函数 g(x) 化简成 Asin(?x ??) ? B ( A ? 0 ,? ? 0 ,? ?[0, 2? ) )的形式;

(Ⅱ)求函数 g(x) 的值域.


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