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西工大计算方法试题参考

西工大计算方法试题参考


20022002-2003 第一学期
一.计算及推导(5*8) 计算及推导(5* 1.已知 x* = 3.141, x = π ,试确定 x * 近似 x 的有效数字位数。 2.有效数
* * * x1 = ?3.105, x2 = 0.001, x3 = 0.100

,试确定

* * * x1 + x2 + x3

的相对误差限。

3 f 0,1, 2,3] 3.已知 f ( x) = 0.5 x + 0.1x + 2 ,试计算差商 [

4.给出拟合三点 A = (0,1), B = (1, 0) 和 C = (1,1) 的直线方程。 5.推导中矩形求积公式 b a+b 1 '' 3 ∫a f ( x)dx = (b ? a) f ( 2 ) + 24 f (η )(b ? a) 6.试证明插值型求积公式



b

a

f ( x)dx ≈ ∑ Ai f ( xi )
i =0

n

的代数精确度至少是 n 次。

[ a, b] 内有一实根,试写出该实根的牛顿迭代 7.已知非线性方程 x = f ( x) 在区间
公式。 8.用三角分解法求解线性方程组

? 1 2 1 ? ? x1 ? ? 0 ? ? 2 2 3? ? x ? = ? 3? ? ?? 2? ? ? ? ?1 ?3 0 ? ? x3 ? ? 2 ? ? ?? ? ? ?
二.给出下列函数值表 0.4 xi
f ( xi )

0.5 0.47943

0.6 0.56464

0.7 0.64422

0.8 0.71736

0.38942

要用二次插值多项式计算 f (0.63891) 的近似值,试选择合适的插值节点进行计 算,并说明所选用节点依据。 (保留 5 位有效数字) (12 分) 三. 已知方程 x + ln x = 0 在 (0,1) 内有一实根 α (1)给出求该实根的一个迭代公式,试之对任意的初始近似 x0 ∈ (0,1) 迭代法都 收敛,并证明其收敛性。

x ? x ≤ 10?3 (2) x0 = 0.5 试用构造的迭代公式计算 α 的近似值 xn ,要求 n n ?1 。
四. 设有方程组

? a 1 3 ? ? x1 ? ? b1 ? ? 1 a 2 ? ? x ? = ?b ? ? ?? 2? ? 2? ? ?3 2 a ? ? x3 ? ?b3 ? ? ?? ? ? ?
当参数 a 满足什么条件时,雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。 (12 分) 五.用欧拉预估校正法求解初值问题 ? y' = y ? 2x (0 ≤ x ≤ 0.2) ? y ? ? y (0) = 1 ? 取 h=0.1,小数点后保留 5 位。 分) (8

? y ' = f ( x, y ) ? y ( x0 ) = y0 六.证明求解初值问题 ? 的如下单步法
? ? yn +1 = yn + K 2 ? K1 = hf ( xn , yn ) ? ? 1 1 ? K 2 = hf ( xn + h, yn + K1 ) ? 2 2

是二阶方法。 (10 分) 七.试证明复化梯形求积公式



b

a

n ?1 h f ( x)dx ≈ ( f ( x0 ) + 2∑ f ( xi ) + f ( xn )) 2 i =1

h=

b?a n

对任意多的积分节点数 n+1,该公式都是数值稳定的。 分) (6

20032003-2004 第一学期
一.填空(3*5)
* 1.近似数 x = 0.231 关于真值 x = 0.229 有_____-位有效数字。

n * * 2. x 的相对误差为 x 的相对误差的_______倍。

3.设 f ( x) 可微,求 x = f ( x) 根的牛顿迭代公式______。

4.插值型求积公式



b

a

f ( x)dx ≈ ∑ Ai f ( xi )
i =0

n

的代数精确度至少是______次。

5.拟合三点 A = (1, 0), B = (1, 3) 和 C = (2, 2) 的常函数是 ________。 二.已知 f ( x) 有如下的数据

xi f ( xi )
f ' ( xi )

1 2

2 4 3

3 12

试写出满足插值条件 误差的表达形式。

P ( xi ) = f ( xi )

以及 P '(2) = f '(2) 的插值多项式 P ( x) ,并写出

e dx 为了使所得的近似值有 6 位有效数字,问 三. (1)用复化辛浦森公式计算 ∫
x 0

1

需要被积函数在多少个点上的函数值? (2)取 7 个等距节点(包括端点)用复化辛浦森公式计算 ∫ 后至少保留 4 位。 四.曲线 y = x 与 y = 1 ? x 在点(0.7,0.3)附近有一个交点 ( x , y ) ,试用牛顿迭
3

7

1

x 2 lg xdx

,小数点

代公式计算 x 的近似值 xn ,要求 五. 用雅可比方法解方程组

xn ? xn ?1 ≤ 10?3

?1 2 ?2 ? ? x1 ? ?5? ? 1 1 1 ? ? x ? = ?1 ? ? ? ? 2? ? ? ? 2 2 1 ? ? x3 ? ?3? ? ?? ? ? ?
是否对任意的初始向量 x 都收敛,为什么?取 x
(0) (0)

= (0, 0, 0)T ,求出解向量的近

似向量,要求满足 1≤i ≤3 。 六.用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题

max xi( k +1) ? xi( k ) ≤ 10?6

? y ' = y 2 +1 ? ? y (0) = 0
的解函数在 x = 0.6 处的近似值, 要求写出计算格式。 (步长 h = 0.3 ,小数点后保留 5 位有效数字)

? y ' = f ( x, y ) ? y ( x0 ) = y0 七.设有求解初值问题 ? 的如下格式
yn +1 = ayn ?1 + byn + chf ( xn , yn )

如假设 yn ?1 = y ( xn ?1 ), yn = y ( xn ) 问常数 a, b, c 为多少时使得该格式为二阶格式?

20052005-2006 第二学期
一.填空(3*5) 1. 设 近 似 数
* * er ( x1 x2 ) ≤
* * x1 = 1.2250, x2 = 0.5168

都是四舍五入得到的,则相对误差

______。

? x1 = 2.8 ? x = 3.2 2.矛盾方程组 ? 1 的最小二乘解为_______。
3.近似数
x* = 0.01999

关于真值

x* = 0.02000

有______位有效数字.

4.取 3 ≈ 1.732 ,迭代过程 yn +1 = yn + 0.1 3 是否稳定? 5.求积公式 ∫1
3

f ( x)dx = 2 f (2)

有几次的代数精确度?

二. 取初值 x0 = 1.6 ,用牛顿迭代法求 3.1 的近似值,要求先论证收敛性。当

xn +1 ? xn ≤ 10?5

时停止迭代。

1 y = a + bx 2 x 三.用最小二乘法确定 中的常数 a 和 b,使该曲线拟合于下面的四

个点(1,1.01) (2,7.04) (3,17.67) (4,31.74) (计算结果保留到小数点后 4 位) 四.用乘幂法求矩阵 A 的按模最大的特征值

λ1 的第 k 次近似值 λ1( k ) 及相应的特征

T λ ( k ) ? λ1( k ?1) ≤ 10?3 向量 x1 ,要求取初值 u0 = (1,1,1) 且 1

?5 1 ?2 ? ?1 0 1 ? ? ? ? 6 1 ?3 ? ? 这里 A= ? ? 9 x1 ? 2 x2 + x3 = 6 ? ? ? x1 + 8 x2 ? x3 = 8 ? ? x + x + 8 x = ?8 3 ? 1 2

五.考察用高斯赛德尔迭代法解方程组 收敛性,并取 x
(0)

( k +1) ? xi( k ) ≤ 10?3 = (1, 0, 0)T ,求近似解 x ( k +1) ,使得 xi (i=1,2,3)

六.已知单调连续函数 y = f ( x) 的如下数据
xi ?1.12 0.00 1.80 2.20

f ( xi ) ?1.10 ?0.50 0.90 1.70

用插值法求方程 f ( x) = 0 在区间(0.00,1.80)内根的近似值。 (小数点后至少 保留 4 位)
dx 0 4+ x 取 5 个等距节点(包括端点) ,列出被积函数在这些节
1

七.设有积分

I =∫

点上的函数值表(小数点后至少保留 4 位) 用复化的 simpson 公式求该积分的近似值,并且由截断误差公式估计误差大小。 ? ' x ?y ? = 0 y ? ? y (0) = 0 ?

1 ≤ x ≤ 1.4 八.给定初值问题 写出 Euler 预估校正格式 取步长为 0.2,计算在 1.4 处的函数的近似值。

九.设矩阵 A 对称正定,考虑迭代格式
? ? x ( k +1) + x ( k ) ? ? x ( k +1) = x ( k ) ? ω ? A ? ? ? b? 2 ? ? ? ?

ω > 0, k = 0,1, 2,3... 对任意的初始向量 x (0) , x ( k +1) 是否收敛到 Ax = b 的解, 为什么?

20062006-2007 第一学期
一. 填空
* 1) 近似数 x = 1.253 关于真值 x = 1.249 有____位有效数字;

2) 设有插值公式



1

?1

f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( x k )
k =1

n

,则 k =1

∑A

n

k

=______; (只算系数)

* 3) 设近似数 x1 = 0.0235 , x 2 = 2.5160 都是有效数,则相对误差 4) 求方程 x = cos x 的根的牛顿迭代格式为______;
*

er (

* x1 )≤ * x2

____;

? x1 + x 2 = 1 ?2 x1 + 2 x 2 = 2 ? ? ? x1 ? x 2 = 1 ? x1 ? x 2 = 1 ? x + 2 x = ?1 ? x + 2 x = ?1 2 2 5) 矛盾方程组 ? 1 与? 1 得最小二乘解是否相同______。
x 二. 用迭代法(方法不限)求方程 xe = 1 在区间(0,1)内根的近似值,要求 ?2

先论证收敛性,误差小于 10 时迭代结束。

2 x 三. 用最小二乘法 y = ax + be 中的常数 a 和 b ,使该函数曲线拟合与下面四个

点 (1,-0.72)(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) (结果保留到小数点后第四位) 四.用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组

?1 ? ?0 ?1 ? ?0 ?

0 1 2 1

2 0 4 0

0 ?? x1 ? ? 5 ? ?? ? ? ? 1 ?? x 2 ? ? 3 ? = 3 ?? x3 ? ?17 ? ?? ? ? ? 3 ?? x 4 ? ? 7 ? ?? ? ? ?

五.设要给出 f ( x ) = cos x 的如下函数表
xi f ( xi ) x0 ? h f ( x0 ? h) x0 f ( x0 ) x0 + h f ( x 0 + h)

?3 用二次插值多项式求 f (x) 得近似值,问步长不超过多少时,误差小于 10 。

六. 设有微分方程初值问题 ? y′ = -2 y ? 4 x, 0 < x ≤ 0.2 ? ? y ( 0) = 2 1)写出欧拉预估-校正法的计算格式; 2)取步长 h=0.1,用欧拉预估-校正法求该初值问题的数值解(计算结果保留 4 位小数) 。 七. 设有积分
I =∫ dx 01+ x
1

取 11 个等距节点 (包括端点 0 和 1) 列出被积函数在这些节点上的函数值 , (小 数点侯保留 4 位) ; 用复化 Simpson 公式求该积分的近似值,并由截断误差公式估计误差大小(小 数点侯保留 4 位) 。 八. 对方程组

? 1 2 -2 ?? x1 ? ? 4 ? ? ?? ? ? ? ? 1 1 1 ?? x 2 ? = ? 1 ? ? 2 2 1 ?? x ? ? 3 ? ? ?? 3 ? ? ?
1. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛?为什么? 2.取初始向量 x = (0,0,0) ,用雅可比迭代法求近似解 x
T

( k +1)

,使

xi( k +1) ? xi( k ) < 10 ?3

(i = 1,2,3)

九. 设 f(x)在区间[a,b]上有二阶连续导数,且 f(a)=f(b)=0,试证明

max
a ≤ x ≤b

1 f ( x) ≤ (b ? a ) 2 max f ′′( x) 8 a ≤ x ≤b (3) 0.0023

参考答案: 1: (1)3 (2) 2

(4)

x k +1 = x k ?

x k ? cos x k x k sin x k + cos x k = , k = 0,1,2,... 1 + sin x k 1 + sin x k

(5) 否

? xk ?x 2. 方程的等价形式为 x = e ,迭代格式为 x k +1 = e 。

收敛性证明;当 x ∈ (0,1) 时,

0<

1 ≤ e?x ≤ e0 = 1 e

φ ' ( x) = e ? x < e 0 = 1
所以依据全局性收敛定理,可知迭代格式收敛 取迭代初值为
x 0 = 0 .5

,迭代结果如下
x n ? x n ?1

n
0 1 2 3 4 5 6 3.
xn
2 xn

xn

0.5 0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 0.56486 1 1 2.71828

0.01065 -0.06129 0.03446 -0.01964 0.01111 -0.00631 1.5 2.25 4.48169 2.0 4.0 7.38906 2.5 6.25 12.18249

e xn

矛盾方程组为 对应的正则方程组为

2.71828 ? ? 1 ?? 0.72? ?2.25 4.48169 ? a ? ? ? ? ? ? = ? 0.02 ? ? 4.0 7.38906 ? ?b ? ? 0.61 ? ? ? ? ? ? ? 6.25 12.18249? ? 0.32 ? ?

? 61.125 118.4989 ? ?a ? ? 3.765 ? ?118.4989 230.4859? ?b ? = ?6.538196? ? ?? ? ? ?

解得

a = 2.0019, b = ?1.0009

2 x 所以拟和曲线方程为 y = 2.0019 x ? 1.0009e

4. 由矩阵 Doolittle 分解的紧凑记录形式有

?1 ? ?0 ?1 ? ?0 ?
回代求解得
x4 =

0 1 2 1

2 0 4 0

0 1 3 3

5? ? 3? 17 ? ? 7? ?



?1 ? ?0 ?1 ? ?0 ?

0 1 2 1

2 0 2 0

0 1 1 2

5? ? 3? 6? ? 4? ?

4 1 =2 x 3 = (6 ? 1 ? x 4 ) = 2 2 2 , 3 ? 0 x3 ? 1x 4 5 ? 0 x 2 ? 2 x3 ? 0 x 4 =1 x1 = =1 1 1 ,
T

x2 =

方程组的解向量为 x = (1, 1, 2, 2) .

5. 令

x k ?1 ≤ x ≤ x k +1

max

f

( 3)

(ξ ) ( x ? x k ?1 )( x ? x k )( x ? x k +1 ) ≤ 10 ?3 3!

可求得 h ≤0.2498(或

h ≤0.2289)
(0) (0) 6. y1 = 1.6, y1 = 1.62, y 2 = 1.256, y 2 = 1.2724

7. 0.6932

R( f ) ≤ 1.3333 × 10-5
? 0 ?2 2 ? ? ? B J = ? ? 1 0 ? 1? ?-2 ? 2 0 ? ? ?

8. (1)Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
谱半径

ρ (B J ) = 0 < 1 .此时 Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛.
(1)

x
(2) 9.

? 4? ? 8 ? ?2? ?2? ? ? ( 2 ) ? ? ( 3) ? ? ( 4 ) ? ? = ? 1 ?, x = ? ? 6 ?, x = ? 0 ?, x = ? 0 ? ? 3? ?? 7? ? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?
x0 = a, x1 = b



为 插 值 节 点 , 做

Lagrange

插 值 :

f ( x) = L1 ( x) +

1 1 f ′′(ξ )( x ? a )( x ? b) = f ′′(ξ )( x ? a )( x ? b) 2! 2!

其中 ξ ( x) ∈ [a, b] 。



max
a ≤ x ≤b

f ( x ) ≤ max
a ≤ x ≤b

1 1 1 f ′′(ξ )( x ? a )( x ? b) ≤ max f ′′( x ) max ( x ? a )( x ? b) ≤ (b ? a ) 2 max f ′′( x ) 2! 2 a ≤ x ≤b 8 a ≤ x≤b a ≤ x ≤b

2006计算方法 2006-2007 第二学期
1 填空
* 1). 近似数 x = 0.0142 关于真值 x = 0.0139 有__为有效数字。

2)

适当选择求积节点和系数,则求积公式



1

?1

f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( x k )
k =1

n

的代数精确

度最高可以达到______次.
* * 3 ) 设 近 似 数 x1 = 0.0235 , x 2 = 2.5160 都 是 四 舍 五 入 得 到 的 , 则 相 对 误 差
* * er ( x1 x 2 )

的相对误差限______

4)

* 5 * * 近似值 y = x 的相对误差为 er ( x ) 的____ 倍。

5) 拟合三点 A(0,1),

B(1,3),C(2,2)的平行于 y 轴的直线方程为_____.

2 x 2x x 2. 用迭代法求方程 x + 2 xe + e = 0 在(-1,0)内的重根的近似值 n +1 。要求

1)说明所用的方法为什么收敛;2)误差小于 10 时迭代结束。
2 3.用最小二乘法确定 y = ax + b ln x 中的 a 和 b ,使得该函数曲线拟合于下面四

?4

个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小 数点后 4 位) 4 设函数有二阶连续导数,在一些点上的值如下 1.0 1.1 1.2 xi 写出中心差分表示的二阶三点微分公 '' 0.01 0.11 0.24 f ( xi ) 式,并由此计算 f (1.1) 。 5 已知五阶连续可导函数 y = f ( x) 的如下数据
xi f ( xi )

0 0

1 1

f ' ( xi ) f ' ' ( xi )

0 0

1

试求满足插值条件的四次多项式 p (x). 6 设有如下的常微分方程初值问题
? dy x ? = ,1 < x ≤ 1.4 ? dx y ? y (1) = 1 ?

写出每步用欧拉法预估,用梯形法进行一次校正的计算格式。 取步长 0.2 用上述格式求解。

7 设有积分 1)取 7 个等距节点(包括端点) ,列出被积函数在这些点出的值(保留到小数点 后 4 位) 2)用复化 simpson 公式求该积分的近似值。
0

I = ∫ e x dx
2

0.6

8 用 LU 分解法求解线性代数方程组

?1 1 ? ?0 2 ?1 ? 1 ? ?2 2 ?

2 3 ?? x1 ? ? 3 ? ?? ? ? ? 1 2 ?? x 2 ? ? 1 ? = 2 2 ?? x3 ? ? 3 ? ?? ? ? ? 5 9 ?? x 4 ? ? 7 ? ?? ? ? ?

2 9 当常数 c 取合适的值时,两条抛物线 y = x + x + c 与 y = 2 x 就在某点相切,
?4 试取出试点 x0 = 0.3 ,用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于 10 时迭代结束。

20072007-2008 第一学期
1 填空(15 分)
* * 1 ) 设 近 似 数 x1 = 9.2270 , x2 = 0.8009 都 是 四 舍 五 入 得 到 的 , 则 相 对 误 差

* * er ( x1 x2 ) ≤

______ B(1,3),C(2,2)的平行于 y 轴的直线方程为 ____.

2)拟合三点 A(3,1),

* 3) 近似数 x = 0.0351 关于真值 x = 0.0349 有 _____ 位有效数字.

4) 插值型求积公式 5)



1

?1

f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
k =1

n ?1

至少有______次代数精确度.

Simpson(辛浦生)求积公式有______次代数精确度.

3 2 2.(10 分)已知曲线 y = x + 2.89 与 y = 2.4 x + 0.51x 在点(1.6,6.9)附近相切,

试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值 止迭代。

xn +1

, 当

xn +1 ? xn ≤ 10 ?5

误差小于 10 时停

?4

2 3. (10 分)用最小二乘法确定 y = ax + b ln x 中的常数 a 和 b ,使得该函数曲线

拟合于下面四个点 (1,2.01), (2,7.3), (3,16.9), (4,30.6) (计算结果保留 到小数点后 4 位)

? 2 3 2? ? ? A = ?10 3 4 ? ? 3 6 1? ? ? 的按模最大的特征值 λ1 的第 k 次近似 4.(10 分) 用乘幂法求矩阵
(k ) (k ) T λ ( k ) ? λ1( k ?1) ≤ 0.1 值 λ1 及相应的特征向量 x1 。 要求取初始向量 u0 = (1, 2,1) , 1 且 。

5. (10 分)设有方程组

? a 1 3 ? ? x1 ? ? b1 ? ? 1 a 2 ? ? x ? = ?b ? ? ? ? 2? ? 2? ? ?3 2 a ? ? x3 ? ? b3 ? ? ?? ? ? ?

(a ≠ 0)

写出与 Jacobi 迭代法对应的 Gauss-Seidel 方法的迭代格式; Jacobi 方法的迭代矩阵为: 当参数 a 满足什么条件时,Jacobi 方法对任意的初始向量都收敛。 6. (10 分)已知四阶连续可导函数 y = f ( x) 的如下数据:
xi f ( xi ) f ' ( xi )

1 0 1

2 5 10

' ' 试求满足插值条件 p ( xi ) = f ( xi ), p ( xi ) = f ( xi ) 的三次插值多项式 p ( x) , 并写出截

断误差 R ( x) = f ( x) ? p ( x) 的导数型表达式(不必证明) 。
1 7. (15 分)设有积分 1)取 7 个等距节点(包括端点 1 和 2) ,列出被积函数在这些节点上的函数值表 (小数点后至少保留 4 位) ; 2)用复化 simpson 公式求该积分的近似值,并由截断误差公式估计误差大小。

I = ∫ x 3e x dx

2

8. (10 分) 给定初值问题 y' ? y2 = 0, x y (1) = 1, 1 < x ≤ 1.4

写出欧拉(Euler)预估-校正的计算格式; 取步长 h = 0.2 ,求 y (1.4) 的近似值。 9. (10 分) 用迭代法的思想证明:
lim 2 + 2 + L + 2 = 2
k →∞

(等号左边有 k 个 2) 。

参考答案: 1: (1)6.78×10-5,

(2) x=2

(3) 2 (4)n-2

(5) 3

2 2 2. 切线斜率相等: 3 x = 4.8 x + 0.51 , 3 x ? 4.8 x-0.51 = 0

牛顿迭代格式: 取 x 0 = 1 .6 ,得

x n +1

2 3 x n ? 4.8 x n-0.51 = xn ? 6 x n ? 4 .8

x1 = 1.70625, x 2 = 1.70002, x3 = 1.70000, x 4 = 1.70000

?a = 2.01 ?4a + b ln 2 = 7.3 ? ? ?9a + b ln 3 = 16.9 ? 3. 矛盾方程组: ?16a + b ln 4 = 30.8
34.84081?? a ? ? 672.91 ? ? 354 ? ? 34.84081 3.60921 ?? b ? = ? 66.04713 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 正则方程组: ? a ≈ 1.9997, b ≈ ?1.0042
( λ1k ) =

4. 取初始向量 V

(0)

= (1 2 1) T ,用乘幂法公式进行计算,且取

V1( k +1) V1( k ) ,得

λ1 ≈ 11.0 , x ≈ V ( 4 ) = (13516,27032,20226) T
5.(1)迭代格式为

? ( k +1) 1 ( ( = b1 ? x 2k ) ? 3 x3k ) ? x1 a ? ? ( k +1) 1 ( = b2 ? x1( k +1) ? 2 x3k ) ? x2 a ? ? ( k +1) 1 ( = b3 + 3 x1( k +1) ? 2 x 2k +1) ? x3 a ?

( ( (

)

)

)

(2)Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 1 3? ? ? ? ? 0 ? a a? ? 1 2 BJ = ?? 0 ? ? ? a a? ? 3 ? 2 ? 0 ? ? a ? a ?

λ λI ? B J =
(3) 1 a 3 ? a

1 a

λ
2 a

3 a 2 ? 2 4 ? = ? λ + 2 ?λ a ? a ?

λ

ρ (B J ) =
谱半径

2 a

.由 ρ (B J ) < 1 得

a >2
此时 Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛. 6. p ( x) = x 3 ? 2 x + 1, R( x) = f ( x) ? p ( x) = f ( 4 ) (ξ ) ( x ? 1) 2 ( x ? 2) 2 , ξ ( x) ∈ (1,2) 4!

7.20.2174

R( f ) ≤ 0.0048

8. (1)Euler 预-校法的计算格式为
( ? y n0)1 = y n + h f ( xn , y n ) ? + ? h (0) ? y n+1 = y n + f ( xn , y n ) + f ( xn+1 , y n+1 ) ? 2

[

]

(2)将

h = 0 .2 , f ( x , y ) =

y2 x 代入,则

? (0) y2 y n +1 = y n + 0.2 n ? xn ? ? 2 (0) 2 ? y = y + 0.1? y n + ( y n +1 ) ? ? ? n ?x ? n +1 x n+1 ? ? n ? ?

代入

x0 = 1 , y 0 = 1



[ [ ? y10] = 1.2 ? y 20 ] = 1.4681 ? ? ? y (1.2) ≈ y1 = 1.22 , ? y (1.4) ≈ y 2 = 1.49798

9.证明

考虑迭代格式

x0 = 0, xk +1 = 2 + xk , k = 0,1, L

,则

x1 = 2 , x2 = 2 + 2 ,…, xk = 2 + 2 + 2 + L + 2 + 2 (k 个 2)

设 ? ( x) = 2 + x ,则当 x∈[0,2]时,?(x)∈ [?(0),?(2)]= [ 2 ,2] ∈ [0,2];
? ′( x) =
1 1 ? ′( x) ≤ ? ′(0) = <1 2 2 + x ,则当 x∈[0,2]时, 2 2 . x 0 = 0, x k +1 = 2 + x k



所以,由迭代格式 内的根α. 设 k →∞
lim x k = α

产生的序列收敛于方程 x = 2 + x 在[0,2]

2 ,则有 α = 2 + α ,即 α = 2 + α .解之得 α = 2, α = ?1 .舍去不合题意

的负根,有 k →∞

lim x k = 2

,即

k →∞

lim 2 + 2 + 2 + L + 2 + 2 = 2



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