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【素材】第一章第五节 证明线面垂直的四种方法

【素材】第一章第五节 证明线面垂直的四种方法


证明线面垂直的四种方法 直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一,是建立空间概念的主要支柱,而直 线与平面垂直的证明也常有以下四种方法,下面分类举例解析,供参考。 一、 运用直线与平面垂直的判定定理 若一条直线与平面 内的两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面。 例 1 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 的中点,求证 AB1⊥平面 A1BD。 证明:由题意知,四边行 ABB1A1 是正方形,则 AB1⊥ A1B;取 BC 中点 E,连 AE,EB ,则 AE⊥BC,在正三棱柱中,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC, 故 AE⊥面 BB1C1C,又 BD ? 面 BB1C1C,所以 AE⊥BD,在正方形 BB1C1C 中又 D 为 CC1 中 点,易证△ BCD ≌△ BB1E ,得∠ EB1B= ∠ DBC ,而∠ DBC+ ∠ DBB1=90 °,则∠ EB1B+ ∠ DBB1=90°,故 EB⊥BD,又 AE∩EB=E,∴BD⊥平面 AEB1,∴BD⊥AB1,又 A1B∩BD=B,故 AB1⊥平面 A1BD。 点评:在本题的证明中,多次证明了直线与平面垂直,其中直线与平面垂直的判定定理 是常用判定方法,必须深刻理解这个定理的内涵与实质。 二、运用直线与平面垂直的第二判定定理 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面。 例 2 已知α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,求证:l⊥γ 。 证明:如图,要证 l⊥γ ,则由线面垂直第二判定定理知,只 需证 l 平行于γ 的一条垂线即可。设α ∩γ =c,β ∩γ =d,在α 内任取一点 A,作 AQ⊥c 于 Q,则 AQ⊥γ 。同理,在β 内任取一点 B,作 BR⊥d 于 R, 则 BR⊥γ ,且 AQ∥BR。又 AQ ? β ,BR ? β ,故 AQ∥β ,由α ∩β =l,得 AQ∥l,而 AQ⊥γ ,故 l⊥γ 。 点评:此证法可能不是此题的最简证法,但说明了一个道理,每一条路都可能是成功之 路,只是对问题的理解角度不同罢了。 三、运用课本中的已证命题:如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面,那么它也 垂直于另一个平面。 例 3 如图,已知 ABC—A1B1C1 为正三棱柱,D、E 分别为 AC、 A1C1 的中点,CF⊥C1D 于 F,求证:CF⊥平面 B1EA。 证明:∵正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D、E 分别是 AC、A1C1 的中点。∴BB1 平行等于 DE,∴四边形 BB1ED 是平行四边形,∴B1E∥BD,又 EC1 平行等于 AD,四边形 EC1DA 是平 行四边形,∴AE∥C1D,∴平面 B1EA∥平面 BC1D ;在正三棱柱中,由侧面 A1C1CA⊥底 面 ABC,又易知 BD⊥AC,则 BD⊥平面 ACC1A1,又 BD ? 平面 BDC1,∴平面 BDC1⊥平面 ACC1A1,且交线为 C1D,而 CF ? 平面 ACC1A1 且 CF⊥C1D,∴CF⊥平面 BDC1,∴CF⊥ 平面 B1EA。 点评:此题中已知条件较多,围绕证题目标,正确选择解题方案、清晰地表述解题过程 是立体几何证题的重要环节。 例 4 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, AB⊥AD, CD⊥AD, PA⊥底面 ABCD, PA=AD-2AB=2, M 为 PC 的中点,在△PAD 内找一点 N,使 MN⊥平面 PBD。 解析:∵M 为 PC 的中点,取 PD 中点 E,则 ME∥CD 且 ME= 1 1 CD


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